遇角平分线常用辅助线
2 角平分线中作辅助线的四种常用方法
∠FAB＝∠DCB， 在△ABF 和△CBD 中，AB＝CB，
∠ABF＝∠CBD＝90°，
∴△ABF≌△CBD(ASA)．∴AF＝CD. ∵AE＝12CD，∴AE＝12AF＝EF.
AE＝FE， 在△ACE 和△FCE 中，∠AEC＝∠FEC＝90°，
解：．能在 AB 上确定一点 E，使△BDE 的周长等于 AB 的
长，即过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则点 E 就是所要 确定的点(如图)． 理由：∵AD 平分∠CAB， CD⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE. 在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，ADDC＝ ＝ADDE， ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE.
∵AC＝BC，
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE
＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.
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方法 2 作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分 线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动， 两直角边分别与OA，OB交于点 C，D．求证：PC＝PD．
CE＝CE， CE. 又∵DM⊥AC，DB⊥BC， ∴DM＝DB＝8 cm. ∴点D到AC的距离为8 cm.
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方法 4 截取作对称图形法 4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是
△ADB和△ADC的角平分线．求证：BE＋ CF>EF.
证明： 如图，在AD上截取DH，使DH＝BD， 连接EH，FH. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝HD. ∵DE平分∠ADB， ∴∠BDE＝∠HDE. 又∵DE＝DE，
教师用：全等角形问题中常见的8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线D C BAED F CB A（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
初中几何常用辅助线做法
常用辅助线做法➢考点考向1. 与角平分线有关的辅助线2. 与线段长度相关的辅助线3. 与等腰、等边三角形相关的辅助线4. 与中点相关的辅助线5. 构造一线三垂直（等角）6. 等面积法常见辅助线的作法总结1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)构造等腰三角形或作等腰三角形的高利用“三线合一”性质。
7)作三角形的中位线。
8)引平行线构造全等三角形。
9）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）10）构造三垂直模型。
✧考点一：与角平分线有关的辅助线（1）可向两边作垂线。
（2）可构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形【例1】已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．✧考点二：与线段长度有关的辅助线（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点DC B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆EDCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°PQCBA∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
与中点和角平分线相关的辅助线
一、【角平分线常见辅助线】1. 角平分线＋斜线：截长补短2. 角平分线＋角平分线垂线：补形法（构造法）3. 角平分线＋一边垂线：作另一边垂线4. 图中有角平分线，可向两边作垂线1.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，若AB ＝13cm ，AC ＝10cm ，DE ＝3cm ，求△ACD 的面积.2．如图，BD 是∠ABC 的平分线，BC ＞A B . （1）若∠A ＋∠C ＝180°，求证：AD ＝CD ； （2）若AD ＝CD ，求证：∠A ＋∠C ＝180°．3. 如图，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠AB C. 求证：①DE ＝CE ；②AB ＝AD ＋BC ；③AE ⊥BE .4. 如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，CE 平分 ∠ACB 交AB 于点D ，BE 垂直CE 于E. 求证：CD ＝2BE .BB二、【中点相关的常见辅助线】 1.倍长中线2. 做平行线3. 三线合一1. 如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 中点，DE ⊥DF .求证：①DE ＝DF ； ②BE ＝AF .2. 如图，点D 是BA 延长线上一点，AF 平分∠DAC ，FG 垂直平分BC ，DF 垂直AB 于D ，EF 垂直AC 于E . 求证：BD ＝CE .3. 如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且 DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝A C . 求证：AE 平分∠BA C .4. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF ＝EF . 求证：BD ＝CE .C DBEAAEBDC ABDCB。
初三几何3角平分线辅助线.基础(2013-2014)教师
B
C
【答案】（利用角平分作对称模型）如图，延长 BD 到 E ，使 DE AD ，在 BC 上截取 BF BA ．
∵ 1 2 ， BD 为公共边，∴ BAD ≌ BFD ， AD FD ， ADB FDB ．
∵ 1 1 ABC 1 1 180 100 20 ，
2
22
∴ ADB 180 A 1 180 100 20 60 ．
B
C
【例4】 如图，在 ABC 中， BAC 60 ， AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度数.
A
B
D
【答案】解法一（补短）：
如图所示，延长 AB 至 E 使 BE BD ，连接 ED 、 EC .
A
由 AC AB BD 知 AE AC ，
而 BAC 60o ，则 AEC 为等边三角形.
结论：① CD CE ② OD OE 2OC cos
D C
③ S四边形DOEC S△ODC S△OCE OC 2 sin cos
难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）
O
E
B
中考满分必做题
一、往角两边截取相等的线段
☞考点说明：解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题 把两条折线段“拉直”成线段，利用角平分线可以构造全等三角形. 同样地，将长线段拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 常用方法分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
1
∴ FDB 60 ，故 FDC 60 ， EDC 60 ．
部编数学八年级上册专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法(解析版)(人教版)含答案
专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð的平分线OC 上的任意一点，PD OA ∥交OB 于点D ，PE OA ^于点E ，如果8cm OD =，求PE 的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PF ＝PE ，∠EOP ＝∠DOP∵PD P OA ，∠AOB ＝30°，∴∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠DPO ＝∠EOP ＝∠DOP ，∴ PD ＝OD ＝8cm在Rt △PDF 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF =12PD =4cm ，∴ PF ＝PE ＝4cm ．【变式训练1】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，点,D E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð．求证： AD 平分BAC Ð．【答案】见解析【详解】证明：过点D 作DF AB ^于点F ． 90DFB \Ð=°90ACB Ð=°Q ,DFB ACB DC AC \Ð=Ð^．在DCE D 和DFB D 中，,,,DCE DFB DEC B DE DB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DCE DFB AAS \D D ≌．DC DF \=．\点D 在BAC Ð的平分线上．\AD 平分BAC Ð．．【变式训练2】图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)EC ＝BF ；(2)EC ⊥BF ；(3)连接AM ，求证：AM 平分∠EMF ．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAF +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE AB EAC BAF AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC ＝BF ；(2)根据（1），∵△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC ＝∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠AEC +∠ADE ＝90°，∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF +∠BDM ＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为______cm 2．【答案】4.5【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PB APB EPB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP=PE ，∴,APB EPB ACP ECP S S S S ==V V V V ∴119 4.522BPC ABC S S ==´=V V cm 2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，若BD ＝4，则CE ＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA 、CE 相交于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△BCE 和△BFE 中，90ABD CBD BE BE BEF BEC ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （ASA ），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD 和△ACF 中，90ABD ACF AB AC BAC CAF ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△ACF （ASA ），∴BD=CF ，∵CF=CE+EF=2CE ，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F. 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,90ACF BCD AC BC FAC DBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ACF ≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=12BD ，∴AE=12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C=90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB Ð和ABD Ð，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵//AC BD，∴∠F=∠CAF，∵AE平分CABÐ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵BE平分ABFÐ，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)43AE+CD=AC，证明见解析【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC =90°+12∠ABC ；(2)解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MONS AO ON S D D =，∵AOM MON S AM S MN D D =，∴AO AM ON MN=，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【变式训练2】如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．求证：AE 是∠DAB 的平分线．（提示：过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ．）【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC =60°，理由见解析【解析】(1)证明：∵∠BDC =∠BAC ，∠DFB =∠AFC ，又∵∠ABD +∠BDC +∠DFB =∠BAC +∠ACD +∠AFC =180°，∴∠ABD =∠ACD ；(2)证明：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，如下图所示：则∠AMC =∠ANB =90°．∵OB =OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，由(1)可知：∠ABD =∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN (AAS )，∴AM =AN ．∴DA 平分∠CDE ．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，如下图所示：∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD =∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP (SAS ) ，∴AD=AP ，∠BAD =∠CAP ，∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【变式训练4】已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【详解】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．课后训练1．如图①，CDE Ð是四边形ABCD 的一个外角，AD //BC ，BC BD =，点F 在CD 的延长线上，FAB FBA Ð=Ð，FG AE ^，垂足为G ．(1)求证：①DC 平分BDE Ð；②BC DG AG +=．(2)如图②，若4AB =，3BC =，1DG =．求AFD Ð的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵AD ∥BC ，∴∠C =∠CDE ，∵BC =BD ，∴∠C =∠CDB ，∴∠CDB =∠CDE ，∴DC 平分BDE Ð；②如图，过点F 作FH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，∵∠FDG =∠CDE ，∠FDH =∠CDB ，∠EDC =∠CDB ，∴∠FDG =∠FDH ，∵FG ⊥AE ，FH ⊥BD ，∴FH =FG ，∠H =∠FGD =∠AGF =90°,∵FD =FD ，∴Rt △FHD ≌Rt △FGD （HL ），∴DH =DG ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴Rt △FHB ≌Rt △FGA （HL ）∴BH =AG ，∵BD =BC ，∴AG =BH =BD +DH =BC +DG ，即AG =BC +DG ；(2)解：∵AB =4，BC =3，DG =1，∴BD =BC =3，AG =BC +DG =3+1=4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∵AB 2+BD 2=42+32=52=AD 2，∴∠ABD =90°，过点F 作FM ⊥AB 于M ，交AD 于N ，如图，则∠AMF =∠BMF =90°=∠ABD ，∴FM ∥BD ，∴∠BFM =∠FBD ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴AM =12AB =2，∠AFM =∠BFM ，∴∠AFM =∠FBD ，由（1）②知，Rt △FHB ≌Rt △FGA ，∴∠FAG =∠FBD ，∴∠FAG =∠AFN ，∵FM ∥BD ，∴∠MFD =∠BDC ，∵∠BDC =∠CDE =∠FDG ，∴∠MFD =∠FDG ，∴∠AFM +∠FAG +∠DFN +∠FDG =180°，∴2∠AFM +2∠DFN =180°，∴2∠AFD =180°，∴∠AFD =90°．2．已知：如图1，四边形ABCD 中，135ABC Ð=°，连接AC 、BD ，交于点E ，BD BC AD AC ^=，．(1)求证：90DAC Ð=°；(2)如图2，过点B 作BF AB ^，交DC 于点F ，交AC 于点G ，若2DBF CBF S S =V V ，求证：AG CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，若3AB =，求线段GF 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【解析】(1)解：如图，过点A 作AP ⊥BD 于点P ，AF ⊥BC ，交CB 的延长线于点F ，∵AP ⊥BD ，AF ⊥BC ，BD ⊥BC∴四边形APBF 是矩形∵∠ABC ＝135°，∠DBC ＝90°，∴∠ABP ＝45°，且∠APB ＝90°，∴AP ＝PB ，∴四边形APBF 是正方形，∴AP ＝AF ，且AD ＝AC ，∴ΔΔRt APD Rt AFC HL ≌（），∴∠DAP ＝∠FAC ，∵∠FAC +∠PAC ＝90°，∴∠DAP +∠PAC ＝90°，∴∠DAC ＝90°(2)如图，过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BD 于点N ，过点C 作CP ⊥BF 于点P ，在BD 上截取DH ＝BC ，连接AH ，∵∠ABC ＝135°，∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，且∠DBC ＝90°，∴∠DBF ＝∠CBF ，且FN ⊥BD ，FM ⊥BC ，∴FN ＝FM ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴1122BD FN BC FM ´´=´´×2，∴BD ＝2BC ，∴BH ＝BD ﹣DH ＝BD ﹣BC ＝BC ，∵∠AED ＝∠BEC ，∠DAC ＝∠DBC ＝90°，∴∠ADH ＝∠ACB ，且AD ＝AC ，DH ＝BC ，∴△ADH ≌△ACB （SAS ），∴∠AHD ＝∠ABC ＝135°，AH ＝AB ，∴∠AHB ＝∠ABD ＝45°，∴∠HAB ＝90°，∵BC ＝BH ，∠HAB ＝∠BPC ，∠AHB ＝∠FBC ＝45°，∴△AHB ≌△PBC （AAS ），∴AB ＝PC ，∵AB ＝PC ，且∠ABP ＝∠BPC ，∠AGB ＝∠CGP ，∴△AGB ≌△CGP （AAS ），∴AG ＝GC(3)解：如图，∵AB ＝3＝PC ，∠PBC ＝45°，PC ⊥BF ，∴BP ＝PC=3，∵△AGB ≌△CGP ，∴BG ＝PG ＝32，在Rt PGC D 中，CG ，∴AG ＝GC ∴AC ＝AD ＝2AG ＝在Rt ADC D 中，CD ∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴DF ＝2FC∵DF +FC ＝DC ，∴F C在Rt PFC D 中，PF 1，∴FG ＝PG +PF ＝1+32 ＝52．3．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，交CD 于点G ．(1)求证：CG =CE ；(2)如图2，连接FC ，AC ．若BF 平分∠DBE ，求证：CF 平分∠ACE ；(3)如图3，若G 为DC 中点，AB =2，求EF【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG ＝∠BCG ＝90°，∵∠DGF ＝∠BGC ，∴∠GBC ＝∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG ＝CE ；(2)证明：∵BF 平分∠DBE ，BF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，∴CF 是Rt △DCE 的中线，∴CF ＝EF ，∴∠E ＝∠FCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBE ＝∠ACB ＝45°，∵BF 平分∠DBE ，∴∠FBE 12=∠DBE ＝22.5°，∴∠E ＝90°﹣∠FBE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE ＝67.5°，∴∠ACF ＝180°﹣∠FCE ﹣∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF ＝∠FEC ，∴CF 平分∠ACE ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG ＝90°，AB ＝BC ＝CD＝2，BD =＝∵G 为DC 中点，∴CG ＝GD 12=CD＝1，在Rt△BCG 中，由勾股定理得：BG ==设GF ＝x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2﹣BF 2＝DF 2，DG 2﹣GF 2＝DF 2，∴2222-=1-x x （），解得：x =∴DF 2＝12﹣22025=，∴DF =，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG ＝DE =，∴EF ＝DE ﹣DF ==．4．已知：在四边形ABCD 中，180,B CAD DE AC Ð+°Ð=^于E ，且2AD AE =．(1)如图1，求B Ð的度数；(2)如图2，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，点G 在BC 上，连接FG ，且AF FG =．求证：AB BG =；(3)如图3，在（2）的条件下，AF AD =，过点F 作FH CD ^，且2CH CG =，若21,52CD AB ==，求线段BF 的长．【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．【解析】(1)解：如图1，取AD 的中点F ，连接EF ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴AD =2AF =2EF ，∵AD =2AE ，∴AE =EF =AF ，∴∠CAD =60°，∵∠B +∠CAD =180°，∴∠B =120°；(2)证明：如图2，作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥AB 于点N ，∴∠BMF =∠BNF =90°，∠GMF =∠ANF =90°，∵BF 平分∠ABC ，∴FM =FN ，在Rt △BFM 和Rt △BFN 中，BF BF FM FN =ìí=î，∴Rt △BFM ≌Rt △BFN （HL ），∴BM =BN ，在Rt △FMG 和Rt △FNA 中，FG FA FM FN=ìí=î，∴Rt △FMG ≌Rt △FNA （HL ），∴MG =NA ，∴BN +NA =BM +MG ，∴AB =BG ．(3)如图3，连接AG ，DF ，DG ，作FM ⊥BC 于M ，延长GF 交AD 于N ，∵AF =AD ，∠DAE =60°，∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°，AF =DF ，∵GF =AF ，∠DFC =180°-∠AFD =120°，∴AF =GF =DF ，∴∠FGD =∠FDG ，∠FAG =∠FGA ，∴∠AGD =12∠AFN +12∠DFN =12∠AFD =12×60°＝30°，∵∠ADC =120°，AD =DG ，∴∠DGA =∠DAG =1802ADC °-Ð=30°，∴∠DGC =180°-∠DGA -∠AGD =180°-30°-30°=120°，∴∠DGC =∠DFC ，∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC -∠1=180°-∠DFC -∠2，∴∠GCF =∠FDG ，∠DCF =∠FGD ，∴∠GCF =∠DCF ，∵FH ⊥CD ，∴FM =FH ，∵∠FMG =∠FHD =90°，∴Rt △FMG ≌Rt △FHD （HL ），∴DH =MG ，同理可得：△MCF ≌△HCF （HL ），∴CM =CH =2CG ，∴GM =CG =DH ，∴3CG =CD =212，∴GM =CG =72，∴BM =BG -GM =AB -GM =5-72=32，在Rt △BFM 中，∠BFM =90°-∠FBM =90°-60°=30°，∴BF =2BM =3．5．如图1，ABC D 的ABC Ð和ACB Ð的平分线BE ，CF 相交于点G ，60BAC Ð=°．（1）求BGC Ð的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分BAC Ð；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得AGH BGC Ð=Ð，且8AH =，10BC =，求ABC D 的周长．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28【详解】（1）证明：如图1，BE CF Q 、分别平分ABC ACB ÐÐ、，111 , 2 22ABC ACB \Ð=ÐÐ=Ð，()()11112 180 90 222ABC ACB A A \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，60BAC Ð=°Q ，() 1 180 ********BGC A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°；(2)如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，BE Q 平分ABC Ð， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，GM GN \=，同理GN GQ =，GM GQ \=，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ， AG \平分BAC Ð ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分BAC Ð，∵又60BAC Ð=°， 30BAG CAG \Ð=Ð=°，在BC 上取点K ，使 BK BA =，BE Q 平分ABC Ð，ABG CBG \Ð=Ð，又BG BG =Q ，ABG KBG \D D ≌，BKG BAG \Ð=Ð，30BKG BAG \Ð=Ð= ，=18030150GKC \Ð-= ，120AGH BGC Ð=Ð=°Q ， 30CAG Ð=°，120 30 150GHC \Ð=°+°=°，GKC GHC \Ð=Ð，又CG CG =Q ，KCG HCG Ð=Ð，KCG HCG \D D ≌，CK CH \=，△ABC 的周长为：()()2210828AB BC CA AB BK KC AH CH BC AH ++=++++=+=´+=， ABC \D 的周长是28．6．如图所示，AD 是ABC V 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，HC AB =．（1）如图1，求证：2B C Ð=Ð；（2）如图2，若2DAF B C Ð=Ð-Ð，求证：AC BF BA =+；（3）在（2）的条件下，若12AC =，CF 10=，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【详解】解：（1）连接AH ，∵H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，∴HA HC =，HAC C Ð=Ð，∵HC AB =，∴AB AH =，∴B AHB Ð=Ð，∵AHB C HAC Ð=Ð+Ð，∴2AHB C Ð=Ð，∴2B C Ð=Ð．（2）∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，∴1122DAF B C Ð=Ð-Ð，在Rt ADF V 中，9090DAF AFD FAC C Ð=°-Ð=°-Ð-Ð，∴119022FAC C B C °-Ð-Ð=Ð-Ð∴[]111190180()2222FAC B C B C BAC Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=Ð，即AF 平分BAC Ð， 在AC 上截取AG AB =，连接FG ，在BAF △和GAF V 中，AB AG BAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAF GAF SAS V V ≌，∴BF FG =，AB =AG ，B AGF Ð=Ð，∵2B CÐ=Ð∴2AGF C Ð=Ð，∴GFC C Ð=Ð，∴FG GC BF ==，∴AC GC AG BE BA =+=+．（3）在DB 上截取DM DF =，连接AM ，在ADF V 和ADM △中，AD AD ADF ADM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADM SAS V V ≌，∴DAF DAM Ð=Ð，∴2MAC DAF FAC Ð=Ð+Ð，由（2）可知119022FAC B C Ð=°-Ð-Ð，又∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，2B C Ð=Ð．∴11131909029022222MAC B C B C C C C Ð=Ð-Ð+°-Ð-Ð=+´Ð-Ð=-°Ð°．∵()11111180909022222AMC AFM C FAC C BAC C B C B C C °Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+-Ð-Ð=-Ð+°Ð=-а∴MAC AMC Ð=Ð ，∴AC MC =∴2MC CF AC CF DF -=-=，∴12102DF-=∴1DF =．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若AC =3，BC =4，求CD 的长；（2）如图③．在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点P 在AD 上，点M 在AC 上．若AC =6，BC =8，则PC +PM 的最小值为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）32；（2）245．【详解】教材呈现：OC Q 是AOB Ð的平分线，POD POE \Ð=Ð，,PD OA PE OB ^^Q ，90PDO PEO \Ð=Ð=°，在POD V 和POE △中，POD POE PDO PEO OP OP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()POD POE AAS \@V V ，PD PE \=；定理应用：（1）如图，过点D 作DE AB ^于点E ，Q 在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð=°==，5AB \==，Q AD 平分BAC Ð，且90C Ð=°，CD DE \=，在Rt ACD △和Rt AED △中，AD AD CD ED =ìí=î，()Rt ACD Rt AED HL \@V V ，3AC AE \==，532BE AB AE \=-=-=，设CD DE x ==，则4BD BC CD x =-=-，在Rt BDE V 中，222DE BE BD +=，即2222(4)x x +=-，解得32x =，即CD 的长为32；（2）如图，过点M 作MN AD ^，交AB 于点N ，连接PN，Q AD 平分BAC Ð，AD \垂直平分MN （等腰三角形的三线合一），PM PN \=，PC PM PC PN \+=+，由两点之间线段最短得：当点,,C P N 在同一条直线上时，PC PN +取得最小值，最小值为CN ，又由垂线段最短得：当CN AB ^时，CN 取得最小值，Q 在ABC V 中，90,6,8ACB AC BC Ð=°==，10AB \==，又1122Rt ABC S AC BC AB CN =×=×V Q ，11681022CN \´´=´，解得245CN =，即PC PM +的最小值为245，故答案为：245．。
22.第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC的中点，AD⊥BD，若 AC＝7，AB＝3，则DE的长为 2 ．
例2题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
例3 如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，BC＝2，若∠B ＝2∠D＝120°，求CD的长．
在△ABD和△ACF中，
∠ABD＝∠ACF
AB＝AC
，
∠BAD＝∠CAF＝90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD＝CF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF，
第5题图
F
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
在△BCE和△BFE中，
∠EBC＝∠EBF
BE＝BE
，
∠CEB＝∠FEB
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
例5
一题多解法 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平
分∠ABC，求
CD AD
的值．
解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，
则∠ABD＝∠BDE，
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠BDE＝∠DBE，Байду номын сангаас∴DE＝BE，
E
例5题图
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
AC上，连接DE，DF，DE＝4，若∠BAC＋∠EDF＝180°，则DF的长
为___4____.
第4题图
解题关键点 在AB上截取AG＝AF，连接DG，构造全等三角形．
微专题 遇到角平分线如何添加辅助线
5.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(教师版)常见的辅助线的作法(教师版)全等三角形问题常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长线:倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的线,倍长线,使延长线段与原线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置CCBA上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是咼频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目, 不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：证明:延长BA, CE交于点Xl、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点•延长AD至点E,使得DE = AD，并连接BE,贝UAADC 也zEDB (SAS)我们来看一个例题:三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧!例 3；已知，如SLAC 平分ZBAD, CD=CB, AB>AD, 求证畫ZB+ZADC=18O0・AC证明：作CE丄AB于E,CF丄AD于F. TAC 平分 ZBADr ACE=CF.在 RtACBE 和RtACDF 中,％心RtACBE^RtACDF (HL),二ZB二ZCDF,VZCDF+ZADC=180° , A ZB+ZATC=180°四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
例4如ffl, A ABC中,是朋上一点,F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF.求证當DE=DF.五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系例6；如图甲.AD/BC.点E 在线段AB 上.ZADE 二ZCDE, ZDCE=ZECB,求证：CRAMBU证明：在CD 上截取CF-BC.如图乙(T - < Ji在厶 FCE^ABCE 中 - netCE CLAAFCE^ABCE(SAS), .\Z2=Z1- 又VAD/7BC,AZADC+ZBCD^180° , :.ZXE+ZCDE=90<>, /- Z2+Z3=90* , •\ ZUZ4=90° . :. Z3=Z14 LH 3)1加十 z5 = Z4A AFDE^AADli (ASA) , ADF-DAr 又 VCD=DF+CF, <\CD=AD+BC O D D{。
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。
一、总结下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。
1、如图1，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DE ∥OB 交OE 于点E∵OP 平分∠AOB ∴∠DOE =∠EOB∵DE ∥OB ∴∠BOE =∠DEO ∴∠DOE =∠DEO∴OD =DE由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。
例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°分析：由题意可得：∠1=∠2，AN =MN ，∠MG A =90°，则NG =12AM ，故AN =NG ，则∠2=∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=13×90°=30°，∴∠DAG =60°．故选：C ．2、角平分线遇到垂线：如图3，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DP ⊥OP 于点P 。
遇到这种情况，我们可以作辅助线： 延长DP 交OB 于点E ，∵OP 平分∠AOB∴∠DOP =∠EOP ∵DP ⊥OP ∴∠ODP =∠OEP∴OD =OE ∴DP =PE通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。
例题：如图4，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ．求证：AE =BE 分析：由已知，AD ∥BC ，ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，可得DE ⊥EC ，延长DE 交CB 延长线于F ，有上述结论可知，E 为DF 中点，可证△ADE ≌△BFE3、从角平分线做角一边的垂线ED BAO 图1 图2E D P B AO图3 F图4 DPA如图3，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D 。
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第一章遇角平分线常用辅助线【添法透析】
角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边
二．角边相等，可造全等
三．平分加平行，可得等腰形
四．平分加垂线，补得等腰现
一．点在平分线，可作垂两边
角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等．
如图，若OP是∠AOB角平分线，PE⊥OA，可过P点作PF⊥OB，
则可用结论有：（1）PF=PE；
（2）证得△OPF≌△OPE；
（3）证得OF=OE．
例1．已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=1.5，BD=2.5，求AC．
邦德点拨：过点D作DE⊥AB，则DE=CD，AE=AC，
再利用方程思想、勾股定理解AC．
练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP平分∠BAC．
二．角边相等，可造全等
在角的两边取相等线段，可得全等三角形．
如图，若OP为∠AOB角平分线，可在OB上取OF=OE，则可用结论有：（1）证得△OPF≌△OPE；
A
B
C
E
D
P
E
A
P
O B
F
A
E
P
F B
O
B
E
D
C
A
（2）证得PF=PE ，OF=OE ；
（3）证得∠PFO=∠PEO ，∠OPF=∠OPE ．
例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ．
练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，，试比较PB-PC 与AC-AB 的大小，并说明理由．
三．平分加平行，可得等腰形
1．过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似；
如图，若OP 是∠AOB 平分线，过P 点作OB 平行线交OA 于E 点， 可用结论：证得△EOP 是等腰三角形．
如图，若AD 是∠BAC 平分线，过C 点作AB 平行线交直线AD 于E 点， 可用结论有：（1）证得△EOP 是等腰三角形； （2）证得△CDE ∽△ADB ；
（3）CD
BD
AC AB =． 2．过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形．
如图，若OP 为∠AOB 平分线，过直线OB 上一点E ，作OP 平行线交OA 于点F ， 则可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形；
（2）证得∠E=2
1
∠AOB ．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB ≠AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ，
则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ．
练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA
A P D
C B
E D
A F
C
B
E
P O
B
A
A D
C
B
E
A F
E P
O B A
E
F
B
C D
F A
E
的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ．
四．平分加垂线 补得等腰现
从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形． 如图，若OP 是∠AOB 平分线，EP ⊥OP ，则可延长EP 交OB 于F 点， 可用结论有：（1）证得△OEF 是等腰三角形； （2）P 是EF 中点．
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=
2
1
（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形．
练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ．
【homework 】
1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如果BC=6，
求△DEF 周长．
2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ．
F E A
B
O
P
A
D E
C
B
A
E
D
F
G
C B A
D
F
E C
B
B
C
A D
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2
1
(AB-AC)．
4．如图，ABC ∆中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE ∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ．
5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+
CD ．
A
B
H D C
A
E
C
M B
D A E
B D
C。