专题17

合集下载

专题十七认识含有三级的数

专题十七认识含有三级的数专题十七认识含有三级的数主题17认知包含三个层次的数字1.在现实的情境中认识较大的数，会读、写含有亿级的数。

在读数时，要注意先分级，再读数，应根据我国每四个数位是一级的习惯，先用虚线给较大的数分级，再读出来。

反之，在写完一个较大的数时，也应及时分级读一读。

2.了解十进制计数法。

3.掌握数万级和数亿级的数字顺序表。

4.掌握数的改写和求近似数。

在进行大数的改写时，如果使用“万”作单位，则只要将这个数最后的4个0去掉，再添上一个“万”字；如果使用“亿”作单位，则只要将这个数最后的8个0去掉，再添上一个“亿”字。

求近似数，我们通常采用“四舍五入”的方法。

一个基本的热身问题1.读出下面横线上的数：（1）头发的数量因人而异。

大约有12万黑发人、9万红发人和15万金发人。

（2）人体的神经约有10000000条，总的长度达3000000000米，分别读作：（）。

（3）我国是世界上海洋线最长的国家之一，总长约10008000米，读作：（）。

2.写出下面横线上的数。

（1）这架飞机每小时飞行180万米。

（2）到2000年为止，我国上海市的人口为一千六百七十三万七千七百人，写作：（）。

（3）人造地球卫星每年飞行约二亿四千九百一十三万四千四百千米，写作：（）。

3.把下面的数和正确的读法用线连起来。

12340000 1223400 12022400 10203040 10230004 100243400 10220304 1234400 1002304 10223004 10330004将以下数字四舍五入到“一万”或“亿”位：（1）104980≈（）万；（2）499200≈（）万；（3）140091498≈（）亿；（4）5994268079≈（）亿。

5.填空：（1）7050090是由7个（）、5个（）和9个（）组成的，这个数读作：（）。

（2）比最大的五位数多1的数是（），比最小的六位数少1的数是（），比最大的九位数少1的数是（）。

17专题十七：最短路径——阿氏圆(PA+k·PB型)定圆型轨迹问题探究

专题十七：最短路径——阿氏圆（PA+k·PB型）定圆型轨迹问题探究专题导入导例：1.如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠CAD,若AB＝4，DB＝1，则CD＝．2.如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值．方法点睛几何“PA + k·PB ”型的最值问题．已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图2所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?如图3所示，在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小(如图 4 所示)．图2 图3 图4“阿氏圆”解题一般步骤:(1)连接动点 P 至圆心 O(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接)，即连接 OP，OB;(2)计算出所连接的这两条线段 OP，OB 的长度;(3)计算这两条线段长度的比 OP/OB= k;(4)在 OB 上取点 C，使得 OC/OP=OP/OB ，即:半径的平方 = 原有的线段×构造线段;(5)连接 AC 与圆 O 的交点即为点 P．要点：如图5，构造△PAB∽△CAP，得到PA2=AB·AC，即：半径的平方=原有线段×构造线段口决：路径成最短，折线变直线导例答案：1； 2.2-1．典例精讲类型一：圆中的阿氏圆问题例1已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED 长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求CM+AM的最小值．【分析】如何转化AM是本题的难点，注意到由条件知在M的运动过程中，EM：AE＝1：2保持不变，从而想到构造相似三角形，使之与△AEM的相似比为1：2，这样便可实现AM的转化，如下图取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=AM．显然，MN+CM的最小值就是定点N，C之间的最短路径．类型二：与抛物线有关的阿氏圆问题例2．如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC，OA ，AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O，C，P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P 的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A，E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；（3）如图，取Q （，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出==，，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长；专题过关1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP 的最小值为（）．A. B. 6 C. 2 D 42.在平面直角坐标系中，A（2，0）B（0，2），C（4，0），D（3，2），点P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°,则2PD+PC的最小值为．3如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，点P为⊙B上任意一动点，则PA+PC的最小值为．4.如图 9 所示，点 A，B 在⊙O 上，且 OA = OB = 6，且OA⊥OB，C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且OD = 4，动点 P在⊙O 上，则 PD +2PC 的最小值为．5.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．6．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．7．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′、BE′，求AE′+BE′的最小值．答案例1如图，过A作AF⊥y轴于F，EO为△BAF的中位线，∴EO=2.则由勾股定理可得AB=4，ED=2，∴EM=ED=2.∴EM=AE.在AE上截取EN=EM．又∵∠NEM=∠ME A，∴△ENF∽△EMA．∴=．．∴MN=AM．当N，M，C 三点共线时，CM+AM=MN+MC最小．过N点作NH⊥y轴于H．∵EN=EM=AE，∴EB=BH.∵EO∥NH，∴△BEO∽△BNH.∴=.∴=.∴NH=,BH=5．∴CH=5.在Rt△NCH中，CH=5,NH=,∴CN=,即CM+AM的最小值为例2．（1）过点A作AH⊥x轴于点H．∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°．∴OH=1，AH=．∴A点坐标为（﹣1，），B点坐标为（2，0）．将两点代入y=ax2+bx,得解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；（2）如图，∵C（1，﹣），∴tan∠EOC==．∴∠EOC=30°．∴∠POC=90°+30°=120°．∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°．∵OA=2OE，OC=，∴当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似．∴OP=，OP ′=．∴点P坐标为（0，）或（0，）．（3）如图，取Q （，0）．连接AQ，QE′．∵==，∠QOE ′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE ′．∴==．∴E′Q=BE′．∴AE′+BE′=AE′+QE′．∵AE′+E′Q ≥AQ，∴E ′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为=．专题过关1.A．如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连接AD．∴=．又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP ．∴=．∴PD=BP．∴AP+BP=AP+PD．当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP 的值最小．在Rt△ACD中，CD=1，CA=6，∴AD==．∴AP+BP的最小值为故选：A．2. 分析可点P在以O为圆心，OA为半径，第一象限内的的圆弧上运动，取OA的中点N，连接ND，交圆O 于点P，则可得△NOP∽△POC，可推出NP=PC，∴PD+PC=PD+PN=DN.,由两点之间距离公式可得DN＝2，∴2PD+PC=4．3. 作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠B=90°，AB=CB=2，∴AC=BA=2，∴BH=AC=，∴BP=，∵，，而∠PBD=∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴=∴PD=PC，∴PA+PC=PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD==∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为．故答案为．4. 4．提示：如图，作O关于A的对称点E，连接ED交圆O于点P．5.（1）在y＝x+中，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣6，∴B（0，），A（﹣6，0），把B（0，），A（﹣6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，∴∴抛物线的函数关系式为：y＝﹣x2﹣x+，令y＝0，则0＝﹣x2﹣x+，∴x1＝﹣6，x2＝1，∴C（1，0）；（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BG⊥DE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，∵DM+DG＝GM＝OB，∴m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），∴当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）①存在，如图2．∵ON＝OM′＝4，OB＝，∵∠NOP＝∠BON，∴当△NOP∽△BON时，＝＝，∴不变，即OP＝ON＝×4＝3，∴P（0，3）；②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，=，∴NP＝NB，∴（NA+NB）的最小值＝NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，∴NA+NB的最小值＝＝3．6．（1）∵A（4，0）在抛物线上，∴0=16a+4（a+2）+2．解得a=-；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-x2+x+2，令x=0可得y=2，∴OB=2．∵OP=m，∴AP=4-m．∵PM⊥x轴，∴△OAB∽△PAN．∴，即．∴PN=（4-m）．∵M在抛物线上，∴PM=-m2+m+2．∵PN：MN=1：3，∴PN：PM=1：4．∴-m2+m+2=4×（4-m）．解得m=3或m=4（舍去）；（3）如图，在y轴上取一点Q，使．由（2）可知P1（3，0），且OB=2，∴，且∠P2OB=∠QOP2．∴△P2OB∽△QOP2．∴．∴当Q（0，）时QP2=BP2．∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ．∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，∵A（4，0），Q（0，），∴AQ=，即AP2+BP2的最小值为．7．如图，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数解析式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求AE′+BE′的最小值．（1）【详解】将A（4,0）代入抛物线y=ax2+（a+3）x+3，∴16a+4（a+3）+3=0.解得a＝--，抛物线解析式为-.当x=0时，y=3，所以B（0,3），设直线解析式为y=kx+b，将A，B点的坐标代入得解得∴y＝-.（2）∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN.∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE.∴=.∵NE∥OB，∴.∴AN＝(4－m).∵抛物线的解析式为-.∴PN=--m2＋m＋3-(--m＋3)= --m2＋3m. ∴＝∴m＝2.（3）如图，在y轴上取一点M′，使得OM′=,连接AM′,在AM′取一点E ′，使得OE ′=OE，∴OE＝OE′＝2，O M′·OB=×3=4.∴2 = O M′·OB.∵∠BO∠M′OE′, ∴△M′OE∽△ OB.∴=＝.∴M′E′= B.∴A E′+E′= A E′+ M′E′= A M′，此时A E′+E′最小(两点之间线段最短，A, M′，E′三点共线)在Rt△AO M′中，AO=4，O M′=，∴A M′=，A E′+E′最小值为.。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练17 多项式乘多项式

专题17 多乘多不含某字母【例题讲解】已知多项式()()2232x px q x x ++-+的结果中不含3 x 项和2x 项，求p 和q 的值．【答案】3p =，7q = 【分析】首先利用多项式乘法去括号，进而利用多项式（x 2+px +q ）（x 2﹣3x +2）的结果中不含x 3项和x 2项，进而得出两项的系数为0，进而得出答案．【解答】解：∵()()2232x px q x x ++-+432322323232x x x px px px qx qx q =-++-+++﹣()()432323232x p x p q x px qx q =--+-++-+由多项式()()2232x px q x x ++-+的结果中不含3x 项和2x 项，∴30p -=，230p q -+=，解得：3p =，7q =．故答案为：3p =，7q =．【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘法去括号得出是解题关键．【综合解答】1．如()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A ．3-B ．3C ．0D ．12．如果()()x a x b ++的结果中不含x 的一次项，那么a 、b 应满足（）A ．a b =B ．0a =C ．1ab =D ．0a b +=3．关于字母x 的整式（x +1）（x 2+mx ﹣2）化简后的结果中二次项系数为0，则（）A ．m ＝2B ．m ＝﹣2C ．m ＝1D ．m ＝﹣14．已知多项式2(1)(2)x mx x -+-的积中x 的一次项系数为零，则m 的值是（）A ．1B ．–1C ．–2D ．12- 5．已知多项式2(1)(2)x mx x -+-的积中不含x 2项，则m 的值是 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．若（x +k ）（x ﹣5）的积中不含有 x 的一次项，则 k 的值是（）A ．0B ．5C ．﹣5D ．﹣5 或 57．若关于x 的多项式(1)(2)ax x -+展开后不含x 的一次项，则=a _______．8．若关于x 的多项式()287()x x x m -++的计算结果中不存在2x 项，则m =______．9．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．10．若（x+2）（x 2-ax+3）的乘积中不含x 的一次项，则a=____11．若()()5x a x ++的结果中不含关于字母x 的一次项，则=a ___________．12．若计算(x ＋2)(3x ＋m)的结果中不含关于字母x 的一次项，则m 的值为____________．13．若：（x²+mx+n ）（x+1）的结果中不含x 2的项和x 的项，则mn=__________．14．如果2(2)(51)x x ax +-+的乘积中不含2x 项，则a 为______．15．若(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，则常数m =_________．16．若多项式 x + m 与 x - 5 的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为_____．17．多项式223368x mxy y xy --+-中不含xy 项，则常数m 的值是___．18．若 (x +2)( x 2+mx +4) 的展开式中不含有 x 的二次项，则 m 的值为_________．19．若（x2﹣mx+1）（x ﹣1）的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是__________________.20．已知22()(21)x px x x ---的结果中不含x 3项，则p=___________.21．如果多项式x2+5ab+b2+kab ﹣1不含ab 项，则k 的值为_________-22．若多项式没有二次项，则m 的值是________．23．要使（x 2+ax+1）•（﹣6x 3）的展开式中不含x 4项，则a=___________．24．若()()2282x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，求m +n 的值. 25．若21(3)3x m x x n ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭的计算结果中不含x 2与x 项． (1)求m 、n 的值；(2)求代数式（3m －n ）2＋m 2020·n 2021的值．26．若()2(2)x x ax b -++的积中不含x 的二次项和一次项，求2(32)2a b ab -+的值．27．若()2133x p x x q ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与2x 项（1）求p 、q 的值；（2）求代数式20192020p q 的值28．若（x 2+nx ）(x 2-3x+m)的乘积中不含x 2和x 3项，求m 和n 的值．29．先化简，再求值：已知代数式2(3)(24)-+--ax x x b 化简后，不含有x 2项和常数项.（1）求a、b的值；（2）求2---+---+的值.()()()(2)b a a b a b a a b专题17 多乘多不含某字母【例题讲解】已知多项式()()2232x px q x x ++-+的结果中不含3 x 项和2x 项，求p 和q 的值．【答案】3p =，7q = 【分析】首先利用多项式乘法去括号，进而利用多项式（x 2+px +q ）（x 2﹣3x +2）的结果中不含x 3项和x 2项，进而得出两项的系数为0，进而得出答案．【解答】解：∵()()2232x px q x x ++-+432322323232x x x px px px qx qx q =-++-+++﹣()()432323232x p x p q x px qx q =--+-++-+由多项式()()2232x px q x x ++-+的结果中不含3x 项和2x 项，∴30p -=，230p q -+=，解得：3p =，7q =．故答案为：3p =，7q =．【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘法去括号得出是解题关键．【综合解答】1．如()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A ．3-B ．3C ．0D ．1【答案】A【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m 看作常数合并关于x 的同类项，令x 的系数为0，得出关于m 的方程，求出m 的值．【解答】解：22()(3)33(3)3x m x x x mx m x m x m ++=+++=+++，又()x m +与(3)x +的乘积中不含x 的一次项，30m ∴+=，解得3m =-．故选：A ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．2．如果()()x a x b ++的结果中不含x 的一次项，那么a 、b 应满足（）A ．a b =B ．0a =C ．1ab =D ．0a b += 【答案】D 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出选项．【解答】解：()()x a x b ++()2x a b x ab =+++ ，∵()()x a x b ++的结果中不含x 的一次项，∴0a b +=，故选：D ．【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．3．关于字母x 的整式（x +1）（x 2+mx ﹣2）化简后的结果中二次项系数为0，则（）A ．m ＝2B ．m ＝﹣2C ．m ＝1D ．m ＝﹣1 【答案】D【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算，由二次项系数为0得关于m 的方程，解方程即得结果.【解答】解：∵关于字母x 的整式（x +1）（x 2+mx ﹣2）化简后的结果中二次项系数为0，∴（x +1）（x 2+mx ﹣2）＝x 3+mx 2﹣2x +x 2+mx ﹣2＝x 3+（m +1）x 2+（m ﹣2）x ﹣2，故m +1＝0，解得：m ＝﹣1．故选D ．【点评】本题考查了多项式的有关概念和多项式的乘法运算，正确的进行多项式的乘法运算是解题的关键. 4．已知多项式2(1)(2)x mx x -+-的积中x 的一次项系数为零，则m 的值是（）A ．1B ．–1C ．–2D ．12-5．已知多项式2(1)(2)x mx x -+-的积中不含x2项，则m 的值是 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】A【解答】展开后，x2项为2(2)m x -- ，则20,2m m --==- ，故选A.6．若（x +k ）（x ﹣5）的积中不含有 x 的一次项，则 k 的值是（）A ．0B ．5C ．﹣5D ．﹣5 或 5 【答案】B【解答】试题分析：根据多项式乘多项式的运算法则，展开后令x 的一次项的系数为0，列式求解即可．解：（x+k ）（x ﹣5）=x 2﹣5x+kx ﹣5k=x 2+（k ﹣5）x ﹣5k ，∵不含有x 的一次项，∴k ﹣5=0，解得k=5．故选B ．考点：多项式乘多项式．7．若关于x 的多项式(1)(2)ax x -+展开后不含x 的一次项，则=a _____________．【答案】12##0.5【分析】先运用多项式乘以多项式法则展开，再按字母x 合并同类项，然后根据展开后不含x 的一次项，8．若关于x 的多项式()287()x x x m -++的计算结果中不存在2x 项，则m =______．【答案】8【分析】根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，令2x 的系数为0即可【解答】∵()287()x x x m -++=3228787x x x mx mx m -++-+=()()328787x m x m x m +-+-+，且结果中不存在2x 项，∴m -8=0,∴m =8,故答案为：8【点评】本题考查了多项式乘以多项式，不含项的条件，熟练进行多项式的乘法，清楚不含有项的条件是系数为0是解题的关键．9．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．【答案】2【分析】先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x 的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a 的等式，再求解．【解答】解：（2x-a ）（x+1）=2x 2+（2-a ）x-a ，∵积中不含x 的一次项，∴2-a=0，∴a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．10．若（x+2）（x 2-ax+3）的乘积中不含x 的一次项，则a=____11．若()()5x a x ++的结果中不含关于字母x 的一次项，则=a ___________．【答案】-5【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（x +a ）（x +5）＝x 2+（5+a ）x +5a ，由于结果中不含关于字母x 的一次项，故5+a ＝0，∴a ＝﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．若计算(x ＋2)(3x ＋m)的结果中不含关于字母x 的一次项，则m 的值为____________．【答案】-6【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 的一次项，确定出m 的值即可．【解答】解：原式23(6)2x m x m ，由结果不含x 的一次项，得到60+=m ，解得：6m =-，故答案为：-6【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．若：（x²+mx+n ）（x+1）的结果中不含x 2的项和x 的项，则mn=__________．【答案】-1【分析】先计算整式乘法，根据所不含的项得到系数为0求出答案.【解答】232()(1)(1)()x mx n x x m x m n x n +++=+++++，∵计算结果中不含x 2的项和x 的项，∴m+1=0，m+n=0，∴m=-1，n=1，∴mn=-1，故答案为：-1.【点评】此题考查整式的乘法计算，多项式中不含问题，正确计算是解题的关键.14．如果2(2)(51)x x ax +-+的乘积中不含2x 项，则a 为______．结果不含15．若(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，则常数m =_________．【答案】6【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．【解答】∵(42)(3)x m x -+的乘积中不含x 的一次项，∴(42)(3)x m x -+=24(122)6x m x m +--中1220m -=∴6m =故答案为：6．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算．16．若多项式 x + m 与 x - 5 的乘积中不含 x 的一次项，则 m 的值为_____．【答案】5【分析】先根据多项式乘以多项式法则求出(x+m)(x-5)=x 2 +(m-5)x-5m,根据已知得出m-5=0,求出即可.【解答】解: (x+m)(x-5)=x 2 +(m-5)x-5m∵x+m 与x-5的乘积中不含x 的一次项∴m-5=0∴m=5故答案为5.【点评】该题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解该题的关键.17．多项式223368x mxy y xy --+-中不含xy 项，则常数m 的值是___．【答案】2【分析】先将多项式合并同类项，再根据多项式不含xy 项得630m -=，即可解出m.【解答】整理原式22223368(63)38x mxy y xy x m xy y ，∵该多项式不含xy 项，∴630m -=，得m=2.故填：2.【点评】此题考查多项式的意义，多项式中不含有某一项，需先将多项式化简，确定不含有的项的系数为0，由此解得某一未知数的值.18．若 (x +2)( x 2+mx +4) 的展开式中不含有 x 的二次项，则 m 的值为_________．【答案】m=-2.【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x 2项，求出m 的值．【解答】()()()()232242248x x mx x m x m x +++=+++++，由展开式中不含2x 项，得到m +2=0，则m =−2.故答案为−2.【点评】本题主要考查多项式乘以多项式法则，熟悉掌握法则是关键.19．若（x2﹣mx+1）（x ﹣1）的积中x 的二次项系数为零，则m 的值是__________________.【答案】-1【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号，进而得出二次项的系数为零，求出答案．【解答】∵（x 2-mx+1）（x-1）的积中x 的二次项系数为零，∴x 3-x 2-mx 2+mx+x-1=x 3-（1+m ）x 2+（1+m ）x-1，则1+m=0，解得：m=-1．故答案为-1【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算法则是解题关键．20．已知22()(21)x px x x ---的结果中不含x 3项，则p=___________.【答案】-2【解答】分析：先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出方程，求出方程的解即可．解答：（x2-px）•（x2-2x-1）=x4-2x3-x2-px3+2px2+px=x4-（2+p）x3+（2p-1）x2+px，∵（x2-px）•（x2-2x-1）的结果中不含x3项，∴2+p=0，解得：p=-2，故答案为-2．点评：本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．21．如果多项式x2+5ab+b2+kab﹣1不含ab项，则k的值为_________-【答案】-5【解答】∵不含ab项，∴5+k=0，k=−5，故答案为−5.22．若多项式没有二次项，则m的值是________．【答案】-1【解答】试题分析：因为多项式没有二次项，所以m+1=0，所以m=-1．考点：多项式．23．要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a=___________．【答案】0【解答】试题分析：根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可．解：（x2+ax+1）•（﹣6x3）=﹣6x5﹣6ax4﹣6x3，∵展开式中不含x4项，∴﹣6a=0，解得a=0．考点：单项式乘多项式．点评：本题考查了单项式与多项式相乘，不含某一项就是让这一项的系数等于0．24．若()()2282x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项，求m +n 的值. 【答案】14【分析】首先根据多项式的乘法法则将多项式进行展开，然后进行合并同类项．根据不含哪一项，则哪一项的系数为零列出方程组，从而得出答案．【解答】解：()()2282x mx x x n +--+ 432322822168x mx x x mx x nx mnx n =+---+++-()()()432228168x m x n m x mn x n =+-+--++-，∵()()2282x mx x x n +--+的展开式中不含2x 和3x 项， ∴20280m n m -=⎧⎨--=⎩，解得：212m n =⎧⎨=⎩， ∴14m n +=．【点评】本题主要考查多项式的乘法计算法则，代数式求值，解二元一次方程组，属于中等难度的题型．能够进行合并同类项是解决这个问题的关键．25．若21(3)3x m x x n ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭的计算结果中不含x 2与x 项． (1)求m 、n 的值；(2)求代数式（3m －n ）2＋m 2020·n 2021的值．26．若()2(2)x x ax b -++的积中不含x 的二次项和一次项，求2(32)2a b ab -+的值．【答案】20【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x 的二次项和一次项，求出a 与b 的值，再把a 、b 的值代入计算可得．【解答】解：（x -2）（x 2+ax +b ）=x 3+ax 2+bx -2x 2-2ax -2b =x 3+（a -2）x 2+（b -2a ）x -2b ，∵（x -2）（x 2+ax +b ）的积中不含x 的二次项和一次项，∴a -2=0且b -2a =0，解得：a =2、b =4，将a =2、b =4代入2(32)2a b ab -+=2(3224)224⨯-⨯+⨯⨯=4+16=20．【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．27．若()2133x p x x q ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与2x 项（1）求p 、q 的值；（2）求代数式20192020p q 的值201920191)(3)3p q q =⨯【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的28．若（x 2+nx ）(x 2-3x+m)的乘积中不含x 2和x 3项，求m 和n 的值．【答案】9m =，3n =【分析】将已知的式子利用多项式乘以多项式的法则变形，合并后根据乘积中不含x 2和x 3项，得到这两项系数为0，列出关于m 与n 的方程，求出方程的解即可得到m 与n 的值．【解答】解：22()(3)x nx x x m +-+=4323233x x mx nx nx mnx -++-+=432(3)(3)x n x m n x mnx --+-+；∵乘积中不含x 2和x 3项，∴(3)030n m n --=⎧⎨-=⎩，解得：93m n =⎧⎨=⎩； ∴9m =，3n =；【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式的法则，合并同类项法则，解二元一次方程组，熟练掌握法则是解本题的关键．29．先化简，再求值：已知代数式2(3)(24)-+--ax x x b 化简后，不含有x 2项和常数项.（1）求a 、b 的值；（2）求2()()()(2)b a a b a b a a b ---+---+的值.。

高考数学复习考点题型专题讲解17 球的切、接、截问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题17 球的切、接、截问题1.球的切接问题(1)长方体的外接球①球心：体对角线的交点；②半径：r＝a2＋b2＋c22(a，b，c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(a为正方体的棱长)①外接球：球心是正方体中心，半径r＝32a，直径等于体对角线长；②内切球：球心是正方体中心，半径r＝a2，直径等于正方体棱长；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心，半径r＝22a，直径等于面对角线长.(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分，a为正四面体的棱长)①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝612a.2.平面截球平面截球面得圆.截面圆的圆心与球心的连线与截面圆圆面垂直且R2＝d2＋r2(R为球半径，r为截面圆半径，d为球心到截面圆的距离).类型一外接球问题考向1 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：例1 已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )A.86πB.46πC.26πD.6π答案 D解析因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB.因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示. 因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝6 2，所以球O的体积V＝43πR3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫623＝6π，故选D.考向2 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽高分别为a，b，c)，即R2＝18(x2＋y2＋z2)，如图.例2 在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥A －BCD 外接球的表面积为________. 答案29π2解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，则a 2＋b 2＝9，b 2＋c 2＝4，c 2＋a 2＝16，所以2(a 2＋b 2＋c 2)＝9＋4＋16＝29，即a 2＋b 2＋c 2＝4R 2＝292，则外接球的表面积为S ＝4πR 2＝29π2.考向3 汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h2，所以R 2＝r 2＋h 24.例3(2022·金华调研)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AC ，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为( ) A.63B.3 3 C.32D.3 答案 B解析如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O 1，O 2，则O 1O 2的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA ＝R ，设AB ＝BC ＝AC ＝a ，AA 1＝h ，则OO 2＝12h ，O 2A ＝23×32AB ＝33a .在Rt△OO 2A 中，R 2＝OA 2＝OO 22＋O 2A 2＝14h 2＋13a 2≥2×12h ×33a ＝33ah ，当且仅当h ＝233a 时，等号成立，所以S 球＝4πR 2≥4π×33ah ，所以43π3ah ＝4π，所以ah ＝3，所以该三棱柱的侧面积为3ah＝3 3.考向4 垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.例4(2022·广州模拟)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝π3，SC＝2，则球O的表面积是( ) A.5π B.4πC.3πD.2π答案 A解析依题意，得AB＝2AD＝2，∠DAB＝π3，由余弦定理可得BD＝3，则AD2＋DB2＝AB2，则∠ADB＝π2.又四边形ABCD是等腰梯形，故四边形ABCD的外接圆直径为AB，半径r＝AB2＝1，设AB的中点为O1，球的半径为R，因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD ＝SC 2－CD 2＝1， R 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫SD 22＝54，则S ＝4πR 2＝5π. 考向5 切瓜模型切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，设三棱锥的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ，△BCD 的外心为O 1，O 1到BC 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，△BCD 和△ABC 外接圆的半径分别为r 1，r 2，则⎩⎨⎧R 2＝r 21＋m 2，R 2＝d 2＋（h －m ）2，解得R ，可得R ＝r 21＋r 22－l 24(l 为两个面的交线段长).例5(2022·济宁模拟)在边长为6的菱形ABCD 中，∠A ＝π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为________. 答案 60π解析边长为6的菱形ABCD ，在折叠的过程中，当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥的体积最大；由于AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝6， ∠C ＝∠A ＝π3.所以△ABD 和△CBD 均为正三角形，设△ABD 和△CBD 的外接圆半径为r ，则2r ＝BDsin C，所以r ＝2 3.△ABD 和△CBD 的交线段为BD ，且BD ＝6. 所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径R ＝（23）2＋（23）2－624＝15.故S 球＝4·π(15)2＝60π.训练1 (1)(2022·青岛一模)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.5π B.π C.113π D.73π (2)在三棱锥P －ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，且PA ＝4，底面△ABC 的外接圆的半径为3，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________. 答案 (1)D (2)52π解析 (1)由三棱柱所有棱的长a ＝1，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径2r ＝1sin 60°＝233，所以r ＝33，设外接球的半径为R ，则有R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝13＋14＝712，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝73π，故选D.(2)因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC .设三棱锥P －ABC 的外接球的半径为R ，结合底面△ABC 的外接圆的半径r ＝3，可得R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 2＝22＋33＝13，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为S 表＝4πR 2＝52π. 类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )r ；第三步：解出r ＝3V P －ABCS △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC.例6 (1)(2022·成都石室中学三诊)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P －ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝BC ＝4，AB ＝3，AB ⊥BC ，若三棱锥P －ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( ) A.9π2B.9π4 C.9π16D.9π (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是( ) A.16π B.24π C.36π D.64π答案(1)C (2)A解析(1)设球O的半径为r，则三棱锥P－ABC的体积V＝13×12×3×4×4＝13×(12×3×4＋12×4×3＋12×5×4＋12×4×5)×r，解得r＝34，所以球O的体积V＝43πr3＝9π16，故选C.(2)由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径r，因为底面三角形的边长分别为6，8，10，所以底面三角形为直角三角形，r＝AB＋BC－AC2＝6＋8－102＝2.又因为AA1＝6，2r＝4<6，所以该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时S表面积＝4πr2＝4π×22＝16π.训练 2 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.答案2 3π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).例7(2022·杭州质检)在正三棱锥P －ABC 中，Q 为BC 中点，PA ＝2，AB ＝2，过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2解析因为正三棱锥P －ABC 中，PB ＝PC ＝PA ＝2，AC ＝BC ＝AB ＝2，所以PB 2＋PA 2＝AB 2，即PB ⊥PA ，同理PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，因此正三棱锥P －ABC 可看作正方体的一角，如图.记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，点O 即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P －ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ，则R ＝122＋2＋2＝62，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过点Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面的面积最大为S max ＝πR 2＝3π2. 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得OQ ＝12PA ＝22；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过点Q 的截面时，截面圆半径最小为r ＝R 2－OQ 2＝1，所以S min ＝πr 2＝π.因此，过Q 的平面截三棱锥P －ABC 的外接球所得截面面积的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. 训练3 (1)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π(2)(2022·武汉质检)已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为________. 答案 (1)B (2)2π3解析 (1)当球O 到截面圆心连线与截面圆垂直时，截面圆的面积最小，由题意，正方体棱的中点与O 的距离为22，球的半径为23， ∴最小截面圆的半径为12－8＝2， ∴最小截面面积为π·22＝4π.(2)∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切，则球O 的半径为1，设E ，F ，G 分别为球O 与平面ABCD 、平面BB 1C 1C 、平面AA 1B 1B 的切点，则等边三角形EFG 为平面ACB 1截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF ＝EG ＝GF ＝2， ∴平面ACB 1截此球所得的截面圆的半径r ＝22sin 60°＝63，∴截面的面积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝2π3.一、基本技能练1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4C.π2D.π4 答案 B解析如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球的半径R ＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.2.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C解析由题意知球的直径2R ＝（23）2＋（23）2＋（23）2＝6， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π.故选C.3.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A解析构造棱长为1的正方体，该四面体的外接球也是棱长为1的正方体的外接球，所以外接球半径R ＝32，所以外接球表面积为S ＝4πR 2＝3π.4.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B.210C.132D.310 答案 C解析将直三棱柱补为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13，则R ＝132.5.(2022·南阳二模)已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.6π 答案 C解析折后的几何体构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，3，所以2R ＝1＋1＋3＝5，球的表面积S ＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5π.6.(2022·青岛模拟)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球O 的球面上，若十四面体的棱长为1，则球O 的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π 答案 B解析根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，∵该十四面体的棱长为1，故正方体的棱长为2， ∴该正方体的外接球球心的坐标为O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22，设十四面体上一顶点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，0，所以十四面体的外接球半径R ＝OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＝1，故外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π.故选B.7.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 上且AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝4，AD ＝26，则球O 的表面积为( )A.70π3B.80π3C.30πD.40π答案 B解析如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由题意可知，△ABC和△BCD都是边长为4的等边三角形. ∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，且AM＝DM＝23，又∵AD＝26，∴AM2＋DM2＝AD2，∴AM⊥DM，∵BC∩DM＝M，BC，DM⊂平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∵AM⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，△ABC与△BCD外接圆半径r＝23DM＝433，又△ABC与△BCD的交线段BC＝4. 所以四面体外接球半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4332－424＝2153，四面体ABCD 的外接球的表面积为4π×R 2＝803π. 8.已知三棱锥P －ABC 的棱AP ，AB ，AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A.2π3B.5π6C.πD.3π2答案 D解析如图，∠APC ＝π4，AP ＝3，AN ＝1，∠APN ＝π6，∠NPM ＝π12，MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2，GM ︵＝2π3，故四段弧长之和为π6＋π6＋π2＋2π3＝3π2.9.(多选)(2022·石家庄调研)已知一个正方体的外接球和内切球上各有一个动点M 和N ，若线段MN 长的最小值为3－1，则( ) A.该正方体的外接球的表面积为12π B.该正方体的内切球的体积为π3C.该正方体的棱长为1D.线段MN长的最大值为3＋1 答案AD解析设该正方体的棱长为a，则其外接球的半径R＝32a，内切球的半径R′＝a2，该正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为3a2－a2＝3－1，解得a＝2，故C错误；所以外接球的半径R＝3，表面积为4π×3＝12π，故A正确；内切球的半径R′＝1，体积为43π，故B错误；MN的最大值为R＋R′＝3＋1，故D正确.故选AD.10.(多选)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝43，三棱锥A－PBC的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为( ) A.4π B.8πC.16πD.24π答案BD解析如图，设圆锥AO的外接球球心为M，半径为r，则M在直线AO上，4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即42＝(23)2＋OM2，可得OM＝2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.当AO＝6时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×6＝24π；当AO＝2时，圆锥AO的体积为V＝13π×(23)2×2＝8π.故选BD.11.在三棱锥A－BCD中，△BCD和△ABD均是边长为1的等边三角形，AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为________.答案2π解析取AC的中点O，连接OB，OD，在△ABC中，AB＝BC＝1，AC＝2，所以∠ABC＝90°，所以OA＝OB＝OC＝2 2，同理得OD＝22，故点O为该三棱锥外接球的球心，所以球O的半径r＝22，S球＝4πr2＝2π.12.如图，已知球O是棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________.答案3π2解析根据题意知，平面ACD 1是边长为9＋9＝32的正三角形，且所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径r ＝13（32）2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝62，所以平面ACD 1截球O 的截面面积为 S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝3π2.二、创新拓展练13.(多选)(2022·华大新高考联考)已知三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AC ＝2，点E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，直线AF ，CE 相交于G ，则过点G 的平面α截三棱锥S －ABC 的外接球O 所得截面面积可以是( ) A.23π B.89π C.π D.32π答案 BCD解析因为AB 2＋BC 2＝AC 2，故AB ⊥BC ，故三棱锥S －ABC 的外接球O的半径R ＝2＋2＋22＝62，取AC 的中点D ，连接BD 必过G ，因为AB ＝BC ＝2，故DG ＝13BD ＝13，因为OD ＝22，故OG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1118，则过点G 的平面截球O 所得截面圆的最小半径r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622－1118＝89，故截面面积的最小值为89π，最大值为πR 2＝32π，故选BCD.14.(多选)(2022·济南模拟)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 上，AB ＝BC ＝AC ＝1，∠APC ＝π6，平面PAC ⊥平面ABC ，则( )A.直线OA 与直线BC 垂直B.点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32C.球O 的表面积为13π3D.三棱锥O －ABC 的体积为18答案 ACD解析设△ABC 外接圆的圆心为O 1，连接OO 1，O 1A . 因为O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心，所以OO 1⊥平面ABC ，所以OO 1⊥BC ，因为AB ＝BC ＝AC ＝1，所以O 1A ⊥BC ，所以BC ⊥平面OO 1A ，所以OA ⊥BC ，故A 选项正确；设△PAC 外接圆的圆心为O 2，AC 的中点为D ，连接O 2D ，由于AC ＝1，∠APC ＝π6，所以圆O 2的半径r 2＝12×1sinπ6＝1，则易知O 2D ＝32，所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为1＋32(此时P ，O 2，D 三点共线)，故B 选项错误；由于AB ＝BC ＝AC ＝1，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，所以圆O 1的半径r 1＝12×1sin π3＝33，圆O 2的半径r 2＝1，△ABC 与△PAC 的交线段AC ＝1，所以三棱锥P －ABC 外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋12－14＝1312.故球O 的表面积S ＝4π×1312＝13π3，故C 选项正确；由于OO 1⊥平面ABC ，且OO 1＝O 2D ＝32，S △ABC ＝34，所以三棱锥O－ABC的体积为13×OO1×S△ABC＝13×32×34＝18，故D选项正确，故选ACD.15.(多选)(2022·湖州调研)已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O.点E 满足AE→＝λAB→(0<λ<1)，过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则( )A.四边形EFGH的周长为定值B.当λ＝12时，四边形EFGH为正方形C.当λ＝13时，平面α截球O所得截面的周长为13π4D.四棱锥A－EFGH的体积的最大值为22 3答案ABD解析将正四面体ABCD放入正方体中.因为正四面体ABCD的棱长为3，所以正方体的棱长为322.如图所示，过点E作平面α平行于AC和BD，平面α与正方体的棱交于M，N，P，Q四点.因为AE→＝λAB→，故AH→＝λAD→，即有EH＝λBD，同理FG＝λBD，EF＝(1－λ)AC，HG＝(1－λ)AC，且EH∥BD，EF∥AC，故四边形EFGH 为平行四边形.因为AC ⊥BD ，故EF ⊥EH ，则四边形EFGH 为矩形.对于A ，四边形EFGH 的周长为2(EF ＋EH )＝2[(1－λ)AC ＋λBD ]＝2[(1－λ)AC ＋λAC ]＝2AC ＝6，为定值，故A 选项正确；对于B ，当λ＝12时，E 为AB 的中点，故EF ＝EH ，所以四边形EFGH 为正方形，故B 选项正确；对于C ，当λ＝13时，球心O 到平面EFGH 的距离即球心到平面MNPQ 的距离，即BC 中点到MF 的距离，经计算为24，球半径为322×32＝364，故截面圆的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫3642－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝132，所以截面圆的周长为132×2π＝13π，故C 选项错误；对于D ，四棱锥A －EFGH 的高为AQ ，所以其体积V ＝13×322λ×3(1－λ)×3λ＝922λ2(1－λ)，0<λ<1，令f (λ)＝922λ2(1－λ)，则f ′(λ)＝922(2λ－3λ2)，令f ′(λ)＝0得λ＝23，故当λ＝23时，四棱锥A －EFGH 的体积最大，最大值为922×49×13＝223，故D 选项正确，故选ABD.16.(多选)(2022·嘉兴测试)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2BC ＝2CD ＝4.现将△DAC沿对角线AC所在的直线翻折成△D′AC，记二面角D′－AC－B的大小为α(0<α<π)，则( )A.存在α，使得D′A⊥BCB.存在α，使得D′A⊥平面D′BCC.存在α，使得三棱锥D′－ABC的体积为3 3D.存在α＝π2，使得三棱锥D′－ABC的外接球的表面积为20π答案ACD解析如图1，取AB的中点E，连接DE交AC于点F.因为AB＝2CD，所以CD＝EB＝AE，所以四边形AECD为菱形，四边形EBCD为菱形，所以△AED，△DEC，△EBC均为等边三角形，所以AC⊥ED，∠DAC＝∠BAC＝π6，∠ACB＝π2，在翻折过程中，如图2，AC⊥D′F，AC⊥FE，所以∠D′FE为二面角D′－AC－B的平面角，所以∠D′FE＝α.对于A，当α＝π2时，平面D′AC⊥平面ABC.因为BC⊥AC，所以BC⊥平面D′AC.又因为D′A⊂平面D′AC，所以D′A⊥BC，所以存在α，使得D′A⊥BC，故A选项正确；对于B，假设存在α，使得D′A⊥平面D′BC.因为D′C⊂平面D′BC，所以D′A⊥D′C，与∠AD′C＝2π3矛盾，故B选项不正确；对于C，由分析可得，D′F＝12DE＝12AD＝1，AC＝2AF＝2×32×AD＝2 3.设D′到平面ABC的距离为d，则V三棱锥D′－ABC＝13×S△ABC×d＝13×12×AC×BC×d＝13×12×23×2×d＝33，解得d＝1 2，所以sin α＝dD′F＝12，所以α＝π6或5π6，故C选项正确；对于D，当α＝π2时，平面D′AC⊥平面ABC，所以BC⊥平面D′AC，D′F⊥平面ABC.如图2所示，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，且EF＝12BC＝1，所以EF⊥平面D′AC.设△D′AC外接圆圆心为O1，则O1A＝O1D′＝AD′＝2.因为E是Rt△ABC斜边的中点，所以E为Rt△ABC的外心.过O1作平面D′AC的垂线，过点E作平面ABC的垂线，则两垂线的交点O即为三棱锥D′－ABC外接球的球心，显然四边形EFO1O是矩形，所以OO1＝EF＝1.设三棱锥D′－ABC的外接球半径为R，则在Rt△OO1D′中，R＝OD′＝O1O2＋O1D′2＝1＋4＝5，所以三棱锥D′－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝20π，故D选项正确.综上所述，故选ACD.17.在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，若将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为60°的二面角B－AC－D，则四面体DABC的外接球球O的体积为________.答案5239π27解析如图，设M，N分别为△ABC，△ACD的外心，E为AC的中点，则EN＝EM＝13BE＝1，在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点O. ∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，∴AC⊥平面BDE.∵OM⊂平面BDE，∴OM⊥AC，∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，∴OM⊥平面ABC，同理可得ON⊥平面ACD，则O为四面体DABC的外接球的球心，连接OE，∵EM＝EN，OE＝OE，∠OME＝∠ONE＝90°，∴△OME≌△ONE，∴∠OEM＝30°，∴OE＝EMcos 30°＝233.∵AC⊥平面BDE，OE⊂平面BDE，∴OE⊥AC，∴OA＝OE2＋AE2＝39 3，即球O的半径R＝39 3.故球O的体积V＝43πR3＝5239π27.18.(2022·湖南三湘名校联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝4，M 为棱AB的中点，N是棱BC的中点，O是三棱柱外接球的球心，则平面MNB1截球O所得截面的面积为________.答案8π解析如图1，将直三棱柱补形成正方体ABCD－A1B1C1D1，连接BD1，则直三棱柱的外接球也是正方体的外接球，球心O是BD1的中点，半径R＝2 3. 连接BD交MN于点E，连接B1E交BD1于点F，过点O作OO1⊥B1E于点O1，连接B1D1，因为MN∥AC，AC⊥平面BB1D1D，所以MN⊥平面BB1D1D，所以OO1⊥MN，所以OO1⊥平面MNB1.如图2，31 / 31 在矩形BB 1D 1D 中，BF FD 1＝BE B 1D 1＝14，所以BF OF ＝23，过点B 作BG ⊥B 1E 于点G ，则BG ＝BE ·BB 1B 1E ＝43，BGOO 1＝BF OF ＝23，所以OO 1＝2，设截面圆的半径为r ，则r 2＝R 2－OO 21＝(23)2－22＝8，所以截面的面积为8π.。

专题17 崇尚法治精神(解析版)

专题17 崇尚法治精神(解析版)崇尚法治精神(解析版)崇尚法治精神是指对法治的高度重视和坚定支持，并将其作为一种行为准则和价值观。

在一个法治社会中，法律是社会秩序的基石，维护公平正义和保障人权的重要工具。

崇尚法治精神对于促进社会稳定、公平正义和可持续发展具有重要的意义。

本文将从崇尚法治精神的内涵、意义和实践角度进行解析。

一、崇尚法治精神的内涵崇尚法治精神是指个人和社会对法律尊严和法治原则的高度认同和遵循。

首先，法治要求法律面前人人平等，所有人都应当平等受到法律的保护和尊重。

其次，法治强调法律面前无特权，任何人都不能凌驾于法律之上。

另外，法治要求社会成员在行为上遵守法律，尊重他人的合法权益。

崇尚法治精神还包括了对法律和司法机构的尊重和信任，以及对法律程序和决策结果的接受。

二、崇尚法治精神的意义崇尚法治精神对于社会的发展和进步具有重要的意义。

首先，法治为社会提供了一个公平公正的环境，确保了人们的权益得到有效保障。

只有在法治的框架下，人们的权益才能得到平等和公正的对待，社会秩序才能得到维护。

其次，崇尚法治精神有助于构建社会信任和共同价值观。

只有在法治的基础上，社会成员才能形成共同的行为准则和道德观念，推动社会的和谐发展。

最后，崇尚法治精神有助于提高社会治理的效能和公信力，保障社会的稳定和安全。

三、崇尚法治精神的实践崇尚法治精神需要在个体行为和社会机制层面进行实践。

在个体行为层面，每个人都应当自觉遵守法律，尊重他人的合法权益。

同时，个体应当主动了解法律，依法行事，并且积极参与法治宣传教育活动，提高法律意识。

在社会机制层面，政府应当建设和完善法治环境，建立健全法律体系和有效的法治机构，提高法律的透明度和有效执行力。

同时，要强化法律宣传教育，加强对法律违法行为的惩治，维护社会公平正义。

综上所述，崇尚法治精神是现代社会的重要价值和准则，对于实现社会稳定、公平正义和可持续发展具有重要意义。

只有在崇尚法治精神的引导下，我们才能构建一个公平公正的社会环境，推动社会的和谐发展。

专题17 双自变量的对照实验

结果
预期结果：ABA处理组气孔开度减小，对照组气孔开度不变。 9
【巩固练习2】某研究小组发现果
实发育与生长素的关系如图。请设
必须
计实验验证上述生长素在果实发育授
中的作用及其合成部位的结论。要
粉后
求简要写出实验思路和预期结果及
结论。
结论：胚珠发育成种子过程中产生生长素，
甲生长素促进乙子房发育成果实。丙
（2)有研究表明：与中性环境相比，大豆在高pH环境下乙烯的合成量会上升。有人
认为大豆在高pH环境下光合效率的下降不是由于高pH直接引起的，而是由乙烯引起
审题注意1：实验目的
的。请以大豆的乙烯缺失突变体（不能合成乙烯）植株为材料，设计实验来验证这
审题注意2：实验材料
审题注意3：验证实验
一结论，要求简要写出实验思路和预期结果。解题思路：
【典例3】(2021龙岩市质检· 21）疫苗从研制走向临床使用，需
经动物实验和临床实验等多重检测，以保证其安全性和有效性。
陈薇团队对上述复制缺陷重组腺病毒自疫变苗量的1特异性免自疫变反量应2及其
保护效果进行评价。图1、2表示不同的接种剂量和接种方式对小
鼠免疫的影响，图3表示接种不同剂量疫苗，14天后接种新冠病
毒，72小时后检测小鼠肺组织的病毒含量。
因变量1
因变量2
因变量3
请回答：
（1)IFNy是一种能增强效应T细胞活力的淋巴因子，在免疫系统组成中，它与抗体均属于___免__疫__活__性__物__质__。由图1、
图2结果可知，该疫苗可诱导小鼠产生明显的体液免
疫和细胞免疫。从图1图2哪些信息可以得出这个答案？
又例如，生长素类似物促进枝条生根的实验，该实验中存在空白对照(用蒸馏水处理的对象组)和相互对照(用不同浓度生长素类似物处理的对象组)。

高考政治答题模板专题17如何发展中国特色社会主义文化含解析

专题17如何发展中国特色社会主义文化【答题要素】指导思想十中国道路十自觉自信十基础工程十立足实践十主体力量十体制保证十精神文明十中心环节①关键在于坚持马克思主义在意识形态领域的指导地位。

②坚持中国共产党的领导，走中国特色社会主义文化发展道路。

③增强全民族文化创造活力，树立高度的文化自觉和文化自信。

④加强社会主义核心价值体系建设，培育和践行社会主义核心价值观。

⑤立足于发展中国特色社会主义的实践，着眼于世界文化发展的前沿，发扬民族文化的优秀传统，汲取世界各民族的长处，不断创新。

⑥要坚持以人民为中心的创作导向，让人民享有健康丰富的精神文化生活，充分调动人民群众的积极性、主动性和创造性，使社会主义文化建设永葆生机和活力。

⑦深化文化体制改革，解放和发展文化生产力，推动文化事业全面繁荣、文化产业快速发展，不断增强文化整体实力和竟争力。

⑧加强社会主义精神文明建设，发展教育、科学和文化事业。

⑨加强社会主义思想道德建设，全面提高公民思想道德素质。

【典例探究】典例1.（2018-全国卷111）2018年春节，大型文化节目《经典咏留传》在中央电视台综合频道首播。

节目形式新颖，“和诗以歌”，增强了经典诗词的艺术感染力，深受观众喜爱。

山区孩子演唱《苔》的天籁之声感人至深，著名歌手演唱的《墨梅》获得网民广泛点赞……这反映传统文化的传承（）①要以开发创新为目的和归宿②既要不忘本来又要创新思路③要以满足群众需求为价值导向④以现代传播手段的运用为前提A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】C【解析】依题意，节目形式新颖，"和诗以歌”，增强了经典诗词的艺术感染力，深受观众喜爱。

这说明传统文化的传承要满足群众需求，要继承传统革故鼎新，②③符合题意。

文化传承的目的是推动社会实践的发展,①错误。

④夸大了现代传播手段的作用，不选。

【技巧点拨】本题主要考查文化传承的相关知识，考查考生解读材料信息，对所学知识的理解和运用能力。

《经典咏流传》的热播表明对待传统文化，我们既要继承传统，又要推陈出新，还要满足人民群众的需要。

第一部分专题17对立统一与创新思维

有关矛盾基本属性的常用观点 (1) 任何事物都包含着矛盾，矛盾双方既对立又统一，必须用一分为二的观点、全面的观点看问题，坚持两点论、两分法。
(2) 矛盾双方在一定条件下相互转化。这种转化可能是有利的，也可能是不利的，我们应当促进有利转化，防止不利转化。
(3) 同一以差别和对立为前提，斗争性寓于同一性之中，
结合材料，运用矛盾分析法，分析四川省建设共有精神家园的合理性。解析解答本题要根据材料信息，明确知识依据。四川省面对本市经济发展与文化发展的矛盾问题，想办法解决这一矛盾，可见坚持了矛盾的普遍性；立足本省实际，
借鉴国内外经验，坚持了矛盾普遍性与特殊性的辩证统
一；把经济建设作为工作重心，同消除事物之间的矛盾。(2013· 广东高考，35D)( ) 提示错误。矛盾具有客观性，不能消除矛盾。 (2)人与自然的矛盾既是客观的又是主观的。(2014· 新课标全国Ⅱ，23①)( 提示 ) 错误。矛盾具有普遍性和客观性，任何矛盾都不
以人的意志为转移。
入，资金管理执行双方法律，坚持共建、共管、共享、共
赢，共派师资和管理人员。日常运行以外方为主，既遵守
《孔子学院章程》，统一名称、统一标识，又充分尊重各
国首创精神和办学特色，因地制宜、灵活多样地开展汉语
教学和文化交流活动。孔子学院创办于2004年，旨在帮助
各国人民学习汉语，了解中华文化，推动世界各国文明交
见把握了主次矛盾，坚持了两点论与重点论的统一。
答案
(1) 承认矛盾，解决矛盾。正确认识四川文化建设
的现状，采取多种措施推进文化建设。 (2) 坚持两点论和重点论的统一。以经济发展为工作重心，加强文化建设，促进四川经济社会发展。 (3) 坚持矛盾普遍性和特殊性的统一，具体问题具体分析。借鉴国内外经验，立足四川实际，发展特色文化，建设文化强省。

专题练第17练空间几何体

第17练空间几何体1．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m 时，相应水面的面积为140.0 km 2；水位为海拔157.5 m 时，相应水面的面积为180.0 km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m 上升到157.5 m 时，增加的水量约为(7≈2.65)( ) A ．1.0×109 m 3 B ．1.2×109 m 3 C ．1.4×109 m 3D ．1.6×109 m 33．(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π4．(2021·全国甲卷)已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O －ABC 的体积为( ) A.212 B.312 C.24 D.345．(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B.233 C.324 D.326．(2022·新高考全国Ⅰ)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤18，814 B.⎣⎡⎦⎤274，814 C.⎣⎡⎦⎤274，643D ．[18,27]7．(2019·全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.8．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．9．(2022·哈尔滨模拟)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为( ) A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π10．(2022·洛阳模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别是棱AD ，DD 1的中点，则经过B ，P ，Q 三点的平面截正方体所得的截面的面积为( ) A ．3 2 B.3152 C.92 D.92211．(2022·九江模拟)正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O －DEF ，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为( )A ．2 3B ．4 3C ．2 6 D. 612．(2022·青海模拟)在四边形ABCD 中(如图1所示)，AB ＝AD ，∠ABD ＝45°，BC ＝BD ＝CD ＝2，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD (如图2所示)，使得∠A ′BC ＝90°，则四面体A ′BCD 外接球的表面积为( )A ．9πB ．8πC ．7πD ．6π13．(2022·合肥模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BB 1和D 1C 1的中点，则( ) A ．EF ⊥ACB ．三棱锥C 1－CEF 的体积为16C ．三棱锥C 1－CEF 外接球的表面积为4πD ．三棱锥C 1－CEF 外接球球心到平面C 1EF 的距离为2214．(多选)(2022·长沙模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱上、下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则( )A ．球与圆柱的表面积之比为1∶2B ．平面DEF 截得球的截面面积的最小值为165πC ．四面体CDEF 的体积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，323 D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE ＋PF 的取值范围为[2＋25，43] 15．(2022·黄山质检)已知水平放置的边长为23的等边△ABC ，其所在平面的上方有一动点P 满足两个条件：①三棱锥P －ABC 的体积为43；②三棱锥P －ABC 的外接球球心到底面ABC 的距离为2，则动点P 的轨迹长度为________．16．(2022·南京外国语学校模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝32，点P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 的球面上的点，点N 为B 1C 1上一点，2NB 1＝NC 1，DP ⊥BN ，则线段PC 长度的最大值为________．[考情分析] 高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积、球的组合体问题．常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大．一、空间几何体的截面问题核心提炼1．用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 2．确定截面的主要依据有 (1)平面的四个基本事实及推论． (2)直线和平面平行的判定和性质． (3)两个平面平行的性质． (4)球的截面的性质．练后反馈题目 5 8 10 15 正误错题整理：二、表面积与体积核心提炼1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： (1)圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； (2)圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )；(3)圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； (4)球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 球＝43πR 3.练后反馈题目 1 2 7 9 正误错题整理：三、多面体与球核心提炼多面体的外接球模型：(1)长方体的外接球直径为体对角线，则R ＝a 2＋b 2＋c 22；正方体的外接球半径为R ＝3a 2；正方体的内切球半径为r ＝a2.(2)柱体模型如图①，在三棱柱PB 1C 1－ABC 中，已知P A ⊥平面ABC ，设外接球半径为R ，球心为O ，△ABC的外接圆圆心为O 1，则R ＝OO 21＋O 1A 2＝⎝⎛⎭⎫P A 22＋r 2，其中r ＝O 1A 为△ABC 外接圆半径．(3)锥体模型如图②，在正三棱锥P －ABC 中，先求出高线长h ＝PO 1＝P A 2－r 2，在Rt △OO 1A 中，R 2＝OO 21＋r 2＝(h －R )2＋r 2，解方程求出R ，其中R 为外接球半径，r ＝O 1A为△ABC 外接圆半径，O 1为△ABC 的外接圆圆心． (4)正四面体(构造正方体)、对棱相等的三棱锥(构造长方体)如图③：正四面体D －A ′BC ′可构造正方体(所有面对角线相等)；如图④：对棱相等的三棱锥A －BCD 可构造长方体(对面的对角线相等)．练后反馈题目 3 4 6 11 12 13 14 16 正误错题整理：1．[T11补偿](2022·九江模拟)如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra等于( )A.22B.34 C ．2－ 2D.32(2－1) 2．[T12补偿](2022·乐山质检)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，三棱锥P －ABC 的体积为16，Q 为BC 的中点，则过点Q 的平面截球O 所得截面面积的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2，3π4 B.⎣⎡⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤π4，2π33．[T14补偿](多选)(2022·长沙模拟)香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是( )A ．AB ⊥DEB ．直线CD 与直线EF 所成的角为45°C ．该六面体的体积为223D ．该六面体内切球的表面积是32π274．[T13补偿](多选)(2022·郑州模拟)勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则( )A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为⎝⎛⎭⎫1－64a C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为14(2π－3)a 2D ．勒洛四面体的体积V ∈⎝⎛⎭⎫212a 3，68πa 35．[T12补偿](2022·潮州模拟)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥AD ，AB ＝BD ＝2，已知动点E 从点C 出发，沿外表面经过棱AD 上一点到点B 的最短距离为10，则该鳖臑的外接球的表面积为________．6．[T15补偿](2022·巴中模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BC ＝3，CC 1＝2，M 为CD 的中点，动点P 在侧面BCC 1B 1内，且∠APB ＝∠MPC ，则动点P 的轨迹长度为________．。

2022年中考数学真题-专题17 图形变换(平移、旋转、对称)(1)(全国通用解析版)

专题17图形变换（平移、旋转、对称）一．选择题（2022·湖南娄底）1. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．（2022·四川自贡）2. 剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形,∴A不符合题意；∵不是轴对称图形,∴B不符合题意；∵不是轴对称图形,∴C不符合题意；∵是轴对称图形,∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．（2022·山东泰安）3. 下列图形：其中轴对称图形的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形．【详解】从左到右依次对图形进行分析：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第2个图在水平方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第3个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；第4个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；因此，第1、2、4都是轴对称图形，共3个．故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴．（2022·江苏苏州）0,2，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按4. 如图，点A的坐标为()m，则m的值为（）逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为(),3A.【答案】C【解析】【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC BC AB==，可得BD=m=．OB=m=，即可解得3【详解】解：过C 作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥y 轴于E ，如图所示：∵CD ⊥x 轴，CE ⊥y 轴，∴∠CDO =∠CEO =∠DOE ＝90°，∴四边形EODC 是矩形，∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AC ，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∵A （0，2），C （m ，3），∴CE ＝m ＝OD ，CD ＝3，OA ＝2，∴AE ＝OE −OA ＝CD −OA ＝1，∴AC BC AB ===，在Rt △BCD 中，BD =在Rt △AOB 中，OB ==∵OB ＋BD ＝OD ＝m ，m =，化简变形得：3m 4−22m 2−25＝0，解得：3m =或3m =-（舍去），∴m=，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．（2022·浙江湖州）5. 如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】C【解析】【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．（2022·浙江嘉兴）6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得''''，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（）到正方形A B C DA. 1cmB. 2cmC. 1)cmD. －1)cm 【答案】D【解析】【分析】先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB-′求解即可．【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．（2022·湖南怀化）7. 如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选C．【点睛】本题考查了平移，正确找出平移对应点是求平移距离的关键．（2022·湖南邵阳）8. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A. 等边三角形B. 圆C. 长方形D. 正方形【答案】B【解析】【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．（2022·江苏连云港）9. 下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】A.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；B.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；C.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．（2022·四川遂宁）10. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）科克曲线笛卡尔心形线阿基米德螺旋线赵爽弦图A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．（2022·新疆）11. 平面直角坐标系中，点P (2，1)关于x 轴对称的点的坐标是（）A. ()2,1B. ()2,1-C. ()2,1-D. ()2,1--【答案】B【解析】【分析】直接利用关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出答案．【详解】解：点P （2，1）关于x 轴对称的点的坐标是（2，-1）．故选：B ．【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．（2022·天津） 12. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A ．不是轴对称图形，故本选项错误；B ．不是轴对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．（2022·天津）13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A. AB AN =B. AB NC ∥C. AMN ACN ∠=∠D. MN AC ⊥【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴△ABM ≌△ACN ， ∴AB =AC ，AM =AN ，∴AB 不一定等于AN ，故选项A 不符合题意； ∵△ABM ≌△ACN ，∴∠ACN =∠B ，而∠CAB 不一定等于∠B ，∴∠ACN 不一定等于∠CAB ，∴AB 与CN 不一定平行，故选项B 不符合题意； ∵△ABM ≌△ACN ，∴∠BAM =∠CAN ，∠ACN =∠B ，∴∠BAC =∠MAN ，∵AM =AN ，AB =AC ，∴△ABC 和△AMN 都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B =∠AMN ，∴∠AMN =∠ACN ，故选项C 符合题意；∵AM =AN ，而AC 不一定平分∠MAN ，∴AC 与MN 不一定垂直，故选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．（2022·江苏扬州）14. 如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∴ADE ABC ≌， E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故①正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故②正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC △△，CAE CDF ∴∠=∠，CDF BAD ∠=∠∴，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．（2022·四川南充）15. 如图，将直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转到AB C ''△，点B '恰好落在CA 的延长线上，3090∠=︒∠=︒，B C ，则BAC '∠为（）A. 90︒B. 60︒C. 45︒D. 30【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出BAC ∠的度数，由旋转可知BAC B AC ''∠=∠，在根据平角的定义求出BAC '∠的度数即可．【详解】∵3090∠=︒∠=︒，B C ，∴90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵由旋转可知60B A BAC C ''∠=︒∠=，∴618060860100C B A BA BA C C '''=︒-∠=︒-︒-︒=︒∠∠-，故答案选：B ．【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键．（2022·山东泰安）16. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，ABC ∆经过平移后得到111A B C ∆，若AC 上一点(1.2,1.4)P 平移后对应点为1P ，点1P 绕原点顺时针旋转180，对应点为2P ，则点2P 的坐标为（，A. (2.8,3.6)B. 2.8,6()3.--C. (3.8,2.6)D. ( 3.8, 2.6)--【答案】A【解析】【详解】分析：由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，再根据P 1与P 2关于原点对称，即可解决问题，详解，由题意将点P 向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P 1，∵P ，1.2，1.4，，∴P 1，，2.8，，3.6，，∵P 1与P 2关于原点对称，∴P 2，2.8，3.6，，故选A，点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（2022·湖北宜昌）17. 将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．（2022·湖南常德）18. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，点A 、B 的对应点分别是D ，E ，点F 是边AC 的中点，连接BF ，BE ，FD ．则下列结论错误的是（）A. BE BC =B. BF DE ∥，BF DE =C. 90DFC ∠=︒D. 3DG GF =【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可判断A ；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B ；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C ；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D ．【详解】A ．∵将，ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到，DEC ，∴∠BCE =∠ACD =60°，CB =CE ，∴△BCE 是等边三角形，∴BE =BC ，故A 正确；B ．，点F 是边AC 中点，，CF =BF =AF =12AC ，，，BCA =30°，，BA =12AC ，，BF =AB =AF =CF ，，，FCB =，FBC =30°，延长BF 交CE 于点H ，则∠BHE =∠HBC +∠BCH =90°，∴∠BHE =∠DEC =90°，∴BF //ED ，∵AB =DE ，∴BF =DE ，故B 正确．C ．∵BF ∥ED ，BF =DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BC =BE =DF ，∵AB =CF ， BC =DF ，AC =CD ，∴△ABC ≌△CFD ，∴=90DFC ABC ∠=∠︒，故C 正确；D ．∵∠ACB =30°， ∠BCE =60°，∴∠FCG =30°，∴FG =12CG ，∴CG =2FG ．∵∠DCE =∠CDG =30°，∴DG =CG ，∴DG =2FG ．故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．（2022·湖南常德） 19. 国际数学家大会每四，举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：A不是中心对称图形，故A错误；B是中心对称图形，故B正确；C不是中心对称图形，故C错误；D不是中心对称图形，故D错误；故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180︒后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．（2022·河北）20. 题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥，乙答：d＝1.6，丙答：d=）2A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整【答案】B【解析】【分析】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=，发现若有两个三角形，两三角形的AC 边关于A C '对称，分情况分析即可【详解】过点C 作CA BM '⊥于A '，在A M '上取A A BA ''''=∵∠B ＝45°，BC ＝2，CA BM '⊥∴BA C '是等腰直角三角形∴A C BA ''===∵A A BA ''''=∴2A C ''==若对于d 的一个数值，只能作出唯一一个△ABC通过观察得知：点A 在A '点时，只能作出唯一一个△ABC （点A 在对称轴上），此时d =的答案；点A 在A M ''射线上时，只能作出唯一一个△ABC （关于A C '对称的AC 不存在），此时2d ≥，即甲的答案，点A 在BA ''线段（不包括A '点和A ''点）上时，有两个△ABC （二者的AC 边关于A C '对称）；故选：B【点睛】本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于A C'对称（2022·山西）21. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．（2022·河南）22. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O∥轴，交y轴于点P．将，OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则重合，AB x第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）A. )1-B. (1,-C. ()1-D. (【答案】B【解析】【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴， ∴AP ＝1， AO ＝2，∠OP A ＝90°，∴OP∴A （1，第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，；第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1；∵将，OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，，故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．（2022·四川宜宾）23. 如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则2CE =+ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 【答案】B【解析】【分析】证明BAD CAE ≌，即可判断①，根据①可得ADB AEC ∠=∠，由180ADC AEC ∠+∠=︒可得,,,A D C E 四点共圆，进而可得DAC DEC ∠=∠，即可判断②，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，证明FAH FCE ∽，根据相似三角形的性质可得45CF AF =，即可判断③，将APC △绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，根据当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，可得四边形ADCE 是正方形，勾股定理求得DP ，根据CE AD AP PD ==+即可判断④．【详解】解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒， ,,AB AC AD AE BAD CAE ∴==∠=∠BAD CAE ∴△≌△BD CE ∴=故①正确；BAD CAE ≌ADB AEC ∴∠=∠180ADC AEC ∴∠+∠=︒,,,A D C E ∴四点共圆，CD CD =DAC DEC ∴∠=∠故②正确；如图，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，BAD CAE ≌,45,45ACE ABD ACB ∴∠=∠=︒∠=︒90DCE ∴∠=︒FC AH ∴∥2BD CD =，BD CE =1tan 2DC DEC CE ∴∠==,13CD BC = 设6BC a =，则2DC a =，132AG BC a ==，24EC DC a == 则32GD GC DC a a a =-=-=FC AH ∥1tan 2GD H GH ∴== 22GH GD a ∴==325AH AG GH a a a ∴=+=+=AH ，CE ，FAH FCE ∴∽CF CE AF AH∴= 4455CF a AF a ∴== 则45CF AF =；故③正确如图，将ABP 绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP '是等边三角形，PA PB PC PP P B PC B C '''+++∴'+=≥，当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，此时180********CPA APP '∠=-∠=︒-=︒︒︒，180********APB AP B AP P ∠=∠=︒-∠=︒-︒='''︒，360360*********BPC BPA APC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，此时120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，AC AB AB '==，AP AP '=，APC AP B ''∠=∠，AP B APC ''∴≌，PC P B PB ''∴==，60APP DPC '∠=∠=︒，DP ∴平分BPC ∠，PD BC ∴⊥，,,,A D C E 四点共圆，90AEC ADC ∴∠=∠=︒，又AD DC BD ==,BAD CAE ≌，AE EC AD DC ∴===，则四边形ADCE 是菱形，又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是正方形，9060150B AC B AP PAC P AP ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，则'B A BA AC ==，()1180152B ACB B AC '''∠=∠=︒-∠=︒， 30PCD ∠=︒，DC ∴=，DC AD =，2AP =，则)12AP AD DP DP =-==，1DP ∴==， 2AP =，3CE AD AP PD ∴==+=，故④不正确，故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．二．填空题（2022·云南）24. 点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，则点B 的坐标为______．【答案】（-1，5）【解析】【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点A （1，-5）关于原点的对称点为点B ，∴点B 的坐标为（-1，5）．故答案为：（-1，5）【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．（2022·湖南湘潭）25. 如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则∠=AEF _________．【答案】40°##40度【解析】【分析】根据入射角等于反射角，可得,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理求得40OED ∠=︒，进而即可求解．【详解】解：依题意，,CDB EDO DEO AEF ∠=∠∠=∠，∵120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，20CDB EDO ∴∠=∠=︒，∴18040OED ODE AOB ∠=-∠-∠=︒，∴40AEF DEO ∠=∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．（2022·浙江丽水）26. 一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是___________cm ．【答案】3【解析】【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FNDE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．（2022·河南）27. 如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．【答案】3π+【解析】【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2， AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移，90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯32π=+故答案为：32π+ 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．（2022·河南）28. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为______．【解析】【分析】连接CD ，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，分Q 点在线段CD 上和DC 的延长线上，且1CQ CP ==，勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图，连接CD ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==4AB ∴=，CD AD ⊥，122CD AB ∴==，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ==，211DQ CD CQ ∴=-=-=，如图，在Rt ADQ △中，AQ ===在Rt ADQ △中，2,3AD CD QD CD CQ ===+=AQ ∴===【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q 的位置是解题的关键．（2022·浙江金华）29. 如图，在Rt ABC 中，90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=．把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，连结CC '，则四边形AB C C ''的周长为_____cm ．【答案】8+【解析】【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵90,30,2cm ACB A BC ∠=︒∠=︒=，∴AB =2BC =4，∴∵把ABC 沿AB 方向平移1cm ，得到A B C '''，∴1CC '=，=4+1=5AB '， =2B C BC ''=，∴四边形的周长为：1528++=+故答案为：8+【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．（2022·四川德阳）30. 如图，直角三角形ABC 纸片中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 边上的中点，连接CD ，将ACD △沿CD 折叠，点A 落在点E 处，此时恰好有CE AB ⊥．若1CB =，那么CE =______．【解析】【分析】根据D 为AB 中点，得到AD =CD =BD ，即有，A =，DCA ，根据翻折的性质有，DCA =，DCE ，CE =AC ，再根据CE ，AB ，求得，A =，BCE ，即有，BCE =，ECD =，DCA =30°，则有，A =30°，在Rt △ACB 中，即可求出AC ，则问题得解．【详解】，，ACB =90°，，，A +，B =90°，，D 为AB 中点，，在直角三角形中有AD =CD =BD ，，，A =，DCA ，根据翻折的性质有，DCA =，DCE ，CE =AC ，，CE ，AB ，，，B +，BCE =90°，，，A +，B =90°，，，A =，BCE ，，，BCE =，ECD =，DCA ，，，BCE +，ECD +，DCA=，ACB =90°，，，BCE =，ECD =，DCA =30°，，A =30°，，在Rt △ACB 中，BC =1，则有13tan tan 30BC AC A ===∠，CE AC ==【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求出，BCE =，ECD =，DCA =30°是解答本题的关键．（2022·山东泰安）31. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是__________________．【答案】23π 【解析】【分析】连接OO ′，BO ′，根据旋转的性质得到AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒，推出△OAO ′是等边三角形，得到60AOO '∠=︒，因为∠AOB ＝120°，所以60O OB '∠=︒，则OO B '是等边三角形，得到120AO B '∠=︒，得到30O B B O BB ''''∠=∠=︒，90B BO '∠=︒，根据直角三角形的性质得24B O OB '==，根据勾股定理得B B '=，用B OB '△的面积减去扇形O OB '的面积即可得．【详解】解：如图所示，连接OO ′，BO ′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，∴AO AO '=，OA OB =，O B OB ''=，60OAO '∠=︒，120AOB AO B ''∠=∠=︒ ∴△OAO ′是等边三角形，∴60AOO '∠=︒，OO OA '=，∴点O '在，O 上，∵∠AOB ＝120°，∴60O OB '∠=︒，∴OO B '是等边三角形，∴120AO B '∠=︒，∵120AO B ''∠=︒，∴120B O B ''∠=︒， ∴11(180)(180120)3022O B B O BB B O B ''''''∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， ∴180180306090B BO OB B B OB '''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴24B O OB '==，在Rt B OB '中，根据勾股定理得，B B '==∴图中阴影部分的面积=2160222=223603B OB O OB S S ''⨯-=⨯⨯扇形ππ，故答案为：23π．【点睛】本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．（2022·湖南怀化）32. 已知点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，则a ﹣b =______．【答案】5【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a ，b 的值即可．【详解】∵点A （﹣2，b ）与点B （a ，3）关于原点对称，∴2a =，3b =-，∴()235a b -=--=故答案为：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．（2022·浙江台州）33. 如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【解析】【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．三．解答题（2022·湖南湘潭）34. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A _________，1B _________，1C _________（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）（2）2π【解析】【分析】（1）将，ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90º，OB=4，根据弧长公式即可计算求出．【小问1详解】解：将，ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到，A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）【小问2详解】解：由图知点B旋转到点1B的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，∴点B旋转到点1B的弧长=904 180π⨯⨯=2π【点睛】本题主要考查点的旋转变换和弧长公式，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和弧长公式．（2022·湖北武汉）35. 如图是由小正方形组成的96⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E 旋转180︒得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG BC∥；（2）在图（2）中，P是边AB上一点，BACα∠=．先将AB绕点A逆时针旋转。

专题17 整式的除法-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题3.4 整式的除法-重难点题型【浙教版】【例1】（2021春•肥城市期末）下列计算结果错误的是（） A ．﹣6x 2y 3÷（2xy 2）＝﹣3xyB ．（﹣xy 2）3÷（﹣x 2y ）＝xy 5C ．（﹣2x 2y 2）3÷（﹣xy ）3＝﹣2x 3y 3D ．﹣（﹣a 3b ）2÷（﹣a 2b 2）＝a 4【变式1-1】（2020秋•镇原县期末）如果一个单项式与﹣5ab 的积为−58a 2bc ，则这个单项式为（） A ．18a 2cB ．18acC ．258a 3b 2c D ．258ac【变式1-2】（2021秋•新野县期中）已知6a 2⋅(−b 3)2÷()1=23ab 4中的据号内应填入（） A ．9ab 2B ．﹣9ab 2C ．9a 3b 6D ．9ab 3【变式1-3】（2021春•田东县期中）计算4a 3m +1b ÷（﹣8a 2m ﹣1）的结果为（）A ．−12a m+2bB ．12a m bC ．−12a m bD ．−12a m+211C ．6a 4﹣2a 3+a 2D ．6a 2﹣2a【变式2-1】（2021秋•阆中市校级期中）(x 6+2x 4−4x 2)÷M =−12x 4−x 2+2中，M 为（） A ．12x 2B ．−12x 2C ．﹣2x 2D ．2x 2【变式2-2】（2021秋•淅川县期中）已知M •（﹣2x 2）＝8x 5﹣18x 3y 3﹣2x 2，则M ＝（） A ．﹣4x 3﹣9xy 3﹣1 B ．﹣4x 3+9xy 3+1C ．﹣4x 3+9xy 3D ．4x 3+9xy 3﹣1【变式2-3】（2020秋•佳木斯期末）若一个多项式与﹣2x 2的积为﹣2x 5+4x 3﹣x 2，则这个多项式为．【题型3 由整式除法法则求字母的值】【例3】（2021春•铁岭月考）x m y n ÷x 2y 3＝xy ，则有（） A ．m ＝2，n ＝6B ．m ＝3，n ＝4C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝3，n ＝5【变式3-1】（2021春•宁波期末）已知28a 2b m ÷4a n b 2＝7b 2，那么m 、n 的值为（） A ．m ＝4，n ＝2B ．m ＝4，n ＝1C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝2，n ＝2【变式3-2】（2021秋•十堰期中）已知8a 3b m ÷28a n +1b 2=27b 2，则m ，n 的值分别为（） A ．m ＝4，n ＝3B ．m ＝4，n ＝2C ．m ＝2，n ＝2D ．m ＝2，n ＝3【变式3-3】（2021春•贺兰县期中）如果m(x a y b )3÷(2x 3y 2)2=18x 3y 2，求m ，a ，b 的值．【题型4 整式除法中错看问题】【例4】（2021秋•香洲区期末）已知A ＝2x +6，B 是多项式，在计算B ﹣A 时，小海同学把B ﹣A 错看成了B ÷A ，结果得x ，那么B ﹣A 的正确结果为（） A ．2x 2+4x ﹣6B ．3x +6C ．2x 2+6xD ．2x 2+4x +6【变式4-1】（2021秋•宝山区期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘（x ﹣2y ）错抄成除以（x ﹣2y ），结果得到3x ，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【变式4-2】（2021秋•原阳县月考）已知A ＝2x ，B 是多项式，计算B +A 时，某同学把B +A 误写成B ÷A ，结果得x 2+12x ，试求：（1）B +A 的值；（2）A 2−12B 的值．【变式4-3】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x 4y 3﹣+7x 2y 2）÷（﹣【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021秋•岚皋县期末）长方形的面积为2a 2﹣4ab +2a ，长为2a ，则它的宽为（） A ．2a 2﹣4abB ．a ﹣2bC ．a ﹣2b +1D ．2a ﹣2b +1【变式5-1】（2021秋•海淀区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a +b ），则宽为（）A ．12B ．1C ．12(a +b)D ．a +b【变式5-2】（2021秋•兰考县期末）一个三角形的面积为3xy ﹣4y ，一边长是2y ，则这条边上的高为．【变式5-3】（2021春•西湖区校级月考）如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为a ，则高度应为．【题型6 竖式计算多项式除以多项式】【例6】（2021秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）； ②用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算2x 5+3x 3+5x 2﹣2x +10除以x 2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．所以2x 5+3x 3+5x 2﹣2x +10除以x 2+1的商式为2x 3+x +5，余式为﹣3x +5．（1）计算（2x 3﹣3x 2+4x ﹣5）÷（x +2）的商式为，余式为；（2）2x 4﹣4x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x ﹣2整除，求a 、b 的值．【变式6-1】（2021秋•鼓楼区校级期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x 4﹣7x 3﹣x 2﹣1）÷（2x +1），可用竖式除法如图：所以6x 4﹣7x 3﹣x 2﹣1除以2x +1，商式为3x 3﹣5x 2+2x ﹣1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x 3﹣4x 2+7x ﹣5）÷（x ﹣2）的商是，余式是；（2）x 3﹣x 2+ax +b 能被x 2+2x +2整除，求a ，b 的值．【变式6-2】（2021秋•椒江区校级期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x +2+6x 2）÷（2x +1），仿照672÷21计算如下：因此（7x +2+6x 2）÷（2x +1）＝3x +2．（1）阅读上述材料后，试判断x 3﹣x 2﹣5x ﹣3能否被x +1整除，说明理由．（2）利用上述方法解决：若多项式2x 4﹣3x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x ﹣2整除，求ab 的值．【变式6-3】（2021秋•九龙坡区期末）我们知道整数a除以整数b（其中a＞b＞0），可以用竖式计算，例如计算68÷13可以用整式除法如图：所以68÷13＝5…3．类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）．可用整式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0根据阅读材料，请回答下列问题：（1）（x3﹣2x2﹣2x﹣3）÷（x﹣3）＝．（2）（6x3+14x2+23）÷（3x2﹣2x+4），商式为，余式为．（3）若关于x的多项式2x3+ax2+bx﹣3能被三项式x2﹣x+3整除，且a，b均为整数，求满足以上条件的a，b 的值及商式．。

会计知识点专题大全17.专题十七长期股权投资-会计

专题十七：长期股权投资与企业合并长期股权投资的初始计量掌握考点太虚啦，吃透“考试套路”才是王道！套路讲师：张丽丽套路识别1考核不形成控股合并时长期股权投资的初始计量2考核一步到位形成同一控股合并的初始计量3考核一步到位形成非同一控股合并的初始计量考核不形成控股合并时期股权投资的初始计量01考试套路套路研习1.不形成控股合并下的长期股权投资中，初始投资成本=付出对价的公允价值+买入长期股权投资的相关费用，初始投资成本是企业购入长期股权投资时付出的“真金白银”，与应享有被投资方可辨认净资产公允价值份额无关。

2.应享有被投资方可辨认净资产公允价值份额可能会影响长期股权投资的入账价值，具体表现为长期股权投资的入账价值按照初始投资成本与应享有被投资方可辨认净资产公允价值份额两者中的孰高者入账。

3.若发行股票买入长期股权投资，则发行股票的手续费等冲减溢价收入，不影响长期股权投资的初始投资成本。

考核一步到位形成同一控股合并的初始计量02考试套路1.一步到位形成同一控股合并时，初始投资成本=被合并方所有者权益在最终控制方合并财务报表中的账面价值的份额+商誉（若有的话），具体计算步骤如下：（1）计算账面价值被合并方所有者权益在最终控制方合并财务报表中的账面价值=按被合并方第一次被购买时净资产公允价值持续计算后的公允价值（2）计算商誉商誉=合并成本-应享有被购买方可辨认净资产公允价值的份额（3）计算初始投资成本初始投资成本=（1）中金额×控股比例+（2）中100%商誉金额2.若无法计算被合并方所有者权益在最终控制方合并财务报表中的账面价值，则直接使用被合并方在合并日当天个别财务报表中净资产的账面价值确认初始投资成本。

（例题5 单选题･真题）20X7年1月1日，X公司的子公司甲公司以现金1200万元购入X公司所持有乙公司的70%股权；乙公司是X公司在20X4年1月1日以银行存款1500万元从本集团外部购入的全资子公司，购买日，乙公司可辨认净资产的公允价值为1250万元，账面价值为1050万元；20X4年1月1日到20X7年1月1日期间，乙公司按照购买日净资产公允价值持续计算实现的净利润为500万元；按照购买日净资产账面价值持续计算实现的净利润为400万元，无其他所有者权益变动。

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点问题

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点问题专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其初步应用【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭，又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=．【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=．注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-，双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭，因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例（一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110x C y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________．（二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.（三）角度问题4．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．（四）公共点处切线有关问题5．已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为_________________．（五）求离心率的值例5．（2022·云南云南·高二月考）6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12F F 、，点P 是两曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．7．若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=在交点处正交，则椭圆22214x y b+=的离心率为__________．不难看出，有了以上性质之后，在解决有关共焦点的椭圆与双曲线的相关问题时，处理起来往往会比较简便，真正达到“少算、巧算”的目的．当然在具体的题目中，以上性质是否有用，取决于相应的题目条件．在教学过程中我们可以适当引导学生作出相应的归纳总结，如本文中由于经常出现共焦点的椭圆与双曲线的相关问题，我们不妨将其进行有效地研究与归纳总结，帮助学生提高计算的准确性与方法选择的恰当性，从而高效地解决问题．（五）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题（六）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题综上可知，共焦点的椭圆与双曲线一般有如下几类题型：一是求两离心率之积的取值范围或最值问题；二是求两离心率的倒数之和的最大值问题．不论是哪种题型，一般先由结论4或结论5得出12,e e 的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求12e e 的取值范围或最值问题，一般可考虑均值不等式、三角换元、消元等方法处理；若求12u ve e +（,u v 为正常数）的最大值，一般可考虑柯西不等式或三角换元等方法处理．8．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则2212212()e e e e +的值为A ．12B ．1C ．2D ．不确定9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且122πFPF 3∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e .则221231(e e += ) A ．4B．C ．2 D ．310．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（） AB ．12CD例4．（2021·新江宁这育·高二期末）11．已知12,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且1223F PF π∠=，若椭圆1C 离心率记为1e ，双曲线2C 离心率记为2e ，则222127e e +的最小值为（） A ．25B ．100C ．9D ．36例5．（2021·全国高三专题练习）12．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为________________________．例6．（2021·河南郑州市·高三一模（文））13．已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（） A ．65BCD例7．（2021·全国高二课时练习）14．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点为P ，且123F PF π∠=，若椭圆的离心率___________. 例8．（2021·浙江绍兴市·高二期末）15．已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且1223F PF π∠=，若椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的最小值为（）A ．1BCD 例9．（2021·陕西渭南市，高二期末（理））16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是AB C D ．2自我检测（2014·湖北卷）17．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A B C ．3 D ．218．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，与双曲线()222210,0x y m n m n -=>>具有相同焦点F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝3π，则2212e e +的最小值是AB ．2CD 19．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（）A ．3B ．92C ．4D ．53（2021·江西南昌市·（理））20．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A ．12B C ．1 D （2021·江苏徐州市高二月考）21．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若(2e ∈，则1e 的取值范围是（）A．⎝⎭B．⎝⎭C．⎝⎭D．⎝⎭（2021·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））22．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（） A ．32BCD ．1（2021·江西高三其他模拟（文））23．已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e ，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（）ABC ．2D（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三开学考试（理））24．已知椭圆与双曲线有公共焦点，1F ，2F ，1F 为左焦点，2F 为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且124F PF π∠=，设1e ，2e 分别为椭圆双曲线离心率，则1211e e +的最大值为 AB．C．D．（2021·江苏省前黄高级中学高二期末）25．1F ，2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，P 为曲线1C ，2C 的一个公共点，若123F PF π∠=，且22e ⎤∈⎦，则1e ∈___________. （2021·天津静海区·高二期中）26．已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12F F ，，M 为1C 与2C 的一个交点，12MF MF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若212e e =，则1e =_______．（2021·江苏省天一中学高三一模）27．设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若213e e =，则1e =______________. （2021·江苏省如皋中学高二月考（文））28．设P 为有公共焦点12F F 、的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，若椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，则22129e e +的最小值为_________.（2019．湖北（理））29．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是__________．（2021·浙江嘉兴市·高二月考（理））30．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于 A ．13B ．14C ．19D ．35（2021·江苏泰州市·泰州中学高二开学考试）31．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 使两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，若椭圆离心率1e =双曲线2C 的离心率2e =（） AB ．2 CD ．3（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）32．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e 的最大值为（） A．3BC．D．（2021·全国高三专题练习（理））33．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线()2211221110,0x y a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是两条曲线的一个交点，122F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，122e e ，则2212e e +=__________.（2021·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则A ．222212cos sin 1e e θθ+=B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=（2021·陕西汉中市·高三月考（理））35．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 张的角为123F PF π∠=.椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则 A ．221231144e e += B ．221213144e e += C ．22124413e e +=D ．22214413e e +=参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =，联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=，故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点，设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 5．54##1.25【分析】依题意，注意到点94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆221259x y +=上，由此得到椭圆在点P 处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点P 处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点P 处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．【详解】根据结论6，由题意得椭圆221259x y +=在点94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为4912595x y +=⨯，即45250x y +-=，该直线的斜率为45-，由结论5得知，该双曲线在点P 处的切线的斜率为54．故答案为：54.6【分析】设12,PF s PF t ==，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得,s t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值．【详解】设1212,,2PF s PF t F F c ===，P 为第一象限的交点，设椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，由椭圆和双曲线的定义可得22s t a s t m +=⎧⎨-=⎩，解得s a mt a m =+⎧⎨=-⎩，在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，由余弦定理可得，()22222222242cos223c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由双曲线为等轴双曲线，所以2e1e =7【分析】设椭圆与双曲线的交点为00(,)P x y ，联立两曲线方程解得00,x y 的值，再写出两曲线在P 的切线方程及斜率，由121k k =-解出b 的值，进而可求椭圆的离心率. 【详解】解：设椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=的交点为00(,)P x y ，解方程组2200222001412x y bx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，得220222024422b x b b y b ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ，椭圆()2221024x y b b +=<<在P 处的切线方程为00214x x y y b +=，斜率20104x b k y =-；双曲线2212x y -=在P 处的切线方程为0012x x y y -=，斜率0202x k y =；因为椭圆()2221024x y b b +=<<与双曲线2212x y -=在交点处正交，所以2001200142x b x k k y y =-⋅=-，所以222008b x y =，即2222244822b b b b b +⋅=⋅++，解得1b =. 所以椭圆22214x y b+=的离心率c e a ===.8．C【分析】根据题意，设它们共同的焦距为2c 、椭圆的长轴长2a 、双曲线的实轴长为2m ，由椭圆和双曲线的定义及勾弦定理建立关于a 、c 、m 的方程，联解可得a 2+m 2=2c 2，再根据离心率的定义求解．【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长2a ，双曲线的实轴长为2m ，设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|﹣|PF 2|=2m ∠ 由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ∠ 又∠120PF PF ⋅=，∠12PF PF ⊥，可得∠F 1PF 2=900，故|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2∠，∠平方+∠平方，得|PF 1|2+|PF 2|2=2a 2+2m 2∠将∠代入∠，化简得a 2+m 2=2c 2，即2222112c c a m+=，可得2212112e e +=，所以()2212212e e e e +=2212112e e +=. 故选：C 【点睛】9．A【分析】设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长a 2，焦距2c ．结合椭圆与双曲线的定义,得112PF a a =+，212PF a a =- ,在∠F 1PF 2中,根据余弦定理可得到12,a a 与c 的关系式,变形可得221231e e +的值. 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1212PF PF a +=，1222PF PF a -=，∠112PF a a =+，212PF a a =-，设122F F c =，122π3F PF ∠=，则在12PF F 中由余弦定理得，()()()()222121212122π42cos3c a a a a a a a a =++--+-， ∠化简得2221234a a c +=，该式可变成2212314e e +=．故选A ．【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c 的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c 的关系式求解. 10．A【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c ，2222111x y a b -=，c =根据123F PF π∠=，利用余弦定理得到2221340a a c +-=，进而得到2221314e e +=，再利用基本不等式求解.【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c 设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∠1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos 322m n c mn π+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-． ∠2221340a a c +-=，∠2221314e e +=，∠4≥121e e ≤1e =2e =时取等号．故选：A ． 11．A【解析】由椭圆与双曲线的定义得记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=，用余弦定理得出,m n 的关系，代入和与差后得12,e e 的关系式，然后用基本不等式求得最小值．【详解】记12,PF m PF n ==，则2m n a +=（椭圆长轴长），2x y a '-=（双曲线的实轴长），又由余弦定理得2224m n mn c ++=，所以22231()()444m n m n c ++-=，即22234a a c '+=，变形为2212314e e +=，所以22222212121222221222273131127()(27)(82)2544e e e e e e e e e e +=++=++≥，当且仅当22122222273e e e e =，即213e e =时等号成立．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的离心率，解题关键是掌握两个轴线的定义，在椭圆中，122MF MF a +=，在双曲线中122MF MF a '-=，不能混淆．12．7⎡⎢⎣ 【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得1212MF MF a +=，1221122MF MF a MF a a -=⇒=+，212MF a a =-，因为1290F MF ∠=︒，所以()()22212124a a a a c ++-=，222122a a c +=，2212112e e +=，因为134e ⎡∈⎢⎣⎦，2198,169e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，211916,89e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222111272,98e e ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则2e ∈⎣⎦，因为22a b >，221b a <，由22c e a ==<21e <<2e ∈⎣．故答案为：⎣. 13．B【解析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的c ，利用勾股定理和椭圆的定义求得12AF AF -得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．【详解】易知椭圆221:14x C y +=的焦点坐标为(，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则c记12,AF m AF n ==，由A在椭圆上有2224x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∠22222()2()()21248x y x y x y -=+-+=⨯-=，即2a x y =-=a = ∠双曲线离心率为c e a ===．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距c 和半实轴长a ，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是122PF PF a +=，双曲线中是122PF PF a -=．14【解析】设点P 为第一象限内的点，设椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距为2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出2221234a a c +=，进而可得出2221314e e +=，结合1e =2e 的值，即可得解. 【详解】设椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距为2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，不妨设P 为第一象限的点，在椭圆中：1212+=PF PF a ∠，在双曲线中：1222-=PF PF a ∠，联立∠∠解得，112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12PF F △中由余弦定理得：()22212122+2cos3c PF PF PF PF π=-⋅，即()()()()222121212121422c a a a a a a a a =++--+-⋅即()()2222222121212423c a a a a a a =+--=+，即22122234a a c c =+，所以，2221314e e +=，因为椭圆的离心率1e =24e =，【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 15．D【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，不妨设点P 在第一象限，然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ，再利用余弦定理列等式，转化为离心率的等式后，根据基本不等式可求得. 【详解】如图所示：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，不妨设点P 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得， 121||||2PF PF a += ，122||||2PF PF a -=，所以112||PF a a =+，212||PF a a =-，设12||2F F c =，1223F PF π∠=，在12PF F △中，由余弦定理得2221212121224()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-⨯，化简可得：2221243c a a =+，所以222212314c c a a =+，即2212314e e +=，由221212314e e =+≥12e e ⋅≥. 故选：D 16．A【分析】设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为a ，根据余弦定理可得2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11c a e =．双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，ce a =，c a e=，设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c = ()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=，解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A ．【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目. 17．A【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设1122122PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ，12,3F PF π∠=∴由余弦定理可得2221212423c r r r r cosπ=+-（）（），∠在椭圆中，∠化简为即2212443c a r r =-，即122213114r r c e -＝，②在双曲线中，∠化简为即221244c a r r =+，即12222114r r c e -+＝，∠ 联立∠∠得，2212431e e +=，由柯西不等式得22212121111331e e e ⎛⎛⎫⎛⎫++≥⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（21211443e e ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，即1211e e +≤=12e e A 考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理 18．A【分析】首先根据椭圆与双曲线的定义，得出1PF 与2PF 所满足的关系，列出式子，求得边长，之后借助于余弦定理，求得22234a m c +=，之后应用椭圆的离心率与双曲线的离心率的式子，化简应用基本不等式求得最小值.【详解】根据题意，可知12122,2+=-=PF PF a PF PF m ，解得12,PF a m PF a m ，根据余弦定理，可知222(2)()()2()()cos 60c a m a m a m a m =++--+-，整理得22234a m c +=，所以222222221222223344c c a m a m e e a m a m +++=+=+2222131()14m a a m =++≥=，故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，椭圆和双曲线的离心率，基本不等式求最小值的问题，正确理解知识点是正确解题的关键. 19．B【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出22221222PF PF a m +=+，120PF PF ⋅=可得12PF PF ⊥，得222124PF PF c += ，就得到了,,a m c 的关系，最后利用基本不等式求得最小值. 【详解】解：由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义122PF PF m -=①，由椭圆的定义122PF PF a +=②，又120PF PF ⋅=，故222124PF PF c +=③，22+①②得22221222PF PF a m +=+④，将④代入③得2222a m c +=，∠2222221222224525942222c c m a e e a m a m +=+=++≥+．故选：B ． 20．B【分析】设P 为第一象限点，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，根据双曲线的124=，再根据基本不等式求解最值即可. 【详解】设P 为第一象限点，椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩112212,PF a a PF a a ⇒=+=- 222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒((22211124224c a a =+=12≥=⇒12e e . 故选：B. 21．D【解析】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,焦点坐标为(,0)c ±,由椭圆与双曲线的定义和余弦定理,可得2212314e e =-,再由2e ∈求1e 的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a , 焦点坐标为(,0)c ±,不妨设P 为第一象限的点,由椭圆与双曲线的定义得1212PF PF a +=,∠,1222PF PF a -=,∠, 由余弦定理得22212124PF PF PF PF c ⋅++=,∠联立∠∠∠得2221234a a c +=,由11c e a =,22ce a =,得2212314e e +=, ∴2212314e e =-,2e ∈,∴22111(,)74e ∈,则21315(4e ∈,27)7, ∴2115(4e ∈,9)7,217(9e ∈,4)5, 又1(0,1)e ∈,1e ∴∈. 故选:D.【点睛】本题考查椭圆､双曲线的离心率的范围,考查余弦定理和定义法的运用,需要一定的计算能力,属于中档题. 22．B【分析】首先设椭圆的方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为2222221x y a b -=22(0,0)a b >>，点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，从而得到112=+PF a a ，212=-PF a a ，利用余弦定理得到2221234a a c +=，从而得到2221314e e +=，再利用基本不等式即可得到答案。

[数学]-专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型(原版)

专题17 特殊平行四边形中最常考的五种几何模型（原卷版）类型一对角互补模型1．（2022春•江岸区校级月考）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长相等．OA1与OC1分别交AB，BC于点E，F．（1）求证：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，请直接写出四边形EBFO的面积为（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的长．2．（2022•隆昌市校级三模）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．类型二将军饮马模型（1）两定一动模型3．（2020春•洛阳期末）如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16√2C．20D．4√174．（2019•霍邱县二模）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值是．5．（2021春•红安县期中）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．（2）两动一定模型6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分别是线段AC，AB上的动点，PE+PB的最小值为（）A．1.5B．√2C．2D．√37．（2022春•合肥期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．√3C．2D．√3+1（3）两动两定模型8．（如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A(3，0)，C(0，2)，点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF＝1，若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，则四边形MNFE的周长最小值是．（4）造桥选址模型9．如图，已知菱形ABCD的边长为10，E为AB中点，对角线BD上有两个动点P，Q总保持PQ＝2，若BD＝16，则四边形AEPQ的周长最小值为（）A．16B．21C．7+√85D．7+√61类型三十字架模型10．（2021春•淮南期中）数学活动：探究正方形中的“十字架”①猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：．②探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由．③应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为2√5．11．（2022•新化一模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，请类比（2），求DE的长．类型四一线三直角模型12．（2021春•禹州市期末）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB上的点，且CE＝BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG、FC．（1）判断：FG与CE的位置关系是，BE、CD、FG之间的数量关系为．（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E、F分别是边BC、AB延长线上的点，正方形ABCD的边长为12，GE＝13，其他条件不变，请直接写出四边形FGEB的面积．类型五半角模型13．（2022春•南岗区期末）问题解决：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，连接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求证：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求线段AE的长．类比迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，对角线AC平分∠BAD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＞AF，连接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=20√33，EF＝7，求线段AE的长．14．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形；（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．15．（2021秋•交口县期末）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样解决的：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，再证明△GAF≌△EAF，可得结论．（1）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG 与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2＝DE2始终成立，请说明理由．。

专题17《机械运动》单元的v(s)-t图像问题

1. 一辆汽车在平直的公路上做直线运动，下列s-t 图象中能反映汽车做匀速运动的是( )【答案】A【解析】当汽车做匀速直线运动时，路程随着时间会均匀增加，在s-t 图象中表现为一条倾斜的直线，故选A 。

2. （2023上海）甲车从P 出发、乙车从Q 点出发，甲乙相向而行；乙比甲早出发1s ，甲到Q 点时，乙离P 点1m ，求此时乙到Q 的距离（）A. 可能为2米B. 可能为4米C. 一定为8米D. 一定为6米【答案】B 【解析】由图像可知，甲的速度15m 3m /s 5ss v t ===甲甲甲乙的速度20m 2m /s 10ss v t ===乙乙乙设PQ 的距离为s ，甲到Q 点时，乙还未到达P 点，且离P 点1m ，则1m 1s 3m /s 2m /ss s -+= 解得；s=9m则此时乙到Q 的距离´1m 9m 1m 8m s s =-=-=当甲到Q 点时，乙已经过P 点，且离P 点1m ，则1m 1s 3m /s 2m /ss s ++=解得：s=3m则此时乙到Q 的距离''s 1m 4m s =+=故此时乙到Q 的距离可能是4m ，也可能为8m ，故ACD 不符合题意，B 符合题意。

故选B 。

3. 甲、乙、丙三辆小车同时、同地向东运动，它们运动的图象如图所示，由图象可知：（1）甲车的速度是 m/s ；（2）若以乙车为参照物，丙车向（选填“东”或“西”）做直线运动；（3）经过5s ，跑在最前面的小车是车，它距后面的车的距离是 m 。

【答案】（1）4；（2）西；（3）乙；10。

【解析】（1）左边图象是s-t 图象，是一条过原点的射线，路程和时间成正比，路程和时间的比值是一个定值，则甲车的速度v 甲=s/t=4m/s ；（2）右边图象是v-t 图象，速度不随时间的变化而变化，是一个定值，乙的速度大小v 乙=6m/s ；丙的速度v 丙=4m/s ；已知乙、丙同时、同地向东运动，由于乙车的速度大于丙车的速度，所以若以乙车为参照物，丙车向相反的方向运动，即向西运动；（3）甲、乙、丙三辆小车同时、同地向东运动，v 甲=4m/s 、v 乙=6m/s 、v 丙=4m/s ；由s=vt 可得经过5s 后，通过的路程分别为s 甲=20m 、s 乙=30m 、s 丙=20m ；所以，跑在最前面的小车是乙车，它距后面的车（甲、丙）的距离是10m 。

专题17 四大平衡常数及应用

专题17 Kw、Ka(或Kb)、Kh、Ksp四大平衡常数及应用
2020年12月10日星期四5时33分5秒
1. Kw、Ka(或Kb)、Kh的应用 (1)表达式水的离子积常数Kw:H2O⇌H＋＋OH－ Kw＝c(H＋)·c(OH－) 弱电解质电离平衡常数Ka(或Kb):HF⇌H＋＋F－
盐的水解平衡常数Kh:CH3COO－＋H2O⇌CH3COOH＋OH－
(2)相关规律应用 ①Qc与K的关。二者表达式相同:
若Qc<K，平衡正向移动；若Qc＝K，平衡不移动；若Qc>K，平衡逆向移动。
②平衡常数都只与温度有关，温度不变，平衡常数不变。升高温度，Ka、Kb、Kw、Kh均增大。
③Ka、Kh、Kw三者的关系式为:
■对点练习 1．升高温度，下列数据不一定增大的是( ) A．化学反应速率v B．水的离子积常数Kw C．化学平衡常数K D．弱酸的电离平衡常数Ka
■对点练习
1．室温时，向含有 AgCl 和 AgBr 固体的悬浊液中加入少量 NaBr 固体，
下列各项中增大的是( ) A．c(Ag＋) C．c(Cl－)
cCl－ B.cBr－
cAg＋·cBr－ D. cCl－
C [向含有 AgCl 和 AgBr 固体的悬浊液中加入少量 NaBr 固体，溴离子浓度增大，使 AgBr 的溶解平衡逆向移动，c(Ag＋)减小，A 错误；B 项的比例式上下同乘 c(Ag＋)，则转化为溶度积常数之比，溶度积常数只与温度有关，B 错误；c(Ag＋)减小，使 AgCl 的溶解平衡正向移动，c(Cl－)增大，C 正确； c(Ag＋)·c(Br－)不变，c(Cl－)增大，D 项比值减小，错误。]
Ksp＝cm(An＋)·cn(Bm－)
(2)．影响Ksp大小的因素对于确定的物质来说，Ksp只与温度有关；一般情况下，

专题17 地震+水灾(热点押题)-【高频热点】2024年高考英语话题写作通关必备攻略含答案

专题17 地震+水灾【热点押题】1．阅读下面材料，根据其内容和所给段落开头语续写两段，使之构成一篇完整的短文。

I woke up to the sound of rumbling (隆隆声). At first, I thought it was thunder, but then I felt the ground shake beneath me. I sat up in bed, my heart pounding in my chest. It took a few moments for me to realize what was happening — an earthquake. I had always heard stories about earthquakes, but I had never experienced one myself. I knew that I needed to act fast to ensure my survival.The room was shaking violently, and I struggled to keep my balance. I quickly got out of bed and tried to make my way to the door. I stumbled and fell a few times, but I managed to make it to the door and open it.As I stepped outside, I met with chaos. The ground was still shaking, and I could hear the sound of buildings collapsing in the distance. People were running in all directions, screaming and crying. I knew that I needed to find a safe place to take cover.I remembered reading that doorways were one of the safest places during an earthquake, so I made my way to the nearest doorway and waited there. The ground continued to shake, and I had never felt so scared in my life.After what seemed like an eternity (永恒), the shaking finally stopped. I cautiously stepped out of the doorway, looking around at the destruction that the earthquake had caused.Buildings had crumbled to the ground, and fires were burning in the distance. I remembered that I had a survival kit in my car, so I made my way to the parking lot.When I got there, I saw that my car had been crushed by debris (碎片) from a nearby building. I realized that I was on my own. I knew that I needed to stay calm and think rationally. I looked around and saw a group of people huddled together across the street. I made my way over to them, and they welcomed me into their group.注意：1．续写词数应为150个左右；2．请按如下格式在相应位置作答。