四边形测试题6.pdf
第6章 平行四边形 单元测试(基础过关)(备作业)-八年级数学下册同步备课系列(北师大版)(解析版)
第6章平行四边形单元测试（基础过关）一、单选题1．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【答案】B【解析】【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8，∴这个多边形的边数是8，故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）．A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD【答案】D【解析】试题分析：根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．解：∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠1=∠2，（故A选项正确，不合题意）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD，（故B选项正确，不合题意）；AB=CD，（故C选项正确，不合题意）；无法得出AC⊥BD，（故D选项错误，符合题意）．故选D．3．如图，AB∥CD，AD∥BC，则下列各式中正确的是（）A．∠1＋∠2＞∠3B．∠1＋∠2=∠3C．∠1＋∠2＜∠3D．∠1＋∠2与∠3大小无法确定【答案】B【解析】【分析】先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等和三角形外角的性质进行判断即可．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD，∵∠3+∠BCD=180°，∠1+∠2+∠A=180°，∴∠1+∠2=∠3．故选B．【点睛】考查平行四边形的性质和判定．平行四边形的判定方法共有多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件，合理、灵活地选择方法．4．某班同学在学完平行四边形的判定后,开展了一次课外活动课,课上探索出如下结论,其中正确的是（）A．当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时,此四边形一定为平行四边形B．当四边形的一组对角相等且一组对边相等时,此四边形一定为平行四边形C．当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时,此四边形一定为平行四边形D．当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时,此四边形一定为平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据给出的条件，利用平行四边形的判定定理判定即可．A、等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；B、根据条件“一组对边相等，一组对角相等”证不出是平行四边形，故此选项错误；C、等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；D、一组邻角互补，一组对角相等，可得到任意两对邻角互补，那么可得到两组对边分别平行，为平行四边形，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定．关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5．如图,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则△DEF 的面积等于A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线的性质易得所求三角形的三边，判断出形状后可直接求得面积．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC，又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形，∴S△EDF=12DE•DF=12×3×4=6（cm2）．故选C．【点睛】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质；要注意，根据三角形中位线定理解得所求三角形三边的长后要先判断三角形的形状，不要盲目求解．6．如图,在▱ABCD中,O为对角线AC的中点,AC⊥AB,E为AD的中点,并且OF⊥BC,∠D=53°,则∠FOE的度数是（）A．143°B．127°C．53°D．37°【答案】A【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得到：∠BAC=∠DCA=90°，然后根据点O为AC的中点，点E 为AD的中点利用中位线定理得到OE∥CD，从而得到∠AOE=∠ACD=90°，然后根据OF⊥BC得到∠FOC=∠B=53°，从而得到∠EOF=∠EOC+∠FOC=90°+53°=143°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AC⊥AB，∴∠BAC=∠DCA=90°，∵点O为AC的中点，点E为AD的中点，∴OE∥CD，∴∠COE+∠ACD=180°，∴∠COE=90°∵∠D=∠B=53°，OF⊥BC，∴∠FOC=∠B=53°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=90°+53°=143°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线，解题的关键是能够根据题意并利用中位线定理确定答案．7．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【答案】B【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°．故选B．8．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（）A．12B．13C．D．【答案】B【解析】如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N，∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，∴四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，∴FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，∵EH=FG，∴FM=NH，设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，∵GM∥HN，∴MG CG HN CH=，∴5 57 xx=-，∴x=25 12，在Rt △CMG 中，CM =AN 6512，在Rt △CNH 中，CN 9112，∴AC =AN +CN =6512+9112=13，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等，能正确地利用勾股定理进行解题是关键．9．如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H 、G ，则()A ．AHE BGE∠>∠B ．AHE BGE ∠=∠C ．AHE BGE∠<∠D ．AHE ∠与BGE ∠的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】连接BD ，取中点I ，连接IE ，IF ，根据三角形中位线定理得IE ＝122AD ，且平行AD ，IF ＝12BC 且平行BC ，再利用AD ＞BC 和IE ∥AD ，求证∠AHE ＝∠IEF ，同理可证∠BGE ＝∠IFE ，再利用IE ＞IF 和∠AHE ＝∠IEF ，∠BGE ＝∠IFE 即可得出结论．连接BD ，取中点I ，连接IE ，IF∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，∴IE＝12AD，且平行AD，IF＝12BC且平行BC，∵AD=BC，∴IE=IF，∵IE∥AD，∴∠AHE＝∠IEF，同理∠BGE＝∠IFE，∵在△IEF中，IE=IF，∴∠IFE=∠IEF，∵∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE，∴∠BGE=∠AHE．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有一定的拔高难度，属于难题．10．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（）A．②④B．①②④C．①②③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC ＜2S△EFC，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DF AFE DFM ⎧⎪⎨⎪=∠=∠=∠⎩∠，∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE =MF ，∠AEF =∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠AEC =∠ECD =90°，∵FM =EF ，∴FC =FE ，∴∠ECF =∠CEF ，故②正确；③∵EF =FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，122ECM EFC S CM CE S =⨯= ，12BEC S BE CE =⨯ ∴S △BEC ＜2S △EFC ，故S △BEC =2S △CEF ，故③错误；④设∠FEC =x ，则∠FCE =x ，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．二、填空题11．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A的度数为____．【答案】80°【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∵∠B+∠D=200°，∴∠B=∠D=100°，∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等、邻角互补．12．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm．【答案】6【解析】【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可．解：如图：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是三角形的中位线，∵DE=3cm，∴BC=2DE=6cm．故答案为：6．【点睛】本题重点考查了中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．13．若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______．【答案】6【解析】【分析】此题涉及多边形内角和和外角和定理．解：多边形内角和=180（n-2）,外角和=360°，所以，由题意可得180(n-2)=2×360，解得：n=6．故答案为：6．14．如图，□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于_______．【答案】【解析】如图，在直角△AOE中，cos AEEAOOA∠=，∴cos2AEOAEAO===∠又∵四边形ABCD是平行四边形，∴2AC OA==15．如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____．【答案】15【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=12BD=6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=12 CD．∴OE=12 BC．∴△DOE的周长="OD+OE+DE="OD+12（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案是：15．16．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有____个．【答案】3．【解析】试题分析：利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．试题解析：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．故符合题意的有3个点．考点：1．平行四边形的判定；2．坐标与图形性质．17．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P 以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则________后四边形ABQP为平行四边形.【答案】2s【解析】【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，根据四边形ABQP是平行四边形，得AP=BQ，则得方程t=6-2t即可求解．如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，∵AD∥BC，∴AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t=6-2t，∴t=2，当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为2s．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．18．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD 的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是_____．【答案】175°【解析】如图所示，∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，∴∠O1DC+∠O1CD=（∠ADC+∠DCB），∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，∴∠O2DC+∠O2CD=（∠O1DC+∠O1CD）=（∠ADC+∠DCB），同理可得，∠O3DC+∠O3CD=（∠O2DC+∠O2CD）=（∠ADC+∠DCB），由此可得，∠O5DC+∠O5CD=（∠O4DC+∠O4CD）=（∠ADC+∠DCB），∴△CO5D中，∠C O5D=180°﹣（∠O5DC+∠O5CD）=180°﹣（∠ADC+∠DCB），又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，∴∠ADC+∠DCB=160°，∴∠CO5D=180°﹣×160°=180°﹣5°=175°，故答案为175°．三、解答题19．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证：AB=CE．【答案】见解析.【解析】【分析】根据题意得出四边形AECD为平行四边形，得到AD=CE，根据角平分线的性质以及平行线的性质得到AB=AD，从而得到AB=CE．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=CE，∴AB=CE．点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定．注意“等量代换”在本题中的应用．20．小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由【答案】可以走回到A点，共走100米【解析】【分析】他要想回到原点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，从而求出路程．解：根据题意可知，360°÷36°=10，所以他需要转10次才会回到起点，它需要经过10×10=100m才能回到原地．所以小华能回到点A．当他走回到点A时，共走100m．21．如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．【答案】结论：OE=OF．理由见解析.【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．试题解析：结论：OE=OF．理由∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，{OAE OCF AOE COF AO OC∠=∠∠=∠=，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．22．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且AE⊥BD，CF⊥BD．求证：BE=DF．【答案】证明见解析【解析】试题分析：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF．又∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．考点：平行四边形的性质23．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；（2）根据△BEO≌△DFO可得EO＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．试题解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中12BO DOEOB FOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO＝FO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形．点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．24．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC 于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【答案】（1）见解析，（2）41【解析】【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．（1）证明：∵BN⊥AN于点N，∴ANB AND∠=∠，在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．25．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）如图1中，结论：△BCE 是等腰三角形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠AEB=∠BEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴==26．在ABC 中，5AB BC ==，6AC =，将ABC 沿BC 方向平移得到DCE ，A ，C 的对应点分别是D ，E ，连接BD 交AC 于点O ．(1)如图1，将直线BD 绕点B 顺时针旋转，与AC ，DC ，DE 分别相交于点I ，F ，G ，过点C 作CH //BG 交DE 于点H ．①求证：IBC HCE ≌；②若DF CF =，求DG 的长．(2)如图2，将直线BD 绕点O 逆时针旋转α（90α<︒），与线段AD ，BC 分别交于点P ，Q ，在旋转过程中，四边形ABQP 的面积是否发生变化？若不变，求出四边形ABQP 的面积，若变化，请说明理由．【答案】(1)①见解析；②DE 的长为2(2)不变；四边形ABQP 的面积为12【解析】【分析】（1）①由平移的特征可以推出三角形全等的条件，证明△IBC ≌△HCE ；②由①得IC ＝HE ，再证明四边形ICHG 是平行四边形，得IC ＝GH ，再证明△DFG ≌△CFI ，得DG ＝IC ，于是得DG ＝GH ＝HE ＝13DE ＝13AC ，可求出DG 的长；（2）由平行四边形的性质可证明线段相等和角相等，证明△AOP ≌△COQ ，将四边形ABQP 的面积转化为△ABC 的面积，说明四边形ABQP 的面积不变，求出△ABC 的面积即可．(1)①证明：∵△DCE 由△ABC 平移得到，∴AC //DE ，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠E ，∴∠ICB ＝∠E ，∵CH //BG ，∴∠IBC ＝∠HCE ，∴△IBC ≌△HCE （ASA ）；②由①可知，△IBC ≌△HCE ，∴IC ＝HE ，∵AC //DE ，CH //BG ，∴CI //GH ，CH //GI ，∴四边形ICHG 是平行四边形，∴IC ＝GH ；∵∠FDG ＝∠FCI ，∠DFG ＝∠CFI ，DF ＝CF ，∴△DFG ≌△CFI ，∴DG ＝IC ，∴DG ＝GH ＝HE ，∵DE ＝AC ＝6，∴DG ＝13DE ＝13AC ＝2．(2)不变；由平移可知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，∵AD //BC ，∴∠APO ＝∠CQO ，∵∠AOP ＝∠COQ ，∴△AOP ≌△COQ （AAS ），∴S △AOP ＝S △COQ ，AOP COQ ABC ABQP ABQO ABQO S S S S S S 四边形四边形四边形＝＋＝＋＝，∵在ABC 中，5AB BC ==，6AC =,∴ABC 的面积不变，∴四边形ABQP 的面积不变，∵AB ＝BC ＝5，OA ＝OC ＝12AC ＝3，∴OB ⊥AC ，∴∠AOB ＝90°，∴4OB ===，∴S △ABC ＝12AC •OB ＝12×6×4＝12，∴12ABQP S 四边形＝．【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平移的特征、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的性质的判定是解题的关键．。
专题07 特殊平行四边形综合的压轴真题训练(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题07特殊平行四边形综合的压轴真题训练一．平行四边形的性质1．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+【答案】A【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．2．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD 上，∠EBA＝60°，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．二．矩形的性质3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC 上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2【答案】D【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．4．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是．【答案】a﹣b；3+2．【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，∴a＝b+b（负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，∴EP＝，EN＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．5．（2022•宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是．【答案】π【解答】解：如图1中，连接MN 交EF 于点P ，连接BP ．∵四边形ABCD 是矩形，AM ＝MD ，BN ＝CN ，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN ＝AB ＝6，∵EM ∥NF ，∴△EPM ∽△FPN ，∴＝＝＝2，∴PN＝2，PM＝4，∵BN＝4，∴BP＝＝＝2，∵BH⊥EF，∴∠BHP＝90°，∴点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是．此时AM＝4，NF＝2，∴BF＝AB＝6，∵∠ABF＝90°，BH⊥AF，∴BH平分∠ABF，∴∠HBN＝45°，∴∠HON＝2∠HBN＝90°，∴点H的运动轨迹的长＝＝π．故答案为：π．6．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5或4【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．三．正方形的性质和判定7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．8．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．9．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【答案】5+【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．10．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F 作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）∠FDG＝°；（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝．【答案】45°【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°，故答案为：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC＝，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，故答案为：．11．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝P A+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④⑤【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，故①正确，∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，∴△PQB∽△FQC，∴＝，∠BPQ＝∠CFQ，∴＝，∵∠PQF＝∠BQC，∴△PQF∽△BQC，∴∠QPF＝∠QBC，∵∠QBC+∠CFQ＝90°，∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，∴∠PBF＝∠PFB＝45°，∴PB＝PF，∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，∵∠EPF＝∠EDF＝90°，∴E，D，F，P四点共圆，∴∠PEF＝∠PDF，∵PB＝PD＝PF，∴∠PDF＝∠PFD，∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，∴∠AEB＝∠DFP，∴∠AEB＝∠BEH，∵BH⊥EF，∴∠BAE＝∠BHE＝90°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEH（AAS），∴AB＝BH＝BC，∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），∴∠BFC＝∠BFH，∵∠CBF+∠BFC＝90°，∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，∴∠EFD＝2∠CBF，故②正确，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，∴∠ABP＝∠CBT，∴∠PBT＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，∵BQ＝BQ，BP＝BT，∴△BQP≌△BQT（SAS），∴PQ＝QT，∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，∴PQ＜AP+CQ，故③错误，连接BD，DH，∵BD＝2，BH＝AB＝2，∴DH≥BD﹣BH＝2﹣2，∴DH的最小值为2﹣2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．12．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为．【答案】3+3【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝4，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝2，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，∵OE＝BD＝×6＝3，∴△OEM的周长＝3++2＝3+3，解法二：辅助线相同．证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3，再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM＝，求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论．故答案为：3+3．13．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC 时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE 是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．四．菱形的性质14．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cos B＝，则FG的长是（）A．3B．C．D．【答案】B【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠F AG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∵S梯形CEAD∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴＝，解得x＝．故选：B．15．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，∴△ABD的面积＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故选：B．。
北师大新版四年级下学期《第2章+认识三角形和四边形》2019年单元测试卷(解析版)
北师大新版四年级下学期《第2章认识三角形和四边形》2019年单元测试卷一．选择题（共23小题）1．下列说法错误的是（）A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形里面相对的两个角相等C．长方形是特殊的平行四边形D．平行四边形具有稳定性2．明明准备把一根钢管剪成三段，剪完后能够焊成一个三角形铁架，能够焊成三角形的剪法是（）（单位：厘米）A．B．C．D．3．按记号折后能围成一个长方形的铁丝是（）A．B．C．4．如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的（）A．容易变形B．两组对边分别平行C．对边相等5．下面的图形中（）不是四边形．A．B．C．6．等底等高的两个平行四边形，它们（）A．完全相同B．形状可能不同C．面积不相等、形状可能不同7．图中共有（）个平行四边形．A．3B．4C．5D．68．用四根细木条钉成一个长方形框，将它拉成平行四边形．以下说法正确的是（）A．周长变了，面积不变B．周长不变，面积变了C．周长和面积都变了D．周长和面积都不变9．一个三角形的三个内角都不小于60°，这个三角形一定是（）三角形．A．钝角B．直角C．等边10．三个相等的角拼成了一个平角，这三个角一定是（）A．锐角B．直角C．钝角11．如果一个三角形中最小的一个角大于45°，那么这个三角形是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．锐角或直角12．在三角形三个内角中，∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A．钝角B．直角C．锐角D．等腰13．一个三角形的三个内角中没有钝角，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．锐角三角形或直角三角形14．一个等腰三角形中，顶角的度数是底角的4倍，这个是哪种三角形？（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定15．一个三角形的下部被一张纸遮住了（如图），只露出了一个角，这个三角形是（）三角形．A．钝角B．锐角C．直角D．无法确定16．如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是（）三角形．A．等边B．等腰C．等腰直角17．一个三角形最小的内角是50°，按角分这是一个（）三角形．A．钝角B．直角C．锐角18．有两根小棒，一根8厘米，另一根15厘米．小芳准备再用一根小棒与它们围一个三角形，第三根小棒的长应介于（）厘米之间（取整厘米数）．A．1～8B．7～23C．8～15D．8～2219．A、C两地之间的距离可能是（）A．26千米B．32千米C．40千米D．90千米20．如图是一大一小两个正方形组成，阴影部分的形状是（）A．平行四边形B．长方形C．梯形D．三角形21．只有一组对边平行的四边形是（）A．长方形B．平行四边形C．梯形22．一个梯形最多有（）个直角．A．1B．2C．3D．423．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这个梯形的（）总是相等的．A．高B．周长C．面积二．填空题（共8小题）24．一个三角形三条边的长度都是7厘米，从边的角度看，它是一个三角形，它有条对称轴．25．把符合要求的四边形的序号填入横线里．①长方形②正方形③平行四边形④梯形（1）只有一组对边平行．（2）四条边相等，四个角都是直角．（3）两组对边分别平行，没有直角．26．在一个正方形中，相邻的两条边互相，相对的两条边互相．27．长方形和正方形都有条边，个角．28．梯形的上底和下底相等时，这个图形就变成了．29．只有一组对边平行的四边形叫做，两组对边分别平行的四边形叫做．30．当梯形的上底逐渐缩小到一点时，梯形就转化成；当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形就转化成．31．只有一组对边平行的四边形是形，不平行的一组对边是它的．三．判断题（共10小题）32．一个四边形不是长方形就是正方形．（判断对错）33．四边形的对边相等．（判断对错）34．长与宽相等的长方形是正方形．（判断对错）35．梯形有无数条高．（判断对错）36．有一组对边相等的四边形是等腰梯形．（判断对错）37．四边形有四条边，有四个角．（判断对错）38．有一个角是直角的平行四边形是长方形．．（判断对错）39．只有两个锐角的三角形，一定是钝角三角形．．（判断对错）40．平行四边形有无数条高，且长度都相等．（判断对错）41．只有一组对边平行的图形是梯形．．（判断对错）四．应用题（共1小题）42．有一块平行四边形草坪，相邻两条边分别长24米和16米，小芳绕这块草坪走了一圈，共走了多少米？五．解答题（共3小题）43．在点子图上按要求画图．44．一个等腰三角形的周长是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰长是多少厘米？底长是多少厘米？45．选择合适的位置，把“四边形”“长方形”“正方形”“平行四边形”“梯形”之间的关系填在如图的关系图中．北师大新版四年级下学期《第2章认识三角形和四边形》2019年单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确；B、平行四边形里面相对的两个角相等，说法正确；C、长方形是特殊的平行四边形，说法正确；D、平行四边形具有稳定性，说法是错误的，因为平行四边形易变形，不稳定．故选：D．2．【解答】解：A、4+8＝12，所以不能围成三角形；B、3+3＜18，所以不能围成三角形；C、6+6＝12，所以不能围成三角形；D、9+5＞12，所以能围成三角形；故选：D．3．【解答】解：因为A中线段被分成了4份，两两相等，所以能围成一个长方形的铁丝是；故选：C．4．【解答】解：如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形的容易变形；故选：A．5．【解答】解：下面的图形中，都是有四条线段依次首尾相接围成的封闭的图形，是四边形，而有五条边，不是四边形．故选：C．6．【解答】解：平行四边形的面积＝底×高，若两个平行四边形的底和对应高相等，则它们的面积相等，但形状可能不同；故选：B．7．【解答】解：图中共有6个平行四边形；故选：D．8．【解答】解：把一个木条钉成的长方形框拉成一个平行四边形后，每条边的长度都不变，但是高变短了，于是由平行四边形和长方形的面积公式可知，它的面积变小了，即这个平行四边形的面积小于原长方形的面积．故选：B．9．【解答】解：由分析知：一个三角形的三个内角都不小于60度，即都等于60°，这个三角形一定是等边三角形；故选：C．10．【解答】解：因为180°÷3＝60°，60°的角叫做锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形；故选：A．11．【解答】解：由分析可知，如果一个三角形最小的一个内角大于45°，则三角形的最大角小于90°．所以另外两个角一定是锐角．故选：A．12．【解答】解：由分析得：在三角形三个内角中，∠1＝∠2+∠3，也就是180÷2＝90（度），90÷2＝45（度），那么这个三角形一定是直角三角形．故选：B．13．【解答】解：一个三角形的三个内角中没有钝角，那么这个三角形是锐角三角形或直角三角形；故选：C．14．【解答】解：4+1+1＝6最大角为：180°×＝120°，得出三角形为钝角三角形；故选：C．15．【解答】解：从题中可知，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．所以这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，可见为都有可能．故选：D．16．【解答】解：因为等边三角形的三个内角都相等，所以如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是等边三角形．故选：A．17．【解答】解：另外两角的和＝180°﹣50°＝130°假设一个角是90°，则另外一个角的度数小于50°，这与题干“一个三角形最小的内角是50°”相违背，所以另外两个角都应小于90°，这个三角形应该是一个锐角三角形．故选：C．18．【解答】解：15﹣8＝7（厘米）15+8＝23（厘米）第三根小棒的范围是：7厘米＜第三边＜23厘米，即第三根小棒的长应介于7～23厘米之间（取整厘米数）．故选：B．19．【解答】解：因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，60﹣28＜第三边＜28+60，即32＜第三边＜88所以A、C两地之间的距离可能40千米；故选：C．20．【解答】解：如图是一大一小两个正方形组成，阴影部分的形状是梯形．故选：C．21．【解答】解：只有一组对边平行的四边形是梯形；故选：C．22．【解答】解：一个梯形，直角最多有2个；故选：B．23．【解答】解：把一个平行四边形任意分割成两个梯形后，两个梯形的高还等于原平行四边形的高；由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以两个梯形的高是相等的，但梯形的面积还与它的上下底有关，所以分成的梯形的面积不一定相等．故选：A．二．填空题（共8小题）24．【解答】解：一个三角形三条边的长度都是7厘米，从边的角度看，它是一个等边三角形，它有3条对称轴；故答案为：等边，3．25．【解答】解：（1）只有一组对边平行．是梯形．（2）四条边相等，四个角都是直角．是正方形．（3）两组对边分别平行，没有直角．是平行四边形．故答案为：④，②，③．26．【解答】解：正方形中相邻两条边相互垂直，相对两条边相互平行；故选：垂直，平行．27．【解答】解：长方形和正方形都有4条边，4个角；故答案为：4，4．28．【解答】解：当梯形的上底与下底相等时，梯形变成了平行四边形；故答案为：平行四边形．29．【解答】解：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．故答案为：梯形，平行四边形．30．【解答】解：由图可知：当梯形的上底逐渐缩小到一点时，梯形就转化成三角形；当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形就转化成平行四边形；故答案为：三角形，平行四边形．31．【解答】解：只有一组对边平行的四边形是梯形，不平行的一组对边是它的腰；故答案为：梯，腰．三．判断题（共10小题）32．【解答】解：一个四边形可能是平行四边形或者是梯形，或者是普通的四边形，所以一个四边形不是长方形就是正方形，说法错误；故答案为：×．33．【解答】解：由分析可知，四边形的对边不一定相等，所以本题说法错误；故答案为：×．34．【解答】解：长与宽相等的长方形是正方形，是正确的；故答案为：√．35．【解答】解：梯形有无数条高；故答案为：√．36．【解答】解：根据等腰梯形的含义可知：有一组对边相等的四边形是等腰梯形，说法错误；故答案为：×．37．【解答】解：根据四边形的特点：四边形有四条边，有四个角．原题说法正确；故答案为：√．38．【解答】解：根据分析可知：只要有一个角是直角的平行四边形，是长方形，说法正确；故答案为：√．39．【解答】解：只有两个锐角，另一个角也可能是钝角，还可能是直角，所以这个三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，无法确定它的形状；所以上面的说法是错误的．故答案为：×．40．【解答】解：根据平行四边行的定义可知，有两组对边平行的四边行叫平行四边形，平行四边形的高为两组边的距离，所以平行四边形有两组高，每组的高都相等且有无数条；所以上面的说法是错误的；故答案为：×．41．【解答】解：只有一组对边平行的图形是梯形，说法错误，因为图形不一定是四边形，前提必须是四边形，只有一组对边平行的四边形叫梯形；故答案为：×．四．应用题（共1小题）42．【解答】解：24+24+16+16＝80（米）答：一共走了80米．五．解答题（共3小题）43．【解答】解：如图所示，即为所要求画的等腰直角三角形和等腰梯形：44．【解答】解：设腰长为x厘米，则底为（x+3）厘米，2x+（x+3）＝362x+x+3＝36x＝1111+3＝14（厘米）答：它的腰长是11厘米，底长是14厘米．45．【解答】解：第11页（共11页）。
2020年九年级数学典型中考压轴题训练《四边形》(含答案)
16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 AOBC 的顶点 C 的坐标是（2，4），动点 P 从点 A 出发，沿线段 AO 向终点 O 运动，同时动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向终点 C 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，过点 P 作 PE⊥AO 交 AB 于点 E，一点到达，另一点 即停．设点 P 的运动时间为 t 秒（t＞0）．
学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG＝BE．连结 AG，先证明△ABE≌△ADG．再
证明
≌
，可得出结论，他的结论应是
．请你按照小王同学的思路
写出完整的证明过程．
实际应用
（2）如图 2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的一处，舰艇
乙在指挥中心南偏东 70°的 B 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰
4．（1）【问题发现】如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中
点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系
为
；
（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点
ABDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值并说明理由；若不存在，请说明理
由；
创新应用：
（3）如图④，四边形 ABCE 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，CE＝2，AE＝4，连接 BE，请求出
BE 的最大值，并说明理由．
（4）如图⑤，BE、AC 为四边形 ABCE 的对角线，CE＝2，∠CAE＝60°，∠CAB＝90°，∠
已知∠MDN＝∠BAD＝60°，AC＝6． （1）如图 1，当 DE⊥AB，DF⊥BC 时， ①求证：△ADE≌△CDF；②求线段 GH 的长； （2）如图 2，当∠MDN 绕点 D 旋转时，线段 AG，GH，HC 的长度都在变化．设线段 AG＝m， GH＝p，HC＝n，试探究 p 与 mn 的等量关系，并说明理由．
第六章 平行四边形(学生版)
一、多边形1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·5）（3分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A．5B．6C．7D．82．（2020-2021成华区八年级（下）期末·12）（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．3．（2020-2021高新区八年级（下）期末·13）（4分）如图所示是三个相同的正n边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则n的值为 ．4．（2020-2021成都八年级（下）期末·13）（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．5．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·4）（3分）六边形的外角和为( )A．180°B．360°C．540°D．720°6．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·4）（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则该多边形的边数是( )A．六B．七C．八D．九7．（2020-2021龙泉驿八年级（下）期末·4）（3分）若一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形是( )A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为( )A．3B．4C．6D．59．（2020-2021双流区八年级（下）期末·6）（3分）正多边形的一个外角等于45°，这个多边形的边数是( )A．6B．8C．10D．1210．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·12）（4分）一个多边形的内角和是720°，则它是 边形．11．（2020-2021温江区八年级（下）期末·5）（3分）一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为( )A．4B．5C．6D．7二、中位线1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·7）（3分）如图，DE是三角形ABC的中位线，点F在DE 上，∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）A．3B．2C．5D．12．（2020-2021高新区八年级（下）期末·7）（3分）如图，已知在ABCD中，D，E，F分别是边BC，AC=，则四边形AFDE的周长等于( )CA，AB的中点．10AB=，8A．18B．16C．14D．123．（2020-2021成都八年级（下）期末·6）（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．64．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·7）（3分）平行四边形ABCD中，260Ð的度A CÐ+Ð=°，则B数为( )A．130°B．100°C．80°D．50°5．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·9）（3分）如图，在ABCDY中，对角线AC与BD交于点O，Ð的度数是( )Ð，则ABD80Ð=°，点F为AD中点，连接FO，若OD平分FOCBAOA．40°B．50°C．60°D．80°6．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·13）（4分）如图，在ABCD中，点D，E分别是AB，AC的中点，若10BC=，则DE= ．7．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·12）（4分）如图，ABCDY中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若2OE=，则AB的长为 ．8．（2020-2021成华区八年级（下）期末·14）（4分）如图，ABCDY的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若2Y的周长等于 ．D的周长等于7，则ABCDOA=，AOE9．（2020-2021双流区八年级（下）期末·22）（4分）如图所示，点D、E分别是ABCD的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作//EF=，则DE的长为 ．CF BE，交DE的延长线于点F，若310．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·23）（4分）如图，在ABC^D中，AD平分BACÐ，BD AD于点D，延长BD交AC于点E，点F为BC中点，连接DF．若6AB=，10D的面积为30，AC=，ABC D的面积为 ．则BDF三、平行四边形的性质1.（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·9）（3分）延长平行四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连接DE交BC于F．若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（ ）A．1B．1.2C．D．1.52．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·8）（3分）以平行四边形ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（ ）A．（﹣2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）3．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·8）（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（ ）A ．140°B ．120°C ．110°D ．100°4．（2020-2021成华区八年级（下）期末·8）（3分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．//AB DC ，//AD BCB ．AB DC =，AD BC =C ．OA OC =，OB OD =D ．//AB DC ，AD BC=5．（2020-2021成华区八年级（下）期末·10）（3分）如图，ABCD Y 的面积为S ，点P 是它内部任意一点，PAD D 的面积为1S ，PBC D 的面积为2S ，则S ，1S ，2S 之间满足的关系是( )A ．1212S S S +>B ．1212S S S +<C ．1212S S S +=D ．无法判定6．（2020-2021高新区八年级（下）期末·4）（3分）如图，在ABCD Y 中，125ABC Ð=°，21CAD Ð=°，则CAB Ð的度数是( )A ．21°B ．34°C ．35°D ．55°7．（2020-2021青羊区八年级（下）期末·8）（3分）在下列平行四边形性质的叙述中，错误的是( )A ．平行四边形的对边相等B ．平行四边形的对角相等C ．平行四边形的对角线互相平分D ．平行四边形的对角线相等8．（2020-2021青羊区八年级（下）期末·10）（3分）如图，已知ABCD Y 的顶点(4,0)C ，(7,4)D ，点B 在x 轴负半轴上，点A 在y 轴正半轴上，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB 、CD 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线CG 交边AD 于点M ．则点M 的坐标为( )A ．(1,4)B ．(2,4)C ．(3,4)D ．(1.5,4)9．（2020-2021双流区八年级（下）期末·9）（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE ．若AE 平分BAD Ð，58D Ð=°，则AEC Ð的大小是( )A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°10．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·10）（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，ABC Ð的平分线交AD 于点E ，过点A 作AF BE ^，垂足为点F ，若5AF =，24BE =，则CD 的长为( )A ．8B ．13C ．16D ．1811．（2020-2021温江区八年级（下）期末·10）（3分）如图1，在平面直角坐标系中，将ABCD Y 放置在第一象限，且//AB x 轴．直线y x =-从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被ABCD Y 截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2，那么ABCD Y 的面积为( )A ．2B ．3C ．D ．41．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·14）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞AD ，以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于EF 的一半长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ．若AD ＝2，CD ＝3，则CH ＝ ．2．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，3CD =，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在ABC Ð内交于点M ，连接BM 并延长交AD 于点E ，若2DE =，则平行四边形ABCD 的周长为 ．3．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·13）（4分）如图，在ABCD Y 中，1AB =，2BC =，点E 为线段AB 上一点，连接CE ，将BCE D 沿CE 翻折，点B 的对应点B ¢落在DA 的延长线上，若90B CD Т=°，则AB ¢= ．4．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ¢，B C ¢与AD 交于点E ，此时CDE D 恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为 ．5．（2020-2021高新区八年级（下）期末·25）（4分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，60C Ð=°，AB BC =，点F 在BC 上，且13CF BC =，点E 为边CD 上的一动点，连接EF ，AE ，将CEF D 沿直线EF 翻折，点C 的对应点为点G ，连接BG ，若点B ，点G ，点E 在同一条直线上，则AE DE的值为 ．1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·18）（8分）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．2．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·18）（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BC＝BD，求四边形BDFC的面积．3．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·18）（8分）四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，90ADB Ð=°，点E 是AB 边上一点，AE DE =，连接OE ，求证：12OE AD =．4．（2020-2021高新区八年级（下）期末·19）（10分）如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OB 和OD 上，且AEB CFD Ð=Ð．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若90AEB Ð=°，4AE =．且45EAF Ð=°，求线段AC 的长．5．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·19）（10分）如图，在四边形ABCD中，AD BC=，延长BA至=，连接CE交AD于F，且FE FC点E，使AE AB=．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB AC=；^，求证：AD CE（3）在（2）的条件下，若3AC=，求CAFD的面积．AB=，56．（2020-2021青羊区八年级（下）期末·18）（8分）如图，ABCDY的对角线AC与BD相交于点O，过点B 作BE AC ^于点E ，过点D 作DF AC ^于点F ，连接DE 、BF ．（1）求证：四边形BEDF 为平行四边形；（2）若8BE =，6EF =，求BD 的长．7．（2020-2021双流区八年级（下）期末·18）（8分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE AC ^于E ，BF AC ^于F ，DE BF =，ADB CBD Ð=Ð．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若13AD =，12DE =，20DC =，求四边形ABCD 的面积．8．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·18）（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，AC 与MN 交于点O ，且AO CO =，连接AN ，CM ．（1）求证：AM CN=；（2）已知：8^，求四边形AMCN的周长．AC=，6MN=，且MN AC9．（2020-2021新都区八年级（下）期末·19）（8分）如图，在四边形ABCD中，BE AC^^于点E，DF AC =，ADB CBD于点F，BE DFÐ=Ð．（1）求证：CBE ADFD@D；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．10．（2020-2021温江区八年级（下）期末·20）（10分）如图，90^，垂^，EG BDÐ=°，CH BDACB足分别为H，G，CH EGÐ=Ð．=，BCE DEC（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）若30CD=，求CE的长．BC=，6AÐ=°，41．（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·21）（4分）如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 ．2．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·22）（5分）如图，直线1:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2:44l y x =-与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，直线1l ，2l 交于点P ，若x 轴上存在点Q ，使以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标是 ．3．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·24）（4分）如图，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x轴和y轴上，A（﹣4，0），B（0，8），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为 ．四、矩形的性质1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·9）（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（ ）A．4B．2C．D．22．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·15）（3分）要使ABCDY成为矩形，需要添加的条件是( ) A．AB BCÐ=ÐÐ=°D．ABD CBDABC=B．AC BD^C．903．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·8）（3分）如图，在矩形ABCD中，ADCÐ的平分线交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在点E处，一条直角边经过点A，另一条直角边交CD于点M，若DM CM==，则BC的长为( )24A．8B．7C．5D．44.（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·14）（4分）如图所示，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知矩形的长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是 ．5．（2020-2021成都八年级（下）期末·14）（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，对角线AC与BD相交于点O，AN⊥BD，垂足为N，BN＝3DN，则AN长为 ．6．（2020-2021双流区八年级（下）期末·14）（4分）如图，在矩形ABCD中，6AD=，对角线AC与BD相交于点O，AE BD^，垂足为E．若3=，则BD= ．ED BEAB=，3 7．（2020-2021成华区八年级（下）期末·24）（4分）如图，在长方形纸片ABCD中，4BC=，点P在BC边上，将CDPD沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若=，则CP的长为 ．GE GB1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·27）（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为A′，折痕为EF，连接BA′，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至△ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．五、菱形的性质及判定1．（2020-2021成都八年级（下）期末·10）（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M是DC的中点．若菱形ABCD的周长为24，则OM的长为（ ）A．12B．8C．6D．32．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·9）（3分）菱形ABCD的对角线10BD=，则菱形ABCDAC=，8的面积是( )A．80B．60C．40D．303．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·13）（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为 ．4．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·13）（3分）已知菱形的周长等于8cm，一条对角线长为2cm，则此菱形的面积为 ．5．（2020-2021龙泉驿八年级（下）期末·14）（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点OB=，则菱形ABCD的面积为 ．CA=，3O，其中21．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·17）（8分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD=ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积．2.（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·19）（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．（1）求证：①AE＝AG；②四边形AEFG为菱形．（2）若AD＝8，BD＝6，求AE的长．1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·24）（4分）如图，在菱形ABCD中，边长AB＝12，∠ABC＝45°，连接BD，点P是边BC上一动点，连接AP与对角线BD交于点E，连接EC．则当BP ＝时，△EPC为等腰三角形．2．（2020-2021温江区八年级（下）期末·24）（4分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE AD ^于点E ，连接OE ，若4OB =，48ABCD S =菱形，则OE 的长为 ．3．（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·25）（4分）如图，边长为的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC ＝60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1＝60°…，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．六、正方形的性质及判定1．（2020-2021新都区八年级（下）期末·8）（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是( )A ．对角线互相垂直且相等B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度C．对角线平分每一组对角D．四边相等且有一个角是直角2．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·10）（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）A．1B．C．2D．23．（2020-2021温江区八年级（下）期末·9）（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC 上，且BF CE=，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是( )=B．DAF BECA．BE AFÐ=ÐC．90AFB BEC^Ð+Ð=°D．AG BE4．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·23）（4分）如图，将边长为4的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AEGF，连接EF，BF，点M，N分别为EF，BF的中点，连接MN，则线段MN的长为 ．5．（2020-2021成都八年级（下）期末·24）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∠CAB与∠CBA的平分线交于点P，点D、E分别是边AC、BC上的点（均不与点C重合），且满足∠DPE＝45°，则点P到边AB的距离是 ，△CDE的周长是 ．6．（2020-2021武侯区八年级（下）期末·24）（4分）如图，在正方形ABCD中，4AB cm=，点E是AD 的中点，动点F从点A出发，以2/D为cm s的速度沿AB向终点B运动，设点F的运动时间为ts，当CEF等腰三角形时，t的值是 ．7．（2020-2021龙泉驿八年级（下）期末·25）（4分）如图，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一点（不与A ，C 重合），过点E 作EF DE ^交BC 于点F ，连接DF ，则DE EF的值等于 ．8．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·25）（4分）如图，正方形ABCD ，BCD D 绕B 顺时针旋转至BFE D ，点C 与点F 对应，点D 与点E 对应，连接AE ，交BD 于点P ，当P 是AE 的中点时，AEB D 的面积为 ．1．（2020-2021龙泉驿八年级（下）期末·27）（10分）如图，正方形ABCD 中，2AB =，E 为DC 右侧一点，且DE DC =，(90)CDE Ð<°．连接AE ．（1）若20CDE Ð=°，求DAE Ð的度数；（2）过点A 作射线EC 的垂线段，垂足为P ，求证AE =；（3）在（2）的条件下，AP 与BC 交于点F ，当BF FC =时，求CE 的长．七、四边形综合性质及判定1．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·6）（3分）下列说法正确的有几个（ ）①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2020-2021双流区八年级（下）期末·8）（3分）下列命题是真命题的是( )A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形3．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·25）（5分）如图，在Rt OAB D 中，8OA =，6AB =，C 为线段AB 上一点，将OAC D 沿OC 翻折，点A 落在点D 处，延长CD 至点E ，连接OE ，且45COE Ð=°，若14BCE ODE S S D D =，则22DE AC +的值是 ．八、四边形综合1．（2020-2021成都八年级（下）期末·19）（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．（1）求证：四边形MNDO是平行四边形；（2）请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形．1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·20）（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF、CE、CF，G为EF的中点，连接BG．（1）若CE＝2，求FE的长；（2）连接AC，求证：BG垂直平分AC；（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF，G 为EF的中点，连接BG、CG，过F作FH∥DC交CB的延长线于H，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．2．（2020-2021锦江区八年级（下）期末·20）（10分）如图，AC为ABCDÐ=°，CEBACY的对角线，90平分ACBÐ，F为射线BC上一点．（1）如图1，F在BC延长线上，连接AF与CD交于点G，若8CD=；AC=，6①当G为CD中点时，求证：CF BC=；②当CF CA=时，求CG长度；（2）如图2，F在线段BC上，连接AF与CE交点于H，若3=，试探究AD，Ð=Ð，FA FCD ACEAC，AH三条线段之间的数量关系，并说明理由．3．（2020-2021双流区八年级（下）期末·20）（10分）如图1，在ABC D 中，AB AC =，AD 是ABC D 的一条角平分线，AN 为ABC D 的外角BAM Ð的平分线，BE AN ^，垂足为E ．已知8AD =，6BD =．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）如图2，延长AD至点F，使AF AB=，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长．（3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长．4．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·20）（10分）在Rt ABCACBÐ=°，Ð=°，设60BACD中，90将ABCD（点D，E分别与B，A对应），连接BD．D绕着点C顺时针旋转，得到CDE（1）如图1，当点D在线段CA的延长线上时，若5AD=，求BD的长；（2）如图2，当点D在如图所示位置时，过点D作//DG AB交线段EA的延长线于G，EG与BD相交于点F，连接AD，BG．求证：四边形ADGB为平行四边形．（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，若5CF=，求EF的长．AC=，85．（2020-2021新都区八年级（下）期末·20）（10分）（1）如图1，ABCD都是等边三角形，联D与DEC=．结BE和AD．求证：BE AD（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得Ð的度数．=．求出此时CAGDE AC，CE AC//6．（2020-2021龙泉驿八年级（下）期末·26）（8分）如图，矩形OABC中，4AB=，点E，FAO=，8分别在边AB，OC上，且3AE=，将矩形的部分沿直线EF翻折，点A的对应点A¢恰好落在对角线AC 上，求OF的长．1．（2020-2021高新区八年级（下）期末·27）（10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上=．任意一点（点E不与点A，点B重合），点F在AD的延长线上，BE DF（1）求证：CE CF=；（2）如图2，作点D关于CF的对称点G，连接BG、CG、DG，DG与CF交于点P，BG与CF交于点H，与CE交于点Q．（ⅰ）若20Ð的度数；Ð=°，求CHBBCE（ⅱ）用等式表示线段CD，GH，BH之间的数量关系，并说明理由．2．（2020-2021金牛区八年级（下）期末·27）（10分）四边形ABCD 和四边形BEDF 都是矩形，BC 与DF 交于点G ，AD 与BE 交于点H ．（1）如图1，当AB DE =时，求证：BH DH =；（2）如图2，当AB DE =时，连结CH ，若2BC AB =，求CH CD的值；（3）如图3，当AB DE ¹时，连结CH ，GH ，若CGH D 为等边三角形，求AB DE 的值．3．（2020-2021天府新区八年级（下）期末·27）（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AM 平分BAD Ð，交BC 于点M ，点N 是AD 上的一点，连接MN ，MD ，且MN MD =，过点D 作DF MN ^于F ，DF 延长线交AM 于E ，过点E 作EP AD ^于P ．（1）如图1，①若5CD =，7AD =，求线段CM 的长；②求证：PED CMD D @D ．（2）如图2，过点F 作FH CD ^于H ，当AM AD =时，求AE FH 的值．4．（2020-2021温江区八年级（下）期末·27）（10分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCED沿BE翻折，点C落在AD边上的点F处，过点F作//FG CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若3AD=，求四边形CEFG的面积．AB=，5。
六年级下册数学-小升初四边形专项练习及答案-a4-人教版
六年级下册数学-小升初四边形专项练习及答案-人教版评卷人得分一、解答题1.一个等腰梯形的腰长是6厘米，它的下底是10厘米，上底是下底的一半，这个梯形的周长是多少？2.有一个停车场原来的形状是梯形，为扩大停车面积，将它扩建为一个长方形的停车场（如图）．扩建后面积增加了多少平方米？3.数学李老师拿来两根同样长的铁丝，一根围成了一个平行四边形，一根围成了一个等腰梯形．围成的平行四边形的一组邻边分别长9cm 和11cm ，围成的等腰梯形的腰和上底同样长，下底是上底的2倍．请问这个等腰梯形的下底长多少厘米？4.如图，三个大小完全相同的等腰梯形正好拼成一个周长为54厘米的等边三角形，其中等腰梯形下底的长度是上底的2倍，求等腰梯形的周长．5.求下面平行四边形的周长和面积．6.解答（1）点C（1，3）向右移动3格后位置是（，），把线段AB绕A点逆时针旋转90°后，B点的位置是（，）．（2）一个长方体的盒子，要得到它的平面展开图，需要剪开条棱．如图阴影部分是一个长方体的平面展开图，每个小正方形的边长是1厘米，这个长方体的体积是立方厘米．（3）如果将这幅图按1：3的比例放大后，用新的图形做成一个长方体，这个新长方体的表面积是平方厘米．7.已知图中阴影部分的面积是5.4平方厘米，求梯形的面积．8.右面的平行四边形中，空白部分的面积是10平方分米，求涂色部分的面积．（单位：分米）9.计算如图图形的面积：10.一块平行四边形麦地，底长49米，高40米，这块地合多少公顷？这块地共收小麦1254.4千克，平均每公顷收小麦多少千克？参数答案1.根据题意可知：上底增加5米，变成正方形，则梯形的下底和梯形的高相等，可求出下底和梯形的高相等，可求出下底和直角腰的长，再利用梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰的长度，据此即可解答解：10÷2＋10＋6×2＝5＋10＋12＝27（厘米）答：这个梯形的周长是27厘米。
北师大版2020八年级数学下册《第6章 平行四边形 》单元练习试题【含答案】
∵AC＝8，
∴AO＝4，
∵AB＝6，AC⊥AB，
∴BO＝
＝
＝2 ，
∴BD＝2BO＝4 ． 19．解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC， ∵点 E 为 OA 中点，AD＝AO，AD＝2 ，
∴OE＝ ，OC＝2 ，
∴CE＝OE+OC＝3 ，
∵DE⊥CD，CD＝6，
∴DE＝
＝3；
（2）证明：取 AD 的中点 F，连接 OF， ∵AD＝AO，点 E 为 OA 中点， ∴AE＝AF， 在△ADE 和△AOF 中，
三．解答题（共 7 小题） 16．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，延长 CE 交 BA 的延长线于点 F．
（1）求证：AB＝AF； （2）若 BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE 的度数．
17．已知：如图，在▱ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF．求证： BF∥DE．
8，CD＝10，点 F、M、N 分别是 BC、BD、CE 的中点，则 MN 的长为（ ）
A．
B．6
C．4
D．3
10．如图，正五边形 ABCDE 绕点 A 顺时针旋转后得到正五边形 AB′C′D′E′，旋转角
为 α （0°＜α＜90°），若 DE⊥B′C′，则∠α 为（ ）
A．36°
B．54°
C．60°
22．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 BE、CE，EB 平分∠AEC． （1）如图 1，判断△BCE 的形状，并说明理由； （2）如图 2，∠A＝90°，BC＝5，AE＝1，求线段 BE 的长．
一．选择题（共 10 小题） 1． D． 2． A． 3． B． 4． D． 5． B． 6． D． 7． D． 8． A． 9． A． 10． B． 二．填空题（共 5 小题） 11． ．
2020年中考数学压轴题满分提升训练：《四边形》(含答案)
解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm， ∴CG＝2cm， ∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF，
∴
，
∵t＝6， ∴BE＝6cm，CE＝2cm，
∴
∴CF＝2cm， ∴m＝2， 故答案为：2，2；
（3）解：当 MO+PO 的值最小时，点 O 与点 E 可以重合，理由如下： ∵ME∥AB， ∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA． ∵MP⊥DC， ∴∠MPC＝90°． ∴∠MPC＝∠ADC＝90°． ∴PM∥AD． ∴∠EAM＝∠PMA．
11
由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠EAC＝∠MAB， ∴∠EMA＝∠AMP．即 MC 平分∠PME．
∵△ABP 的面积等于矩形 ABCD 的面积的 ， ∴ ×12×AE＝ ×12×10 ∴AE＝8， 作点 A 关于 PE 的对称点 A'，连接 A'B 交 PE 于点 P，此时△ABP 周长最小，
4
∴A'E＝AE＝8， ∴AA'＝16，
∴A'B＝
＝
＝20，
∴△ABP 周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32． 3．（1）方法感悟：
（3）如图 2，过点 P 作 PF⊥BC 于 F 点，过点 M 作 MH⊥BC，交 BC 延长线于点 H， ∴四边形 PMHF 是矩形， ∴PM＝FH＝5， ∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF， ∴△ABC∽△FPC，
∴
，
8
∴＝
∴PF＝
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》单元测试题及答案
北师⼤版九年级数学上册《特殊平⾏四边形》单元测试题及答案北师⼤版九年级数学上册《特殊平⾏四边形》单元检测试卷⼀、单选题（共10题；共30分）1.如图，在菱形ABCD中，对⾓线AC、BD交于点O．若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为（）A. 1B. √3C. 2D. 2√32.下列给出的条件中，能识别⼀个四边形是菱形的是（）A. 有⼀组对边平⾏且相等，有⼀个⾓是直⾓B. 两组对边分别相等，且有⼀组邻⾓相等C. 有⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等，且对⾓线互相垂直D. 有⼀组对边平⾏且相等，且有⼀条对⾓线平分⼀个内⾓3.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A. 矩形B. 正⽅形C. 平⾏四边形D. 菱形4.下列说法中，正确的是（）.A. 相等的⾓⼀定是对顶⾓B. 四个⾓都相等的四边形⼀定是正⽅形C. 平⾏四边形的对⾓线互相平分D. 矩形的对⾓线⼀定垂直5.在菱形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是( )6.如图，在正⽅形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 60°7.如图，在菱形ABCD中，对⾓线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂⾜为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的⼤⼩为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°8.如图，矩形ABCD的对⾓线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A. √3cmB. 2cmC. 2 √3 cmD. 4cm9.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直⾓三⾓形；②四边形CDFE不可能为正⽅形；③四边形CDFE的⾯积保持不变；④△CDE⾯积的最⼤值为8．其中正确的结论有（）个．10.（2017?德州）如图放置的两个正⽅形，⼤正⽅形ABCD边长为a，⼩正⽅形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转⾄△ADN，将△MEF绕；③△ABM≌△NGF；④S四边点F旋转⾄△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣b2a=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）形AMFNA. 2B. 3C. 4D. 5⼆、填空题（共10题；共30分）11.矩形⼀个⾓的平分线分矩形⼀边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的⾯积为________cm2．12.如图，要使平⾏四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填⼀个）．13.菱形ABCD的⼀条对⾓线长为6，边AB的长是⽅程的解，则菱形ABCD的周长为________．14.（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上⼀点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．15.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有⼀点P，当PA+PB+PC值最⼩时，PB的长为________．16.如图所⽰：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的⼤⼩关系是b________c（填＜、=、＞）17.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的⾯积是18，则DP的长是________．18.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD 的平⾏线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．19.如图，在边长为4的正⽅形ABCD中，E是AB边上的⼀点，且AE=3，点Q为对⾓线AC上的动点，则△BEQ周长的最⼩值为________．20.在平⾯直⾓坐标系中，正⽅形ABCD的位置如右图所⽰，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正⽅形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正⽅形A2B2C2C1，…按这样的规律进⾏下去，第2017个正⽅形的⾯积为________．三、解答题（共9题；共60分）21.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．22.已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．23.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平⾏四边形，求证：四边形ADCE是矩形.24.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE、BE25.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。
（完整版）平行四边形的性质练习题及答案
（完整版）平⾏四边形的性质练习题及答案平⾏四边形的性质、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在平⾏四边形 ABCD 中，下列各式不⼀定正确的是（）A. / 1 + Z 2=180 °B. / 2+ / 3=180 °C. / 3+Z 4=180的周长为（）3. 如图5,」ABCD 中,EF 过对⾓线的交点 O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形 BCFE 的周长为 ____________________ .4. 如图6,已知在平⾏四边形 ABCD 中，AB=4 cm , AD=7 cm , / ABC 的平分线交 AD 于点E ,5. 如图7,在平⾏四边形 ABCD 中，点E 、F 在对⾓线6. 如图 8,在 ABCD 中,AE 丄BC 于 E,AF 丄 CD 于 F,BE=2 cm,DF=3 cm, / EAF=60° ,试求 CF 的长.D. /2+ /4=180O , OE 丄AC 交AD 于丘，则⼛DCEA.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm交CD 的延长线于点 F ,贝U DF= _____________cm.BD 上，且 BE=DF ，求证:AE=CF.图32?如图4,⼆ABCD 的周长为图5图6图7图8三、课后巩固（30分钟训练）1?⼆ABCD中，/A⽐/ B⼤20。
，则/ C的度数为（）A.60 °B.80 °C.100 °D.120 2?以A、B、C三点为平⾏四边形的三个顶点,作形状不同的平⾏四边形，⼀共可以作（A.0个或3个B.2个C.3个D.4个3?如图9 所⽰，在—ABCD 中,对⾓线AC、BD交于点0,下列式⼦中⼀定成⽴的是（）A.AC 丄BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD4?如图10,平⾏四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O ,将⼛AOD平移⾄△ BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5?如图11,在平⾏四边形ABCD中，EF // AB , GH // AD , EF与GH交于点O,则该图中的平⾏四边形的个数共有（）6?如图12,平⾏四边形ABCD中，AE丄BD , CF丄BD，垂⾜分别为E、F，求证：/ BAE= / DCF.7、如图13所⽰,已知平⾏四边形ABCD中，E、F分别是BC和AD上的点，且BE=DF.求证:△ ABE CDF.A.7个B.8个C.9个D.11 个图12图138?如图14,已知四边形ABCD是平⾏四边形，/ BCD的平分线CF交边AB于F，/ ADC的平分线DG交边AB于G.⑴求证:AF=GB ;（2）请你在已知条件的基础上再添加⼀个条件，使得△EFG是等腰直⾓三⾓形，并说明理由?19.1.2平⾏四边形的判定⼆、课中强化（10分钟训练）1?如图3,在ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O,E、F是对⾓线AC上的两点，当E、F满⾜下列哪个条件时，四边形DEBF不⼀定是平⾏四边形（）A.AE=CFC.Z ADE= / CBFD. / AED= / CFB，使四边形AECF是平⾏四边形.4. 如图6,AD=BC,要使四边形ABCD是平⾏四边形，还需补充的⼀个条件是：__________________5. 如图，在，ABCD中，已知M和N分别是边AB、DC的中点，试说明四边形BMDN也是平⾏四边形.2.如图4,AB 喪DC ,DC=EF=10 ,DE=CF=8，则图中的平⾏四边形有，理由分别是图4 图53.如图5,E、F是平⾏四边形ABCD对⾓线BD上的两点,B.DE=BF图14三、课后巩固（30分钟训练）1?以不在同⼀直线上的三个点为顶点作平⾏四边形最多能作（）是平⾏四边形的是（）4?已知四边形 ABCD 的对⾓线 AC 、BD 相交于点② OA=OC :③ AB=CD ;④/ BAD= / DCB :⑤ AD // BC.（1）从以上5个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD 是平⾏四边形的有（⽤序号表⽰）： _____________________________ :（2）对由以上5个条件中任意选取 2个条件，不能推出四边形请选取⼀种情形举出反例说明平⾏四边形？6?如图，E 、F 是四边形ABCD 的对⾓线 AC 上的两点，AF=CE , DF=BE , DF // BE. 求证：⑴△AFD ◎△ CEB;（2）四边形ABCD 是平⾏四边形A.4个B.3个C.2个D.1个2?下⾯给出了四边形 ABCD 中/A 、/ B 、/ C 、/ D 的度数之⽐,其中能判定四边形 ABCDA.1 : 2 : 3 : 4B. 2 : 2 : 3 : 3C. 2 : 3 : 3 : 2D. 2 : 3 : 2 : 33?九根⽕柴棒排成如右图形状，图中 ____ 个平⾏四边形 ,你判断的根据是O ,给出下列 5个条件：①AB // CD ;5?若三条线段的长分别为20 cm,14 cm,16 cm,以其中两条为对⾓线 ABCD 是平⾏四边形的,，另17?如图,已知DC // AB，且DC= — AB , E为AB的中点.2(1) 求证:△ AED ◎△ EBC ;(2) 观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC⼣⼘，请再写出两个与△ AED的⾯积相等的三⾓形(直接写出结果，不要求证明)： ___________________________8?如图,已知⼆ABCD中DE丄AC,BF丄AC,证明四边形DEBF为平⾏四边形9?如图，已知■ ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点?求证:(1) △ AFD ◎△ CEB;(2) 四边形AECF是平⾏四边形?⼆、课中强化(10 分钟训练)1 答案:D2. 解析：因为四边形ABCD 是平⾏四边形，所以OA=OC. ⼜0E丄AC , 所以EA=EC.贝U △ DCE 的周长=CD+DE+CE=CD+DE+EA=CD+AD. 在平⾏四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，且AB+BC+CD+AD=16 cm ，所以CD+AD=8 cm.答案:C3?解析：0E=0F=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2DF=8(cm).答案:8 cm4?解析：由平⾏四边形的性质AB // DC,知/ ABE= / F,结合⾓平分线的性质/ ABE= / EBC，得/ EBC= / F,再根据等⾓对等边得到BC=CF=7 ,再由AB=CD=4 , AD=BC=7 得到DF=DE=AD-AE=3.答案:35?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD./ ABE= / CDF.AB CD,在⼛ABE和⼛CDF中，ABE CDF ,BE DF .△ ABE ◎△ CDF.AE=CF.6. 解：/ EAF=60°AE 丄BC,AF 丄CD, C=120°. B=60°「./ BAE=30° .AB=2BE=4(cm). CD=4(cm). CF=1(cm).三、课后巩固(30 分钟训练)1 答案:C2. 解析：分两种情况,A、B、C三点共线时，可作0个当点A、B、C不在同⼀直线上时，可作3 个. 答案:A3. 解析：平⾏四边形对⾓线互相平分,所以OA=OC. 答案:B4. 解析：由平⾏四边形的对⾓线互相平分知OA=OC；再由平移的性质：经过平移，对应线段平⾏且相等可得OA=BE.答案:B5?解析：本题借助于平⾏四边形的定义，按照从左到右，从⼩到⼤的顺序，可找到下列的平⾏四边形：DEOH，.HOFC,. DEFC, EAGO，OGBF，EABF，■ DAGH，■ HGBC，⼆ABCD.答案:C6?答案：证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB // CD , AB=CD. /-Z ABE= / CDF ?/ AE 丄BD , CF 丄BD ,「./ AEB= / CFD=90 .△ABE ◎△ CDF. /.Z BAE= Z DCF.7、答案:证明：四边形ABCD是平⾏四边形，AB=CD, Z B= Z D.在⼛ABE和⼛CDF中,AB CD,B D, ?/△ ABE 也⼛CDF.BE DF.8?答案：(1)证明：四边形ABCD是平⾏四边形，? AB // CD. AGD= Z CDG.vZ ADG= Z CDG，/?/ ADG= Z AGD. ? AD=AG ?同理,BC=BF.⼜四边形ABCD 是平⾏四边形，? AD=BC,AG=BF. ? AG-GF=BF-GF ,即AF=GB.(2)解:添加条件EF=EG.理由如下：1 1由(1)证明易知Z AGD= Z ADG= Z ADC , Z BFC= Z BCF= Z BCD.2 2/ AD // BC，/?/ ADC+ Z BCD=180 ./Z AGD+ Z BFC=90 ./Z GEF=90 .⼜v EF=EG ,?△ EFG为等腰直⾓三⾓形.⼆、课中强化(10分钟训练)1. 解析：当E、F满⾜AE=CF时，由平⾏四边形的对⾓线相等知OB=OD,OA=OC , 故OE=OF.可知四边形DEBF是平⾏四边形.当E、F满⾜Z ADE= Z CBF 时，因为AD // BC,所以Z DAE= Z BCF.⼜AD=BC，可证出⼛ADE ◎△ CBF，所以DE=BF , Z DEA= Z BFC.故Z DEF= Z BFE.因此DE // BF，可知四边形DEBF是平⾏四边形.类似地可说明D也可以.。
特殊平行四边形(考题猜想,易错必刷36题6种题型)(解析版)24-25学年九年级数学上学期期中考点
特殊平行四边形（易错必刷36题8种题型专项训练）➢直角三角形斜边上的中线有理数➢菱形的性质➢矩形的性质➢矩形的判定➢矩形的判定与性质➢正方形的性质➢正方形的判定➢轴对称-最短路线问题一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠BAD ＝90°，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点．（1）请判断线段EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADC ＝45°，请判断EF 与AC 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）EF ⊥AC ，理由见解答；（2）EF ＝AC ，理由见解答．【解答】解：（1）EF ⊥AC ，理由：连接AE ，EC，∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BD，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝BD，∴AE＝CE，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC；（2）EF＝AC，理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝DE＝BD，∴∠ECD＝∠CDE，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∴∠EAD＝∠ADE，∵∠ADC＝45°，∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC＝2∠ADE+2∠CDE＝2（∠ADE+∠CDE）＝2∠ADC＝90°，∵点F是AC的中点，∴EF＝AC．二．菱形的性质（共3小题）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S＝100，则OH的长为（ ）菱形ABCDA．B．10C．5D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝20，＝×AC×BD＝20×BD＝100，又∵S菱形ABCD∴BD＝10，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝BD＝10＝5．故选：C．3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1个菱形的边长＝1＝（）0，第2个菱形的边长＝＝（1，第3个菱形的边长＝3＝（）2，…∴第2023个菱形的边长＝（）2022，故选：B．4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为 ．【答案】4．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，∴BE⊥AD，且∠A＝60°，∴AE＝4，BE＝AE＝4，∴PE＝BE＝4．故答案为：4．三．矩形的性质（共10小题）5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD ＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．6．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）A．（3，1）或（3，3）B．（3，）或（3，3）C．（3，）或（3，1）D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故选：D．7．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC ＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．【答案】B【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．故选：B．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）A．B．C．5D．7【答案】B【解答】解：如图，连接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S＝＝，△ABD∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．9．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE 对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．【答案】9或18．【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD'E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝＝30，∴CD′＝30﹣18＝12，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或18．10．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF 的度数等于 °．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF∴∠CFG＝2∠GFP＝124°，∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°，∴∠EHF＝∠HFG＝56°．故答案为56．11．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC，AC∥OB，∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，∵∠AFC＝∠OEB＝90°，∴△AFC≌△OEB（AAS），∴CF＝BE＝4﹣1＝3，故答案为：3．12．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝．∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°，∴∠FEH＝30°．∴EF＝2FH．∴FH＝1，EF＝2．设BF＝x，则CH＝4﹣x﹣1＝3﹣x，∴AF+EC＝+．欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得P到M（0，），N（3，）的距离和最小（如图1中），作点M关于x轴的对称点F，连接FN，∵F（0，﹣），N（3，），∴直线FN的解析式为y＝x﹣．令y＝0，可得x＝，∴x＝时，PM+PN的值最小，此时NF＝AF+EC＝．故答案为：．13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运动时间为t，则AP＝t，CQ＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2，∠B＝∠C＝90°，∴BP＝4﹣t，∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2；（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，①当PQ＝DQ＝4﹣t时，如图1，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∵PH2+HQ2＝PQ2，∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，解得：t＝2，t＝，②当PQ＝PD时，如图2，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∴4﹣2t＝t，∴t＝，③当DQ＝PD时，∴DQ＝4﹣t，∴PD＝DQ＝4﹣t，∵AP2+AD2＝PD2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．14．如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB，连接CP 并延长，交AD于点N．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）若M为DC的中点，求证：PN＝AN．【答案】（1）△ABP是直角三角形；（2）证明见解析．【解答】（1）解：△ABP是直角三角形．理由如下：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB＝AB．∵OP＝AB，∴OP＝OA＝OB．∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO．∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，∴∠APO+∠BPO＝90°．∴∠APB＝90°．∴△ABP是直角三角形．（2）证明：如图，延长AM，BC交于点Q，∵M是CD的中点，∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA）．∴AD＝CQ＝BC．∵∠BPQ＝90°．∴PC＝BQ＝BC．∴∠CPB＝∠CBP．∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°．∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°．∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠APN＝∠PAN．∴PN＝AN．四．矩形的判定（共1小题）15．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC ADFE为矩形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF＝BC，∴AF＝DE，由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形．五．矩形的判定与性质（共1小题）16．下列命题错误的是（ ）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等【答案】C【解答】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．六．正方形的性质（共18小题）17．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A．75°B．60°C．54°D．67.5°【答案】B【解答】解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．18．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）A．cm2B．cm2C．cm2D．（）n cm2【答案】B【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．故选：B．19．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（ ）A．2B．4C．D．2【答案】D【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．20．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（ ）A．4B．2C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AC、CF，如图：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故选：B．21．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ）A．B．C．﹣1D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，又∵AB＝AE，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．故选：B．23．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：设大正方形的边为a，小正方形的边长为b，矩形的边长为a、b，如图所示：∵大正方形，有6张，小正方形有5张，矩形有4张，∴构成边长最大是为9正方形，其中有两边为9，则需要5个边长为3的正方形，另外两边的边长都为3+2+2+2＝9也可以满足3a＝3b+a，即2a＝3b．故选：D．24．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c【答案】B【解答】解：∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠BAC，∵AC＝CE，∠ABC＝∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE，在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即，AB2+DE2＝AC2，∵S3＝AB2，S4＝DE2∴S3+S4＝c同理S1+S2＝a故可得S1+S2+S3+S4＝a+c，故选：B．25．如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD 于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有 个．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作FG⊥AB于G，则AD＝GF＝AB，∵AM⊥EF，∴∠BAM＝∠GFE，∵∠BAM＝∠GFE，∠ABM＝∠EGF，GF＝AB，∴△ABM≌△FGE，∴EF＝AM，故①正确；由题可得：AG＝DF，GE＝BM，∴AE＝AG+GE＝DF+BM；故②正确；如图，过K作KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于T，∵∠KBQ＝45°，∴△BQK是等腰直角三角形，∴BK＝KQ＜AK，故③错误；∵DB平分∠ABC，∴KQ＝KT，又∵AM的垂直平分线交BD于K，∴KA＝KM，∴Rt△AQK≌Rt△MTK，∴∠AKQ＝∠MKT，又∵∠QKT＝∠MKT+∠MKQ＝90°，∴∠AKQ+∠MKQ＝90°，即∠AKM＝90°，故④正确；故答案为：3．26．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于 ．【答案】4或2．【解答】解：在正方形ABCD AD＝6，∠DAE＝30°，设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2，解得：x＝2（负值舍去），∴AE＝4，∵点F为AE的中点，∴AF＝EF＝2，分两种情况：①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD，在Rt△MGN和Rt△ADE中，，∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL），∴∠NMG＝∠EAD，∴∠NMG+∠AMF＝90°，∴∠EAD+∠AMF＝90°，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2，设MF＝m，则AM＝2m，由勾股定理，得4m2﹣m2＝12，解得m＝2（负值舍去），则AM＝4；②方法一：根据对称性由①可知：AM＝6﹣4＝2，方法二：如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H，则NG＝CD＝AD，在Rt△ADE和Rt△NGM中，，∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL），∴∠GNM＝∠DAE＝30°，∴∠GMN＝60°，△AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM，∴∠AFM＝∠DAE＝30°，∴AM＝MF，∵MH⊥AF，∴AH＝FH，设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x，∵F是AE的中点，∴AE＝2AF＝4AH＝4x，Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x，∵AD＝6，即6x＝6，x＝1，即AM＝2x＝2；故答案为：4或2．27．如图，若正方体的棱长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：找到CD的中点N，连接BN．正方形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，∴OB＝OD，∵在△OAD和△OAB中，AB＝AD，OA＝OA∴△OAD≌△OAB，又∵，所以阴影部分面积为△OAD和△OAB的面积和．根据中位线定理M、N分别为AB、CD的中点，∴CE＝EO＝OA，∴O到AD的距离为CD长度的．∴S△ADO +S△ABO＝2S△ADO＝2××a×＝．故答案为．28．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 ．【答案】20．【解答】解：如图，连接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案为：20．29．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 ．【答案】．【解答】解：将四边形EFGH的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10，所以S2＝x+4y＝10，∴AB＝．故答案为：．30．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是 ．【答案】①②③．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③．故答案为：①②③．31．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： （请填上序号）．【答案】①②③④．【解答】解：∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；∵DH＝DH，AD＝CD，∠ADH＝∠CDH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠EAG＝∠DCE，而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠EAG+∠AEB＝90°，∴AG⊥BE，故②正确；∵△CDE和△BDE同底等高，∴S△CDE ＝S△BDE，而S△CDE ﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD，∴S△BHE ＝S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴AH＝CH，而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE，∴∠HAB＝∠HCB，∴△ABH≌△CBH（SAS），∴∠AHB＝∠CHB，而∠EHD＝∠CHB，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确，故答案为：①②③④．32．如图1，在正方形ABCD AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：AE＝EF成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（3）存在，理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴DM＝AE，由（2）AE＝EF，∴DM＝EF，∴四边形DMEF为平行四边形．33．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）若△DEF的面积为，求AF的长；（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．【答案】（1）证明见解答部分；（2）AF＝5或．（3）MN的长度为或．【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°，∴∠AED＝∠AFB，在△ABF与△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS）．（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF＝x，∴BE＝CF＝4﹣x，∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF＝4×4﹣×4•x﹣（4﹣x）•x﹣×4•（4﹣x）＝8﹣2x+x2，∴y＝x2﹣2x+8＝，解得，x1＝3，x2＝1，∴AE＝3或AE＝1，∴AF＝DE＝5或．（3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF，∵点M是DE的中点，∴DM＝ME，∵AB∥CD，∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM，∴△DPM≌△EAM（AAS），∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1，当AE＝3时，BF＝DP＝3，∴CF＝CP＝1，∴PF＝，∴MN＝PF＝；当AE＝1时，BF＝EP＝1，∴CF＝CP＝3，∴PF＝3，∴MN＝PF＝；综上，MN的长度为或．34．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB，∴EB＝GD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴BD⊥AC，AC＝BD＝5，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝，∵AG＝2，∴OG＝OA+AG＝，由勾股定理得，GD＝＝，∴EB＝．七．正方形的判定（共1小题）35．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）线段OE与OF的数量关系 ．（填空）；（2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝ ．（填空）；（3）当点O运动到 ，且∠BCA等于 时，四边形AECF是正方形．（填空）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2．∵MN∥BC，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OE＝OC．同理可证OC＝OF．∴OE＝OF．故答案为：OE＝OF．（2）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，∴∠2＝∠ACB，∠5＝∠ACD，∴∠ECF＝∠2+∠5＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△ECF是直角三角形，又∵CE＝8，CF＝6，∴由勾股定理得EF＝10，∵OE＝OF，∴Rt△CEF中，CO＝EF＝5，故答案为：5；（3）当点O运动到AC ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA＝OC，∵由（1）可得OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形，∠5＝∠6＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠3＝∠6，∴CE＝CF，∴平行四边形AECF是正方形．故答案为：AC的中点处，90°．八．轴对称-最短路线问题（共1小题）36．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．。
部编数学九年级上册专题24.5圆内接四边形【六大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题24.5 圆内接四边形【六大题型】【人教版】【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 (1)【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 (5)【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 (9)【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 (13)【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 (16)【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 (20)【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABD ＝20°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到∠AOD 的度数，再根据三角形内角和可以求得∠OAD 的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD 的度数．方法二：根据AB 是⊙O 的直径，可以得到∠ADB ＝90°，再根据∠ABD ＝20°和三角形内角和，可以得到∠A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数．【解答】解：方法一：连接OD，如图所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．方法二：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故选：C．【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD是菱形时，则∠OBA+∠ODA的度数是（ ）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，求出∠OBA+∠ODA ＝∠BAD，根据菱形的性质得出∠BCD＝∠BOD，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠BAD，求出∠BCD＝2∠BAD，根号圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD，再求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠OBA＝∠BAO，∠ODA＝∠DAO，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAO+∠DAO＝∠BAD，∵四边形OBCD是菱形，∴∠BCD＝∠BOD，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，∴∠BCD＝2∠BAD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴3∠BAD＝180°，∴∠BAD＝60°，∴∠OBA+∠ODA＝∠BAD＝60°，故选：B．【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是 60° ．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠BCD+∠BAD＝180°，根据∠BCD＝2∠BAD求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理求出∠BAE＝90°，求出∠DAE的度数，再根据圆周角定理得出∠DOE＝2∠DAE 即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DOE＝2∠DAE＝60°，故答案为：60°．【变式1-3】（2022秋•包河区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ 64 °．【分析】利用圆内接四边形的性质，得出∠DAC+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，推出∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，再利用圆周角定理和三角形的内角和定理求出∠3+∠4的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，又∵△AOC为等腰三角形，∴∠5＝∠OCA，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，∵∠1+∠2＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，∴∠D＝∠1+∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128，在等腰三角形AOC中，2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，故答案为64．【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝BD的长为（ ）A．B．C D．【分析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．解直角三角形求出CE，ED，再利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，∴∠BCD＝135°，∴∠DCE＝45°，∵∠E＝90°，CD＝∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，∴BD=故选：D．【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过B点作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（ ）A B．C．D．不能确定【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°，∴∠A＝180°﹣145°＝45°，∵BH⊥AD，AB＝4，∴BH=故选：B．【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）A．1)B．1)C．(−1D．(−2，【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA=A（0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标．【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，∴∠ABO+∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙D的直径，∴D点为AB的中点，在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，∴OB=12AB＝2，∴OA=∴A（0），B（0，2），∴D点坐标为（1）．故选：B．【变式2-3】（2022秋•汉川市期中）已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 2x+1 ．（用含有x的代数式表示）【分析】延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，由M是弧CAB的中点，可得∠BDM＝∠CDM，又因为MP垂直于弦AB于P，可得∠BPD＝∠EPD＝90°，然后由ASA定理可证△DPE≌△DPB，然后由全等三角形的对应角相等，对应边相等可得：∠B＝∠E，PB＝EP，然后由圆内接四边形的性质可得：∠ECA＝∠B，进而可得：∠E＝∠ECA，然后根据等角对等边可得AE＝AC，进而可得PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，然后将AC＝x，AP＝x+1，代入即可得到PB的长．【解答】解：延长MP交圆于点D，连接DC并延长交BA的延长线于E点，连接BD，∵M是弧CAB的中点，∴∠BDM＝∠CDM，∵MP垂直于弦AB于P，∴∠BPD＝∠EPD＝90°，在△DPE和△DPB中，∵∠BPD=∠EPD PD=PD∠BDP=∠EDP，∴△DPE≌△DPB（ASA），∴∠B＝∠E，PB＝EP，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ECA＝∠B，∴∠E＝∠ECA，∴AE＝AC，∴PB＝PE＝EA+AP＝AC+AP，∵AC＝x，AP＝x+1，∴PB＝2x+1．故答案为：2x+1．【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为BD 的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，进而得出△ADE为等边三角形，证明AB＝BE，进而求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为BD的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．【变式3-1】（2022秋•青山区期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（ ）A．3B．6C．9D．12【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，由∠AOD+∠BOC ＝180°，∠AOD＝∠COE，推出AD＝CE＝2，根据三角形的面积公式可求得△BEC的面积为6，由OB＝OE，可得△BOC的面积=12△BEC的面积．【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD＝∠COE，∴AD=CE，∴AD＝CE＝2，∵BC ＝6，∴△BEC 的面积为12BC •CE =12×6×2＝6，∵OB ＝OE ，∴△BOC 的面积=12△BEC 的面积=12×6＝3，故选：A ．【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AB ＝AD ，点E 在CD 的延长线上，且DE ＝BC ，连接AE ，若AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为 8 ．【分析】如图，连接AC ，BD ．由△ABC ≌△ADE （SAS ），推出∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，推出S 四边形ABCD ＝S △ACE ，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC ，BD ．∵∠BCD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵∠ADE +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE ，∵AB ＝AD ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ＝4，S △ABC ＝S △ADE ，∴∠CAE ＝∠BAD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACE =12×4×4＝8．故答案为8．【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC ＝AC 为弦的⊙O 上有B 、D 两点，且∠BAC ＝∠DAC ，则四边形ABCD 的面积最大值为 4 ．【分析】如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．S 四边形ABCD ＝S △ACT ，因为AC ＝CT ＝以当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大．【解答】解：如图，将△ACB 绕点C 顺时针旋转得到△TCD ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠B ＝∠CDT ，∴∠ADC +∠CDT ＝180°，∴S 四边形ABCD ＝S △ACT ，∵AC ＝CT ＝∴当AC ⊥CT 时，S △ACT 的面积最大，最大值=12××=4．故答案为：4．【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 把它的4个内分角成8个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠4B ．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°C ．∠4＝∠7D ．∠ADC ＝∠2+∠5【分析】根据圆周角定理，三角形内角和定理进行判断即可．【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD ，∴∠1＝∠4，∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC ，∴∠2＝∠7，∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB ．∴∠5＝∠8，∵∠1+∠2+∠3+∠8＝180°，∠ADC ＝∠8+∠7，∴∠1+∠2+∠3+∠5＝180°，∠ADC ＝∠2+∠5，故A ，B ，D 都正确，∵BC 和DC 不一定相等，∴BC 与DC 不一定相等，∴∠4与∠7不一定相等，故C 错误，故选：C ．【变式4-1】（2022秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，故选：C．【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）A．AB＝AE B．AB＝BE C．AE＝BE D．AB＝AC【分析】只要证明∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，再根据角平分线定义即可解决问题．【解答】解：连接EC．∵EC平分∠BCD，∴∠ECB＝∠ECD，∵∠ECB＝∠BAE，∠ECD＝∠ABE，∴∠BAE＝∠ABE，∴EA＝EB．故选：C．【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP 交AB于点E．（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；（2）①若P是AB的中点，求证：PC＝PA+PB；②若点P在AB上移动，判断PC＝PA+PB是否成立，证明你的结论【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）①∵P是AB的中点，∴PB=PA，∴PA＝PB，∵CA＝CB，∴PC垂直平分线段AB，∴PC是直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°，∵∠PCA＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PA＝2PB，∴PA+PB＝PC．②PC＝PA+PB成立；证明：在PC上截取PH＝PA，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，∠APE=∠ACH∠APB=∠AHC=120°，AP=AH∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝PA+PB．【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为CD上一动点（不与点C，D重合）．（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径；（2）若∠A＝90°，AD=AB，求证：PB﹣PD=．【分析】（1）连接AC，得到AC是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC＝CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠D＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵∠BAC＝∠P＝30°，∴AC＝2BC＝6，所以圆O的半径为3；（2）∵∠A＝90°，∴∠C＝90°，∵AC为圆O直径，∴∠D＝∠B＝90°，∴四边形ABCD为矩形．∵AD=AB，∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，在BP上截取BE＝DP，∴△BCE≌△DPC，∴PC＝CE，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=，∴PB＝PD．【变式5-1】（2022秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【分析】延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．【解答】证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD=BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；（2）证明△ADC≌△EBC即可．【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，∠ADC=∠EBC∠DAC=∠E，AC=EC∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，过B作直线交⊙O于C，交⊙O′于D，G 为圆外一点，GC交⊙O于E，GD交⊙O′于F．求证：∠EAF+∠G＝180°．【分析】连接AB，根据圆内接四边形的性质可知∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，再由∠ABC+∠ABD＝180°，可得出∠GEA+∠GFA＝180°，由四边形AEGF的内角和为360°即可得出结论．【解答】证明：连接AB∵四边形ABCE与四边形ABDE均为圆内接四边形，∴∠GEA＝∠ABC，∠GFA＝∠ABD，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠GEA+∠GFA＝180°．∵四边形AEGF的内角和为360°，∴∠EAF+∠G＝180°．【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】【例6】（2022春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠DEC＝∠B，然后利用等角对等边得到结论．（2）利用旋转的性质及圆内接四边形的性质证得△EDF≌△CDG后即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠B+∠AED＝180°∵∠DEC+∠AED＝180°∴∠DEC＝∠B∵AB＝AC∴∠C＝∠B∴∠DEC＝∠C∴DE＝DC．（2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠A+∠BDE＝180°∵∠EDC+∠BDE＝180°∴∠A＝∠EDC，∵OA＝OE∴∠A＝∠OEA，∵∠OEA＝∠CEF∴∠A＝∠CEF∴∠EDC＝∠CEF，∵∠EDC+∠DEC+∠DCE＝180°∴∠CEF+∠DEC+∠DCE＝180°即∠DEF+∠DCE＝180°，又∵∠DCG+∠DCE＝180°∴∠DEF＝∠DCG，∵∠EDC旋转得到∠FDG∴∠EDC＝∠FDG∴∠EDC﹣∠FDC＝∠FDG﹣∠FDC即∠EDF＝∠CDG，∵DE＝DC∴△EDF≌△CDG（ASA），∴DF＝DG．【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AC．（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC的度数；（2）若BD⊥AC交AC于点E，请判断∠BAC和∠DAC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ACB＝∠ABC＝70°，再根据圆内接四边形的性质可求解；（2）由可得直角三角形的性质∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，结合圆周角定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝110°；（2）∠BAC＝2∠DAC．证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∠ACB+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAC，∠ACB＝90°﹣∠CBE，∵∠ABC＝∠ACB，∠ABE+∠CBE＝∠ABC，∴90°﹣∠BAC+∠CBE＝90°﹣∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE，∴∠BAC＝2∠DAC．【变式6-2】（2022秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A的两边分别取点B，点C，在∠A的内部取一点P，连接PB，PC．探索BPC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】先过点A、B、C作⊙O，分类讨论：当点P在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得∠BPC+∠A ＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，根据三角形外角性质易得∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则根据四边形的内角和得到∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【解答】解：过点A、B、C作⊙O，如图，当点P在⊙O上，则∠BPC+∠A＝∠B+∠C＝180°；当点P在⊙O内，即P点落在P1的位置，则∠BPC＝∠A+∠B+∠C；当点P在⊙O内，即P点落在P2的位置，则∠BPC+∠A+∠B+∠C＝360°．【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下面我们进一步研究．（1）在图（1）中．∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角．请你探究∠DCE与∠A的关系．并说明理由．（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD，AD延长线上的点．如果DE平分∠FDC．求证：AB＝AC．【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义证明结论；（2）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理证明∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得到答案．【解答】解：（1）∠DCE＝∠A，∵∠A+∠DCB＝180°，∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DCE＝∠A；（2）∵已知ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠2，∠ADB＝∠ACB，∠ADB＝∠1，∠ACB＝∠1，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．。
人教版-八下数学第十八章《平行四边形》单元测试题及答案
进行平移后可得到一个边长为1m 的正方
形,所以它的周长为4m . (第8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C. 15.C. 提示:因为ABC ?的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ?的面积不变. 16.A. 提示:由于() BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=∠=∠∠∠ 9021,所以通过折叠后得到的是由 . 17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形 AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C. 19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠=∠?⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角. 20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG, 即GD=BF,又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ; (2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得 DGE GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD . 21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形. 22.下面给出两种参考答案: (1)添加条件AB ∥DC,可得出该四边形是矩形; 理由:因为AB ∥DC,AB=DC,所以四边形ABCD 是平行四边形.又因为AC=BD,所以四边形ABCD 是矩形. (2)添加条件AC 垂直平分BD,那么该四边形是正方形. 理由:因为AC 垂直平分BD,所以AB=AD,BC=CD,又因为AB=DC,所以AB=AD=BC=DC,所以四边形ABCD 是菱形,又因为AC 垂 直BD,所以四边形ABCD 是正方形. 说明:解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联 系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论. 23. O 在AC 的中点时,四边形ABCD 是矩形.因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD 是平 行四边形,又()CAN MAC CAE FAC FAE CAN CAE MAC FAC ∠+∠=∠+∠=∠∠=∠∠= ∠21,21,21所以 = 18021 ?= 90,所以四边形ABCD 是矩形. 24.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.
中考专题百题过关训练 08四边形证明题
001（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．002（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD 上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G=1，2求AO的长．003（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF ＝BE．求证：AF＝CE．004（2019•甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A 作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．005（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P 是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．006（2019•江西）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（√2019−2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．007（2019•贵阳）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BD．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；，求点B到点E的距离．（2）若DA＝DB＝2，cos A=14008（2019•云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．009（2019•新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．010（2019•宁夏）如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF ⊥EC，且AE＝CD．（1）求证：AF＝DE；AD，求tan∠AFE．（2）若DE=25011（2019•包头）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC 交BD于点E，∠ABD＝30°，AD=√3，求线段AC和BE的长．（注：a+b =√a−√b(a+b)(a−b)=√a−√ba−b）012（2019•百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．013(2019•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．014（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：015（2019•梧州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．016（2019•玉林）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使BH＝DG，连接EG，FH．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）已知：AB＝2√2，EB＝4，tan∠GEH＝2√3，求四边形EHFG的周长．017（2019•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．018（2019•哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面．积的18019（2019•本溪）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．020（2019•沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；，∠CBG＝45°，BC＝4√2，则▱ABCD的面积是．（2）若tan∠CAB=25021（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．022（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．023（2019浙江宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．024（2019•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．025（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．026（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2√13．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥BC．027（2019•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．028（2019•郴州）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．029（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．030（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA （不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．031（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．032（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE ＝DF，求证：∠1＝∠2．033（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．034（2019•长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．035（2019•株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=1，2求正方形OEFG的边长．036（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．037（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．038（2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE 相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．039（2019•宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD 上，且BE＝DF=3．2（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．040（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．041（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE ＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．042（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．043（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．044（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．045（2019•广安）如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．046（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．047（2019•内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．048（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．049（2019•雅安）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．050（2018辽宁鞍山）如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．051（2018北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．052（2018陕西）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB=CD，求证：AG=DH．053（2018•宁夏）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．054（2018福建A）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．055（2018重庆A）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB=AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH=3，HE=1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB=45°，求证：DF=CG．056（2018•重庆B）如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；（2）求证：EB=EH．057（2018•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．058（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．059（2018新疆）（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC 上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．060（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．061(2018内蒙包头）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE=15°，DE=4，DC=2．（1）求BE的长；（2）求四边形DEBC的面积．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）062（2018贵州毕节）如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．063（2018•贵阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE 的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．064（2018贵州遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．065（2018甘肃）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．066（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．067（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．068（2018广西玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．069（2018 广西梧州）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 的一条直线分别交A D，BC 于点E，F．求证：AE=CF．070（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．071（2018辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C 作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．072（2018湖北恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．073（2018湖北黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．074（2018•本溪）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED 的周长．075（2018湖北孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．076（2018湖南郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．077（2018湖南娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．078（2018湖南湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．079（2018湖南湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．080（2018湖南永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．081（2018湖南岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE 是平行四边形．082（2018湖南张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证．DF=AB；（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．083（2018湖南株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB 和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．084（2018江苏淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O 的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE=CF．085（2018江苏南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．086（2018江苏南通）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC 延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．087（2018江苏无锡市）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．088（2018江苏宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．089（2018江苏盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．090（2018江苏扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．091(2018浙江杭州•临安)（6分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．092（2018浙江衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．093（2018浙江温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．094（2018四川巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．095（2018四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．096（2018四川南充）如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．097（2018四川内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．098（2018四川遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．099（2018山东聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B 点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．100（2018山东青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．。
青岛版八年级下册数学第6章平行四边形单元检测（解析版）
青岛版⼋年级下册数学第6章平⾏四边形单元检测（解析版）青岛版⼋年级下册数学第6章平⾏四边形单元检测⼀、选择题1.下列命题中，正确的是（）A. 对⾓线互相垂直且相等的四边形是菱形B. 对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形C. 对⾓线互相平分且相等的四边形是菱形D. 对⾓线相等的四边形是菱形【答案】B【解析】试题分析：根据菱形的判定⽅法依次分析各选项即可.A、对⾓线互相垂直且相等的四边形不⼀定是菱形，C、对⾓线互相平分且相等的四边形是矩形，D、对⾓线相等的四边形不⼀定是菱形，故错误；B、对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，本选项正确.考点：菱形的判定点评：本题属于基础应⽤题，只需学⽣熟练掌握菱形的判定⽅法，即可完成.2.如图，在矩形ABCD中，对⾓线AC、BD交与点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD【答案】D【解析】试题分析：本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个⾓都是直⾓，对⾓线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质3.已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对⾓线相等的四边形是矩形；③有两个⾓相等的平⾏四边形是矩形；④两条对⾓线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对⾓线相等，错误.③菱形也两个⾓相等，错误.④正确．所以选C.4.⽤两个边长为a的等边三⾓形纸⽚拼成的四边形是（）A. 等腰梯形B. 正⽅形C. 矩形D. 菱形【答案】D【解析】试题解析：由于两个等边三⾓形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．5.在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）A. 四边形AEDF是平⾏四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平⾏四边形，故A正确；⼜∵∠BAC=90°，∴平⾏四边形是矩形，故B正确；⼜∵AD平分∠BAC，∴平⾏四边形AEDF是菱形，故D正确；AD⊥BC时，⽆法判断平⾏四边形AEDF是菱形，故C错误；故选C.点睛：本题主要考查平⾏四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握这⼏个图形的判定⽅法是解题的关键. 6.如图，在□ABCD 中，如果EF∥AD ， GH∥CD ， EF与GH相交与点O ，那么图中的平⾏四边形⼀共有（）.A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个【答案】D 【解析】解：∵EF ∥AD ，GH ∥CD ，⽽平⾏四边形的定义得到AB ∥CD ，AD ∥CB ，∴EF ∥AD ∥CB ，GH ∥CD ∥AB ，∴图中的四边形AEOG ，AEFD ，ABHG ，CNOF ，ABCD ，CBEF ，BHOE ，DGOF 和HCOF 都是平⾏四边形，共9个．故选D ．7.已知平⾏四边形ABCD 的周长为32，AB ＝4，则BC 的长为（） A. 4 B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】由题意得：2()32,4,12AB BC AB BC +===得： . 故选B. 8.已知四边形ABCD 是平⾏四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正⽅形，现有下列四种选法，其中错误的是（） A. 选①② B. 选②③C. 选①③D. 选②④【答案】B 【解析】试题分析：A 、由①得有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形，由②得有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形，所以平⾏四边形ABCD 是正⽅形，正确，故本选项不符合题意；B 、由②得有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形，由③得对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，所以不能得出平⾏四边形ABCD 是正⽅形，错误，故本选项符合题意；C 、由①得有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形，由③得对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，所以平⾏四边形ABCD 是正⽅形，正确，故本选项不符合题意；D 、由②得有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形，由④得对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，所以平⾏四边形ABCD 是正⽅形，正确，故本选项不符合题意．故选B ．考点：1.正⽅形的判定；2.平⾏四边形的性质．9. 不能判定⼀个四边形是平⾏四边形的条件是【】A. 两组对边分别平⾏B. ⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等C. ⼀组对边平⾏且相等D. 两组对边分别相等【答案】B【解析】根据平⾏四边形的判定：①两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形；②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形；③两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形；④对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形；⑤⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形．A、D、C均符合是平⾏四边形的条件，B则不能判定是平⾏四边形．故选B．10.如图所⽰，在平⾏四边形ABCD中，∠ABE=∠AEB，AE∥DF，DC是∠ADF的⾓平分线．下列说法正确的是（）①BE=CF ②AE是∠DAB的⾓平分线③∠DAE+∠DCF=120°．A. ①B. ①②C. ①②③D. 都不正确【答案】C【解析】试题分析：可证明四边形AEFD为平⾏四边形，可求得BC=EF，可判断①；结合⾓平分线的定义和条件可证明△ABE、△CDF 为等边三⾓形，可判断②③，可得出答案．试题解析：∵四边形ABCD为平⾏四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，⼜∵AE∥DF，∴四边形AEDF为平⾏四边形，∴EF=AD，∴BC=EF，∴BE=CF，故①正确；∵DC平分∠ADF，∴∠ADC=∠FDC，⼜∵AD∥EF，∴∠ADC=∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，⼜∵AE=DF，∴AE=CF=BE，⼜∵∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴△ABE和△CDF为等边三⾓形，∴∠BAE=∠B=∠DAE=∠DCF=60°，∴AE平分∠DAB，∠DAE+∠DCF=120°，故②③正确；故选C．考点：平⾏四边形的性质．11.如图，D、E、F分别为Rt△ABC中AB、AC、BC的中点，AB=23，则DC和EF的⼤⼩关系是（）A. DC＞EFB. DC＜EFC.DC=EF D. ⽆法⽐较【答案】C【解析】【详解】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF=12AB3Rt△ABC中，D是AB的中点，∴CD=12AB3CD=EF．故选C．【点睛】本题考查的是三⾓形中位线定理和直⾓三⾓形的性质，掌握三⾓形的中位线平⾏于第三边且等于第三边的⼀半和直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半是解题的关键．12.如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90o，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=3，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30o；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（）A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④【答案】D【解析】试题分析：根据梯形的性质和直⾓三⾓形中的边⾓关系，逐个进⾏验证，即可得出结论．解：在直⾓三⾓形ABC中，∵AB=，BC=3，∴tan∠ACB=．∴∠ACB=30°．∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正确的∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形ADCE是平⾏四边形．∴CE=AD=2．∴BE=1．在直⾓三⾓形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．∴∠CAE=30°．①是正确的∴AE=2BE=2．∵AE=CE，∴平⾏四边形ADCE是菱形．∴∠DCE=∠DAE=60°．∴∠BAE=30°⼜∵∠CAE=30°∴∠BAO=60°⼜∵AB=AO∴△AOB是等边三⾓形，∴∠ABO=60°．∴∠OBE=30°．∴BO⊥CD．④是正确的．∵AD∥BC，AD=2BE．∴S△ADC=2S△ABE，③是正确的．∴①②③④都是正确的，故选D．考点：四边形的综合题点评：此类问题难度较⼤，在中考中⽐较常见，⼀般在压轴题中出现，需特别注意.⼆、填空题13.矩形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的⾯积为________ 【答案】163【解析】解：如图．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．⼜AC+BD=16，∴AC=BD=8，且OA=OB=4．∵∠AOD=120°，可得∠AOB=60°，∴△AOB是等边三⾓形，∴AB=4．∵∠ABC=90°，∴∠ACB=30°，∴BC=22=43，∴矩形的⾯积AC BC=4×43=163．故答案为163．14.如图，剪两张等宽对边平⾏的纸条，随意交叉叠放在⼀起，转动其中的⼀张，重合的部分构成了⼀个四边形，这个四边形是________．【答案】菱形【解析】试题分析：⾸先可判断重叠部分为平⾏四边形，且两条纸条宽度相同；再由平⾏四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进⾏判断．解：过点D分别作AB，BC边上的⾼为AE，AF，∵四边形ABCD是⽤两张等宽的纸条交叉重叠地放在⼀起⽽组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平⾏四边形（对边相互平⾏的四边形是平⾏四边形）；∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同），∵S平⾏四边形ABCD=AB?ED=BC?DF，∴AB=CB，∴四边形ABCD是菱形，故答案为菱形．考点：菱形的判定．15.如图，?ABCD的对⾓线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为13，则?ABCD的两条对⾓线长度之和为________．【答案】16【解析】∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴CD=AB=5，AC=2CO，BD=2DO．∵△OCD的周长为13，∴CO+DO=13-5=8，∴AC+BD=2×8=16．故答案为16．16.如图，?ABCD中，∠A=50°，AD⊥BD，沿直线DE将△ADE翻折，使点A落在点A′处，AE交BD于F，则∠DEF=________ .【答案】65°【解析】解：由折叠的性质可得：∠DA′E=∠A=50°，∠AED=∠DEF．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB∥CD，∴∠AEA′=180°﹣∠DA′E=130°，∴∠DEF=12∠DA′E=65°．故答案为65°．17.已知菱形的两条对⾓线长为8和6，那么这个菱形⾯积是________，菱形的⾼________．【答案】24；24 5.【解析】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD=8，AC=6，作AE⊥BC于E，∴AC⊥BD，AO=12AC=3，BO=12BD=4，∴AB=22AO OB+=2234+=5，∴BC=AB=5，∴菱形的⾯积=12ACBD=24．∵BC?AE=24，∴AE=245，∴菱形的⾼为245．故答案为24，245．18.将2017个边长为2的正⽅形，按照如图所⽰⽅式摆放，O1， O2， O3， O4， O5， …是正⽅形对⾓线的交点，那么阴影部分⾯积之和等于________．【答案】2016【解析】解：由题意可得阴影部分⾯积等于正⽅形⾯积14，则⼀个阴影部分⾯积为：1．n个这样的正⽅形重叠部分（阴影部分）的⾯积和为14×（n﹣1）×4=（n﹣1）．所以这个2017个正⽅形重叠部分的⾯积和=14×（2017﹣1）×4=2016．故答案为2016．点睛：本题考查了正⽅形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正⽅形重叠部分（阴影部分）的⾯积和的计算⽅法，难点是求得⼀个阴影部分的⾯积．19.如图：在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P为AD上任⼀点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=______．【答案】245【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三⾓形的性质，根据它们的性质进⾏答题．【详解】设AP=x ，则DP=8-x ；根据相似三⾓形的性质可得：PE AP DC AC =，PF PDAB DB=；即有PE=35x ，PF=35（8-x ），则PE+PF=4.8．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平⾏四边形的性质，⼜具有⾃⼰的特性，要注意运⽤矩形具备⽽⼀般平⾏四边形不具备的性质．20.四边形ABCD 中，如果AB=DC ，当AB ______DC 时，四边形ABCD 是平⾏四边形；当AD ________ BC 时，四边形ABCD 是平⾏四边形. 【答案】平⾏，=. 【解析】试题分析：四边形ABCD 中，AB=DC ，当AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平⾏四边形；当AD=BC 时，四边形ABCD 是平⾏四边形.考点: 平⾏四边形的判定.21.如图，△ABC 中，AD=BD ，AE=EC ，BC=6，则DE=________．【答案】3 【解析】因为AD=BD ，AE=EC ，∴DE=12BC=3，故答案为3.22.如图，菱形ABCD的边长为5cm，对⾓线BD的长为6cm，则菱形ABCD的⾯积为________ cm2．【答案】24【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12BD=12×6=3（cm），∴OA=22AB OB-=2253-=4（cm），∴AC=2OA=8c m，∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×6×8=24（cm2）．故答案为24．点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的⾯积等于对⾓线积的⼀半．三、解答题23.已知：如图，E、F分别为?ABCD中AD、BC的中点，分别连接AF、BE交于G，连接CE、DF交于点H．求证：EF与GH互相平分．【答案】详见解析.【解析】试题分析：可先证明四边形AFCE是平⾏四边形，进⽽利⽤平⾏四边形的性质得出四边形GFHE是平⾏四边形，即可得出结论．试题解析：证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点，∴AE=12AD，CF=12BC．∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AD∥BC，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AFCE是平⾏四边形，∴AF∥CE，同理可证：BE∥DF，∴四边形GFHE是平⾏四边形，∴EF与GH互相平分．点睛：本题主要考查平⾏四边形的判定与性质，能够熟练掌握并求解此类问题．24.如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，2，OD+CD=7，求△OCB的⾯积．【答案】(1)见试题解析（2）8.5．【解析】试题分析：（1）连接ED、MN，根据三⾓形中位线定理可得ED∥MN，ED=MN，进⽽得到四边形DEMN是平⾏四边形，再根据平⾏四边形的性质可得MD和NE互相平分；（2）利⽤（1）中所求得出OC=2DN=4，再利⽤勾股定理以及三⾓形⾯积公式求出S△OCB=OB×CD即可．试题解析：（1）证明：连接ED、MN，∵CE、BD是△ABC的中线，∴E、D是AB、AC中点，∴ED∥BC，ED=BC，∵M、N分别为OB、OC的中点，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形DEMN是平⾏四边形，∴MD和NE互相平分；（2）解：由（1）可得DN=EM=2，∵BD⊥AC，∴∠ODC=90°，∵N是OC的中点，∴OC=2DN=4（直⾓三⾓形斜边中线等于斜边的⼀半）∵OD2+CD2=OC2=32，（OD+CD）2=OD2+CD2+2OD×CD=72=49，2OD×CD=49﹣32=17，OD×CD=8.5，∵OB=2OM=2OD，∴S△OCB=OB×CD=OD×CD=8.5．考点：平⾏四边形的判定与性质；三⾓形中位线定理．25.如图，△ABC 中，点O 是边AC 上⼀个动点，过O 作直线MN∥BC，设MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外⾓平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．（3）若AC 边上存在点O，使四边形AECF 是正⽅形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．见解析；（3）△ABC 是直⾓三⾓形，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据平⾏线的性质以及⾓平分线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4,进⽽得出答案;（2）根据AO=CO,EO=FO可得四边形AECF平⾏四边形,再证明∠ECF=90°利⽤矩形的判定得出即可(3)利⽤正⽅形的性质得出AC⊥EN,再利⽤平⾏线的性质得出∠BCA=90°,即可得出答案【详解】证明：（1）∵MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外⾓平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．证明：当O 为AC 的中点时，AO＝CO，∵EO ＝FO ，∴四边形 AECF 是平⾏四边形，∵CE 是∠ACB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，∴∠ECF ＝12（∠ACB +∠ACD ）=90°，∴平⾏四边形 AECF 是矩形．（3）△ABC 是直⾓三⾓形，理由：∵四边形 AECF 是正⽅形，∴AC ⊥EN ，故∠AOM ＝90°，∵MN ∥BC ，∴∠BCA ＝∠AOM ，∴∠BCA ＝90°，∴△ABC 是直⾓三⾓形．【点睛】此题考查了正⽅形的判断和矩形的判定，需要知道排放新的象征和⾓平分线的性质才能解答此题26.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停⽌，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停⽌，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形； (2)当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP 的周长和⾯积．【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm 2. 【解析】【分析】（1）当四边形ABQP 是矩形时，BQ=AP ，据此求得t 的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列⽅程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，⾯积=矩形的⾯积-2个直⾓三⾓形的⾯积．【详解】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，解得t=8．答：当t=8时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形．解得：t=6．答：当t=6时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=6时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，⾯积为：10×8=80（cm2）．。
九年级数学上册第一单元测试题
第一单元特殊平行四边形九年级上册数学北师大版单元质检卷第一章【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图,在菱形ABCD 中,周长为16,120BCD ∠=︒,则AC 的长等于()A. B.4 C. D.22.下列说法中，正确的是()A.平行四边形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.矩形的对角线互相垂直D.正方形的对角线互相垂直且相等3.如图，四边形ABCD 是菱形，5AB =，6DB =，DH AB ⊥于H ，则DH 等于()A.245 B.125 C.5 D.44.如图,E ,F 是正方形ABCD 边上的两点,EF =,以EF 为边向正方形内作矩形EFGH ,2EH =,若矩形EFGH 在正方形内可随线段EF 进行自由滑动,则正方形边长的最小值为()A. B.4 C. D.25.如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形AD E ，AC ，BE 相交于点F ，则BFC ∠为()A.75°B.60°C.55°D.45°6.现有一矩形ABCD,借助此矩形作菱形,两位同学提供了如下方案：方案Ⅰ：分别取边AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,顺次连接这四点,围成的四边形EFGH即为所求.方案Ⅱ：连接AC,作AC的垂直平分线分别交AD,BC于点F,E,连接AE,CF,四边形AECF即为所求.对于方案Ⅰ,Ⅱ,说法正确的是()A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行C.Ⅰ,Ⅱ都可行D.Ⅰ,Ⅱ都不可行7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为()A.43B.3638.如图,在菱形纸片ABCD中,2AB=,60A∠=︒,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF的长为()A.74 B.95 C.19107369.如图,菱形ABCD ,点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上,120ABC ∠=︒,点()30A -,,点E 是CD 的中点,点P 是OC 上的一动点,则PD PE +的最小值是()A.3B.5C.2233210.如图,正方形ABCD 的边长为4,G 是对角线BD 上一动点,GE CD ⊥于点E ,GF BC ⊥于点F ,连接EF ,给出四种情况：①若G 为BD 的中点,则四边形CEGF 是正方形；②若G 为BD 上任意一点,则AG EF =；③点G 在运动过程中,GE GF +的值为定值4；③点G 在运动过程中,线段EF 的最小值为22正确的有()A.①②③③B.①②③C.①②③D.①③③二、填空题（每小题4分，共20分）11.如图,点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点,把ADE △绕点A 顺时针旋转90°到ABF △的位置,若四边形AECF 的面积为25,2DE =,则AE 的长为______.12.如图菱形ABCD 中,70B ∠=︒,AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ,连接DE ,则ADE ∠的度数是______.13.如图，菱形ABCD 中，108A ∠=︒，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为N ，连结CP ，则BPC ∠=_____度.14.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,4BC =,BCD ∠的平分线交边AD 于点E ,M ,N 分别是边AB ,BC 上的动点,且BM BN =,P 是线段CE 上的动点,连接PM ,PN .当BN =______时,PM PN +的值最小.15.如图，将一张长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 向下折叠，顶点A 落在点A '处，A D '交BC 于点E ，BC 的垂直平分线分别交BD ，BC ，BA '点F ，G ，H ，连接CF ，CH 若8AD =，6AB =，则GH 的长为________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图,四边形ABCD 是菱形,点E ,F 分别在AB 和AD 上,且BE DF =.点G ,H 分别在CD 和BC 上,且//EG AD ,//FH AB ,EG 与FH 交于点M .求证：四边形AEMF 为菱形.17.（8分）在学习矩形的过程中,小明发现将矩形ABCD 折叠,使得点B 与点D 重合,所得折痕在BD 的垂直平分线上,折痕平分矩形的面积.他想对此折痕平分矩形的面积进行证明.他的思路是首先作出线段BD 的垂直平分线,通过三角形全等的证明,将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积,使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规,作BD 的垂直平分线MN ,MN 交AD 于点M ,交BC 于点N ,垂足为点O .∵四边形ABCD 是矩形,∴①,∴ADB CBD ∠=∠,DMO BNO ∠=∠,∵②,∴③,∴()AAS BON DOM ≌△△,BON BON ABNM ABOM S S S S =++四边形四边形△△,DOM ABOM S S =+四边形△,ABD S =△,又∵12ABD ABCDS S =矩形△,∴④,即MN 平分矩形ABCD 的面积.18.（10分）已知：如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，D 点是AB 的中点，DE 、DF 分别是BDC △、ADC △的角平分线.(1)请直接写出AD 、BD 、CD 之间的数量关系：；(2)求证：四边形DECF 是矩形；(3)当ABC △满足条件时，四边形DECF 是正方形.(直接填空即可)19.（10分）已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形).(1)四边形EFGH 的形状是__________，证明你的结论.(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足__________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的结论.20.（12分）(1)【操作与探究】如图1,正方形ABCD 中,点E 、F 分别是BC ,CD 上一点45EAF ∠=︒.延长CB 至点Q ,使得BQ DF =,连接AQ ,EF ,请根据题意画出图形.①求证：BE DF EF +=；②若3BE =,4CF =,求正方形的边长AB .(2)[迁移与应用]如图2,正方形ABCD 中,点E 在AB 边上(不与端点重合),F 、G 分别是CD ,BC 上一点,EF 交AG 于点M ,45FMG ∠=︒,若2GC BG =,直接写出EF AG的值：______.21.（12分）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，分别从A 、C 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，其中010t ≤≤.(1)若G ，H 分别是AD ，BC 中点，则四边形EGFH 一定是怎样的四边形(E 、F 相遇时除外)？解：________(直接填空，不用说理)(2)在(1)条件下，若四边形EGFH 为矩形，求t 的值；答案以及解析1.答案：B解析：在菱形ABCD 中,1602ACB BCD ∠=∠=︒,AB BC =,∴ABC △是等边三角形,∵菱形ABCD 的周长为16,∴4AB BC ==,∴4AC =故选B.2.答案：D解析：A 、平行四边形的对角线互相平分，此选项错误，不合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，此选项错误，不合题意；C 、矩形的对角线相等，此选项错误，不合题意；D 、正方形的对角线一定互相垂直且相等，此选项正确，符合题意.故选D.3.答案：A解析：如图所示，设菱形的对角线交于O ，四边形ABCD 是菱形6DB =，∴132OB BD ==，AC BD ⊥∴4OA ==，∴28AC OA == 12ABCD S AB DH AC BD =⋅=⋅菱形，∴2425AC BD DH AB ⋅==，故选：A.4.答案：B解析：连接HF ,如图,∵四边形EFGH 是矩形,∴90HEF ∠=︒,∴4HF ==,过点H 作HM AB ⊥于点M ,则MB HF ≤,∴4MB ≤,根据题意,AB MB ≥,∴正方形边长的最小值为4.故选：B.5.答案：B解析：∵四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，45BAF ∠=︒，ADE △是等边三角形，60DAE ∴∠=︒，AD AE =，9060150BAE ∴∠=︒︒=︒＋，AB AE=18011()25015ABE AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒，451560BFC BAF ABE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；故选：B.6.答案：C解析：方案I, 四边形ABCD 为矩形,AB CD ∴=,AD BC =,90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒ 点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,AE BE CG DG ∴===,AH BF CF DH ===,(SAS)AEH BEF CGF DGH ∴≌≌≌△△△△,EG EF GF GH ∴===,∴四边形EFGH 为菱形;方案1, 四边形ABCD为矩形,∴,AD BC//∴∠=∠,FAC ECA垂直平分AC,EF∴=,AE CE=,AF CF∴∠=∠,EAC ECA∠=∠FAC FCA∴∠=∠,EACA FCA∴,//AE CF=,,AF CFAF CE//∴四边形AECF为菱形.∴方案I、II都可行,故选:C.7.答案：B解析：连接BD，PB，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴点B与D关于AC对称，∴PD PB=，∴PD PE PB PE BE+=+≥，∴PD PE+最小值为BE的长，∵正方形ABCD的面积为12，∴AB==又∵ABE是等边三角形，∴BE AB==，∴PD PE+最小值为B正确.故选：B.8.答案：A解析：连接BE ,BD ,如图,∵四边形ABCD 为菱形,60A ∠=︒,∴BDC △为等边三角形,60C A ∠=∠=︒,∴906030CBE ∠=︒-︒=︒.∵E 点为CD 的中点,∴1CE DE ==,BE CD ⊥.在Rt BCE △中,22BC CE ==,BE ==.∵//AB CD ,∴BE AB ⊥.∵菱形纸片翻折,使点A 落在CD 的中点E 处,∴EF AF =.设EF AF x ==,则2BF x =-,在Rt BEF △中,()2222x x -+=,解得74x =.故选A.9.答案：A解析：如图：连接BE ,,∵菱形ABCD ,∴B 、D 关于直线AC 对称,∵直线AC 上的动点P 到E 、D 两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE 长度即是PD PE +的最小值.,∵菱形ABCD ,120ABC ∠=︒,点()30A -,,∴60CDB ∠=︒,30DAO ∠=︒,3OA =,∴3OD =3AD DC CB ===∴CDB △是等边三角形∴23BD =∵点E 是CD 的中点,∴132DE CD ==,且BE CD ⊥,∴223BE BD DE =-=故选：A.10.答案：A解析： 四边形ABCD 是正方形,90C ∴∠=︒,AD DC =,45CBG CDG ADG ∠=∠=∠=︒,GE CD ⊥ 于点E ,GF BC ⊥于点F ,90GEC GFC ∴∠=∠=︒,∴四边形GFCE 是矩形,45EGD EDG ∠=∠=︒,45FGB CBG ∠=∠=︒,∴2DG GE =,2BG GF =,∵G 为BD 的中点,∴DG BG=∴GE GF=∴四边形GFCE 是正方形,故①正确；连接GC,∵四边形GFCE 是矩形,∴EF GC =,在ADG △与CDG △中,AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,(SAS)ADG CDG ∴≌△△,AG GC ∴=,AG EF ∴=,故②正确；∵45EGD EDG ∠=∠=︒∴GE ED =,∵四边形GFCE 是矩形,∴GF CE=∴4GE GF ED CE CD +=+==,即GE GF +的值为定值4,故③正确；∵EF GC =,∴当CG 最小时,EF 最小,∴当CG BD ⊥时,CG 最小,在Rt BCD △中,BD ==,∵1122BCD S BD CG BC CD =⋅=⋅△∴44=⨯∴CG =∴线段EF 的最小值为,故③正确；∴正确的有①②③③.故选：A.11.解析：∵把ADE △顺时针旋转ABF △的位置,∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25,∴5AD DC ==,∵2DE =,∴Rt ADE △中,AE ==.12.答案：55︒/55度解析：如图,连接BE ,∵菱形ABCD 中,70ABC ∠=︒,∴//AD BC ,DAC BAC ∠=∠,∴18070110DAB ∠=︒-︒=︒,55DAC BAC ∠=∠=︒,∵AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ,∴EA EB =,∴55EAB EBA ∠=∠=︒,∴由菱形的轴对称的性质可得：55ADE ABE ∠=∠=︒,故答案为：55︒.13.答案：72解析：如图，连接AP ，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=︒，11270326ADP ADC ∴∠=∠=⨯︒=︒， NP 是AB 的垂直平分线，AP CP ∴=，36ADP DAP ∴∠=∠=︒，363672APB ADP DAP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，由菱形的对称性得，72CPB APB ∠=∠=︒.故答案为：72.14.答案：2解析：∵矩形ABCD ,∴90BCD D ∠=∠=︒,∵BCD ∠的平分线交边AD 于点E ,∴45BCE DCE ∠=∠=︒,∴CDE △为等腰直角三角形,作点N 关于EC 的对称点N ',则N '在直线CD 上,连接PN ',∴PM PN PM PN MN ''+=+≥,∵垂线段最短,∴MN AB '⊥时,PM PN +的值最小,如图：此时：四边形BCN M ',四边形BNPM ,四边形PNCN '均为矩形,∴4MN BC '==,∵BM BN =,∴四边形BNPM 为正方形,∴12BN NP PM PN MN ''====,∴2BN =；故答案为：2.15.答案：76解析：由题可知6A B AB CD '===，A BD ABD CDB ∠=∠=∠'，BEA DEC ∠=∠'90A DCE ∠=∠='︒，∴A BE CDE '≌△△，∴A E CE '=，BE DE=设CE t =，则8BE t DE =-=，在Rt DCE △中，222CE CD DE +=，∴()22268t t +=-，解得74t =，∴74A E CE ='=， HF 是BC 的垂直平分线，∴4BG CG ==，∴79444GE CG CE =-=-=，连接EH .设A H x '=，则6BH x =-，在Rt BGH △中，()2222616GH BH BG x =-=--，在Rt A EH '△中，22224916EH A E A H x =+'+'=在Rt EGH △中，222GH GE EH +=，即：()2281496161616x x --+=+解得116x =，∴76GH ==，故答案为：76.16.答案：证明见解析解析：证明：//EG AD ,//FH AB ,∴四边形AEMF 为平行四边形,四边形ABCD 是菱形.AB AD ∴=.BE DF = ,AB BE AD DF ∴-=-,即AE AF =,∴四边形AEMF 为菱形.17.答案：//AD BC ,MN 垂直平分线段BD ,DO BO =,12ABNM ABCD S S =四边形矩形解析：图形如图所示：四边形ABCD 是矩形,∴①//AD BC ,ADB CBD ∴∠=∠,DMO BNO ∠=∠,②MN 垂直平分线段BD ,∴③DO BO =,()AAS BON DOM ∴≌△△,BONABNM ABOM S S S =+四边形四边形△DOMABOM S S =+四边形△ABD S =△,又12ABD ABCDS S =矩形△,∴④12ABNM ABCD S S =四边形矩形,即MN 平分矩形ABCD 的面积.故答案为：//AD BC ,MN 垂直平分线段BD ,DO BO =,12ABNM ABCDS S =四边形矩形.18.答案：(1)CD AD BD==(2)证明见解析(3)AC BC =(答案不唯一)解析：(1)∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，D 点是AB 的中点，∴12CD AD BD AB ===，故答案为：CD AD BD ==；(2)证明：∵CD AD BD ==，DE 、DF 分别是BDC △、ADC △的角平分线，∴DF AC ⊥，DE BC⊥又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形；(3)当ABC △满足条件AC BC =时，四边形DECF 是正方形，理由如下：∵CD AD BD ==，DE 、DF 分别是BDC △、ADC △的角平分线，∴12CF AC =，12CE BC =∵AC BC =，∴CF CE =，∴矩形DECF 是正方形，故答案为：AC BC =(答案不唯一)；19.答案：(1)平行四边形，证明见解析(2)互相垂直且相等(AC BD ⊥且AC BD =)，证明见解析解析：(1)证明：四边形EFGH 是平行四边形，证明如下；如图1，连接BD ，点E 、H 分别是AB 、AD 中点，∴//EH BD ，12EH BD =，同理，//FG BD ，12FG BD =，∴//EH FG ，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)互相垂直且相等(AC BD ⊥且AC BD =)，证明如下；如图2，连结AC ，BD同理(1)可知，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴EH HG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵AC BD =，∴EH HG =，∴四边形EFGH 是正方形.20.答案：(1)①证明见解析②6(2)324解析：画图如图所示,①证明：∵正方形ABCD ,∴AD AB =,90ABQ D ∠=∠=︒,∵BQ DF =,∴QAB FAD ≌△△,∴QAB DAF ∠=∠,QA AF =,∵45EAF ∠=︒,90BAD ∠=︒,∴45QAB BAE DAF BAE ∠+∠=∠+∠=︒,∴QAE FAE ∠=∠,∵AE AE =,∴QAE FAE ≌△△,∴QE EF =,∴EF BE BQ BE DF =+=+；②设正方形边长为x ,∵3BE =,4CF =,∴3CE x =-,4DF x =-,由①得1EF BE DF x =+=-,根据勾股定理得,222(3)4(1)x x -+=-,解得6x =,正方形的边长6AB =.(2)作//AN EF ,连接GN ,设正方形的边长为6a ,DN m =,∴45FMG NAG ∠=∠=︒,四边形AEFN 是平行四边形,∴EF AN =,∵2GC BG =,∴24GC BG a ==,6CN a m =-,2GN a m =+,根据勾股定理得,222(4)(6)(2)a a m a m +-=+,解得,3m a =,则AN ==,AG ==,324EF AN AG AG ===.21.答案：(1)四边形EGFH 是平行四边形(2)2t =或8t =解析：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，//AD BC ，∴GAE HCF ∠=∠，∵G ，H 分别是AD ，BC 中点，∴12AG AD =，12CH BC =，∴AG CH =，∵点E ，F 的运动速度相同，∴AE CF =，∴()SAS AGE CHF ≌△△，∴GE FH =，AEG CFH ∠=∠，∴180180AEG CFH ︒-∠=︒-∠，即GEF HFE ∠=∠，∴//GE FH ，∴四边形EGFH 是平行四边形.故答案为：四边形EGFH 是平行四边形(2)如图1，连接GH ，∵G ，H 分别是AD ，BC 中点，∴12AG AD =，12BH BC =，∴AG BH =，∵AD BC =，∵在矩形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，∴四边形ABHG 是矩形，∴6GH AB ==，(1)如图1，当四边形EGFH 是矩形时，6EF GH ==，∵6AB =，8BC =∴10AC =，AE CF t == ，1026EF t ∴=-=，2t ∴=；(2)如图2，当四边形EGFH 是矩形时，同理6EF GH ==，AE CF t ==102106EF t t t ∴=+-=-=，8t ∴=；综上所述，四边形EGFH 为矩形时，2t =或8t =.。
特殊的四边形练习题
特殊的四边形练习题1．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．42．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．125．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3D．46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜4B．6≤AM＜8C．≤AM＜8D．3≤AM＜47．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）cm．A．2B．3C．4D．58．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°9．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．511．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④13．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③④14．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC ＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．115．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．316．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④17．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE ＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④18．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON 分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CF2＝2OE2，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④19．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为．21．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．22．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，点P为线段AC上的一个动点．（1）填空：AD＝CD＝．（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．连接PB，在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为．23．如图，∠EOD＝90°，点A、B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的角平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝．24．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝．25．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，则△ABC的面积是．26．如图，以△ABC的两边AB，AC为边向形外作正方形ABEF，ACGH，则称这两个正方形为外展双叶正方形．有以下5个结论：①△ABC面积与△AFH面积相等．②过点A作边BC的垂线交FH于点D，则FD＝HD．③O为边BC的中点，OA延长线与HF交于点P，则AP⊥HF且HF＝2AO．④连接FC、HB相交于点R，则FC＝HB且FC⊥HB．⑤连结EG，S为EG的中点，则SB＝SC且SB⊥SC．其中正确的结论是（填序号）．27．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．28．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：BD＝DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．29．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．30．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．31．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝°时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．。
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地方的水平宽度都是一个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积 S 4
是
多少？并说明你的猜想是否正确（3 分）。
A
S2
M
P
D
N K
B
Q
C
学无 止 境
20、在正方形 ABCD 内取一点 M，使△MAB 是等边三角形，那么
∠ADM 的度数是
。
D
C
M
三、解答题（每小题 10 分，共 70 分）
A
21、已知：在□ABCD 中，∠A 的角平分线交 CD 于 E，若 DE：EC=3：1，AB 的长为 8，
求 BC 的长。
为 15，AB＝6，那么对角线 AC＋BD＝
。
13、在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，则 AB 的长为
D
14、如图，l 是四形形 ABCD 的对称轴，如果 AD∥BC，有下列结论：
①AB∥CD ②AB＝BC ③AB⊥BC ④AO＝OC 其中正确的结
A
论是
。（把你认为正．确．的结论的序号都填上）
。
C
B
15、如图是四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形集合示意图，
请将字母所代表的图形分别填入下表：
A
B
C
D
E
F
16、平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为 3∶1，那么这个平行四边形较长
的边长为_______。
17、如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上任意一点，过 E 作
的长为 (
)
A：3 cm B：6 cm C：9 cm D：12 cm
3、已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点．若
AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 (
)
A：8
B：6
C：4
D：3
4、对角线互相垂直平分的四边形是（
）
A：平行四边形 B：矩形
C：菱形 D：梯形
D
E C
A
B
22、如图，把一张长方形 ABCD 的纸片沿 EF 折叠后，ED 与 BC 的交点为 G，点 D、C 分 别落在 D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 和∠EGB 的度数。
23、如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，∠1＝∠2， OB＝6 厘米。(1)求∠BOC 的度数； (2)求△DOC 的周长。
E
于点 F，求证：AD=CF。
D
C
A
B
F
27、探究题。图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a ，坚直方向的 边长均为 b ）：
在（1）中，将线段 A1A2 向右平移一个单位（即 A1B1 = 1）到 B1B2，得到封闭图形
A1A2B2B1（即阴影部分）；②在（2）中，将折线 A1A2A3 向右平移一个单位到 B1B2B3，得
正方形 ⑤等腰三角形 ⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（ ）
A：①④⑤ B：②⑤⑥ C：①②③ D：①②⑤
8、如图，已知矩形 ABCD，R、P 分别是 DC、BC 上的点，E、F 分别是 AP、RP 的中点，
当 P 在 BC 上从 B 向 C 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A
D
A：线段 EF 的长逐渐增大。 B：线段 EF 的长逐渐减少。
班级
学无 止 境
第十九章 四边形测试题（B）
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1、下列哪组条件能判别四边形 ABCD 是平行四边形？（
）D
C
A：AB∥CD，AD＝BC
B：AB＝CD，AD＝BC
C：∠A＝∠B，∠C＝∠D D：AB＝AD，CB＝CD
A
B
2、如图，□ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 BC 的中点．若 OE=3 cm，则 AB
5、下列四个命题中，假命题是（ ） A：等腰梯形的两条对角线相等 B：顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形 C：菱形的对角线平分一组对角 D：两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（
）
A：平行四边形
B：矩形
C：菱形
D：正方形
7、用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④
B：一条边的中线与另一边的高的交点
C：三条高的交点
D：三条中线的交点
二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）
11、在□ABCD 中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______。
12、如图四边形 ABCD 是平行四边形，请补充条件
(写一个即可)，
使四边形 ABCD 是矩形。
12、如图在□ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 的周长
E
R
C：线段 EF 的长不变。
D：线段 EF 的长不能确定。
F
9、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC⊥BD，且 AC＝12，B BD＝9，P则该梯形C 的
面积是（ ）
A
D
姓名
B
C
学无 止 境
A：30 B：15 C：7.5 D：54
10、三角形的重心是三角形的（ ）
A：三条角平分线的交点
到封闭图形 A1A2A3B2B1B3（即阴影部分）；
（1）在图（3）中，请你类似的画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位， 从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影（4 分）。
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分的面积： S1 =
，
学无 止 境
S2 =
， S3 =
（3 分）；
（3）联想与探索：如图（4）在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何
EF⊥BC 于 F，作 EG⊥CD 于 G，若正方形 ABCD 的周长为 m，则
四边形 EFCG 的周长为
。
18、如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______。
19、如图，过矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点 K 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ，那么图中
矩形 AMKP 的面积 S1与矩形 QCNK 的面积 S2的关系是 S1 （填“＞”或“＜”或“＝”）
24、如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD=5，求：（1）∠BAC 的度数；（2）求 AC 的长。
D
A
O
C
B
学无 止 境
25、如图，已知四边形 ABCD 是等腰梯形， CD//BA,将△ABD 沿 AB 对折得到△ABE,
求证：四边形 AEBC 是平行四边形。
D
C
A
B
E
26、已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE//AC，交 BC 的延长线于点 E，EF⊥AB