2020年山西省高考数学模拟试卷(理科)(6月份)

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2020年山西省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)

2020年山西省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则中元素的个数是A. 0B. 1C. 2D. 32.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：建国以来直至2000年为“成年型”人口；从2010年至2020年为“老龄型”人口；放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是A. B. C. D.3.函数，则关于函数的说法不正确的是A. 定义域为RB. 值域为C. 在R上为增函数D. 只有一个零点4.在四边形ABCD中，，，，则该四边形的面积是A. B. C. 10 D. 205.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父型变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．第一颗被描述的经典造父变星是在1784年．如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是A. ，B. ，C. ，D. ，6.双曲线：与：的离心率之积为4，则的渐近线方程是A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是A.B.C.D.8.已知中，，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其内切圆半径为r，由，又，可得类比上述方法可得：三棱锥中，若，平面ABC，设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则该三棱锥内切球的半径是A. B.C. D.9.展开式中，常数项是A. 220B.C. 924D.10.函数，若，则的最小值是A. B. C. D.11.已知长方体，，，M是的中点，点P在长方体内部或表面上，且平面，则动点P的轨迹所形成的区域面积是A. 6B.C.D. 912.数列中，，，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数为虚数单位，则______．14.等差数列中，，，则满足不等式的正整数n的最大值是______．15.设，分别为椭圆C：的左、右焦点，A，B分别为C上第二、四象限的点，若四边形为矩形，则该矩形的面积是______，AB所在直线的方程是______．16.已知函数其中且有零点，则实数a的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；若的面积为，求a的最小值．18.如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且，如图2，将沿MN折起到的位置．求证：平面平面BCNM；给出三个条件：；二面角大小为；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段BC上是否存在一点P，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分．19.已知抛物线C：．若x轴上的点A关于直线的对称点在C上，求A点的坐标；设过C的焦点F的直线l与C交于P，Q两点，PQ的延长线与y轴交于M，O为坐标原点，若的面积等于面积的3倍，求直线l的方程．20.设函数，其中．若在上为增函数，求a的取值范围；当，时，求证：．21.现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具，，中的一个，每袋零食乙从玩具，中随机附赠一个．记事件：一次性购买n袋零食甲后集齐玩具，，；事件：一次性购买n袋零食乙后集齐玩具，．求概率，及；已知，其中a，b为常数，求22.在极坐标系Ox中，直线l过点与点．求直线l的极坐标方程；已知圆C：若曲线与l，C相交于A，E两点；曲线与l，C相交于M，N两点，E，N异于极点O，求证：．23.已知函数，当时的最小值是2．求a；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．中元素的个数是2．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：：建国以来直至2000年为“成年型”人口，错误；从2010年至2020年为“老龄型”人口，正确，放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口，正确，故选：A．根据折线统计图即可判断．本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．3.答案：B解析：解：，的定义域为R，值域为，，且，在R上为增函数，且，只有一个零点．故选：B．根据的解析式即可判断的定义域为R，且在R上为增函数，只有一个零点，从而判断出说法不正确的选项．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，四边形ABCD中，，，若，则，解可得，则四边形的面积，故选：C．根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得m的值，又由四边形的面积，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5.答案：A解析：解：根据图象中相邻最高点与最低点的位置，可以估计周期约为；视星等的数值越小亮度越高，故最亮时约为．故选：A．根据图象中相邻最高点与最低点的位置，可估计周期；根据视星等的数值越小，亮度越高可知最亮时的视星等．本题考查函数图象的性质与应用，考查学生的观察能力和逻辑推理能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知，即，，．变形得，，故，双曲线的渐近线方程为．故选：D．求出双曲线的离心率，列出方程，转化求出，即可得到的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知几何体是由一个底面半径为3，高为3的圆柱体和一个底面边长为，高为2的正四棱锥组合而成，圆柱体的体积为，正四棱锥的体积为，几何体的体积为．故选：B．由三视图还原原几何体，可知几何体是由一个底面半径为3，高为3的圆柱体和一个底面边长为，高为2的正四棱锥组合而成，再由圆柱与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：B解析：解：设，，，则，又，．又，，．．，，故选：B．平面中的结论是利用分割面积法得到的，类比到空间中三棱锥，利用分割体积法即可算出结果．本题主要考查了类比推理及三棱锥的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．9.答案：B解析：解：由于，本题即求分子展开式中项的系数．分子二项展开式的通项为，令，解得，此时，项的系数为，故原式展开后，常数项为，故选：B．先化简式子，令分子中的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练运用三角恒等变换的相关公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑能力和运算能力，属于中档题．先结合余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简得，从而得其最大值为3，最小值为，于是在，处取到最大值和最小值，然后结合正弦函数的图象与性质求出和，进而得解．【解答】解：，函数的最大值为3，最小值为，又，在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，则，在处取到最小值，则，则，，．的最小值为．故选：A．11.答案：D解析：解：如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，，所以平面平面，所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．因为，，所以，，，E到GM的距离为，所以．故选：D．分别取、、、DA、AB的中点E、F、G、H、N，根据题意可得点P的轨迹为正六边形MEFGHN，由此求得该正六边形MEFGHN的面积即可．本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12.答案：C解析：解：由，故，记，则，两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，又，所以，所以，故．故选：C．利用递推关系式推出，记，则，转化推出是以为公差的等差数列，求解通项公式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，转化思想以及换元法的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．13.答案：解析：解：，．故答案为：．根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数模长的概念求解即可．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．14.答案：59解析：解：等差数列中，由得即．又，解得，故正整数n的最大值为59．故答案为：59．根据等差数列的通项公式，列方程组求解出和d，得出数列的通项公式，解不等式即可，注意考虑．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题，做题过程中注意考虑．15.答案：2解析：解：由椭圆的方程可得，，所以，由椭圆的定义可得，，得，矩形的面积为．因为矩形的外接圆方程为，与椭圆C的方程联立得．又AB过坐标原点，的斜率为，所在直线的方程为．故答案分别为：2，由椭圆的方程可得a，b的值，再由a，c，b之间的关系求出c的值，由椭圆的定义可得，再由四边形为矩形可得，两式联立求出面积，再由矩形矩形的外接圆方程为，与椭圆联立求出A的坐标，再由直线AB过原点，进而求出直线AB的方程．本题考查椭圆的定义，性质，直线与椭圆的综合，属于中档题．16.答案：解析：解：由题可知函数如有零点，即等价于函数与图象有交点，当时，如图：两函数图象恒有交点；当时，如图：因为两函数互为反函数，则若要两函数有交点且a最小，只需两函数图象均与相切，不妨设切点，则，整理可得，，所以，所以，则，解得，故答案为：．条件等价于函数与图象有交点，分类讨论当时恒成立，当时，因为两函数互为反函数，故若要满足条件只有当两函数图象与直线相切时成立，利用导数求切线的思想得到进而得到a的值．本题考查函数零点与函数图象交点之间的转换，数形结合思想，属于中档偏难题．17.答案：解：由已知得，．．由正弦定理，得．又因为，，．由的面积为，得，由余弦定理得，当且仅当时，取得等号，所以a的最小值为2．解析：由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合，可求，即可求解A的值．由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理，基本不等式即可求解a的最小值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：由已知得，，，，，，又，平面平面BCNM，平面平面BCNM．若用条件，由得，BC和MN是两条相交直线，平面BCNM．以M为原点，MB，MN，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得，所以不存在P满足条件．若用条件二面角大小为，由得是二面角的平面角，．过作，垂足为O，则平面BCNM．在平面BCNM中，作，点D在BM的右侧．以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得或舍去，所以存在P满足条件，这时．若用条件，在中，由余弦定理得．过作，垂足为O，则平面BCNM．同以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，设，其中，则．平面的法向量为．设直线与平面所成角为，则，解得，所以不存在P满足条件．解析：推导出，，，从而平面进而平面平面BCNM．条件推导出，，从而平面以M为原点，MB，MN，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出不存在P满足条件．条件二面角大小为，由是二面角的平面角，得过作，垂足为O，则平面在平面BCNM中，作，点D在BM的右侧．以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出存在P满足条件，这时．条件，由余弦定理得过作，垂足为O，则平面以O为原点，OB，OD，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出不存在P满足条件．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题．19.答案：解：设点关于直线的对称点为，则解得，．．把点坐标代入得，或．或．设，，，O到直线l的距离为d．则，．由，得，即，得由已知直线l的斜率存在，且不为0，设l：，代入，得．，．由得，代入得．直线l的方程为或．解析：设点关于直线的对称点为，通过求解对称点的坐标，代入抛物线方程，求解即可．设，，，O到直线l的距离为通过三角形的面积，结合，得，即，得由已知直线l的斜率存在，且不为0，设l：，代入，结合韦达定理，转化求解直线的斜率，然后求解即可本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目．20.答案：解：在上增函数，恒成立，即，恒成立，令，则，由得，当时，，为增函数；当时，，为减函数；，，故分证明：当时，令，则，令，得，由于时，，为增函数；由于时，，为减函数；，即，，在为增函数，又，，即分解析：由在上增函数，可得恒成立，即，恒成立，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．当时，令，可得，令，利用导数研究其单调性可得，进而证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是，，三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，对应的可能性为，故，一次性购买5袋零食甲获得玩具的情况共有不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是，，三个玩具中，某个玩具出现三次，其余玩具各出现一次或某两个玩具各出现两次，另一个玩具出现一次，对应的可能性分别为，，故．一次性购买4袋零食乙获得玩具的情况共有种不同的可能，其中不能集齐两种玩具的情况只有2种，即全是，全是，故．，根据题意及的计算，不难整理得下表：n1234500由于的对立事件总是2种情形即全是，全是，容易得到．为解出待定系数a，b，令即解得或舍去，因为故，即，同理，，累加可得．当时，适合上式，解析：利用题设条件计算出其对应的古典概型中包含的基本事件的个数，利用基本事件的个数的比计算出概率；先由题设条件计算出与，再利用它们之间的关系式推出即可．本题主要考查满足古典概型的概率计算及由递归数列相互间的关系式求某项的表达式，属于有难度的题．22.答案：解：设点为直线l上的任意一点时，满足满足的关系式：，即．化简得，即l的极坐标方程为．当P在AB之间或在BA的延长线上时，可得同样的方程．证明：把代入得，由题知．把代入得；把代入得．，．解析：直接利用三角形的面积相等的应用，求出直线的极坐标方程．利用直线和曲线的位置关系和成比例求出直线平行．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，极径的应用和成比例的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，则．当时，．由，得．当时，，，．．由，得．综上或；证明：当时，．．当时，．．综上，．解析：由，得．分和把函数解析式变形，求出函数的最小值，由最小值为2求解a值；把中求得的a值代入，再由柯西不等式证明．本题考查分段函数最值的求法，训练了柯西不等式的应用，是中档题．。

2020-2021学年度山西省高考第一次模拟考试数学(理)试题及答案

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（） A ． 0 B ． -4 C ． -4或1 D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==u u u r u u u r ，则向量BF =u u u r（） A ．1233a b+B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <u u u r u u u rg，则a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马111C ABB A -的外接球的表面积是（）A ．25πB ． 50π C. 100π D ．200π7. 若,x y 满足约束条件44030y x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1x y +的取值范围是（）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是10，则与输出结果S 的值最接近的是（）A ． 28eB ． 36e C. 45e D ．55e9.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若3,32,3,sin 3BC CD AC AD ABC ⊥==∠=，则ABC ∆的面积是（） A ．922 B ．1522C. 62 D ．122 10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A 站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A 站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A 站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（） A ．16 B ． 14 C. 13 D ．51211.如图，Rt ABC ∆中，,6,2AB BC AB BC ⊥==，若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动.设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数()y f θ=的图象大致是（）A ．B ．C. D ．12. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（） A ． -1 B ．12-C. 13- D ．13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在复平面内，复数()228z m m m i =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围是． 14.已知tan 24πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则1sin 2cos 2αα-=．15.过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是．16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等比数列{}n a 中，*11211120,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()221log nn n b a =-g ，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：kg ）1234 5包裹件数43 30 15 8 4包裹件数范围 0100: 101200: 201300: 301400: 401500:包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450 天数6630126（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101400:之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//,AF DE AF AD ⊥，且平面BED ⊥平面ABCD .（1）求证：AF CD ⊥；（2）若0160,2BAD AF AD ED ∠===，求二面角A FB E --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且两个焦点的坐标分别为()()1,0,1,0-. （1）求E 的方程；（2）若,,A B P 为E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求证：四边形OAPB 的面积为定值.21. 已知函数()()()221ln f x x m x x m R =-++∈. （1）当12m =-时，若函数()()()1ln g x f x a x =+-恰有一个零点，求a 的取值范围；（2）当1x >时，()()21f x m x <-恒成立，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C 经过伸缩变换：x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB ，求α的值.23. 【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()1f x x a a R =--∈.（1）若()f x 的最小值不小于3，求a 的最大值；（2）若()()2g x f x x a a =+++的最小值为3，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题13. ()2,0- 14. 12-15. (16.三、解答题17.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q -+-=，因为0q >，解得2q =，所以17*122,64n n n a n N --=⨯=∈；（2）()()()()()()2227221log 1log 217nnnn n n b a n -=-=-=--g g g ，设7n c n =-，则()()21nn n b c =-g ，()()()()()()222222212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++++=-++-+++-+⎣⎦⎣⎦L L()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++L ()()2123421226272132132n n n n c c c c c c n n n n --+-⎡⎤⎣⎦=++++++==-=-L .18.解：（1）样本中包裹件数在101400:之间的天数为48，频率484605f ==，故可估计概率为45，显然未来3天中，包裹件数在101400:之间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭；（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1530201525830415100+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），将题目中的天数转化为频率，得若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：EY500.11500.12500.53000.23000.1235⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.19.（1）证明：连接AC，由四边形ABCD为菱形可知AC BD⊥，∵平面BED⊥平面ABCD，且交线为BD，∴AC⊥平面BED，∴AC ED⊥，又//AF DE，∴AF AC⊥，∵,AC AD AAF AD⊥=I，∴AF⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴AF CD⊥；（2）解：设AC BD O=I，过点O作DE的平行线OG，由（1）可知,,OA OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，设()1202AF AD ED a a===>，则)()()()3,0,0,0,,0,3,0,2,0,,4A aB a F a a E a a-，所以()()()()3,,0,0,0,2,0,2,4,3,,2 AB a a AF a BE a a BF a a a=-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，设平面ABF的法向量为(),,m x y z=u r，则m ABm AF⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u rgu r u u u rg，即3020x yz⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3y=()3,0m=u r为平面ABF的一个法向量，同理可得()0,2,1n=r为平面FBE的一个法向量.则2315cos,525m n==⨯，又二面角A FB E--的平面角为钝角，则其余弦值为1520.解：（1）由已知得1,2c a ===∴1a b ==，则E 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率不为零时，可设:AB x my t =+代入2212x y +=得： ()2222220my mty t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=++，()2282m t ∆=+-，设(),P x y ，由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，得()121212122224,222mt ty y y x x x my t my t m y y t m m =+=-=+=+++=++=++， ∵点P 在椭圆E 上，∴()()22222221641222t m t m m+=++，即()()22224212t m m+=+，∴2242t m =+，AB ===原点到直线x my t =+的距离为d =∴四边形OAPB的面积：22122242OABS S AB d t ∆==⨯⨯===. 当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积112222S =⨯⨯=，∴四边形OAPB 21.解：（1）函数()g x 的定义域为()0,+∞，当12m =-时，()2ln g x a x x =+，所以()222a x a g x x x x +'=+=，①当0a =时，()2,0g x x x =>时无零点，②当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，取10ax e-=，则21110aa g e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()11g =，所以()()010g x g <g ，此时函数()g x 恰有一个零点，③当0a <时，令()0g x '=，解得x =当0x <<()0g x '<，所以()g x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0g x '>，所以()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则ln 02ag a ==即2a e =-，综上所述，若函数()g x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >；（2）令()()()()22121ln h x f x m x mx m x x =--=-++，根据题意，当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=， ①若102m <<，则1,2x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h m ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意. ②若12m ≥，则()1,x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意.③若0m ≤，则()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<，故()h x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0h x <对任意()1,x ∈+∞，都成立”的充要条件是()10h ≤，即()210m m -+≤，解得1m ≥-，故10m -≤≤.综上，m 的取值范围是[]1,0-.22.解：（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把,3x x y y ''==代入上述方程得，()22103y x y '''+=≥， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ==，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±，而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）因为()()min 1f x f a ==-，所以3a -≥，解得3a ≤-，即max 3a =-；（2）()()212g x f x x a a x x a =+++=-++，当1a =-时，()310,03g x x =-≥≠，所以1a =-不符合题意，当1a <-时，()()()()()()()12,12,112,1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩，即()312,12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩，所以()()min 13g x g a a =-=--=，解得4a =-，当1a >-时，同法可知()()min 13g x g a a =-=+=，解得2a =，综上，2a =或-4.。

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2020年山西省高考(文科)数学(6月份)模拟试卷 (解析版)

2020年山西省高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合B＝{y|y＝2x+2}，则A∩B＝（）A．（0，4]B．（2，4]C．[2，5）D．（2，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足关系式（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（）A．12，15B．15，15C．15，15.9D．15，16.84．已知，b＝log53，，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．已知向量，，，则当取最小值时，实数t＝（）A．B．C．D．6．谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）．向图中第4个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（）A．256B．350C．296D．2247．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2019项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和8．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若△MF1N为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．9．如图，平面四边形ADBC中，AB⊥BC，，，△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．10．已知函数，f（x）＝xg（x），若f（2﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某多面体的三视图，则该几何体各个表面的面积中，最小值为（）A．B．C．4D．212．已知函数仅有一个极值点1，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x+y的值为．14．为了得到函数y＝sin2x的图象，需将函数的图象沿x轴向右平移m个单位长度，则正实数m的最小值是．15．如图，圆锥底面半径为，体积为，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知，且a1＝若对任意的n∈N*，都有，则实数m的取值范围为．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2b cos C．（1）求sin B的值；（2）若，求c+a的取值范围．18．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为x＝1，x＝2，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活．但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为8%，问该家庭2020年底能否实现小康生活？参考数据：，6＝8610，1.0810≈2.16参考公式：，＝﹣．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，，求A1到平面BCC1B1的距离．20．设椭圆的左顶点为A，右顶点为B，已知椭圆C的离心率为，且以线段AB为直径的圆被直线所截的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆C的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求x0的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的值域；（2）令在（2，+∞）上的最小值为m，求证：．（参考数据：ln7≈1.946，ln8≈2.079，ln9≈2.197，ln10≈2.30）22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．23．已知函数．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，集合B＝{y|y＝2x+2}，则A∩B＝（）A．（0，4]B．（2，4]C．[2，5）D．（2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，集合B＝{y|y＝2x+2}＝{y|y＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤4}＝（2，4]．故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足关系式（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0【分析】把z＝a+bi（a，b∈R）代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0得答案．解：∵z＝a+bi（a，b∈R），∴＝＝，又是实数，a+b＝0，故选：A．3．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（）A．12，15B．15，15C．15，15.9D．15，16.8【分析】根据茎叶图得出数据，分别计算即可．解：由茎叶图得：甲组数据为：9，12，15，24，27，乙组数据为：8，15，18，19，24，故甲组数据的中位数是15，乙组数据的平均数是：＝16.8，故选：D．4．已知，b＝log53，，则（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】结合指数函数与对数函数的单调性即可比较大小．解：因为，所以tan＞1，＞1，0＜b＝log53＜1，0＜cos＜1，所以＜0，故选：B．5．已知向量，，，则当取最小值时，实数t＝（）A．B．C．D．【分析】设出P的坐标，根据向量之间的关系把坐标用t表示，再结合二次函数的性质即可求解．解：设P（x，y）；因为向量，，，可得（x，y﹣2）＝t（1，﹣2）；故；∴＝＝；当t＝时取最小值．故选：C．6．谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）．向图中第4个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（）A．256B．350C．296D．224【分析】根据题意，不妨设原三角形面积为1，分析第一次、二次、三次挖去以后剩余面积，结合几何概型的知识分析可得答案．解：根据题意，不妨设原三角形面积为1，第一次挖去三角形的面积为，剩余面积为，接下来每挖一次，对每个小完整三角形来说挖去的面积都是原完整三角形面积的，剩余面积原来三角形面积的，故第二次挖去以后剩余面积为（）2；第三次挖去以后剩余面积为（）3；所以第4个图中白色区域的面积为1﹣（）3；所以落在白色区域的细小颗粒物约有512×[1﹣（）3]＝512×＝296；故选：C．7．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2019项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知中的程序框图，可知该程序的循环变量n的初值为1，终值为2021，步长为2，故循环共执行了1010次，由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，一直下去，故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和．故选：A．8．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若△MF1N为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件求出M的坐标，结合三角形是等腰直角三角形，推出a、b关系，然后求解离心率即可．解：解得M（c，），因为△MF1N为等腰直角三角形，所以，，所以e＝＝＝，故选：D．9．如图，平面四边形ADBC中，AB⊥BC，，，△ABD为等边三角形，现将△ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．16πB．8πC．4πD．【分析】由题意知BC⊥平面PAB，将三棱锥P﹣ABC补为三棱柱，利用它们的外接球相同求出外接球的半径，再计算它的表面积．解：由AB⊥BC，PB⊥BC，可知BC⊥平面PAB；将三棱锥P﹣ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记△ABP的外心为E，由△ABD为等边三角形，可得BE＝1；又OE＝BC＝，所以在Rt△OBE中，OB＝2；此即为外接球半径，从而外接球表面积为S＝4π•22＝16π．故选：A．10．已知函数，f（x）＝xg（x），若f（2﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由已知函数解析式可判断f（x）的单调性及奇偶性，从而可求不等式．解：因为g（x）＝＝，由g（x）的解析式可知，g（x）在R上是奇函数且单调递增，f（x）＝xg（x）为偶函数，当x＞0时，有g（x）＞g（0），任取x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性质可得x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函数f（x）在（0，+∞）上递增再由f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a＜．故选：B．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某多面体的三视图，则该几何体各个表面的面积中，最小值为（）A．B．C．4D．2【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据三视图转换为直观图为：满足三视图的几何体为四棱锥P﹣ABCD，如图所示：则：，S△PCB＝4，S△PCD＝4，，所以该几何体的表面中的面积最小值为2．故选：A．12．已知函数仅有一个极值点1，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可得无解，令，利用导数可知时，无解，然后求出实数t的取值范围．解：由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），，因为函数恰有一个极值点1，所以无解，令，则，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以时，无解，仅有一个极值点1，所以t取值范围是．故选：B．二、填空题13．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x+y的值为．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式和中项性质，计算可得x，y，进而得到所求和．解：第一行成等差数列，所以前4项为6，7，8，9，第二行成等差数列，所以前4项为3，，4，，第三列成等比数列，可得8x＝16，所以x＝2，第四列成等比数列，公比为，所以y＝，x+y＝．故答案为：．14．为了得到函数y＝sin2x的图象，需将函数的图象沿x轴向右平移m个单位长度，则正实数m的最小值是．【分析】先根据诱导公式转化为同名三角函数，再结合图象变换规律即可求得结论．解：因为＝sin[+（2x﹣）]＝sin（2x+）＝sin2（x）；故函数的图象沿x轴向右平移+kπ，k∈N个单位长度即可得到函数y ＝sin2x的图象．故正实数m的最小值是．故答案为：．15．如图，圆锥底面半径为，体积为，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于1．【分析】由题意可得OP，及OE的值，建立适当的如图所示平面直角坐标系，可得C 的坐标，设抛物线的方程，将C的坐标代入求出参数的值，进而求出焦点坐标及准线方程，求出焦点到其准线的距离．解：建立如图的坐标系，BP为y轴，OE为x轴，E为坐标原点，由题意可得PO⊥面ABCD，所以V圆锥＝•PO＝（）2•PO＝，解得PO＝，由题意OE＝PB＝＝＝1，OC＝OD＝，所以C（﹣1，），设抛物线的方程为y2＝mx，将C的坐标代入得m＝2，即抛物线的分长为：y2＝﹣2x，焦点坐标为：（﹣，0），准线方程为x＝，故焦点到其准线的距离等于1．故答案为：1．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知，且a1＝若对任意的n∈N*，都有，则实数m的取值范围为（1，+∞）．【分析】通过，推出a n+2﹣2a n+1+a n＝0，说明{a n}为等差数列，求出通项公式a n，化简，令b n＝，判断数列{b n}从第二项起，单调递减，然后推出m＞1．解：依题意，，则，两式相减，可得a n+2﹣2a n+1+a n＝0，所以{a n}为等差数列，由，得a2﹣2a1+＝0，又a1＝，解得a2＝，所以a n＝n+，S n＝＝，则＝，令b n＝，b n+1﹣b n＝，当n≥2时，b n+1﹣b n＜0，数列{b n}单调递减，而b1＝，b2＝1，b3＝，故m＞1．故答案为：（1，+∞）．三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2b cos C．（1）求sin B的值；（2）若，求c+a的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可求cos B＝，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求c+a＝2sin（A+），由题意可求范围＜A+＜，利用正弦函数的性质即可求解其范围．解：（1）因为2a﹣c＝2b cos C，所以2sin A﹣sin C＝2sin B cos C，所以2sin（B+C）﹣sin C＝2sin B cos C，即2sin B cos C+2cos B sin C﹣sin C＝2sin B cos C，整理得sin C＝2cos B sin C，因为sin C≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以sin B＝．（2）由（1）sin B＝，所以＝2，从而a＝2sin A，c＝2sin C，所以c+a＝2sin C+2sin A＝2sin（﹣A）+2sin A＝cos A+3sin A＝2sin（A+），因为A+C＝，所以0＜A＜，从而＜A+＜，故＜2sin（A+）≤2，故c+a的范围为（，2]．18．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为x＝1，x＝2，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活．但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为8%，问该家庭2020年底能否实现小康生活？参考数据：，6＝8610，1.0810≈2.16参考公式：，＝﹣．【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝12求得y值，即可得到2019年12月该家庭人均月纯收入预估值，乘以可得该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）每月的增长率为8%，设从3月开始到12月的纯收入之和为S10，利用等比数列前n项和求得S10，加上1000与8000比较大小得结论．解：（1）依题意，得，，，，∴，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）令x＝12，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为40×12+270＝750元．故2020年3月份该家庭的人均月纯收入为元．（3）每月的增长率为8%，设从3月开始到12月的纯收入之和为S10，则＝．S12＝1000+S10＝8250＞8000．故到2020年底能如期实现小康．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，，求A1到平面BCC1B1的距离．【分析】（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，推导出OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1BD．（2）推导出AB⊥BC，从而BC⊥平面AA1B1B，设A1到平面BCC1B1的距离为h，由，能求出A1到平面BCC1B1的距离．解：（1）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，因为D是AC的中点，所以OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．（2）解：∵AC＝2，AB＝，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝3，即3＝4+BC2﹣2×2×BC×cos60°，∴BC＝1，∵AC2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B，∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝．BC＝B1C1＝1，∴＝＝．∴＝＝＝．设A1到平面BCC1B1的距离为h，＝＝，＝，∵，∴＝，解得h＝，∴A1到平面BCC1B1的距离为．20．设椭圆的左顶点为A，右顶点为B，已知椭圆C的离心率为，且以线段AB为直径的圆被直线所截的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆C的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求x0的取值范围．【分析】（1）由离心率和线段AB为直径的圆被直线所截的弦长及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F的坐标，设在直线PQ的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ的中点的坐标，当k＝0时，则x0＝0；当k≠0，由MN的斜率与直线PQ 的斜率互为负倒数，解得x0的表达式，由x0＝＝，进而求出x0的取值范围．解：（1）以线段AB为直径的圆的圆心为（0，0），半径r为a，圆心到直线的距离d＝＝1，直线被圆截的弦长为2＝2＝2，解得a＝，又椭圆的离心率为e＝＝，所以c＝2，b＝＝＝所以椭圆的方程为+＝1；（2）依题意，F（2，0），直线PQ的方程为y＝k（x﹣2．联立方程组，消去y并整理得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），故x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝，设PQ的中点为N，则N（，）．因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），①当k＝0时，那么x0＝0；②当k≠0时，k MN•k＝﹣1，即•k＝﹣1．解得x0＝＝．因为k2＞0，所以3+＞3，0，即x0∈（0，）．综上，x0的取值范围为[0，）．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）求函数f（x）的值域；（2）令在（2，+∞）上的最小值为m，求证：．（参考数据：ln7≈1.946，ln8≈2.079，ln9≈2.197，ln10≈2.30）【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最值，即可求解；（2）结合导数可表示m，代入后利用导数与单调性及最值关系可证明．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）单调递减；所以f（x）在x＝1取得极大值也是最大值．即f（x）max＝f（1）＝0，又由y＝lnx的图象知当x趋近0时y＝lnx无限小，故f（x）≤0．（2）证明：＝，x＞2，于是，令h（x）＝x﹣2lnx﹣4，则，由于x＞2，所以h′（x）＞0，即h（x）在（2，+∞）上单调递增；又h（8）＜0，h（9）＞0，所以存在x0∈（8，9），使得h（x0）＝0，即2lnx0＝x0﹣4，当x∈（2，x0）时，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时h（x）＞0，即g（x）在（2，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（x0）＝＝＝即m＝，所以f（2m）＝f（x0）＝1﹣x0+lnx0＝﹣，即﹣．22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角形的面积和公式的应用求出结果．解：（1）依题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：x2+y2﹣x＝0，根据整理得ρ＝cosθ，由于曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为．（2）将θ＝θ0代入，得到，将θ＝θ0代入ρ＝cosθ得到ρP＝cosθ0，由于|OQ|＝2|OP|，所以2ρP＝ρQ，所以，解得，所以．由于，所以，，故△PMQ的面积S△MPQ＝S△OMP﹣S△OMQ＝．23．已知函数．（1）求不等式f（x）＞1的解集；（2）若正数a，b，c满足，求的最小值．【分析】（1）把根式开方，然后对a分类求解不等式，取并集得答案；（2）求出a+4b+9c＝3，可得＝，展开后利用基本不等式求最值．解：（1）＝|x﹣3|﹣2|x|．当x≤0时，不等式f（x）＞1化为x+3＞1，解得x＞﹣2，又x≤0，∴﹣2＜x≤0；当0＜x＜3时，不等式f（x）＞1化为3﹣3x＞1，解得x＜，又0＜x＜2，∴0＜x＜；当x≥3时，不等式f（x）＞1化为﹣x﹣3＞1，即x＜﹣4，又x≥3，∴此时不等式无解．综上，不等式f（x）＞1的解集为（﹣2，）；（2）＝3，∴＝＝＝．当且仅当a＝b＝c时上式等号成立．∴的最小值为．。

山西省太原市第五中学2020届高三6月一模考试+数学(理)试卷

悔 ሻ
A. [ 3, 3] B. [ , ]
C. [ , ]
D. ⌀
. 设 z = a + bi 且 a、b ∈ R，“z 是纯虚数”是“a = 0”的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若双曲线ሼ ‫ נּ‬什 1悔
ሻ的一条渐近线与直线
得最小值的是悔 ሻ
A. 什 ‫ נּ‬ሼ B. 什 ‫ נּ‬ሼ C. 什 1 ‫ נּ‬ሼ D. 什 ‫ נּ‬ሼ
. 把 9 个完全相同的口罩分给 6 名同学，每人至少一个，不同的分法有悔 ሻ种
A. 41
B. 56
C. 156
D. 252
7. 如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成
C. f( − cosA)sin2B > f(sinB)cos2A
D. f(cosC)sin2B > f(sinB)cos2C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 5
3 被 7 除后的余数为______．
1 . 若顶点在原点的抛物线经过三个点悔 ,1ሻ，悔1, ሻ，悔 , ሻ中的 2 个点，则满足要
A.
B. 3 C.
D. 3
1 . 设 f′(x)是函数悔‫נּ‬ሻ悔‫נּ‬
ሻ的导函数，且满足悔‫נּ‬ሻ
悔‫נּ‬ሻ，若在△ ABC 中，∠A
‫נּ‬
为钝角，则下列不等式一定成立的是悔 ሻ
A. f(sinA)sin2B < f(sinB)sin2A
B. f(sinC)sin个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.且 ݅ 悔 ೃሻ 什 3 ，若 AC 边上的中线 BM 的长为 2，则△ ABC 面积的最大值为__________．

【6月15日太原三模理数】2020年6月山西省太原市高三年级模拟试题(三)理科数学试卷含答案

第 5 页共 5 页 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。

2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(6月份)

A. B. C. D.
12.已知函数仅有一个极值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题
在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么的值为________．
为了得到函数＝的图象，需将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，则正实数的最小值是________．
根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系（记年月、月……分别为＝，＝，…，依此类推），由此估计该家庭年能实现小康生活．但年月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭年第一季度每月的人均月纯收入只有年月的预估值的．
（1）求关于的线性回归方程；
乙组数据的平均数是：，
4.
【答案】
Bห้องสมุดไป่ตู้
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
结合指数函数与对数函数的单调性即可比较大小．
【解答】
因为，
所以，，＝，，
所以，
5.
【答案】
C
【考点】
两向量的和或差的模的最值
【解析】
设出的坐标，根据向量之间的关系把坐标用表示，再结合二次函数的性质即可求解．
【解答】
【考点】
复数的运算
【解析】
把＝代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为得答案．
【解答】
∵ ＝，
∴ ，
又是实数，＝，
3.
【答案】
D
【考点】
茎叶图
【解析】
根据茎叶图得出数据，分别计算即可．
【解答】
由茎叶图得：
甲组数据为：

山西省2020年高考理科数学模拟试题及答案(二)

山西省2020年高考理科数学模拟试题及答案（二）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合M ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x|y ＝lg （x ﹣2）}，则M∪N ＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）2. 若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（）A. 3B.C.D. ﹣33．若，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．已知()()4,f x g x =-函数()g x 是定义在R 上的奇函数,若(2017)2017,f =则(-2017)f = （）。

A ．-2017B ．-2021C ．-2025D ．20255. 已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，则球面面积为（） A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π6是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,8B ．()1,+∞C ．()4,8D ．[)4,87. 已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos2α= ( ) A．B．CD8. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 1209. 定义运算：32414321a a a a a a a a -=，将函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=（0>ω）的图像向左平移32π 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（） A.45 B.41 C.47 D.43 10.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数y ax z 3+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围（）A.（-6，-3）B.（-6,3）C.（0,3）D.（-6,0]11.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（） A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B. （0，+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为F ，点B 的坐标为(0，b)，若直线BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，且，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C.D. 2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷(6月适应性测试)-学生用卷

2020年山西运城高三下学期高考模拟理科数学试卷（6月适应性测试）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第1题5分⩽0}，B={x|ln⁡x>1}，则A∩B=（）．已知集合A={x|x−3x−1A. {x|e<x<3}B. {x|e<x⩽3}C. {x|1<x<e}D. {x|1⩽x<e}2、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第2题5分若复数z=(a2−4)+ai2021(a∈R)，i为虚数单位，则“z为纯虚数”是“a=2”的（）．A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第3题5分已知a=log4⁡2.5，b=log2⁡1.5，c=0.4−1.5，则（）．A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. c<a<b4、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第4题5分函数f(x)=xtan⁡x(−1⩽x⩽1)的图象可能是（）．A.B.C.D.5、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第5题5分在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,+∞)内取值的概率为（）．A. 0.8B. 0.4C. 0.3D. 0.26、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第6题5分执行如图所示的程序框图，则输出的T=（）．A. 85B. 43C. 32D. 17、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第7题5分已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√3，且a →与b →的夹角为π6，则|2a →−b →|=（）． A. 12 B. √13 C. 13 D. 18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第8题5分已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 13=135，则a 7=（）． A. 15 B. 25 C. −15 D. −259、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第9题5分根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u =ln⁡y ，v =(x −4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为u ^=−0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（）．A. eB. ln⁡2C. e 2D. 2ln⁡210、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第10题5分已知函数f (x )=Asin⁡(ωx +φ)（A >0，ω>0，0<φ<π）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（）．A. f (x )的最小正周期为π2B. f (x )的最大值为4C. (−7π24,0)是f (x )的一个对称中心 D. 函数f (x )在区间(−π,−512π)上单调递增11、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第11题5分已知直线y =34x 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）相交于不同的两点A 和B ，F 为双曲线C的左焦点，且满足AF ⊥BF ，则双曲线C 的离心率为（）．A. √10+12B. √104C. √102D. √10−112、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第12题5分已知函数f(x)=ln⁡(x +√x 2+1)满足对于任意x 1∈[12,2]，存在x 2∈[12,2]，使得f (x 12+2x 1+a )⩽f (ln x 2x 2)成立，则实数a 的取值范围为（）．A. (−∞,ln22−8]B. [ln22−8,−54−2ln⁡2]C. [ln22−8,+∞)D. (−∞,−54−2ln⁡2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第13题5分我校高一、高二、高三共有学生2400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这2400名学生中抽取一个容量为48的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为．14、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第14题5分已知函数f(x)={x2−2ax+12,x⩽1x+4x+a,x>1，若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是．15、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第15题5分已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然情况下（没有外力介人，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO=1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为．16、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第16题5分农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称角黍，是端午节大家都会品尝的食品．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第17题12分(sin⁡B−sin⁡C)．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin⁡A−sin⁡C=ba+c(1) 求角A．(2) 从三个条件：①a=3；②b=3；③△ABC的面积为3√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第18题12分如图，由直三棱柱ABC−A1B1C1和四棱锥D−BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB= 2，BC=CC1=4，C1D=CD=2√5，平面CC1D⊥平面ACC1A1．(1) 求证：A1C1⊥DC．(2) 在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角的正弦值为√3？若存在，3的值，若不存在，说明理由．求BPBC19、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第19题12分，(a∈R)．已知函数f(x)=e x+ax−12(1) 判断函数f(x)的单调性．(2) 设g(x)=12−ln⁡x，F(x)=f(x)−g(x)，求证：当a∈(−2,0)时，函数F(x)只有一个零点．20、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第20题12分已知椭圆E：x 2a2+y2=1(a>1)的离心率为√32，右顶点P(a,0)是抛物线C：y2=2px的焦点．(1) 求抛物线C：y2=2px的标准方程．(2) 若C上存在两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足OA→⋅OB→=20，且△PAB的周长为2|AB|+4，求|AB|的值．21、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第21题12分某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.01，0.05．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为16万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元．生产线②：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.02．若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元．(1) 若选择生产线②，求生产成本恰好为20万元的概率．(2) 为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，共10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：{x=m+√22ty=√22t（t是参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=6sin⁡θ．(1) 若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2，试求实数m值．(2) 设M(x,y)为曲线C上任意一点，求y−x的取值范围．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西运城高三下学期高考模拟理科（6月适应性测试）第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|+|x−1|，a∈R．(1) 若不等式f(x)⩽2−|x−1|无解，求实数a的取值范围．(2) 当a<2时，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 C;12 、【答案】 A;13 、【答案】800;14 、【答案】[3,+∞);15 、【答案】120;;16 、【答案】4√2;2717 、【答案】 (1) π．3;(2) ①(6,9]；②(6,+∞)；③[6√3,+∞)．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 存在，BPBC =√29−25．;19 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(ln⁡(−a),+∞)上单调递增，在(−∞,ln⁡(−a))上单调递减．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) y2=8x．;(2) 30．;21 、【答案】 (1) 0.0192．;(2) 应选生产线②；证明见解析．;22 、【答案】 (1) m=1或m=−7．;(2) [3−3√2,3+3√2]．;23 、【答案】 (1) (−∞,0)∪(4,+∞)．;(2) a=−2．;。

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科) 含解析

2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx04．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+188．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4] 10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+112．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，∴A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{2x﹣2≤0}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：复数z＝1+i，|z|＝，z2＝（1+i）2＝2i，则+z2＝＝＝1﹣i+2i＝1+i故选：A．3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx0【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．解：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是：“∃x∈（0，1），e﹣x≤lnx”．故选：D．4．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，和向量投影的概念，计算即可得到所求值．解：||＝，||＝2，若⊥（﹣），则•（﹣）＝0，即为•＝2＝3，（+）•＝•+2＝3+4＝7，则向量+在向量方向的投影为＝．故选：B．5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：sin A＞sin B⇔a＞b⇔π＞A＞B＞0，∵π＞A＞B＞0推不出tan A＞tan B，tan A＞tan B推不出π＞A＞B＞0，∴“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n×S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：执行程序框图，可得S＝0，n＝2，满足条件，S＝，n＝4，满足条件，S＝＝，n＝6，满足条件，S＝+＝，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为＝．故选：D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+18【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高h＝，圆锥母线l＝，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为S＝＝，故几何体的体积为：V＝，故选：C．8．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]【分析】利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：因为y＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，解得2kπ﹣≤2x≤2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以当k＝1时，增区间为[，]，∵x∈[0，]，∴增区间为[，]，故选：D．9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中A（2，6），直线x+my+1＝0过定点D（﹣1，0），当m＝0时，不等式x+1≤0表示直线x+1＝0及其左边的区域，不满足题意；当m＞0时，直线x+my+1＝0斜率﹣＜0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0下方的区域，不满足题意；当m＜0时，直线x+my+1＝0的斜率﹣＞0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，只需直线x+my+1＝0的斜率﹣≤K AD＝2，解得m．综上可得实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]【分析】先对函数f（x）求导，然后结合导数与函数的性质可求m，代入不等式可求n 的范围，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，分离参数后结合对勾函数的性质可求．解：因为f（x）＝e x﹣1+x﹣2，且f（1）＝0，所以函数f′（x）＝e x﹣1+x﹣2单调递增且有唯一的零点为m＝1，所以|1﹣n|≤1，∴0≤n≤2，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，即a＝＝＝x+1+﹣2，在区间[0，2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数y＝x+1+﹣2，在区间[0，2]的值域为[2，3]，∴2≤a≤3，故选：D．11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+1【分析】先根据导函数的几何意义求出点Q的坐标，再代入双曲线方程结合c＝1，c2＝a2+b2，从而求出离心率．解：依题意可得，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），F关于原点的对称点（﹣1，0），∵2＝4α，，所以，f'（x）＝，设Q，则，解得x0＝1，∴Q（1，1），可得，又c＝1，c2＝a2+b2，可解得a＝，故双曲线的离心率是，故选：B．12．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]【分析】函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．利用导数可得，当x∈（0，e]，0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，分析知F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，可得当x∈（0，x1）时，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F（x）在（x1，e）上是减函数．结合∀x0∈（0，e]，方程lnx ﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，得F（x）max＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由此求得1＜a＜2e．解：函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．f′（x）＝e1﹣x﹣xe1﹣x＝（1﹣x）e1﹣x，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，因此0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，F′（x）＝，若F′（x）＝0在（0，e）上无解，则F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，当x∈（0，x1）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F′（x）＜0，F（x）在（x1，e）上是减函数．∵∀x0∈（0，e]，方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，∴F（x）max ＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由F（e）≤0，即lne﹣e2+ae+1≤0，解得a≤e﹣．由F（x）max＝F（x1）＞1，即＞1，∴＞0．∵，∴，代入＞0，得＞0．设m（x）＝lnx+x2﹣1，m′（x）＝＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，而m（1）＝ln1+1﹣1＝0，由＞0，可得m（x1）＞m（1），得1＜x1＜e．由在（1，e）上是增函数，得1＜a＜2e．综上所述1＜a≤e﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为3．【分析】由二项式定理及展开式的通项公式即可求解．解：由（1﹣x）6展开式的通项为：T r+1＝（﹣1）r x r；得（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为+（﹣2）＝3．故答案为：3．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB，然后结合余弦定理可求AB，代入已知公式即可求解．解：因为tan∠ACB＝tan（∠ACD+∠BCD）＝＝﹣，所以cos∠ACB＝﹣，由余弦定理可知AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB，＝＝16，即AB＝4，根据“三斜求积术”可得S2＝＝，所以S＝．故答案为：15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形面积的最小值求出MC的最小值，利用点到直线的距离求解即可．解：连接MC，由圆的切线性质可知，AC⊥MA，BC⊥MB，又因为圆C：x2+y2+2y＝0的圆心C（0，﹣1），半径r＝1，所以S MACB＝2△MAC＝2×＝MA＝，要使得四边形MACB的面积最小，则MC最小，即当CM垂直直线y＝kx+7时，满足题意，此时|MC|min＝，S MACB的最小值为，又因为1≤k≤4，解可得，，故所求的概率为：．故答案为：．16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是①②③．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①由线面垂直的判定定理与性质定理即可判断；②三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，进而求出外接球的半径，即可得解；③由线面垂直的判定定理可知SO⊥平面ABC，所以SO⊥OC，再结合勾股定理以及内切圆的半径公式可求得SO＝1，最后利用三棱锥的体积公式即可得解；④因为SA⊥平面ABC，所以直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合，再在△SCA中，求出tan∠ASC即可得解．解：对于①，因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面SAC，所以BC⊥SC，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，∴三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设△ABC内心是O，则SO⊥平面ABC，连接OC，则有SO2+OC2＝SC2，又内切圆半径，所以，SO2＝SC2﹣OC2＝3﹣2＝1，故SO＝1，∴三棱锥S﹣ABC的体积为，∴③正确；对于④，若SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A 点重合，在Rt△SCA中，，∴∠ASC＝45°，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45°，∴④不正确，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（n+1）•2n+1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）设数列{a n}的公差为d，a4+a6＝18，可得2a1+8d＝18，即a1+4d＝9，S11＝121，可得11a1+×11×10d＝121，即a1+5d＝11，解得a1＝1，d＝2，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知b n＝（a n+3）2n＝（n+1）•2n+1，数列{b n}的前n项和为T n＝2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，2T n＝2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，两式作差，得﹣T n＝8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2＝8+﹣（n+1）•2n+2，化简可得T n＝n•2n+2．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由已知可得列联表，利用K2计算公式即可得出．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．解：（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下2×2列联表：男生女生总计书虫12416非书虫384684总计5050100根据列联表中数据可得：K2＝＝4.762．由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为X012PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．【分析】（1）取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．EO⊥平面ABCD．EO ⊥BD，由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面EOF．从而BD⊥EF．（2）连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．推导出DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣B的余弦值．解：（1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以EO⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为OF∥AC，所以BD⊥OF，所以BD⊥平面EOF．又EF⊂平面EOF，所以BD⊥EF．（2）解：连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），E（，0，0），D（0，0，），F（0，，），B（0，1，0），＝（，0，﹣），＝（0，）．设平面DEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，所以＝（1，，1）．又由（1）可知EO⊥平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为＝（1，0，0），设二面角E﹣DF﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|（2）我们知道抛物线有性质：＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程．（2）求出F2（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，不妨设y1＞0，y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，通过，转化求解，推出|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，点的存在实数．解：（1）根据椭圆的定义，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，△AF1B的周长为4a＝8，得a＝2，所以，椭圆E的方程为：+＝1，将点P（1，）代入椭圆E的方程可得b＝，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由（1）可知c＝＝1，得F2（1，0），依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝my+1，由消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，，不妨设y1＞0，y2＜0，|AF2|＝＝＝，同理|BF2|＝，所以＝＝＝•＝，即|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，所以存在实数，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2））根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y ﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，利用基本不等式得到对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，利用导数得到当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，所以m≤2，从而求得实数m的取值范围．解：（1）设t（x）＝f（2x）＝e2x﹣2+1，则t'（x）＝2e2x﹣2，当x＝1时，t（1）＝2，t'（1）＝2，∴函数f（2x）在x＝1 处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0；（2）根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，∵g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2＝e x﹣2（e y+e﹣y）+2（当且仅当y＝0时取等号），∴由题意可得2e x﹣2+2≥mx，即有对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，则h'（x）＝2×＝2×，令h'（x）＝0，即有（x﹣1）e x﹣2＝1，令m（x）＝（x﹣1）e x﹣2，则m'（x）＝e x﹣2+（x ﹣1）e x﹣2＝xe x﹣2，当x＞0 时，m'（x）＝xe x﹣2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵m（2）＝（2﹣1）e2﹣2＝1，∴（x﹣1）e x﹣2＝1有且仅有一个根x＝2，当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，∴当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，∴m≤2，∴实数m的取值范围（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于：直线l与圆C相交于A，B两点，故：圆心（）到直线的距离d＝，则：＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1））利用函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，分段解不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2即可；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，利用绝对值不等式的意义，可得⇔，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，再解|2a﹣2|≥a+1即可．解：（1））函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6；当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，＜x＜2；当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|＞或x＜﹣6}．（2）当a＞0时，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+a|x+2|＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，∵不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，∴|2a﹣2|≥a+1，2a﹣2≥a+1或2a﹣2≤﹣1﹣a，解得a≥3或0＜a≤，∴实数a的取值范围为（0，]∪[3，+∞）．。

山西省太原2020年高三年级模拟试题(一)理科数学(含答案)

山西太原市2020年高三模拟试题（一）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（）A.3=aB.4=aC.5=a D.6=a 7.73)13(x x +展开式中的常数项是（）A.189B.63C.42D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R （sin 2B-sin 2A ）=（a +c ）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =．（I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=．（1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。

山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。

2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(6月份) (含解析)

2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x+2>0}，B={x|x<3}，则A∩B=()A. (−2,3)B. (0,3)C. (−3,0)D. (−3,−2)2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为5，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，84.已知a=log1513，b=log35，c=log5(cos15π)，则()A. b<a<cB. a<b<cC. c<a<bD. c<b<a5.已知向量a⃗=(1,0)，b⃗ =(t,2t)，t为实数，则|a⃗−b⃗ |的最小值是A. 1B.C.D.6.谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：(1)取一个实心的等边三角形(图1)；(2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；(3)挖去中间的那一个小三角形(图2)；(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(3)(4)(图3)．制作出来的图形如图4，…．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为()A. 916B. 419C. 2764D. 8277. 如图所示的程序框图表示的算法功能是( )A. 计算2+22+⋯+264B. 计算1+2+22+⋯+264C. 计算1+2+22+⋯+265D. 以上均不对8. 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 且斜率为12的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，若2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率等于( )A. √10B. √13C. √102 D. √1329. 已知平面四边形ABCD 是菱形，∠BAD =π3，AB =2√3，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A′BD 的位置，且二面角A′−BD −C 的平面角为2π3，则三棱锥A′−BCD 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 24πC. 28πD. 32π10. 若函数f(x)={log 2x,x >0log 12(−x),x <0，若af(−a)>0，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 16+16√2B. 32+16√2C. 48D. 64312. 设函数f(x)=e x x+t (1nx −2x −1x )恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A. {√e 2}∪(1,+∞)B. {e3}∪[1,+∞) C. {√e 2,e 3}∪[1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若等比数列{a n }满足a n a n+1=9n ，则此等比数列的公比为______ ．14. 要得到y =cos(2x −π4)的图象，只需将y =cos2x 的图象向右平移______ 个单位长度． 15. 若抛物线y =ax 2(a >0)的焦点到准线的距离为1，则a =________________ ．16. 已知数列a n 的前n 项和S n =−a n −(12)n−1+2(n ∈N ∗)，则数列{2n a n }的前100项的和为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c −acosB)=√3b ．(1)求角A ；(2)若a =2，求△ABC 面积的取值范围．18. 某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；其中：参考公式：b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x −⋅y −∑x i 2n i=1−n⋅x −2，a ̂=y −−b ̂x ，参考数据：∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1270(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=120°，且AC=BC=AA1=2，E是CC1中点，F是AB中点．(1)求证：CF//平面AEB1；(2)求点B到平面AEB1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为√2−1．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，直线MP ⊥AB ，若P 点的坐标为(x 0,0)，求x 0的取值范围．21. 已知函数，x ∈(1,2)(1)求函数f(x)的值域；(2)设b ≠0，函数g(x)=13bx 3−bx ，x ∈(1,2).若对任意x 1∈(1,2)，总存在x 2∈(1,2)，使f(x 1)=g(x 2)，求实数b 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程{x =4ty =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23.已知函数f(x)=｜2x+1｜−｜x−2｜−1，不等式f(x)≤k的解集为[−5,1]．(1)求实数k的值；(2)若正数a、b满足√ab=k，求2a+4b的最小值．2-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={x|x+2>0}={x|x>−2}，B={x|x<3}，则A∩B={x|−2<x<3}=(−2,3)．故选：A．化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i1−i +2+i=2i(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+2i，∴复数z的虚部为2．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：甲组数据分别为：9，12，10+x，24，27；乙组数据分别为：9，15，10+y，18，24．因为甲组的中位数为15，所以10+x=15，所以x=5；因为乙组的平均数为16.8，所以9+15+10+y+18+245=16.8，所以y=8，故选：C．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．4.答案：C解析：本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用，是基础题．利用对数函数的单调性直接求解即可．解：∵0=log 151<a =log 1513<log 1515=1，b =log 35>log 33=1，c =log 5(cos 15π)<log 51=0， ∴c <a <b ．故选：C ．5.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题．由题意利用两个向量的数量积的定义求得|a ⃗ −b ⃗ |=√5(t −15)2+45，利用二次函数的性质求得它的最小值．解：∵a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(t,2t)，则|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√(a ⃗ )2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1−2t +5t 2=√5(t −15)2+45，故当t =15时，|a ⃗ −b ⃗ |取得最小值为√5=2√55，故选B ．6.答案：C解析：本题考查了归纳推理的应用，属于基础题．根据每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍．求出图4的阴影面积即可．解：由题知，每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍．∵若图1(阴影部分)的面积为1，则图4阴影部分的面积为1×34×34×34=2764．故选C ．7.答案：B解析：解：由已知可知程序的功能是利用循环进行累加运算，由于循环变量i 的初值为0，终值为64，步长为1，故循环共进行了65次，由于累加变量的初值为0，步长为2i ，故第一次累加的值为1，第二次为2，…，第65次为264，可得程序框图表示的算法功能是计算1+2+22+⋯+264．故选：B ．由已知中的程序框图，我们分析循环变量的初值，终值，步长后可以确定循环的次数，进而分析累加项的通项公式，及步长，即可确定答案．本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环变量的初值，终值，步长确定循环的次数，是解答本题的关键．8.答案：D解析：解：依题意可知点A 在第二象限，点B 在第一象限，直线l 方程为y =12(x +c)，由{y =12(x +c)y =−b a x 得x A =−ac a+2b ，由{y =12(x +c)y =b a x 得x B =ac2b−a，(2b >a)，由2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2|x A |=|x B |，即2aca+2b =ac2b−a 整理得2b =3a ，又因为b 2=c 2−a 2，所以4(c 2−a 2)=9a 2，得4c 2=13a 2，所以e =ca =√132．故选：D ．求出直线方程，利用双曲线的渐近线求出A ，B 的横坐标，利用向量的关系，求解a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，向量共线条件的应用，是中档题．。

山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A卷

山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A 卷理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|1}A x x x B x x =-<=≤，则A B = （）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,2)-D ．[1,1]-1．答案：C解析：2{|20}{|02},{|1}{|11}A x x x x x B x x x x =-<=<<==-≤≤≤，所以[1,2)A B =- ． 2．已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案：D解析：如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，所以仅由m n ⊥不能推出αβ⊥ 两个平面互相垂直，并不能保证两个平面内的任意两条直线垂直，所以m n αβ⊥⇒⊥/．所以“m n ⊥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件．3．已知向量,a b 不共线，若向量()()3//a b ka b +-，则实数k =（）A ．13-B ．12-C ．13D ．123．答案：A解析：因为,a b 不共线，且()()3//a b ka b +-，所以131k =-，解得13k =-．4．函数224()(2)2x x f x x x -+=>-的最小值是（）A ．3 B ．4C ．5D ．64．答案：D解析：22444()(2)226222x x f x x x x x x -+==+=-++=---≥，当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立，故()f x 的最小值是6．5．已知,(0,)αβπ∈，tan ,tan αβ是方程2420x x ++=的两根，则cos()αβ+的值是（）A B ．C ．45D ．45-解析：由已知得tan tan 40,tan tan 20αβαβ+=-<=>，所以tan 0,tan 0,,,2παβαβπ⎛⎫<<∈⎪⎝⎭，所以tan tan tan()401tan tan αβαβαβ++==>-，且32ππαβ<+<，所以cos()αβ+=． 6．对于函数2()1x f x e =+的图象，下列说法正确的是（） A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于直线1x =对称D ．关于直线y x =对称6．答案：B解析：2222()()21111xx x x xe f x f x e e e e-+-=+=+=++++，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称． 7．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（） A ．22y x =- B ．1y x =- C ．22y x =-+ D ．1y x =-+7．答案：A解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减，得：121212()()4()y y y y x x +-=-，又12121,22y y y y +=∴+=，所以直线AB 的斜率12121242y y k x x y y -===-+，又(1,0)F ，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即22y x =-． 8．执行如图所示的程序框图（其中a mod b 表示a 除以b 后所得的余数），则输出的N 的值是（） A ．78 B ．79 C ．80D ．818．答案：D解析：容易看出，该程序框图的功能是统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数，在1~2020中，能被20整除的数有101个，但其中100，200，300，…，2000这20个数能被100整除，故符合条件的整数个数为1012081-=．9．某部门共有4名员工，某次活动期间，周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工，则该活动值班岗位的不同安排方式共有（） A ．120 B ．132 C ．144 D ．156解析：由题意可知，4个值班岗位有三类不同的排法：第一类，4个员工各安排1个岗位，对应排法数为4424A =；第二类，1个员工被安排2个值班岗位，另2个员工各安排一个值班岗位，排2个岗位的员工有4个人选，且必然是周六一个岗位，周日一个岗位，故排法为111422C C C ，其余两个岗位排法为23A ，于是第二类排法数为1212422396C C C A =；第三类，2个员工各安排2个值班岗位，4人中，被安排值班岗位的人选共246C =种可能，周六、周日的安排各有22A 种可能，故此类排法共有22242224C A A =．于是所有排法为249624144++=．10．将函数2()2sin cos f x x x x =-+的图象向左或向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，则实数a 的最小值为（） A ．524πB ．4πC ．3πD ．6π10．答案：D解析：2()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==-⎪⎝⎭， ()()2sin 223g x f x a x a π⎛⎫∴=±=-± ⎪⎝⎭，由()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知函数()g x 关于直线12x π=对称，所以2,632a k k ππππ-±=+∈Z ，所以,23k a k ππ±=+∈Z ，故a 的最小值为6π． 11．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形ABCD 的面积相等，则双曲线E 的离心率为（） ABCD11．答案：C解析：由双曲线的定义及平面几何知识可知12222122,4,PF PF a PF PF c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②2-②①，得2122PF PF b ⋅=，所以四边形12PFQF 的面积21121222S PF PF b =⨯⋅=．由222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得x a y b =±⎧⎨=±⎩，所以四边形ABCD 的面积为2224S a b ab =⨯=，112．答案：B解析：由于222222()2()()a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-，设(,),(,)a M a e N b b ，则M 为函数x y e =图象上任意一点，N 为函数y x =图象上任意一点，也就是求2MN 的最小值． 12．解析：21i (1i)i 1i1i,1i i i 1z z ++⋅-+====-∴=+-． 14．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到下表：分数段 [70, 90) [90, 110) [110, 130)[130, 150]人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计本次考试成绩的中位数是．14．答案：115解析：由题意可知，直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故中位数位于第3个矩形处，而前2个矩形的面积之和为0.4，故第3个矩形在中位数左侧的面积为为0.1，故中位数为区间[110, 130)的最靠左的四等分点处．故中位数为115．15．已知直角三角形ABC 的两直角边之和为3，将ABC △绕一条直角边旋转一周，所形成旋转体的体积最大值是，此时该旋转体外接球的表面积为． 15．答案：4,253ππ 解析：设直角三角形的两直角边分别为,a b ，则3a b +=，以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为2232111(3)(3)333V a b a a a a πππ==-=-+，则21(36)(2)3V a a a a ππ'=-+=--，当02a <<时，0V '>；当23a <<时，0V '<．所以当2a =时，体积最大，最大值为43π．此时圆锥的底面半径2r a ==，高1h b ==，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=，即22(2)1R R -+=，解得52R =，所以圆锥外接球的表面积2425S R ππ==． 16．已知变量m 的取值完全由变量,,,a b c d 的取值确定，某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好,,,a b c d 四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到下表：试验编号 a b c d m ① 1 1 1 1 4 ② 1 1 1 2 2 ③ 1 1 2 2 1 ④2221则m 关于,,,a b c d 的表达式可能是．16．答案：2()a b m cd +=或8()m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式．解析：本题为开放题，答案不唯一．例如，可对比试验①②推断m 与d 成反比，对比试验②③推断m 与c 成反比，对比③④推断m 与a b +成正比（或成反比）．由此可得a bm kcd+=，代入试验①的数据，解得2k =，故2()a b m cd+=是一种可能的表达式；或设()k m a b cd =+，代入试验①的数据，解得8k =，故8()m a b cd=+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，均有2423n n n S a a =+-．（1）求n a ；（2）求数列{(1)}nn a -的前n 项和n T ．17．（1）由2423n n n S a a =+- ①，可知当2n ≥时，2111423n n n S a a ---=+- ②-①②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，……………………3分由{}n a 是正项数列可知10n n a a -+>，故120n n a a ---=，…………………………………………4分故{}n a 是以2为公差的等差数列，又①中，当1n =时，可解得13a =或11a =-（舍去）．………5分于是21n a n =+．…………………………………………………………………………………………6分（2）根据题意，1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n -=-+-++--+-+ ③(1)⨯-③，得：1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n +-=-+++--+-+ ④………………8分-③④，得111(1)2322(1)2(1)(21)32(1)(21)1(1)n n n n n T n n -+--=-+-++-⋅--+=-+⨯+-+-- ……………10分解得(1)(1)1nn T n =-+-．………………………………………………………………………………12分解法二：当n 为偶数时，(13)(57)[(21)(21)]n T n n n =-++-+++--++= ，当n 为奇数时，1(1)1(21)2n n n T T a n n n -=+-=--+=--．故,2,n n n T n n ⎧=⎨--⎩为偶数为奇数……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左、右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C 的右焦点，PBF △的面积为1，求直线PB 的方程．18．解析：（1）由题意知12(A A ，设00(,)P x y ，则22222x y b -=⋅，则12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--，解得21b =．故椭圆方程为2212x y +=．…………………………………………………………………………5分（2）当直线BP 的斜率不存在时，BP 的方程为0x =，此时(0,1)P -，易知此时PBF △的面积为1，符合题意；……………………………………………………………………6分当直线BP 的斜率存在时，设BP 的方程为1y kx =+，将1y kx =+代入22220x y +-=，得：22(12)40k x kx ++=，解得1224,012k x x k =-=+，122412k BP x k∴=-=+．点F 到直线BP，…………………………………………………………………………10分OFPOF(1,0)F ，BF 直线BF 的方程为1x y +-12PBF S =⨯△，解得2d =，所以d =所以0012x y +-=，所以0030x y +-=或0010x y ++=，又点P 在椭圆22220x y +-=上，联立2230220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得2312160x x -+=，21234160∆=-⨯⨯<，所以无解；联立2210220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，(0,1)P ∴或41,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当点P 坐标为(0,1)时，直线BP 的方程为0x =，当点P 坐标为41,33⎛⎫-⎪⎝⎭时，直线BP 的方程220x y -+=．故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=．………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，160B BC ∠=︒，111B C AB ⊥．（1）证明：AB AC =；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，在线段11B C 上是否存在一点E ，使二面角11A CE C --？若存在，求111B EB C 的值，若不存在，请说明理由．19．解析：（1）取BC 的中点O ，连接11,,AO OB CB ，1BC BB = ，160B BC ∠=︒，1BCB ∴△为等边三角形，1B O BC ∴⊥．……………………………………………………………………………………2分又111111//,,BC B C B C AB BC AB ⊥∴⊥，又111,B O AB B BC =∴⊥ 平面1AOB ．……………4分又AO ⊂平面1AOB ，BC AO ∴⊥，O 为BC 中点，AB AC ∴=．……………………………5分1B1（2）设112AB BB ==，则12BC B C ==．,1AB AC AO ⊥∴=，又1112,OB AB OB AO ==∴⊥．………………………………7分以O 为原点，1,,OB OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则11(1,0,0),(C A B --．…………………………………………………………8分设111B E B C λ=，则1111(12CA CE CB B C λλ==+=-．设平面1ACE 的法向量为(,,)n x y z =，则10(12)0n CA z n CE x λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取x =21,2),22))y z n λλλλ=-=-∴=--，………………………10分易知平面1CEC 的法向量(0,0,1)m =，则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ ，解得14λ=或34λ=（舍去）．所以存在点E 满足条件，这时11114B E BC =．………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）某人某天的工作是，驾车从A 地出发，到B ，C 两地办事，最后返回A 地，A ，B ，C 三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如下表：路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地；方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办事后返回A 地．（1）若此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 20．解析：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A 地的时间为17点．因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是，降水的路段数不超过1．记事件123,,M M M 分别表示上午AB 路段降水，上午BC 路段降水，下午CA 路段降水，则所求概率123123123123()()()()P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；…………………………5分（2）设某路段正常行驶时间为x ，降水概率为p ，则该路段行驶时间X 的分布列为行驶时间X x1x +概率p1p -p故()(1)(1)E X x p x p x p =-++=+上午下午路段正常行驶所需时间（小时）降水概率行驶时间期望值降水概率行驶时间期望值AB 2 0.3 2.3 0.6 2.6 BC 2 0.2 2.2 0.7 2.7 CA30.33.30.93.9…………………………………………9分设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y ，Z ，则2.3 2.23.98.4, 2.6 2.7 3.38.6EY EZ =++==++=，因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地．……………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数1(),()ln 1x x e f x g x x x +==-．（1）当1x >时，不等式()f x m >恒成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099≈≈）（2）证明：当1x >时，()()f x g x <．21．解析：（1）当1x >时，21ln 1()(ln )x x f x x --'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x'=+>，………………………………………………………2分因此()F x 在(1,)+∞上单调递增，又455(3)ln 30,(4)ln 42ln 20344F F =-<=-=->，0(3,4)x ∴∃∈使得0()0F x =，即001ln 1x x =+，……………………………………………………4分当0(1,)x x ∈时，()0,()0,()F x f x f x '<<单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0,()F x f x f x '>>单调递增．00min 000011()()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++∴====∈+，所以整数m 的最大值为3．…………………6分（2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=，令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341,()64,()6x x x x e x x x e x x e ϕϕϕ''''''=+--=+-=+．……9分 ()0,()x x ϕϕ'''''>∴ 在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ'''''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>，即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分法二：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=，令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，显然()x ϕ'在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>，即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+．以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系．（1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化为直角坐标方程；（2）过曲线C 上的动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值．22．解析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==，……2分曲线C 的方程为224936x y +=，即22194x y +=．……………………………………………………4分（2）设(3cos ,2sin )P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，…………………………5分矩形的面积(33cos )(22sin )6(1sin cos sin cos )S θθθθθθ=--=--+，……………………7分令sin cos [t θθ+=∈，则21sin cos 2t θθ-=．223633(1),[S t t t t =-+=-∈，当t =max 9S =+．……………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证：（1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥；（2）2228271a b c ++<．23．证明：（1）111112132332123a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==48=；…………………………………………………………………………5分（2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，………………………………………………7分22222222222221(23)494612494612827a b c a b c ab ac bc a b c b c c a b c ∴=++=+++++>+++++=++ ………………10分。