第16届WMO世界奥林匹克赛数学九年级复赛试卷及答案
2016年世界少年奥数赛九年级海选赛试题及答案
九年级 A 答案 一、填空题（每题 5 分，共计 50 分） 1、 32 6、2
16 3 3
b 3 (a 5)(b 2 1) 0
O
答
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
7、若有理数 x，y，z 满足 ( x
2 ) 2 ( y 2 )( z 2 ) 则 ( y z ) 2
赛场
要
九年级试题（Ａ卷）
（本试卷满分 120 分 ，考试时间 90 分钟 ）
8、如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中， DAB 60 ．连结对角线 AC ，以 AC 为边作第二个菱 形 ACC1 D1 ， 使
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
绝密★启用前
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛
（2016 年 10 月）
k 6、如图，反比例函数 y＝ (x＞0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别与 AB、BC 相交于 x
（2）保持图 2 中的 ABC 固定不变，继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置（当垂线段
AD 、 BE 在直线 MN 的异侧）。试探究线段 AD 、 BE 、 DE 长度之间有什么关系？并给予证明。
14、已知非零实数 a ，b 满足 a 8a 16 b 3
E
N C E
N
16 、如图 1 ，已知矩形
B
A
图2
B
A M
D
图3
ABED，点 C 是 边 DE 的 中 点 ， 且
（第 16 题图）
第16届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛4年级B卷(中国赛区)选拔赛(有答案)
W M O 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛姓名年级学校准考证号考场赛区父母姓名、联系电话_、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第16届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1.每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2.本卷共120分，选择题为单选，每小题4分，共64分；计算题每小题4分，共16分；解答题每小题10分，共40分。
3.请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4.若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。
四年级地方晋级赛初赛B 卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、选择题。
（每题4分，共64分）1.美美家到学校的距离为1543米，她步行的速度为55米每分钟，当她走了20分钟，距离学校还有（）米。
A.243 B.288 C.443 D.5432.右图是用一副三角板所摆成的图形，图中所标的角度是（）A.120°B.105°C.90°D.75°3.大头儿子想用QQ 与同学聊天，在网上注册了一个QQ 账号，为了使QQ 密码好记，大头儿子把密码设置得比较简单，用6个3和5个0组成，这个11位数读起来很顺，所有的零都可以读出来，大头儿子的QQ 密码是（）。
A.30303030303 B.30303303030C.30303030330 D.333333000004.已知下列数与符号的关系如图所示：“？”处应填（）。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
第15届WMO全国复赛9年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级全国总决赛复赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．若a 是200.4的算术平方根，则下列关系正确的是（ ）A ．40000＜a ＜40401B ．200＜a ＜201C ．20.0＜a ＜20.1D ．14＜a ＜152．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、点D 在⊙O 上，连接AC 、BC 、AD 、CD ，若∠BAC =50°， 则∠ADC 的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°3．坐标平面内有两点P （x ，y ），Q （m ，n ），若x +m =0，y －n =0，则点P 与点Q （ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．无对称关系 4．一组数据6，6，6，6，6，添加一个数0后，方差将会（ ）A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定 5．适合于（y －2）x 2+yx +2=0的非负整数对（x ，y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．做自然数带余除法，有算式A ÷B =C ……27，如果B ＜100，且A －80B +21C +524=0，则A 的值为（ ）A ．2003B ．3004C ．4005D ．4359 7．如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，且顶点B 、D 均在双曲线xy 4=（x ＞0）上，则图 中S △OBP 等于（ ）A ．32B ．33C ．34D ．4第2题图 第7题图 第8题图8．如图，在矩形ABCD 中，AD =1，AB ＞1，AG 平分∠BAD ，分别过点B 、C 作BE ⊥AG 于点E ，CF ⊥AG 于点F ，则AE －GF 的值为（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．29．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO 的O 点是坐标原点，A 的坐标 是（－4，0），直角顶点B 在第二象限，等腰直角△BCD 的C 点在y 轴 上移动，我们发现直角顶点D 点随之在一条直线上移动，这条直线的解析 式是（ ） A ．y =－2x +1B ．y =－21x +2 C ．y =－3x －2 D ．y =－x +210．在平面直角坐标系中，直线l 平行x 轴，交y 轴于点A ，第一象限内的点B 在l 上，连接OB ，动点P 在直线OB 上运动且满足∠APQ =90°，PQ 交x 轴于点C ．点D 是直线OB 与 直线CA 的交点，点E 是直线CP 与y 轴的交点，若∠ACE =∠AEC ，PD =2OD ，则P A :PC 等于（ ）A ．515或513B ．315 C ．515或315 D ．513二、填空题（每小题5分，共30分）11．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为____________．12．坐标平面内，一点光源位于A （0，5）处，线段CD ⊥x 轴，D 为垂足，C （3，1），则CD 的影长为 ．13．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB ，调整为坡度i =1：3的新传送带AC （如图所示）．已知原传送带AB 的长是24米．那么新传送带AC的长是 米．14．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则计算2a +999b +1017c 的值 是_____________．15．研究表明，一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n 个细胞，经过第一周期后，在第1个周期内要死去1个，会新繁殖（n －1）个；经过第二周期后，在第2 个周期内要死去2个，又会新繁殖（n －2）个；以此类推．例如，细胞经过第x 个周期后 时，在第x 个周期内要死去x 个，又会新繁殖（n －x ）个．其规律如下表：周期序号 在第x 周期后细胞总数1 n －1+（n －1）=2（n －1）2 2（n －1）－2+（n －2）=3（n －2）3 3（n －2）－3+（n －3）=4（n －3） … …当n =21时，细胞在第10周期后时细胞的总个数最多．最多是 个．姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2， 点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，…， 重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是_______________．WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分）17．利用分解因式说明256－510能被120整除．（8分）18．如图①，⊙O 的半径为r （r ＞0），若点P ′在射线OP 上，满足OP ′•OP =r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“美好点”．如图2，⊙O 的半径为2，点B 在⊙O 上，∠BOA =60°，OA =4， 若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的美好点，求A ′B ′的长．（10分）图① 图②19．已知关于x 的方程x 2+bx +1=0的两实根为α、β，若α＞β，且以α2+β2、3α－3β、αβ为三边的三角形是等腰三角形，求b 的值．（10分）20．在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡的三角仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下， 它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． （1）试问小球通过第二层A 位置的概率是多少？（5分）（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B 位置和第四层C 位置 处的概率各是多少？（5分）21．如图①所示，已知y =x6（x ＞0）图象上一点P ，P A ⊥x 轴于点A （a ，0），点B （0，b ） （b ＞0），动点M 是y 轴正半轴点B 上方的点，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂 线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连接AQ ，取AQ 中点为C ． （1）如图②，连接BP ，求△P AB 的面积；（3分）（2）当Q 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为23，①求此时Q 、P 点的 坐标；（5分）②并求出此时在y 轴上找到点E 点，使|EQ －QP |值最大时的点E 的坐标．（4分）图① 图②。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级B卷复赛(含答案)答案
九年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B 10.B7.由于直线y 1=kx +b 过点A （0，2），P （1，m ），则有⎩⎨⎧==+,2,b m b k ，解得⎩⎨⎧=-=.2,2b m k ∴y 1=（m －2）x +2．故所求不等式组可化为：mx ＞（m －2）x +2＞mx －2，不等号两边同时减去mx 得，0＞－2x +2＞－2，解得：1＜x ＜2．8.设Q 是AB 的中点，连接DQ ，∵∠BAC =∠DAE =90°， ∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，O 为AC 中点，∴AQ =AO ，∴△AQD ≌△AOE （SAS ），∴QD =OE ，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD ⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B =45°，∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形，∴QD =22QB ，∵QB =21AB =1，∴QD =22，∴线段OE 的最小值是为22． 9.如图，连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，由对称性可得，AB =AE =1，则BE =2，∵点E 与点F 关于BD 对称，∴DE =BF =BE =2，∴AD =1+2，∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ， AB =AE ，∴四边形ABCE 是正方形，∴BC =AB =1，∴tan ∠ADB =12211-=+=AD AB ， 在Rt △OED 中，可设OD =x ，OE = x )12(- ，∴（2）2=x 2+[x )12(-]2，解得x =2224+，∴OE =2224-，∵∠EBG +∠AGB =90°， ∠EBG +∠BEF =90°，∴∠AGB =∠BEF ，又∵∠BEF =∠DEF ，∴cos ∠AGB =DE OE =222-． 10.过A 作AD ⊥x 轴于D ，连接OA ′，∵点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点， ∴设A （a ，a1），∵点C 在函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象上， ∴设C （b ，b k 2），∵AD ⊥BD ，BC ⊥BD ，∴△OAD ∽△OCB ，∴222△△)(b a OB OD S S BCO ADO ==， ∵S△ADO =21，S △BOC =22k ，∴k 2=2)(ab ，∴k =－a b ， ∵S △ABC =S △AOB +S △BOC =21×（－a 1）•b +22k =6，∴k 2－ab =12， ∴k 2+k －12=0，解得：k =3，k =－4（不合题意舍去），∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°， ∴OA ′，OC ′在同一条直线上，∴S △OBC ′=S △OBC =22k =29， ∵S △OAA ′=2S △OAD =1， ∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积=S △OBC +S △OBC ′+S △OAA ′=10．二、填空题（每小题5分，共30分） 11.83 12.22π 13.0.16 14.奇数 15.185 16.①③ 13.∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，∴点A 、B 两点的坐标分别 是（－a a 2，0）、（aa 2，0）；又∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4的顶点分别为C 、 D ．∴点C 、D 的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD =8，AB =aa 4， ∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △ABC =21AB •OD +21AB •OC =21AB •CD =21×8×aa 4=40， 即21×8×a a 4=40，解得a =0.16． 14.因为m 、n 是两个连续自然数，设m ＜n ，则n =m +1，且q =mn ，代入得：p =m m m m m m -+++++)1()1()1(=22)1(m m ++=m +1+m =2m +1； 因为m 为自然数，所以2m 为偶数，即2m +1为奇数．15.设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x 个小球，则甲有x 41个红球，丙有x 127个红球，则一 共有x 41+x 127=x 65（个）红球，甲箱内最后共有3x 个小球，因此取出红球的概率为 185365=x x ． 16.∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°， ∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°， ∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴HG ⊥BE ，故①正确；易证得△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO 21BG ， 设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴CG HN DC DN =，即ba a ab 222=-，即a 2+2ab －b 2=0，解得：a =2222+-b =（－1+2）b ，或a =（－1－2）b （舍去），则ba =2 －1；则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =（2－1）2=3－22，故②错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴b a b OH EF OM EM +==2，∴ba b OE EM 32+=， b a b EG EM 3+=，∴1212121212+=+-=+=+=b a b a b MG EM ，故③正确． 因此正确的结论是①③．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：配方法：6x 2+7x －3=0，x 2+67x =21，（x +127）2=21+14449=144121，故x +127=±1211， 解得：x 1=－23，x 2=31． 因式分解法：6x 2+7x －3=0，6x 2+9x －2x －3=0，3x （2x +3）－（2x +3）=0，(2x +3)(3x －1)=0， 解得x 1=－23，x 2=31．（只写了一种正确方法的得4分）18.解：设经过（0，0）和（a ，b ）的直线是y =kx ，则b =ak ，则k =a b ，设经过（0，0）和（c ， d ）的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，解得：m =c d ，∵a ，b ，c ，d 四个数成比例， ∴a b =cd ，∴k =m ，则直线y =kx 和直线y =mx 是同一直线，即点（a ，b ），（c ，d ）和坐 标原点O （0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q2 （其中p 、q 是任意有理数），只须p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意的两个“世博数”a 、b ，不妨设a =j 2+k 2，b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数，因此有：22222222222)())((s r s r k j s r k j b a +++=++==22222)()()(s r kr js ks jr +-++=222)(s r ks jr +++222)(s r kr js +-也是 “世博数”．20.（1）证明：取AF 的中点M ，连接MD ，∵AD =DC ，∴CF =2MD ，且MD ∥BC ，∴∠DMH =∠BFH ，又∵∠BGH =∠BGF =90°，∠HBG =∠FBG ， ∴∠BHG =∠BFH ，而∠DMH =∠BFH ，∠DHM =∠BHG ，∴∠DMH =∠DHM ，∴DH =DM ．而CF =2MD ，∴CF =2DH ；（2）解：过E 作EN ⊥BC 于N ，∵AB =BC ，AD =DC ，∴BD ⊥AC ，而BE 平分∠CBD ，EN ⊥BC ，∴EN =DE =4，在Rt △CEN 中，cos ∠BCA =53=CE CN ，∴设CN =3k ，则CE =5k ，得EN =4k =4．∴k =1，CE =5，CD =9，在Rt △BCD 中，cos ∠BCA =53=BC CD ，∴BC =15，BD =12， 又∵∠BHG =∠BFH ，∴BH =BF ，设DH =x ，则FC =2x ，BH =12－x ，BF =15－2x ．由12－x =15－2x ，得x =3，∴HD =3．21.解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x +4）2+9．∵将B （－1，0）代入得：9a +9=0，解得；a =－1，∴解析式为y =－（x +4）2+9，即y =－x 2－8x －7．∵点A 与点B 关于x =－4对称，B （－1，0）∴A （－7，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ．∵将A （－7，0）、C （－ 4，9）代入得：⎩⎨⎧=+-=+-,94,07b k b k 解得：k =3，b =21，∴直线AC 的解析式为y =3x +21． （2）∵AH =3，CH =9，∴S △AHC =2279321=⨯⨯．∵S △APC =92S △AHC ，∴S △APC =22792⨯=3． 设p （a ，－a 2－8a －7），N （a ，3a +21）．则PN =－a 2－8a －7－（3a +21）=－a 2－11a－28．连P A 、PC ，则S △APC =21PN •AE+21PN •EH=21PN •AH =3，∴21×（－a 2－11a －28） ×3=3，解得a 1=－5，a 2=－6．∴点P （－5，8）或（－6，5）．（3）∵由（2）可知PN =－a 2－11a －28=－（a +211）2+49．∴PN 的最大值为49． ∵EN ∥CH ，∴∠ACH =∠ANE ．∵∠PNM =∠ENA ，∴∠PNM =∠ACH ．又∵∠PMN = ∠AHC =90°，∴△PMN ∽△AHC ．∴PM ：MN ：PN =HA ：CH ：CA =1：3：10． ∴l =PN ×204510181010449101031+=+⨯=++．。
第16届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛3年级B卷(中国赛区)选拔赛(有答案)
9.欧欧 15 号下午买回来一盆花，他从第二天早上七点开始第 1 次浇花，然后每隔 12 小时浇一 次。欧欧第 20 次浇花是在（ ）。 A.24 号 19：00 B.25 号 7：00 C.25 号 19：00 D.26 号 19：00 10.三年级同学排成一个方阵做广播体操，大头儿子站的位子从前面数是第五个，从后面数是 第六个；在大头儿子的右边有 4 个同学，左边有 5 个同学，三年级共有（ ）个学生。 A.64 B.81 C.100 D.121 11.以色列国旗如下图所示，图中共有（ ）个三角形。 A.6 B.7 C.8
16.一个文具店橡皮的售价为每块 5 角，圆珠笔的售价为每支 1 元，签字笔的售价为每支 2 元 5 角。徐丽要在该文具店花 5 元 5 角购买其中两种文具，他有（ ）种不同的购买方式。 A.5 B.6 C.7 D.8 二、计算题。（每题 4 分，共 16 分） 17.（1）543－262＋329 （2）826－113－287
20.图中是按照一定规律摆放的棋子。观察图形请回答： （1）第 5 堆棋子有多少颗？ （2）前 6 堆棋子共有多少颗？
（3）28＋37＋15＋55＋33＋42
（4）3024－909－808－707
21.哆啦 A 梦逛超市，看到铜锣烧在做促销，已知每袋铜锣烧 30 元。促销方式如下： 方案一：用 50 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡在商店购买任何口味铜锣烧，一律享受会 员价“25 元一袋”； 方案二：若不购买会员卡，则购买任何口味铜锣烧，买满 100 元减 10 元，最高减免 50 元。 哆啦 A 梦带了 600 元，你能为哆啦 A 梦提供一个买得最多又最省钱的方案吗？
14.一块厚 80 厘米的岩石上面有一个缝隙每天滴水，岩石的厚度每百年缩小一半，需要（ 年可以把岩石穿透 75 厘米。 A.100 B.200 C.300 D.400 15.海洋馆有海洋环游、触摸池、海豚馆、企鹅馆、热带雨 林 5 个场馆，连接各个场馆之间的道路如右图所示（单 位：米），妈妈带图图从大门出发，参观所有场馆再回 到大门处，他们最少要走（ ）米。 A.1662 B.1718 C.2556 D.2786
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛九年级数学试题(含答案)
2017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
九年级试题(A 卷)一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．（30分）1．若反比例函数ky x=的图象经过点（-1 , 2 )，则这个函数的图象一定经过点（ ）. (A)(2,-1) (B)(12-,2) (C)(-2,-1) (D)(12,2) 2．钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是( ). (A)103cm π (B) 203cm π (C) 253cm π (D) 503cm π3．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则2a-3b 的值为（ ）.(A)4 (B)6 (C)-6 (D)-4 4．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ）.(A) 37.2分钟 (B) 48分钟 (C ) 30分钟 ( D )33分钟 5．如图，路灯距地面 8 米，身高 1 . 6 米的小 明从距离灯的底部（点O ) 20米的点A 处，沿AO 所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（ ）(A ）变长3.5 米 (B ）变长2.5米 (C ）变短3.5米 (D ）变短2.5米6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成600的角，在直线l 上取一点P ，使∠APB ＝300，则满足条件的点P 的个数是（ ） (A) 3个 (B) 2个 (C) l 个 (D ）不存在7．若方程3x 2-10x + m = 0有两个同号不等的实数根，则m 的取值范围是（ ）(A) m ≥0 (B) m >0 (C)0<m<253 (D) 0<m ≤2538．在△ABC 中，BM ＝6，点A, C, D 分别在MB ，BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠NDC ＝∠MDA ，Y ABCD 的周长是（ ）(A)24 (B)18 (C)16 (D)129．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）10．已知点A(3，1) , B (0 , 0) ,C (3,0) , AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是（ ）(A)233y x =-(B)y=x-2 (C)31y x =- (D)32y x =- 二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加． 据报道，2005年海外学习汉语的学生人数已达38 200 000人），用科学记数法表示为 人（保留 3 个有效数字）.14．已知⊙O 1，和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，两圆的圆心距 O 1O 2=6cm ，则两圆的位置关系是 . 15．计算24111a aa a++--的结果是 . 16．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆， 该矩形纸片面积的最小值．．．是 .17．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为（1, 0 )，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转600得点P 3，则点P 3的坐标是 .18．右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ， 则六边形的周长是 .姓名 学校_ 赛区 选送单位 家长手机----------------------------装------------------------订---------------------线--------------------世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛三、解答题：本大题共7小题，共52分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本题满分6分）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：33213(1)8x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩20.（本题满分6分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分．(l ）请算出三人的民主评议得分；(2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到 0.01 )?(3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4 : 3 : 3 的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？21.（本题满分6分）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．22.（本题满分 6 分）两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．23.（本题满分8分）已知关于x的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A, B 两个不同的点．(l ）试判断哪个二次函数的图象经过A, B 两点； (2）若A 点坐标为（-1, 0)，试求B 点坐标；(3）在（2）的条件下，对于经过A, B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？24.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD=x , CE=y(l ）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y 与x 之间的函数关系式；(2）如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．25.（本题满分12分）半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC ：CA ＝4 : 3，点P 在»AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点O(l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2）当点P 运动»AB 到的中点时，求CQ 的长；(3）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B B A C B C D D D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 3.82×10714.相交l5.11aa--+(或11aa-+) 16. 72cm217.（-l，3）18. 3oa三、解答题（本大题共7小题，共46分）19.（本小题满分6分）解：解不等式33,2xx-+≥得x≥3；…………………………………………………2 分解不等式1-3 (x-1) < 8-x，得x＞-2．…………………………………………………4 分所以，原不等式组的解集是-2 < x≤3．………………………………………………5 分在数轴上表示为20.（本小题满分6分）解：(l)甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50 分，80 分，70 分．………………3 分(2）甲的平均成绩为75935021872.6733++=≈（分）,乙的平均成绩为：80708023076.6733++=≈（分）,丙的平均成绩90687022876.0033++=≈（分）由于76.67>76>72.67，所以候选人乙将被录用. ………………………………6分(3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4 : 3 : 3的比例确定个人成绩，那么甲的个人成绩为：475393350433⨯+⨯+⨯=++72.9（分）,乙的个人成绩为：480370380433⨯+⨯+⨯=++77（分）丙的个人成绩为：490368370433⨯+⨯+⨯=++77.4（分）由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．……………………………10分21.（本题满分6分）解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-………………………………………………………………5分整理，得x2- l.8x - 14.4 =0 …………………………………………………………………7分解这个方程，得x1=4.8，x2=-3 ………………………………………………………………10分经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3 不符合实际意义，故舍去．……………………11分答：今年5月份的汽油价格为 4.8元／升．………………………………………………12分22.（本题满分6分）解：△EMC是等腰直角三角形．…………………………………………………2分证明：由题意，得DE=AC，∠DAE＋∠BAC900.∠DAB=900. …………………………………………………………………………3分连接AM．∵DM=MB∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450.∴∠MDE=∠MAC=1050∴△EDM≌△CAM∴EM=MC,∠DME=∠AMC………………………………………………………8分又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900∴CM⊥EM……………………………………………………………………………11分所以△EMC是等腰直角三角形……………………………………………………12分23.（本题满分8分）解：(l）对于关于x的二次函数y =221,2mx mx+-+由于△＝(-m ) 2-4×l×212m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点………………………………………………1分对于关于x的二次函数y =2222mx mx+--.由于△＝(-m ) 2-4×l×21()2m+=-m2-2<0,所以此函数的图象与x轴没有交点对于关于x的二次函数222,2my x mx+=--由于2222()41()340,2mm m+∆=--⨯⨯-=+>所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.故图象经过A、B两点的二次函数为222,2my x mx+=--…………………3分(2 )将A(-1,0)代入2222my x mx+=--，得2212mm++-=0.整理，得m2-2m = 0 .解之，得m=0，或m =2．…………………………………………………………5分当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0.解这个方程，得x1=-1，x2=1此时，B点的坐标是 B (l,0)．………………………………………………………6分当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0.解这个方程，得x1=-1，x2=3此时，B点的坐标是B（3，0）. ……………………………………………………8分(3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y 随：的增大而减小．…………………………………………10分当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.…………………………12分24 .（本题满分8分）解：(l）在△ABC中，AB=AC =1，∠BAC=300,∴∠ABC＝∠ACB=750,∴∠ABD＝∠ACE=1050, …………1分∵∠DAE=1050.∴∠DAB＝∠CAE=750,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750,∴∠CAE＝∠ADB…………………………………………………………3分∴△ADB∽△EAC…………………………………………………………4分∴AB BDEC AC=即11,y=1xxy=所以……………………………………………………6分(2）当α、β满足关系式0902αβ-=时，函数关系式1y=x成立．………8分理由如下：要使1y=x ，即AB BD EC AC=成立，须且只须△ADB ∽△EAC.由于∠ABD ＝∠ECA ，故只须∠ADB ＝∠EAC. …………………………9分又∠ADB+∠BAD=∠ABC=0902α-,∠EAC+∠BAD=β-α, ……………………………………………………11分所以只0902α-=β-α,须即0902αβ-=.………………………………12分25.（本题满分12分）解：( l ）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=900.∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3.又∵AC ·BC=A B ·CD∴1224,.55CD PC ==……………………………………………2分 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ=900, ∠CAB ＝∠CPQ ， Rt △ACB ∽Rt △PCQ ∴432,.35AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ====g ……4分(2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点， ∴0245,222PCB CE BE BC ∠====…6分 又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan ∠CAB=43∴332,tan 42BE PE BE CPB ===∠而从722PC PE EC =+=……8分 由（l）得，4142.3CQ PC ==………………………………………9分 (3）点P 在弧AB 上运动时，恒有4.3BC PC CQ PC AC ==g 故PC 最大时，CQ 取到最大值．………………………………………11分当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203……………12分。
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题三年级
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题三年级
WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生的数学兴趣，提高他们的数学能力。
以下是一些适合三年级学生的WMO 数学竞赛试题：
1. 基础运算题：
- 计算下列各题的结果：
- 35 + 47
- 89 - 22
- 48 × 3
- 120 ÷ 6
2. 应用题：
- 一个班级有30名学生，如果每名学生需要2个苹果，那么这个班级一共需要多少个苹果？
3. 几何题：
- 如果一个正方形的边长是5厘米，那么它的周长是多少厘米？
4. 逻辑推理题：
- 有三个盒子，分别标记为A、B、C。
A盒子里装有苹果，B盒子里装有香蕉，C盒子里装有橙子。
现在告诉你，A盒子里没有橙子，那么A盒子里装的是什么水果？
5. 序列题：
- 观察下列数字序列，找出下一个数字：
- 2, 4, 6, 8, __
6. 时间问题：
- 如果现在是下午3点，那么3小时后是几点？
7. 货币问题：
- 一个玩具车的价格是25元，如果小明有50元，他可以买几辆这样的玩具车？
8. 比例问题：
- 如果一个班级有20个男生和10个女生，那么男生和女生的比例是多少？
9. 组合问题：
- 从5种不同的颜色中选择3种来装饰教室，有多少种不同的组合方式？
10. 空间想象题：
- 想象一个立方体，如果你从上面看，会看到什么形状？
这些题目旨在考察三年级学生的计算能力、逻辑思维、空间想象以及解决实际问题的能力。
通过解答这些题目，学生可以更好地理解数学概念，并在实际生活中应用数学知识。
初三下数学竞赛试卷含答案
学校___________ 姓名___________ 准考证号码___________ 试室___________ 座号___________……………………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 准 ………… 答 ………… 题 ………………………………初三下数学竞赛试卷一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知a ＝2，则代数式2a －a aa a+-的值等于( )A. 42B.3－42C. 42－3D.－32.如图1，在正方形铁皮上（图①）剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成（图②）所示的一个圆锥模型，该圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为( )A.R ＝4rB. R ＝94r C. R ＝3r D.R ＝2r3.如图如图请根据图中给出的信息，可得正确的方程是( )A.π×282⎛⎫ ⎪⎝⎭x ＝π×262⎛⎫ ⎪⎝⎭×(x +5) B.π×282⎛⎫ ⎪⎝⎭x ＝π×262⎛⎫⎪⎝⎭×(x －5)C.π×82×x ＝π×62×(x +5)D.π×82×x ＝π×62×54．将抛物线y ＝2x 2－12x ＋22绕点（3，2）旋转180º后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是（ ） （A ）3（B ）2（C ）1（D ）05.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）A81 B 61 C 41 D 121 6．已知20062005,20072006,20082007a b c =-=-=-，则下列结论正确的是A ．b>c>aB ．c>b>aC ．b>a>cD ． a>b>c7.阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2x 2+12x +6＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为( ) A. 10 B.6 C.8 D. 48．如图，⊙A ，⊙B ，⊙C ，⊙D ，⊙E 互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ） A ．Π B ．1.5Π C ．2Π D ．2.5Π9．如图，ABC △内接于圆O ，50A =o ∠，60ABC =o∠，BD 是圆O的直径， BD 交AC 于点E ，连结DC ，则AEB ∠等于（ ）A ．70oB ．110oC ．90oD ．120o10．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ）A ．2.5cmB ．5.1cmC ．7.5cmD ．8.2cm二、填空题(每小题4分,共24分)11．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5， BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是 ．x ㎝5㎝ 6㎝ 8㎝老乌鸦，我喝不到大量筒中的水！ x ㎝小乌鸦，你飞到装有相同水量的小量筒，就可以喝到水了！图1②①E A B C D OA450BCMN12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝mx ＋n 的图象交点为(-1，2)，(2,5)，且二次函数的最小值为1，则这个二次函数的解析式为_________________________． 13.平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为)32,2(，直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点，则B 点的坐标为14.如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图象上， B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 . .15．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=o ，则CBD ∠= 度．16．如图，在ABC △中，90A ∠=o，4BC =cm ， 分别以B C ，为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部 分的面积为 2cm ．三、解答题（10+12+12+12=46)17．△ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 三边于D 、E 、F ，G 是EF 上的一点，且DG ⊥EF ，求证：DG 平分∠BGC ．EBACFDG18．一列火车自A 城驶往B 城,沿途有n 个车站(包括起点站A 和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个．(1)写出列车在第x 车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x 、n 表示)．(2)当n=20时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？19.如图15，高州电视塔离小明家60米，小明从自家的阳台眺望电视塔，并测得塔尖C 的仰角是045，而塔底部D 的俯角是030，求高州电视塔CD 的高度.20.ABC △中，90C ∠=o ，60A ∠=o，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ．（1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？D CB AOyx。
江苏省第十六届初中数学竞赛试题(初三年级)答案.doc
江苏省第十六届初中数学竞赛试题（初三年级）答案一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D二、7.7，－7 8.（1）AD 平分∠BAC ，或AD ⊥EF ，或……；（2）∠BAC ＝90°，或…… 9.112- 11.2412,55⎛⎫ ⎪⎝⎭12.428+13.10a <≤14.84 三、15.（1）可买5打或4打加9本，前者需付款3.00×5＝15.00（元），后者只需付款3.00×4+0.3×9＝14.70（元）.故该班集体去买时，最少需付14.70元。
（2）可买19打或18打加11本，前者需付款2.70×19＝51.30（元），后者需付款2.70×18+0.3×11＝51.90（元），比前者还要多付0.60元，故该年级集体去买，最少需付51.30元。
16.由题意知方程有实根，Δ≥0. 有2416m -+≥0，则m ≤23. 又由根与系数关系，得2221237248x x m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭. 2332,03443m m ≤∴-≥->.从而，22332443m ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是，当23m =时，2212x x +取得最小值，且最小值为2327824389⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 17.（1）连结BD 即可证明。
（2）大小关系是()2224AC BC AB CD +≥+. 如图，作EB ⊥AB ，EB ＝2CD. 应用（1）的结论，易证。
18.设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠（25－x ）个. 又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ,B 中弹珠号码数的平均数为b. 则由题意得()()2512253251511425151264ax x b ax a x b x b x ⎧⎪+-=+++=⎪-⎪-=⎨-⎪⎪-+-=⎪-⎩，解得9x =.即原篮子中有9弹珠。
B D A CE。
第16届WMO全国总决赛5年级初赛
第16届WMO世界奥林匹克数学竞赛五年级初赛试卷一、（本试卷满分120分 , 考试时间90分钟）初试牛刀（单选题Ⅰ, 每题5分, 共50分）春节期间, “WMO世奥赛”工作人员乘坐火车去上海迎接参赛的小选手们, 火车发车时间是19:35, 预计12小时到达, 到达时看到的景象可能是（）。
A.旭日东升B.艳阳高照C.夕阳西下D.月明星稀2.老师让学生在教室后面的通知栏上贴照片, 并嘱咐了以下内容:(1)通知栏比较窄, 照片只能横向贴。
(2)用胶水或胶带贴很容易弄脏通知栏, 所以使用图钉。
(3)为了贴得稳固, 所有照片的四个角上都要摁上图钉。
(4)尽量少使用图钉。
下面是按照老师的要求贴的照片, 如果需要贴20张照片, 至少需要（）个图钉。
A.60B.48C.42D.40我们任何人都是一秒一秒地度过自己的人生, 同学们有没有想过人生度过19亿秒大约是（）的时候。
A.30岁而立之年B.60岁花甲之年C.70岁古稀之年D.80岁杖朝之年图中有两只蚂蚁, 一只蚂蚁从点（11,8）处沿网格线向下爬, 另一只蚂蚁从点（6,3）处沿网格线向右爬, 如果两只蚂蚁同时开始爬行且速度相同, 则两只蚂蚁会在（）点相遇。
（注: 点（2,3）在图中已标出）A.（8,6）B.（6,8）C.（11,3）D.（3,11）5.ab＝2, a＋b＝5, （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2, 那么a2＋b2－2ab＝（）。
A.21B.19C.17D.156.在某种游戏中:胡萝卜：生长期20分钟, 播种和收获各需1分钟, 成熟后每个价值10个金币；白萝卜: 生长期30分钟, 播种和收获各需1分钟, 成熟后每个价值15个金币；只有一块地, 每次只能种一种植物。
种子是免费的, 一个种子仅结一个果实, 请问2个小时内, 最多可得金币（）个。
A.60B.55C.45D.507.某停车场里停了一些轿车和卡车, 轿车数量是卡车的3.5倍, 过了一会3辆轿车开走后, 又来了6辆卡车, 这时停车场轿车的数量是卡车的2.3倍, 停车场原来一共有（）辆车。