第四章,复变函数的级数

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第四章复变函数级数

第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。

由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。

若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。

高等数学课件-复变函数与积分变换第四章级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解：将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

第4章：复变函数的幂级数展开

| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内解析，则对于圆内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi

复变函数幂级数

z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义若n收敛，则称n为绝对收敛；
n1
n1
若n发散，而n收敛，则称n为
n1
n1
n1
条件收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z

复变函数第四章级数

n =1
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛，收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（）为收敛半径则称：（1）R为收敛半径：（（2）| z |< R 为收敛圆域）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况：、幂级数的三种收敛情况：
处收敛，，收敛圆域为点圆；（1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆；）（2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个）在复平面上有时收敛，有时发散，为一个确定的正实数。确定的正实数。
（5）令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ，则： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性、
收敛，（1）若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞

复变函数PPT第四章

——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z

z
0
( n 1) z dz z
n n 0

n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0

z 1 .
n0

的收敛范围与和函数.
解级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.

所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0

1 n 解因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z

( 1)

复变函数论第4章

n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.
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铃

例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in

cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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结束
铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃

补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn

n
ar k 1
k 1

a ar n1 r 1 r

a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn

a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn

lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0

f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )

复变函数第四章级数

n0
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成立，其中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并且展开式唯一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论：若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!

第4章-复变函数项级数04-洛朗级数

积分求系数一般情况下比较复杂. 2. 间接展开法
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数，可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项；（2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数的特殊情况；（3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章复变函数项级数
第四讲洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项，不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z

[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]

级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛；若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题．级数收敛之必要条件：

复变函数_级数

三.复变函数项级数概念
1.定义:设
{
f
n
(
z)}(
n
1,2,...)为D内的复变函数序列,则称
fn (z) f1(z) f2 (z ... fn (z) ......
n1
为D内复变函数项级数.
2.前n项和: Sn (z) f1(z) f2 (z) ... fn (z)
3.级敛数. S收(z0敛)就:若是ln其im和Sn,(即z0 )
若在点发散,则圆外任一点z处也发散. 3.注:级数在圆周上须另行判断
三.收敛半径:
1.定义:
若存在一个正数R,使得幂级数 Cn (z1 z0)n
n1
在|Z-Z0|<R内处处收敛,而|Z-Z0|>R时处处发散,
则称 Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为R. n0
注:幂级数在|Z-Z0|=R处,可能收敛,也可能发散.
(1)复数项无穷级数:设 {zn}(n 1,2,...) 为一复数序列,
表达式
zn z1 z2 ... zn ...
k 1
(2)级数收敛(发散):
部分和序列 sn z1 z2 ... zn , (n 1,2,3,...) 有极限
lim
n
sn
s
则称级数是收敛的,S为级数的和,否则
2.复数序列极限定义:
设{zn}(n 1,2,...) 为一复数序列,其中zn xn iyn又
设 z0 x0 iy0 为一确定的复数. 0,N ,使当
n>N时,总有| zn z0 | 成立,则称{zn}收敛于复数 z0 ,
或称{zn}以 z0 为极限,记作
lim
n
zn
z0 , 或zn

复变函数第四版(第四章)

1 n 1) a n 1 e ; n
i

2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1

(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1

n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1

内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1

时, 级数

n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿

复变函数第四章学习方法导学

第四章级数复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。

例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。

根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数．本章，我们主要介绍以下内容：首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论．其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双<-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a RR≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类．一、学习的基本要求1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）．2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在,11()n m n m A∞∞==∑∑，,11()n m m n A ∞∞==∑∑以及,,1n m n m A ∞=∑都收敛的条件下，有成立）．3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性．4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：记00()()n n n f z a z z ∞==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点，利用系数计算的公式：1R l=．利用和函数的计算公式：10R z z =-．熟练掌握同类幂级数的运算性质．比如：设有两个同类幂级数00()()nn n f z a z z ∞==-∑，00()()n n n g z b z z ∞==-∑ 其收敛半径分别为1R ，2R ，不妨设12R R ≤，则在它们收敛的公共范围01z z R -<内● 加、减性： 000000()()()()n nn n n n n n n n a z z b z z a b z z ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑． ● 乘积性： 0000000(())(())()()nn n n n n n k k n n n k a z z b z z a b z z ∞∞∞-====-⋅-=⋅-∑∑∑∑．注意：在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性．设00()()n n n f z a z z ∞==-∑的收敛半径0R >，则在其收敛圆0z z R -<内● 逐项积分性：1000000()d ()d ()1zz nn n n n n a f a z z z n ξξξξ∞∞+===-=-+∑∑⎰⎰． ● 逐项微分性：10010()()(1)()n n n n n n f z na z z n a z z ∞∞-=='=-=+-∑∑． ● 收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即00()nn n a z z ∞=-∑，101()n n n na z z ∞-=-∑（逐项微分），100()1n n n a z z n ∞+=-+∑（逐项积分）这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周．注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得== 5．掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数．熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式① 01!zn n e z n ∞==⋅∑，z <+∞；② 211210111sin (1)(1)(21)!(21)!nn n n n n z z z n n ∞∞+--===-⋅=-⋅+-∑∑，z <+∞． 201cos (1)(2)!nn n z z n ∞==-⋅∑，z <+∞． ③ 110111ln(1)(1)(1)1n n n n n n z z z n n ∞∞+-==+=-⋅=-⋅+∑∑，1z <，其中ln(1)z +表示对数函数Ln(1)z +的主值支．101[Ln(1)]ln(1)22(1)1nn k n z z k i k i z n ππ∞+=+=++=+-⋅+∑，1z <． ④ 11(1)(1)(1)11!n n n n n n z z z n ααααα∞∞==⎛⎫--++=+⋅=+ ⎪⎝⎭∑∑，1z <，其中α为复常数，(1)z α+表示一般幂函数的主值支．特别，当1α=-时，01(1)1n n n z z ∞==-+∑；011n n z z ∞==-∑，1z <． 6．掌握解析函数零点以及零点阶数的定义，掌握解析函数零点阶数的判别方法（即解析函数()f z 以0z 为m 阶零点⇔存在0z 的某邻域0z z R -<，使得在其中0()()()m f z z z z ϕ=-，其中()z ϕ在0z z R -<内解析，且0()0z ϕ≠．）并能合理地利用零点阶数的定义或零点阶数的判别法确定解析函数零点的阶数．能正确地理解并掌握解析函数零点孤立性．掌握解析函数的惟一性及其初步的应用（比如，利用惟一性证明三角恒等式，解析函数的幂级数展式，解析函数的最大模和最小模原理等）．补充解析函数的最大模原理及其几个相关的结论：最大模原理：设函数()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内取得最大值的充要条件是()f z 在区域D 内为常函数．设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，则max ()max ()z Cz D f z f z ∈∈=，即()f z 在D D C =+上的最大值一定能在边界C 上取得．最小模原理：设函数()f z 在区域D 内解析，且()0f z ≠，则()f z 在区域D 内取得最小值的充要条件是()f z 在区域D 内为常函数．设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，且()0f z ≠，则min ()min ()z Cz D f z f z ∈∈=，即()f z 在D D C =+上的最小值一定能在边界C 上取得．7．了解形式幂级数（即洛朗级数）的含义及其收敛的定义，并能解释其收敛范围为什么一般只能是圆环．掌握洛朗级数在其收敛圆环内的性质（解析性，逐项积分和逐项微分性）．掌握圆环形区域内解析函数的洛朗展开定理（即洛朗定理），并能熟练地将解析函数在指定的解析圆环内展开成洛朗级数．注意：●求解析函数在指定圆环形区域内的洛朗展式的方法，基本上是沿用求幂级数展式的方法．不过在运用＂基本展式＂时要注意，先根据所求展式的要求（一般由指定的圆环或去心邻域来确定），并兼顾所要用的＂基本展式＂成立的范围，把0z z -的＂适当幂＂作为一个整体，再用基本展式．例如，将函数()1(2)f z z =-在11z <-<+∞内展成洛朗级数，此时，根据基本展式01(1)n n u u ∞=-=∑成立的范围是1u <，我们可以先将函数变形为1111()211(1)f z z z z -==⋅----，然后将1(1)z --作为一个整体，对111(1)z ---在圆环11z <-<+∞内用基本展式11n n u u ∞==-∑． ●解析函数在使其解析的圆形区域内的幂级数展式，也就是它在此圆形区域内的洛朗展式，即洛朗展式是幂级数展式的推广．8．了解解析函数孤立奇点（包括∞）的含义，会用解析函数在其孤立奇点去心邻域内的罗郎展式，对解析函数的孤立奇点进行分类．注意：若函数()f z 以∞为孤立奇点，()f z 在∞的主要部分（或奇异部分）是指()f z 在圆环r z <<+∞内的罗郎展式中的1n n n c z ∞=⋅∑部分．这与函数在有限孤立奇点处的主要部分不同．关于函数()f z 的孤立奇点∞的类型的判别，虽有类似于有限孤立奇点类型判别的方法，但在实际判别时，我们也可以通过变换1z ξ=将它化为判别函数1()f ξ的孤立奇点0ξ=的类型． 9．掌握解析函数的各类孤立奇点的特征，并能熟练地运用这些特征来判断解析函数的孤立奇点的类型．10．初步了解刻画本性奇点本质特征的维尔斯特拉斯定理和毕卡定理的含义，初步掌握整函数与亚纯函数的定义，并会用其奇点（包括∞）的类型对它们进行初步的分类．11．几个有用的结论：(1)若0z 分别为解析函数()f z 和()g z 的n 阶零点和m 阶零点，则① 0z 必为()()f z g z ⋅的n m +阶零点．② 当n m ≠时，0z 必为()()f z g z ±的min(,)n m 阶零点；当n m =时，或者0z 为()()f z g z ±的至少n m =阶零点，或者()()0f z g z ±≡．③ 当n m >时，0z 必为()()f z g z 的n m -阶零点；当n m =时，0z 不是()()f zg z 的零点，且为解析点（可去奇点）；当n m <时，0z 不是()()f z g z 的零点，且为()()f z g z 的m n -阶极点．(2) 解析函数的四种等价性定义：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是定义在区域D 内的一个复变函数，则下面的四种说法是等价的Ⅰ．函数()f z 在区域D 内可导（可微）；Ⅱ．(,)u x y 和(,)v x y 都在区域D 内可微（或具有连续的偏导数）且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，即u v x y ∂∂=∂∂，u v y x∂∂=-∂∂； Ⅲ．()f z 在区域D 内连续，且对D 内任一条围线C ，只要C 的内部仍含于D ，就有()0C f z dz =⎰；Ⅳ．()f z 在区域D 内任一点的邻域内都可展开成幂级数．(3) 若0z 分别为解析函数()f z 和()g z 的n 阶极点和m 阶极点，则① 0z 必为()()f z g z ⋅的n m +阶极点．② 当n m ≠时，0z 必为()()f z g z ±的max(,)n m 阶极点；当n m =时，或者0z 为()()f z g z ±的至多n m =阶极点，或者()()f z g z ±的可去奇点．③ 当n m >时，0z 必为()()f z g z 的n m -阶极点；当n m =时，0z 是()()f z g z 的可去奇点）；当n m <时，0z 是()()f z g z 的零点，且为()()f zg z 的m n -阶零点．（4）设函数()f z 不恒为零且以z a =为可去奇点（解析点）或极点，而()g z 以z a=为本性奇点，则z a =必为()()f z g z ±，()()f z g z ⋅和()()g z f z 的本性奇点．（5）若a 为函数()f z 的本性奇点，且在点a 的某去心邻域0z a ρ<-<内()0f z ≠，则a 必为1()f z 的本性奇点．二．问题研究1．泰勒定理类似于数学分析的证明方法：设函数()f z 在0z 的某邻域00():U z z z R -<解析，()000()()!n n n f z z z n ∞=-∑称为()f z 在0z 的泰勒级数，记()000()()()!k n k n k f z S z z z k ==-∑，则（１）任意0()z U z ∈，0z z ρ-<，0R ρ<<，有1010()()()()d 2()()n n n C z z f f z S z i z z ρξξπξξ++--=--⎰ （()f z 在0z 的泰勒公式）其中0:C z ρξρ-=，记1010()()()d 2()()n n n C z z f R z i z z ρξξπξξ++---⎰称为泰勒公式的余项．（２）对任意0R ρ<<，()n R z 在闭圆0z z ρ-≤上一致收敛于0，从而()n R z 在0()U z 内内闭一致收敛于0．（３）由（１）和（２）得，在00():U z z z R -<内()000()()()!n n n f z f z z z n ∞==-∑（()f z 在0z 的泰勒展式）（４）若()f z 在00():U z z z R -<内还有展式00()()n n n f z a z z ∞==-∑，则对任意正整数n ，有 ()0()!n n f z a n =，即()f z 在0z 的泰勒展式是惟一的．（注意：此问题的讨论方法同课本上第４章习题20的讨论方法是类似的）2．阿贝尔（Abel ）第二定理及其应用．按下面的步骤考虑阿贝尔第二定理，并利用阿贝尔第二定理求一类Fourier 级数的和：（１）若幂级数0()nn n f z a z ∞==∑的收敛半径1R =，且在1z =收敛于s ，即0n n s a ∞==∑收敛，则0n n n a z ∞=∑在如图示以1z =为顶点，以[0,1]为角平分线，张度为02θπ<的四边形角域1A 上一致收敛；提示：记0n σ=，1n k n k i i n a σ++=+=∑，利用阿贝尔变换将变成然后再利用一致收敛的柯西准则．（２）11lim ()z z A s f z →∈=．提示：逐项求极限立即可得．（３）若幂级数0()n n n f z a z ∞==∑的收敛半径1R =，且在ia z e =（02a π<<）收敛于a s ，即0ina a n n s a e∞==∑收敛，则0n n n a z ∞=∑在以ia z e =为顶点，以线段0,:ia ia e z te =（[0,1]t ∈）为角平分线，张度为02θπ<的四边形角域a A 上一致收敛，且lim ()ia aa z e z A s f z →∈=．提示：作旋转变换ia z e ω-=⋅利用（１）（２）即可．（４）（阿贝尔（Abel ）第二定理）若幂级数00()()n n n f z a z z ∞==-∑的收敛半径0R >，且在0ia z z Re =+（02a π<<）收敛于a S ，即0n inaa n n S a R e ∞==∑收敛，则00()n n n a z z ∞=-∑在以0ia z z Re =+为顶点，以线段000,:ia ia z z Re z z te +=+（[0,]t R ∈）为角平分线，张度为02θπ<的四边形角域A 上一致收敛，且0lim()ia a z z Re z A S f z →+∈=．提示：作变换z Rω=利用（３）即可．（５）求出幂级数1n n z n∞=∑的和函数，并利用阿贝尔第二定理证明下面的两个Fourier展式：1cos ln(2sin )2n n n θθ∞==-∑，1sin 2n n n θπθ∞=-=∑ 其中02θπ<<．参考文献：[1]方企勤．复变函数教程．北京：北京大学出版社，1996：121~124．[2]余家荣．复变函数（第三版）．北京：高等教育出版社，2000：64~87．[3]郑建华．复变函数．北京：清华大学出版社，2005：95~101．[4]范宜传，彭清泉．复变函数习题集．北京：高等教育出版社，1980：88~112．。

复变函数论第四章复级数

第四章复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时1.复数项级数定义4.1 复数项级数就是121nn n zz z z ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.1)其中n z (1,2,)n =为复数定义4.2 对于复数项级数(4.1)，设 n σ=121nnn k zz z z ==++⋅⋅⋅+∑ (4.2)若lim n n σ→∞存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1lim lim()0n n n n n z σσ-→∞→∞=-= (4.3)其次，由复数的性质易于推得定理4.1 设111n nn n n n z ai b ∞∞∞====+∑∑∑ (4.4)其中,n n a b (1,2,)n =均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N ε∀>∃，使n N >及P N ∀∈，均有11Pn kn n P k zz z ε+++==++<∑定义4.3 若级数1nn z∞=∑收敛，则称级数1nn z∞=∑为绝对收敛.由关系式1kk a∞=∑及1111kk k k k k k k k bz a b ∞∞∞∞∞=====≤=≤+∑∑∑∑及定理4.1即可推得.定理4.3 级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kk a+∞=∑及1kk b+∞=∑绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数1nn a+∞=∑当1a <时，由于111121n knn k a aa aσ+∞=-==+++=-∑，而当1a <时，1lim 0n n a+→∞=，于是1lim 1n n aσ→∞=- 因此级数1nn a ∞=∑(1)a <收敛且有111n n a a∞==-∑，显然，当1a <时，级数1nn a∞=∑亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上有定义，则称级数11()()()nn n fz f z f z ∞==+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.5)为定义在E 上的复函数项级数.定义4.5 设函数()f z 在E 上有定义，如果z E ∀∈，级数(4.5)均收敛于()f z ，则称级数(4.5)收敛于()f z ，或者说级数(4.5)和函数()f z 记作1()()nn fz f z ∞==∑ (4.6)定义4.6 如果0,()N N εε∀>∃=，使得当n N >时，对任一z E ∈，均有1()()nkk fz f z ε=-<∑则称级数(4.5)在E 一致收敛于()f z .与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数(4.5)在E 上一致收敛的充要条件是：0,()N N εε∀>∃=，使当n N >时，对任一z E ∈及P N ∀∈均有1()()n n P f z f z ε++++<由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 (魏尔斯特拉斯M -判别法) 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在点集E 上有定义12n a a a ++++为一收敛正项级数，若在E 上成立()(1,2,)n n f z a n <=⋅⋅⋅则级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上连续，级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上连续.定理4.7 设()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在简单曲线C 上连续，级数(4.5)在C 上一致收敛于()f z ，则1()()n n CCn f z dz f z dz ∞==∑⎰⎰.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,如果级数(4.5)在D 内任一有界闭区域上一致收敛于函数()f z ,则称级数(4.5)在D 内闭一致收敛于()f z .由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8 设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,级数1()nn fz ∞=∑在D 内中闭一致收敛于函数()f z ,则()f z 在D 内解析,且在D 内成立()()1()()k k n n fz f z ∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅证明: 0z D ∀∈,取0r >,使得0(,)U z r D ⊂.在U 内任作一条简单闭曲线C ,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0n CCn f z dz f z dz +∞===∑⎰⎰.因而由莫勒拉定理知()f z 在U 内解析,再由0z D ∈的任意性即得()f z 在D 内解析.其次,设U 的边界r C D ⊂,由已知条件得1()nn fz +∞=∑在r C 上一致收敛于()f z ,从而110()()k n f z z z +∞+=-∑在r C 上一致收敛于1()()k f z z z +-,根据定理4.7,我们有 10!()2()r k C k f z dz i z z π+-⎰=110()!2()r n k C n f z k dz i z z π+∞+=-∑⎰ 即 ()()001()()k k n n fz f z +∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅ 于是定理结论成立.作业:第178页 1.§2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 课时：2学时定义4.8 形如()000100()()()k n n n n n fz a z z a a z a z z +∞==-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (4.7)的级数称为幂级数,其中z 是复变量, (1,2,)n a n =⋅⋅⋅是复常数. 特别地,当00z =时,级数(4.7)就变为010nn n n n a za a z a z +∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z =时,级数(4.8)总是收敛的. 当00z ≠时,则有定理4.9 如果幂级数(4.8)在1(0)z ≠收敛,则对任意满足1z z <的z ,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z 发散,则对任意满足2z z >的z ,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z 收敛.∴1lim 0nn n a z →∞=从而0M ∃>,使得1nn a z M ≤ (0,1,2,)n =⋅⋅⋅其次,级数(4.8)可写成11()nn n n z a zz +∞=⋅∑,因此111n n n n n n z z a z a z M z z =≤⋅1(1)nz k z =< 由于级数nn Mk+∞=∑收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R ,(0)R <<+∞,使得级数(4.8)当z R <时绝对收敛,当z R >时发散.R 称为级数(4.8)的收敛半径, z R <称为收敛圆,当R =+∞时,我们说(4.8)的收敛半径是+∞,收敛圆为复平面.当0R =时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z =,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10 (柯西Cauchy -阿达玛Hadamard 公式).若以下条件之一成立.(1)1limn n na l a +→∞= (4.9)(2)n l = (4.10)则当0l <<+∞时, (4.2)的收敛半径1R l=,当R =+∞,l =+∞时, 0R =.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11 设幂级数(4.8)的收敛圆为:V z R <.则它的和函数.01()nn f z a a z a z =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (4.11)在V 内解析,且()1()!(1)!(1,2,)n n n f z n a n a z n +=+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ (4.12)证明:事实上,对0r R ∀<<,则在z r =上n nn n a z a r ≤由定理4.9知级数(4.8)在z r =上绝对收敛,从而根据M -判别法知(4.8)在z r ≤上一致收敛,故(4.8)在z r <中内闭一致收敛,在z r <内, (4.2)的和函数()f z 解析且(4.12)成立,由0r R <<的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散. 例2 级数2111n z z z z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 的收敛半径为1 由于在收敛圆1z =上,此级数一般不趋于0,因而在1z =上级数处处发散,但其和函数却除1z =处处解析.例3 级数11(1)n n z n n ++∞=+∑的收敛半径为1在收敛圆1z =上, 11(1)(1)n z n n n n +=++而级数11(1)n n n +∞=+∑收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)§3解析函数的泰勒Taylor 展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式. 难点：泰勒定理证明. 课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor 展式)设函数()f z 在圆0:U z z R -<内解析,则在U 内()00000()()()()()()1!!n n f z f z f z f z z z z z n '=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.13)证明: 1z U ∀∈,以1z 为心作一圆C U ⊂,且使1z C ∈,(如图4.1)U图4.1则由柯西公式111()()2C f f z d i z ξξπξ=-⎰ (4.14)而当C ξ∈时,101z z q z ξ-=<-,因此有101011()z z z z ξξ=----01100000()11()1n n n z z z z z z z ξξξ+∞+=-=⋅=-----∑ (4.15) 由于(4.15)右端级数当C ξ∈时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()n n f z a a z z a z z =+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.16)其中 ()010()1()2()!n n n C f z f a d i z n ξξπξ+==-⎰(1,2,)n =⋅⋅⋅ (4.17) 由1z 为U 内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2 幂级数是它的和函数()f z 在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!n n f z a f z a n == (1,2,)n =⋅⋅⋅推论4.3 函数()f z 在一点0z 解析的充要条件是: ()f z 在0z 的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式. 二．求泰勒展式的方法1．求Taylor 系数n C =()()!n f a n如求ze 在z=0的展开式0C =0e =1 1C ='0()1!z z e = =11!,1!n C n =,∴z e =1+z+22!z +33!z+=0!nn z n ∞=∑ ()z <∞2.利用级数的运算。

复变函数项级数

(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
(1)若0 R ,则当| z z0 | R时，级数
n0
n
(
z
z0
)
n
绝对收敛，
当| z z0 | R时，级数
| n p n |
2. 复数项级数
定义
设{
n
}
{an
ibn
}
(n
1,
2,
)为一复数列,
表达式 n 1 2 n
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn
1
2
n
称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛

复变函数-第4章

lim f n ( z ) = f ( z ),
n →∞ ∞ 则称函数序列{ f n ( z )}n =1 在G上逐点收敛到函数 f(z), f(z)称为 ∞
{ f n ( z )}∞=1 在G上的极限函数. 相应地, 若级数 ∑ f j ( z ) 的部分 n
∞
和函数序列在G上逐点收敛到 f(z), 则称级数 ∑ f j ( z ) 收敛于
∞
n =1
求导运算和无穷和运算可交换
∞
返回泰勒级数
定理 (实函数项级数逐项求导) 设实级数 ∑ f n ( x) 的各项在区间[a, b]上都有连续的导数,
∑
n =1
∞
∑f
n =1
∞
n
( x) 在[a, b]上逐点收敛且
n =1
⎞ ∞ d f n′( x) 在[a, b]上一致收敛, 则 d ⎛ ∞ f n ( x). ⎜ ∑ f n ( x) ⎟ = ∑ dx ⎝ n =1 ⎠ n =1 dx
∑c
j =0
∞
j
绝对收敛. 正项级数
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 由比较判别法可知, 绝对收敛
收敛
绝对收敛级数的两个重要性质:
(1) 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序, 亦绝对收敛, 且和不变. (2) 两个绝对收敛的复级数
∞
∑c
j =0
∞
j
= S , ∑ c′j = S ′ 按对角线
∞
(3i ) j 由比式判别法知 ∑ 收敛. j! j =0
注意: 若 lim j →∞
j →∞
c j +1 cj
= L = 1, 或 lim j | c j | = L = 1,