1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
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第12章 全等三角形
双休作业(四) 1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
1
2Biblioteka Baidu
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方法 1 作一边的垂线段
1．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD， M为BC边上的一点，且AM平分 ∠BAD，DM平分∠ADC.求证： (1)AM⊥DM；
证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM. ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°. ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)M为BC的中点．
过M作MN⊥AD交AD于N. ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
返回
方法 2 作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分 线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动， 两直角边分别与OA，OB交于 点C，D.求证PC＝PD.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°. 而∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
PCE＝PDF， PEC＝PFD， PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
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方法 3 延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°， BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长 线于点E.求证BD＝2AE.
返回
证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)． ∴AE＝FE，∴AF＝2AE.
证明：如图，在AB上截取AE＝AC， 连接DE，易证△AED≌△ACD.
∴ED＝CD，∠AED＝∠C.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB. ∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，
即AC＋CD＝AB.
返回
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)．
∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
返回
方法 4 截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B. 求证AC＋CD＝AB.
双休作业(四) 1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
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方法 1 作一边的垂线段
1．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD， M为BC边上的一点，且AM平分 ∠BAD，DM平分∠ADC.求证： (1)AM⊥DM；
证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM. ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°. ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)M为BC的中点．
过M作MN⊥AD交AD于N. ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
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方法 2 作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分 线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动， 两直角边分别与OA，OB交于 点C，D.求证PC＝PD.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°. 而∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
PCE＝PDF， PEC＝PFD， PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
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方法 3 延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°， BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长 线于点E.求证BD＝2AE.
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证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)． ∴AE＝FE，∴AF＝2AE.
证明：如图，在AB上截取AE＝AC， 连接DE，易证△AED≌△ACD.
∴ED＝CD，∠AED＝∠C.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB. ∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，
即AC＋CD＝AB.
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∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)．
∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
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方法 4 截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B. 求证AC＋CD＝AB.