数字信号处理第六章
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数字信号处理第三版西科大课后答案第6章
λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
G( p) 4 1
( p pk )
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到
数字信号处理 第六章
左半平面 ，相应的Ha(-s)的极点落在右半平面。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为： 1 2 Ha( j ) 1 ( )2 N c 2 将幅度平方函数 H a ( j ) 写成 s 的函数
1
H a ( j)
1 2
H a ( s) H a ( s)
1 s 2N 1 ( ) j c
1 2 k 1 jπ ( ) 2 2N
0
c
巴特沃斯幅度特性和N的关系
jΩ
幅度平方函数有2N个极点：
sk (1) ( jc ) c e
1 2N
s0
s1 s2
s5
s4
σ
k=0, 1, 2, … , (2N-1)
取s平面左半平面的N个极点构成 H a ( s )
H ( j ) Ha ( j ) 因此有： 一般滤波器的冲激响应为实数，
H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) | s j
如果能由 α p、 p、αs、s ，求出 H a ( j ) 就很容易得到所需要的 H a ( s)
2
2
注意：Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在 s 平面的
s3 c
1 j π e 3 ,
s 4 c , s5 c
3 c 2 j π 3
1 j π e3。
取左半平面3个极点组成Ha(s) H ( s ) a 采用3dB截止频率 c对 H a ( s )
H a ( s) 1 N 1 sk s ( ) c k 0 c
功能
现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机 信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为： 1 2 Ha( j ) 1 ( )2 N c 2 将幅度平方函数 H a ( j ) 写成 s 的函数
1
H a ( j)
1 2
H a ( s) H a ( s)
1 s 2N 1 ( ) j c
1 2 k 1 jπ ( ) 2 2N
0
c
巴特沃斯幅度特性和N的关系
jΩ
幅度平方函数有2N个极点：
sk (1) ( jc ) c e
1 2N
s0
s1 s2
s5
s4
σ
k=0, 1, 2, … , (2N-1)
取s平面左半平面的N个极点构成 H a ( s )
H ( j ) Ha ( j ) 因此有： 一般滤波器的冲激响应为实数，
H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) | s j
如果能由 α p、 p、αs、s ，求出 H a ( j ) 就很容易得到所需要的 H a ( s)
2
2
注意：Ha(s)必须是稳定的，因此极点必须落在 s 平面的
s3 c
1 j π e 3 ,
s 4 c , s5 c
3 c 2 j π 3
1 j π e3。
取左半平面3个极点组成Ha(s) H ( s ) a 采用3dB截止频率 c对 H a ( s )
H a ( s) 1 N 1 sk s ( ) c k 0 c
功能
现代滤波器 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机 信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。
数字信号处理_第六章
j2
j2
s p 3 c e 3,s p 4 c ,s p 5 c e3,k 0 ,1 ,2
系统函数为： H a(s)(ssp3)(s sc 3p4)(ssp5)
或
1 H a (s) (s/ c)3 2 (s/ c)2 2 (s/ c) 1
令
p
s c
，则
pk sk /c
有，归一化的三阶滤波器的系统函数
22 0 lgH H ((e e j j0 st)) 2 0 lgH (ej st) 2 0 lg2
其中： H(ej0) 1
当 H (ej c)2/20 .7 0 7时，1 3dB
称 c 为3dB通带截止频率
3.滤波器的设计方法
直接设计法
在时域或频域直接设计数字滤波器
间接设计法
先根据指标要求设计对应的模拟滤波器 再将模拟滤波器转换为数字滤波器
通带： c
11H(ej)1
阻带： st H(ej) 2
过渡带： cst
c ：通带截止频率
s t ：阻带截止频率
：通带容限
1
2 ：阻带容限
通带最大衰减： 1
1 2 0 lgH H ( (e e jj 0 c ) ) 2 0 lgH (ej c) 2 0 lg (1 1 )
阻带最小衰减： 2
数字滤波器分为： 无限长单位脉冲响应滤波器（IIR DF） [递归系统] 有限长单位脉冲响应滤波器（FIR DF）[非递归系统]
M
bj z r
H (z) j0 N 1 ak z k k 1
N1
H(z) h(n)zn n0
(6.1.1) (6.1.2)
2． 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示： H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)
数字信号处理 第六章
各种数字滤波器的理想幅度频率响应 数字滤波器的设计步骤 理想滤波器的逼近 数字滤波器的系统函数H(z) IIR滤波器设计方法
6.1 引言
数字滤波器的设计步骤：
按任务要求，确定滤波器性能要求。 用一个因果稳定的离散线性移不变的系统函数去逼 近这一性能要求。逼近所用系统函数有无限冲激响 应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR） 系统函数两种。 利用有限精度算法来实现这个系统函数。 实际的技术实现。
零极点分布对系统相角的影响
相位“延时”（或相位“滞后”）系统
最小相位延时系统 最大相位延时系统 最大相位超前系统 最小相位超前系统
相位“超前”（或相位“领先”）系统
当全部零点在单位圆外时，相位变化最大，又是负数， 当全部零点在单位圆外时，相位变化最小， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最大， 当全部零点在单位圆内时，相位变化最小， 故称为最小相位超前系统。 故称为最大相位超前系统。 故称为最大相位延时系统。 故称为最小相位延时系统。
2、可实现Ha(s)Ha(-s)零极点分布
j
σ
1、零极点中一半属Ha(s)，另一 半属Ha(-s)。如要求系统稳定， 则左半平面极点属于Ha(s)。 2、挑选零点时，不加任何限制， 则Ha(s)的解不唯一。 3、如限定Ha(s)是最小相位的， 则只能取所有左半平面的零极 点作为Ha(s)的零极点，Ha(s) 的解唯一。 4、虚轴上的零点阶数减半分配给 Ha(s)。 5、稳定系统虚轴上无极点，临界 稳定时虚轴上才会有极点。
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
刘笑楠
第6章 无限冲激响应IIR 数字滤波器的设计方法
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
其系统的频率响应为
H (e j )
n
h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
1 0 n 6 ； 0 其它n
1 0 n 3 ； 0 其它n
（1） 分别判断是否为线性相位 FIR 滤波器？如是，请问是哪一类线性相位滤波器？ （2） 如果是线性相位滤波器，写出它们的相位函数，群延迟。 解：(a) h( n) ( n) ( n 3) 则
H ( z ) 1 z 3 H (e ) 1 e
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e
数字信号处理ppt第六章
§6-1 引言
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
一、DF按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通，
其特点为：
（1）频率变量以数字频率 ω 表示，ω = ΩT ，
Ω 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； （2）以数字抽样频率 ωs = 2πfs ⋅T = 2π 为周期； （3）频率特性只限于 ω ≤ ω s / 2 = π 范围，这
3、由 A2 (Ω) = H a ( jΩ) 2 确定 H a (s)的方法
（1）求 H a (s)H a (−s) = A2 (Ω) Ω2 =−S 2
（2）分解 Ha (S)Ha (−S),得到各零极点，将左半面的 极点 归于 Ha (S)，对称的零点任一半归 Ha (S)。若要求 最小相位延时，左半面的零点归 Ha (S)（全部零极点 位于单位圆内）。
将2、技Q∴计术算2H指0所a标l(g需j，ΩH的代)a阶2入( j=数Ω上1及式)/[3=1，d+B−可截(1得Ω0Ω止lC频g)[21率N+]Ω(CΩΩC )2N ]
{−10lg[1+ ( 2π×103 )2N ] ≥ −1 −10lg[1+ (3π×Ω1C03 )2N ] ≤ −15 ΩC
解上述两式得：
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。
四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
五、IIR数字filter的设计方法
1、借助模拟filter的设计方法 （1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 Ha (s)； （3）将 H a (s) → H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通
数字信号处理第六章数字滤波器设计
窗函数法是一种常用的数字滤 波器设计方法，通过选择合适 的窗函数和滤波器系数，实现
滤波器的设计。
窗函数法具有简单、直观的 特点，但设计出的滤波器性
能可能不是最优的。
常用的窗函数包括矩形窗、汉 宁窗、海明窗等，不同窗函数
具有不同的特性。
频率采样法
频率采样法是一种基于频率域的数字滤波器设计方法，通过在频域内采样并重构滤 波器的频率响应，实现滤波器的设计。
IIR滤波器具有较好的幅频特性，但相位特性较差，且存 在稳定性问题。
在实际应用中，应根据具体需求选择合适的滤波器类型 和设计方法。
04
数字滤波器的实现
数字滤波器的实现步骤
确定滤波器参数
设计滤波器系数
根据实际需求，确定滤波器的阶数、截止 频率等参数。
根据滤波器类型和参数，计算滤波器系数 。
实现滤波器算法
描述滤波器实现的难易程度，包括运算量和 存储需求。
数字滤波器的基本结构
直接实现型
将输入信号直接与滤波器系数进行运算，得到输 出信号。
级联实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的级联，以降 低计算复杂度。
并行实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的并行运算， 以提高处理速度。
03
数字滤波器的设计方法
窗函数法
验证滤波器效果
根据滤波器系数，编写滤波器算法，实现 信号的滤波处理。
对滤波后的信号进行验证，确保满足设计 要求。
数字滤波器的编程实现
选择编程语言
根据实际需求，选择适合的编程语言，如C、 Python等。
设计滤波器函数
根据滤波器算法，编写滤波器函数，实现信 号的滤波处理。
测试滤波器函数
对滤波器函数进行测试，确保其正确性和稳 定性。
数字信号处理 第6章
xB1 0.110-->0 110
+ xB2 0.011-->0 011 xB1+xB2=9/8 1.001,其真值为-7/8，
溢出，使其变为负数
（2）乘法：不会溢出，但字长加倍
例：b=3=>0.101 ×0.011 101 101 0.001111
成为六位数，截尾变成0.001。 产生误差。
§6.2 定点制表示及量化误差
b1-b
0. 2-1 ……………..2-b 0 0 …………...0
最小误差
0. 2-1 ……………..2-b 1 1 ……………1
最大误差
（2）对于负数的截尾量化误差
截尾量化误差与负数表示方式有关。
b1
x(n) X Bi 2 i i 1
负数原码表示，其截尾量化误差：
还没截尾
b1
[ec ]T
Ep[(2ee]):：数E误学[(差e期(en望的) ，概mm率e )e2与密] n度无关(e me )2 p(e)de
(1)对于舍入误差
P（e)
1/ q q / 2 e(n) q / 2
2b
P(e) 均值：me
0 其余
q
2 q
q 2 q2 12
（5）信噪比
对于舍入处理：
信噪比：S N
信号平均功率（量化噪声） 噪声平均功率
信号方差
2 x
量化噪声
2 e
2 x
1 q2
12 q2
2 x
表示成分贝形式（12求对数）：
S N
10
lg[
12 q2
数字信号处理第六章
1）幅度函数特点：
H a ( j)
2
1 1 c
2
2N
0
c
H a ( j) 1 H a ( j) 1/ 2 1 3dB 3dB不变性
2
c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
c 过渡带及阻带内快速单调减小
3、逼近情况
1）
s平面虚轴
2）
z平面单位圆
s平面
左半平面
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
右半平面
虚轴
例7.4
已知模拟滤波器的传输函数为
1 H a ( s) 2 2s 3s 1
采用双线性变换法将其转换为数字滤波 器的系统函数，设T=2s 解 将s代入Ha(s)可得
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z 1 ,T 2
i 1,2,..., m
例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双 线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器 转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传 输函数Ha(s)为 1
H a ( s)
s
,
RC
利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函 数H1(z)为
低通
0 高通
0 带通 0
带阻
0
全通 0
通带
阻带 过渡带 平滑过渡
三、DF频响的三个参量 1、幅度平方响应
2、相位响应
3、群延迟
它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常 数时， 就是表示每个频率分量的延迟相同。 四、DF设计内容 1、按任务要求确定Filter的性能指标； 2、用因果稳定LSI的系统函数去逼近这一性 能要求； 3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
数字信号处理(刘顺兰)(第二版)全书章 (6)
cos
m
1 2
因此
H
(
)
N /2 n1
b(n)
c os
n
1 2
（6-17）
第6章 有限长单位脉冲响应
式中:
b(n) 2h N n 2
n=1,2, 3, …, N/2 （6-18）
按ω照 =π式呈（奇6-对17称），，因当此ωH=(ππ时)=，0，c即osH(z)n在 12z=e jπ0=-，1
N 2
1
n
（6-4）
我们可以看到，上式的Σ以内全部是标量，如果我们将频率响应 用相位函数θ(ω)及幅度函数H(ω)表示
H (e j ) H ( )e j ( )
（6-5）
第6章 有限长单位脉冲响应
那么有：
H
(
)
N 1
h(n)
n0
c
os
N 2
1
n
() N 1
2
（6-6） （6-7）
式(6-6)的幅度函数H(ω)是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是ω的偶对称函数和周期函数; 而|H(ejω)|取值大于等于零, 两者在某些ω值上相位相差π。式(6-7)的相位函数θ(ω)具有严 格的线性相位，如图6-1所示。
其系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm
m0
m0
第6章 有限长单位脉冲响应
即
H (z) z(N 1)H (z1)
（6-2）
上式改写成
H (z) 1 [H (z) z(N 1)H (z1)] 2
数字信号处理-答案第六章
其中 s k c e
1 2 k 1 j[ ] 2 2N
K 0由s 0 0时H a ( s ) 1来确定。
此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，
注意 c 3 (不是归一化滤波器）。
解:
幅度平方函数为：
| H ( j) | 2 1 1 ( / c ) 4
设系统抽样频率为 f s 500Hz ，要求从这一低通模拟滤波器 设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：
阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，
g (n) g a (t ) t nT ga (nT ) ,
由模拟系统函数 Ha ( s ) 变换成数字系统函数的关系式为：
n 0
T 1 1 aT jbT 1 aT jbT 1 2 1 e e z 1 e e z
1 e aT z 1 c o bT s T 1 2e aT z 1 c o bT s e 2aT z 2
(2) 先引用拉氏变换的结论 Lt n 可得：
在上式中代入 j s 可得： 1 H a ( s) H a ( s) s 1 ( )2 N j c 而 H a ( s ) H a ( s ) 在左半平面的极点即为 H a ( s ) 的极点， 因而
H a (s) K0
N
，
k
(s s
k 1
) ， k 1,2,.... N
利用以下 z 变换关系：
Z x(n) X ( z )
Z e naT x(n) X (e aT z )
Z ( s i n a T )u ( n )
《数字信号处理》第六章 Z变换
第一节 Z变换的定义
例1：求 x(n)=(1/2)nu(n) 的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
(1)nu(n)zn
z
n
n
n 2
n0 2
例2：求 x(n)=-(1/2)nu(-n-1)的z变换
解：
X (z)
x(n)zn
A( z )
1 za
1 a
1 1 1
z
a
按等比级数有
A(z)
1 a
(1
1 a
z
1 a2
z2
)
at
{
1 a
,
1 a2
,
1 a3
,, ,
1 a n 1
,)
第四节 Z反变换
当 a 1时，
A( z )
z
1 a
11 z 1 az 1
按等比级数有
A(z) 1 (1 az1 a2 z2 ) z
解：
Z [u(n)] 1 , z 1
1 z
Z [u(n 3)] z3
1
z3 ,
z 1
1 z 1 z
Z [x(n)] 1 z3 z2 z 1, z 1 1 z 1 z
例4 已知序列x(n)的z变换为X(Z)，求
7X(z)+3zX(z)+8z2X(z) +z3X(z) +6z5X(z)所对应的信号
k
zk
k 0
1 1 z
这是一个等比级数，当|z|<1时，该级数收敛。
数字信号处理胡广书第6章_滤波器组(完整版)
| H 0 (e j ) | | H 0 (e j ) | 0,
j
2
2
j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相， E0 (恒为一常数，即 zM ) 也即
M 1 k 0
| H k (e ) | c
j 2
M 1 k 0
c为常数 （6.2.17）
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
H k ( z) H k ( z) c
H ( z ) H * ( z 1 )
~
（6.2.18）
式中 （6.2.19） 表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实 ~ 的，则 1
• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足：f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在 通带内不“平”，而其相频特性不具有线 性相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误 差来源于信号编码或处理算法，它和滤波 器组无关。
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
和常数倍。显然，这样严格互补的滤波器对于信号的准确重 建是非常有用的。 由定理6.2.1，Mth滤波器一定是scf。hbf是Mth滤波器的特例， 因此，hbf也是scf。然而，scf并不一定是Mth滤波器或hbf。
j
2
2
j ( )
频带
H1 ( e ) H 0 ( e
)
图6.2.2 两通道滤波器组 (a)系统框图；(b)镜像对称的幅频特性
6.2.3 第M(Mth)带滤波器
将分析滤波器组写成多相形式，如果其第0相， E0 (恒为一常数，即 zM ) 也即
M 1 k 0
| H k (e ) | c
j 2
M 1 k 0
c为常数 （6.2.17）
则称H0(z), ... ,HM-1(z)是功率互补的。该式又可表示成
H k ( z) H k ( z) c
H ( z ) H * ( z 1 )
~
（6.2.18）
式中 （6.2.19） 表示将H(z)的系数取共轭，并用z-1代替z ，若H(z)系数是实 ~ 的，则 1
• 1. 混迭失真：分析滤波器组和综合滤波器 组的频带不能完全分开及 抽样频率不满足：f s 2Mfc • 2 .幅度及相位失真： 滤波器组的频带在 通带内不“平”，而其相频特性不具有线 性相位所致； • 3. 编码,量化，传输所产生的误差。此误 差来源于信号编码或处理算法，它和滤波 器组无关。
第6章 滤波器组基础
6.1 滤波器组的基本概念 6.2 滤波器组的种类及有关的滤波器 6.2.1 最大均匀抽取滤波器组 6.2.2 正交镜像滤波器组 6.2.3 第M带滤波器 6.2.4 半带滤波器 6.2.5 互补型滤波器 6.3 半带滤波器设计 6.4 多抽样率系统的应用简介
6.1 滤波器组的基本概念
和常数倍。显然，这样严格互补的滤波器对于信号的准确重 建是非常有用的。 由定理6.2.1，Mth滤波器一定是scf。hbf是Mth滤波器的特例， 因此，hbf也是scf。然而，scf并不一定是Mth滤波器或hbf。
《数字信号处理教程》(第三版)第六章
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
3、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
2
1 p 1 c
2N
p 20lg H a (e
j p
) p 10lg H a (e
2N
பைடு நூலகம்
j p
2
)
p 1 c
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
数字信号处理(西电版) 第六章 有限长单位脉冲响应 复习
n
因此Σ中第n项和第(N-1-n)项相等，可将其合并
H
(
)
(
N 3) n0
/
2
2h(n)
sin
N
2
1
n
令 n N 1 m ，上式改写为
2
H
( )
(
N 1) / 2 m1
2h
N 2
1
m
sin(m)
cos
N 2
1
n
cos
N 1 2
n
将Σ内相等项合并，即 n=0 项与n=N-1项，n=1 项与n=N-2 项等
第6章 有限长单位脉冲响应
h(n)偶对称的幅度函数式
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
h(n)的系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入上式，进行整理
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm z(N 1) H (z1)
m0
m0
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-1-n)
• 满足第二个公式的条件为： FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)是实数序列，且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-1-n)
第6章 有限长单位脉冲响应 6.1.1 线性相位特性
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（3）若模拟滤波器是稳定的→数字滤波器也是稳定的；
（4）极点之间有这种代数关系，零点没有。 • 修正：H(z)=T· H(z)，否则滤波器增益太高。
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21
例1 设模拟滤波器的Ha(s)为 2 H a (s) = 2 s + 4s + 3
试利用脉冲响应不变法，设计IIR数字滤波器。
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12
2. 相位响应
ReH e j ImH e Im H e 1 ln H z e arctan H z Re H e 2 j
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14
五
IIR数字滤波器的设计方法
1、借助模拟滤波器的设计方法
（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；
（2）按转换后技术指标设计模拟低通滤波器的Ha(s)； （3）再按一定规则将Ha(s)转换成H(z)； （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术 指标。 2、计算机辅助设计法（最优化设计法） 先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，最大误差 最小准则等，然后在此准则下确定系统函数的系数。
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5
四种理想滤波器（AF和DF）的幅度特性
|H(j)| |H(ej)|
低通
-c 0
c
-2
- -c 0
c
2
高通
-c 0 c -2 - -c 0 c 2
带通
-2 -1 0 1 2 -2 - -2 -10 12 2
第六章 IIR数字滤波器的设计方法
§6.1 引言
§6.2 模拟滤波器的设计
§6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
§6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
§6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
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1
§6.1 引言
一 滤波原理
二 滤波器的分类
三 数字滤波器的技术要求
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22
例题1续
比较模拟滤波器、数字滤波器的频率响应： |Ha(j)|
数字滤波器的系统函数为H(z)，频响为H(ej)，表征 滤波器频率响应特性的三个参量是：幅度平方响应， 相位响应，群延时。 1. 幅度平方响应 条件：只需要逼近幅度响应而不管相位。 定义：|H(ej)|2＝H(ej) ·H*(ej)
＝ H(ej) ·H(e-j)
注意：极点分布。
（h(n)为实函数）
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4
二
滤波器的分类
从功能分：LPF、HPF、BPF、BSF、AP 从实现分：软件、硬件 从设计分：频域法、时域法 从连续性：模拟（AF）、数字（DF）
• 分类方法
• 滤波器可分为两类：经典滤波器和现代滤波器 经典滤波器：假定输入信号x(n)中的有用成分和希 望去除的成分各自占有不同的频带。 现代滤波器：研究的主要内容是从含有噪声的数据 记录中估计出信号的某些特征或信号本身。 • 经典滤波器从功能上可分为： 低通、高通、带通、带阻
四 数字滤波器的设计步骤
五 IIR数字滤波器的设计方法
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2
一 滤波原理
滤波器的作用是对输入信号起到滤波的作用。对于如图所 示的LSI系统其时域输入输出关系是： x(n) y(n) y(n) = x(n) * h(n) h(n) 输入输出的频域关系： Y(ej) = X(ej) ·H(ej)如图所示。 |X(ej)|
带阻
-2 -1 0 1 2
-2
- -2 -10 12
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2
6
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三 数字滤波器（DF）的技术要求
• 理想滤波器物理上不可实现的根本原因是从一个频带 到另一个频带之间的突变。 • 为了物理上可实现，从一个频带到另一个频带之间应 设置一个过渡带，且在通带和阻带内也不应该严格为 “1”和“0”，应给予较小的容限。 • DF按频率特性可分为低通、高通、带通、带阻和全通， 其特点为： （1）频率变量以数字频率表示，＝Ω， Ω为模拟 角频率，为抽样时间间隔；
根据取样定理，只有当AF的频响带限于折叠频率以内 时，即才能使DF在折叠频率内重现AF的频响，而不产 生混叠失真。但是，任何一个实际AF的频响却不是严 格带限的，就会产生混迭失真，如图所示。
s 仅当 ， Ts 2
H a ( j) 0时， 才没有混叠失真。
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过渡带
|H(ej)|
高通 （HP） c－通带截止频率（下限频率） st－阻带上限截止频率
st
c
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8
四种数字滤波器的技术要求(2)
|H(ej)| 带通 （BP） sl c1 |H(ej)| c3 sh c1－通带下限截止频率 c3－通带上限截止频率 sl－下阻带截止频率 sh－上阻带截止频率 c1－通带下限截止频率 c3－通带上限截止频率 sl－下阻带截止频率 sh－上阻带截止频率
s
20 lg H e 20 lg H e
H e j0
j s j s
在DF中是用弧度来表示，实际中给出的频率要求常常是实际 频率f，单位为Hz，因此在数字滤波器的设计中还应给出抽样 频率fs（=2f/fs）。
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10
数字滤波器频响的三个参量
0 c
|H(ej)|
0 c
|Y(ej)|
0 c
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3
数字滤波器（DF） • 滤波器的输入、输出都是离散时间信号，那么该 滤波器的单位冲激响应必然是离散的，即单位取 样响应h(n)。 • 数字滤波器的实现： –用硬件实现：需延时器，乘法器和加法器； –用软件实现：一段线性卷积的程序。
He
j
H e e
j j
j e j
j
j
j
j
1
z e j
3. 群延时：相位对角频率的导数的负值 d e j e j d
• 它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是 表示每个频率分量的延迟相同。 • 当要求滤波器为线性相位时，则通带内群延时就是常数。
19
三 模拟滤波器的数字化方法
1. 一阶系统的实现： 设 H a ( s)
A s t ，则 ha (t ) Ae p u(t ) s sp
u(nTs ) A s p nTs n H ( z ) Ae z s pTs 1 1 e z n 0
N
h(n) ha (nTs ) Ae
H
( s jk s ) e sTs z
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17
z=esT,s平面与z平面之间的映射关系（多值映射）
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18
二 频响特性
H ( e j ) H ( z ) z e j
1 1 2k H a ( j jks ) H a ( j ) Ts k Ts k Ts
k 1
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k 0 N
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20
3. 实现方法：
Ak H a s k 1 s s k
N
Ak H ( z) sk Ts 1 z k 1 1 e
N
• 将Ha(s)与H(z)加以比较，得：
（1）s平面的单极点s＝sk→z平面的单极点z＝eskTs； （2） Ha(s)与H(z)的部分分式的系数相同；
1 Ts (t ) (t nTs ) Ts n
H ( z)
e sTs z
n
h( n) z n
e sTs z
ˆ Ha (s) ＝ℒ ha (t ) Ts (t )
e jkst
k
LT
a
k
1 ＝ℒ ha (t ) Ts (t ) Ts
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§6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
一 1. 变换原理 抽样：将模拟滤波器的ha(t)加以等间隔的抽样，使h(n) 正好等于ha(t)的抽样值，即
h( n) ha ( nTs ) ha (t ) t nTs
2. 系统函数：
H ( z)
esTs z
带阻 （BS） c1 sl sh c3
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9
常用低通滤波器的技术指标定义：
p 20 lg
20 lg H e
H e
j p j p
H e j0
|H(ej)|
1 1-1 3dB 2 p c
p 0.707:3dB 0.01:s=40dB s
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13
四 数字滤波器的的设计步骤
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响
应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉
冲响应(FIR)滤波器。其设计步骤一般包括： 1、按任务要求确定Filter的性能指标；
2、用IIR或FIR系统函数去逼近这一性能要求；
3、选择适当的运算结构实现这个系统函数； 4、用软件还是用硬件实现。 本课程所讨论的滤波器设计属于第二个步骤，即 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)去逼近 给定的性能要求。