导数及其应用运算单调性极值与定积分40分钟限时练(三)含答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（2020年高考安徽（文））2．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2020(x )＝（ ） A ．si nx B ．－sinxC ．cos xD ．－cosx （2020湖南理)3．函数y ＝x co s x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） （A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（2020全国2理）（10）4．函数31y ax=+的图象与直线y x =相切，则a =（ ） A ．18B ．14C ．12D ．1(2020浙江文)5．已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( ) （A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-< (C) 06050f (.)f (.)f ()<-<(D) 05006f (.)f ()f (.)-<<6．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f)0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f（ ）A .31B .31-C .37D .31-或35答案B7．右图是函数f (x )=x 2+ax +b 的部分图象，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是（ ） A ．11(,)42 B ．(1,2)C ．1(,1)2D ．(2,3)答案 C8．（2020天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。

C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题9． 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x = 处的切线的斜率为（ ） A ．15- B ．0C ．15D ．510．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是 （ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 答案 C第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．若对任意的x D ∈,均有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()1f x 到函数()2f x 在区间D 上的“折中函数”．已知函数()()()11,0,f x k x g x =--=()()1ln h x x x =+，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,2e 上的“折中函数”，则实数k 的取值为 ▲ 12．函数x x x f s in 21)(-=在区间[0，π]上的最小值为 ▲ ． 13．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－x 3]＝2，则过点(1，2)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程是________． 14．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ．15．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f = ．16．正弦曲线y=s in x 上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ),43[]4,0[πππ⋃评卷人得分三、解答题17．已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '. ⑴ 当13a =时，若不等式1()3f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； ⑵ 求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点； ⑵若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=．关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围. （本小题满分16分）18．如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个三角形沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．（1）求正四棱锥的高h (x )；（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？（本题满分10分）19．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

(1）试确定a,b 的值；(2）讨论函数f(x)的单调区间；xx （第19题） h(3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

（重庆理） 关键字：已知极值；讨论单调性；不等式；恒成立问题；参变分离；求最值20．已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．(Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；(Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．（陕西卷21）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．A 2．C 3．B 4．B 5． 6． 7． 8．D解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D 。

9．B解析： 因为()f x 是R 可导偶函数，所以()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 在x=0处取得极值，即0)0('=f ，又()f x 的周期为5，所以0)5('=f ，即曲线()y f x = 在5x =处的切线的斜率0，选B 10．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．2 12．； 13．14．根据导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率等于，又过点P （2，0），所以切线方程 15．5316． 评卷人得分三、解答题17． （本小题满分16分） 解：⑴ 当13a =时，21()23f x x bx b '=++-， ------------------------------------ １分 依题意21()23f x x bx b '=++-13>- 即220x bx b ++>恒成立 2440b b ∴∆=-<，解得 01b <<所以b 的取值范围是(0,1) ---------------------------------------------------------- 5分⑵ 证明：因为2()32()f x ax bx b a '=++-，解法一：当0a =时，12x =-符合题意. ------------------------------------------ 6分当0a ≠时，23210b b x x a a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，令b t a =，则232(1)0x tx t ++-=， 令2()32(1)h x x tx t =++-，11024h ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 当1t >时，(0)10h t =->，()y h x ∴=在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内有零点； -------------------------------------------------- 8分当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>， ()y h x ∴=在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点.综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点. --------------------------- 10分解法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，1233b af -⎛⎫'-=⎪⎝⎭. 因为a ，b 不同时为零，所以1(1)03f f ⎛⎫''--< ⎪⎝⎭，故结论成立. ----------------- 10分⑶ 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-.又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-. ------------------------------------------------------- 12分()f x ∴在3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，法一:如图所示，作()y f x =与4ty =-的图像，若只有一个交点，则 ①当313t -<≤-时，1()04f t t ≥-≥，即34tt t -≥-，解得3323t -≤≤-；②当303t -<<时1()04f t t >-≥，解得303t -<<；③当0t =时，显然不成立； ④当303t <≤时，1()04f t t ≤-<，34tt t -≤-，解得303t <≤； ⑤当133≤<t 时，1()04f t t <-<， 解得3332t <<； ⑥当1t >时，383439t f t ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭.4ty =-综上t 的取值范围是302t -≤<或302t <<或839t =. ----------------------- 16分法二：由13()42f x x x =-=±解之得，0x =. 作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为32x =±，0x = 当33[,0)(0,)22x ∈-839⎧⎫⎪⎪⋃⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点．所以当33[,0)(0,)22t ∈-839⎧⎫⎪⎪⋃⎨⎬⎪⎪⎩⎭时， 方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上 有且只有一个实数根.16分Oxyt4ty =-O xy334t y =-()f tt-1 x y④33-()f t4ty =-t-1Oxy()f t 4ty =-②33--1 Oxy()f t 4ty =-t ①18．（本题满分10分）解 （1）设正四棱锥的底面中心为O ，一侧棱为AN ． 由于切去的是等腰三角形，所以AN ＝1＋x 2，NO ＝1－x ， ………………………………2分在直角三角形AON 中，AO ＝AN 2－NO 2＝1＋x 2－(1－x )2＝2x ， 因此h (x )＝2x ，（0＜x ＜1)． ………………………………4分 （不写0＜x ＜1扣1分）（2）V (x )＝13·12·[2(1－x )]2·2x ＝223(1－x )2x ，（0＜x ＜1)． ………………………6分 由V ′(x )＝223[(2x －2)x ＋(1－x )22x ]＝223(x －1)5x －12x＝0， ………………………8分 解得x ＝1(舍去)，x ＝15．当x ∈(0，15)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数；当x ∈(15，1)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数．所以函数V (x )在x ＝15时取得极大值，也为V (x )的最大值． 答：当x为15m 时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值． ………………………………10分 说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣1分，没有答扣1分．19．（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得()34341ln 4'bx x ax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++．由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．(II ）由（I ）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数． 因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞． (III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．ANO即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤．所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，． 20．（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=，即得220c k c ck --=，（*）0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． (Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．(i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．1(1)012k kM f c +∴===>+， 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得2k ≥． (ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k m f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．。