高二数学矩阵的概念1(2019年9月整理)
矩阵的基本概念
矩阵的基本概念矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
本文将介绍矩阵的基本概念，包括定义、表示、运算以及特殊类型的矩阵。
一、定义矩阵是一个二维数组，由m行n列的元素构成，示例如下： [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][ ... , ... , ..., ... ][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中aₙₙ表示矩阵中第k行第l列的元素。
二、表示矩阵可以用多种方式进行表示，常见的有行向量、列向量、分块矩阵和矩阵方程。
1. 行向量：将矩阵的一行元素写成一个行向量，示例如下：[a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ]2. 列向量：将矩阵的一列元素写成一个列向量，示例如下：[a₁₁][a₂₁][ ... ][aₙ₁]3. 分块矩阵：将一个大矩阵划分为多个小矩阵组成的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂; A₂₁, A₂₂]4. 矩阵方程：将矩阵和向量之间的关系表示为矩阵方程，示例如下：AX = B三、运算矩阵有多种运算，包括加法、数乘、乘法和转置等。
1. 加法：两个矩阵的对应元素相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁ + B₁₁, A₁₂ + B₁₂][A₂₁, A₂₂] + [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁ + B₂₁, A₂₂ + B₂₂]2. 数乘：将矩阵中的每个元素乘以一个常数，示例如下：c * [A₁₁, A₁₂] = [cA₁₁, cA₁₂][A₂₁, A₂₂] [cA₂₁, cA₂₂]3. 乘法：两个矩阵的对应元素相乘然后相加得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂] [B₁₁, B₁₂] [A₁₁B₁₁ + A₁₂B₂₁,A₁₁B₁₂ + A₁₂B₂₂][A₂₁, A₂₂] * [B₂₁, B₂₂] = [A₂₁B₁₁ + A₂₂B₂₁,A₂₁B₁₂ + A₂₂B₂₂]4. 转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，示例如下：[A₁₁, A₁₂, A₁₃] [A₁₁, A₂₁][A₂₁, A₂₂, A₂₃] -> [A₁₂, A₂₂][A₃₁, A₃₂, A₃₃] [A₁₃, A₂₃]四、特殊类型的矩阵矩阵还有一些特殊类型，包括零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和方阵等。
高二数学矩阵的概念
矩阵的概念
时间
教学目的
学习矩阵相关的概念
重点难点
1．矩阵概念；2特殊矩阵
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
30ˊ
一、导言
矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。
二、新授
1．矩阵定义：由 个 数排成的 行 列的表
称为 行 列矩阵（matrix）,简称 矩阵。
2．特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵 中，当 时， 称为 阶方阵
（2）行矩 阵：只有一行的矩阵 叫做行矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
叫做列矩阵
（3）零矩阵：元素都是 零的矩阵称作零矩阵
3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵
4． 常用特殊矩阵：
（1）对角矩阵：
（2）数量矩阵：
讲授法
板演
时间
分配
教 学过程
教学方法
教学手段
（3）单位矩 阵：
（4）三角矩阵：
称作上三角矩阵（
称作下三角矩阵。
四、小结：本节主要介绍 敌阵概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵 ，要求掌握这些内容。
课后记事
注意矩阵 与行列式从形式上的区别。
数学矩阵的基本知识点总结
数学矩阵的基本知识点总结一、矩阵的定义矩阵可以看作是一个二维数组，其中的每个元素都可以用一个变量表示。
一般来说，矩阵用大写字母表示，比如A、B、C等，而矩阵中的元素用小写字母表示，比如a、b、c等。
一个矩阵可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数，矩阵记作A=(aij)m×n。
例如，一个3×2的矩阵可以表示为：A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}其中a_{11}、a_{12}、a_{21}、a_{22}、a_{31}、a_{32}分别表示矩阵A的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)m×n是两个m×n的矩阵，则它们的和记作A+B，其元素为：(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}即两个矩阵的对应元素相加得到的矩阵。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}则A+B=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \\ 11 & 11 \end{bmatrix}2. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为：若A=(aij)m×n是一个m×n的矩阵，k是一个数，则kA记作数k与矩阵A的乘积，其元素为：(kA)_{ij} = k⋅a_{ij}即数k乘以矩阵A的每一个元素得到的矩阵。
例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}k=2则kA=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}3. 矩阵的乘法矩阵的乘法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)n×p是一个m×n的矩阵和一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作AB，其元素为：(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}即第i行的每个元素与第j列的对应元素相乘再相加得到的矩阵。
高二数学矩阵的概念1
2 6、 关于x、y、z的三元一次方程组的增广矩阵为 0 0
2x y 1 4 x 3 y 7
1 , 7
1 2 ， 8
其对应的方程组为
2x y 1 2 y 5 z 2 y 2z 8
讨论总结：
问：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵 的行发生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。
矩阵
矩阵的元素
（3）÷7，得
x 2 y 5, (1) y 1.(4)
x 3, (5) y 1.(4)
5 1 3 1
（4）×2＋（1），得
单位矩阵
概念巩固：
2x 3 y 1 1、二元一次方程组 3x 4 y 5
探讨研究矩阵的有关知识： 步骤 方程组 矩形数表
矩阵的列向量 系数矩阵
x 2 y 5, (1) 1 3x y 8.(2)
（1）×（－3）＋（2），得
1, 1 3 3 ,
1 0
1 0 1 0
2 3 的增广矩阵为
3 4
1 5
它是 2 行 3 列的矩阵，可记作 A2×3，这个矩阵的两个行向 量为 ； （2 ，3 ，1）、（3，－4，5）
3x 5 y 6 的系数矩阵为 2、 二元一次方程组 3 y 4x 7
它是 2阶 方阵，这个矩阵有 4 个元素；
2 y 2 z 13 0
0 1 2
1 0 2
6 7 13
1 4、若方矩阵 A 是单位矩阵，则 A22= 0 22
0 1 ；
2 5、关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵为 4
高二数学矩阵的概念
1 0 3 1 2 与 3 5 矩阵 2 1 0 2 1 3 2 1 6 4
相对应。对方程
组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。 例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 (也可用方括弧 表示)。其中 a34
a1 a2 a4
7) 数量矩阵: 主对角元素都相等的对角矩阵。记作 kE 或 kE n k
kEn k k
8) 单位方Βιβλιοθήκη ：主对角线上全为1的对角方阵，记作
1 1 E 1
2 3 5 8
是一个 1 4 矩阵,
9
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是一个 1 1 矩阵.
二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 例如 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。 a1 , a2 , , an
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三、小结
(1)矩阵的概念
m 行n列的一个数表
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
(2) 特殊矩阵
零矩阵; 行矩阵与列矩阵; 方阵 m n ; 上(下)三角矩矩阵; 对角矩阵; 数量矩阵. 单位矩阵.
mn
行矩阵也称为行向量。
3) 列矩阵:
高中数学中的矩阵定义及其运算法则
高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。
在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。
本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。
矩阵的大小由它的行数和列数来确定。
例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。
同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。
二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。
例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。
例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。
例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。
这里将一一介绍。
1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。
例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。
矩阵知识知识点总结手写
矩阵知识知识点总结手写一、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按矩形排列所得到的数表。
一般用大写字母A、B、C...表示矩阵，元素用小写字母aij，bij，cij...表示。
2. 矩阵的阶：矩阵A中有m行n列，就称A是一个m×n（读作“m行n列”）的矩阵，m、n分别称为矩阵的行数和列数，记作A[m×n]。
3. 矩阵的元素：A[m×n]＝[aij]，其中i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n，称aij为矩阵A的第i行第j 列元素。
4. 矩阵的相等：两个矩阵A，B的阶都相同时，如果相应元素都相等，则称矩阵A，B相等，记作A＝B。
5. 矩阵的转置：将矩阵A的行、列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。
6. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
7. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
8. 单位矩阵：主对角线上元素全为1，其它元素均为0的矩阵称为单位矩阵，记作E或In。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法：设A[m×n]＝[aij]，B[m×n]＝[bij]，则矩阵C=A＋B的第i行第j列元素为：cij=aij+bij，即C[m×n]＝[aij+bij]。
2. 矩阵的数乘：数k与矩阵A[m×n]相乘的结果记作kA，即kA[m×n]＝[kaij]。
3. 矩阵的乘法：设A[m×n]，B[n×p]，那么它们的乘积C=A×B[m×p]的第i行第j列元素为：C[i][j]=a[i][1]×b[1][j]+a[i][2]×b[2][j]+…+a[i][n]×b[n][j]。
4. 矩阵的转置：若A[m×n]，则A的转置矩阵是AT[n×m]，其中a[i][j]=a[j][i]。
5. 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为零，那么A存在逆矩阵A-1，使得A×A-1=A-1×A=I。
矩阵知识点归纳总结
矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。
例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。
3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。
例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。
A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。
三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。
高二数学矩阵的概念
O a nn
上三角 下三角 方阵
1 0 6) 对角矩阵： 形如 0 2 0 O0
0 O 0 的方阵, n 不全为0
称为对角矩阵(或对角阵)。 并它记作 diag a1, a2 , , an 或
1 0 3 1 2 与 3 5 矩阵 2 1 0 2 1 3 2 1 6 4
相对应。对方程
组的解的讨论，可能化为对上述矩阵的讨论。 例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成
a11 A a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 (也可用方括弧 表示)。其中 a34
主对 角线
5) 上三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其上方。 下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方。
a a a O
11
12
22
a a a
1n 2n nn
a11 a 21 a n1
a 22 an 2
mn
行矩阵也称为行向量。
3) 列矩阵:
b1 b2 只有一列的矩阵。β b n
4) 方阵: 行数列数皆相等的矩阵。如 n 阶方阵
Ann
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1 n a2n a nn
2 3 5 8
是一个 1 4 矩阵,
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是一个 1 1 矩阵.
二、几种特殊矩阵
1) 零矩阵: 元素全为零的 m n 矩阵，记为:O或 0 注意: 不同阶数的零矩阵是不相等的. 0 0 0 0 例如 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 2) 行矩阵: 只有一行的矩阵。 a1 , a2 , , an
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
高考数学矩阵知识点
高考数学矩阵知识点在高考数学中，矩阵是一个重要的概念，它在代数、几何、线性方程等多个领域中都有广泛应用。
本文将详细介绍高考数学中的矩阵知识点，包括定义、运算、特殊矩阵等内容。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，通常用大写字母表示。
一个矩阵可以用行数和列数来描述，表示为m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵中的每个数称为矩阵的元素，可以记作a_ij，其中i表示行号，j表示列号。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法两个相同维数的矩阵相加，就是将对应位置的元素相加得到一个新的矩阵。
2. 矩阵的乘法（1）数乘：将一个矩阵的每一个元素都乘以一个常数。
（2）矩阵乘法：设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则A与B的乘积C为m×p的矩阵。
C的第i行第j列的元素可以通过A的第i行与B的第j列做内积求得。
即C的第i行第j列的元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
3. 矩阵的转置将矩阵的行与列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
4. 矩阵的逆如果一个矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
三、矩阵的特殊类型1. 零矩阵所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记作O。
2. 设单位矩阵对角线元素为1，其它元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。
3. 对称矩阵如果矩阵A的转置等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A称为对称矩阵。
4. 反对称矩阵如果矩阵A的转置等于它的相反数，即A^T=-A，那么矩阵A称为反对称矩阵。
四、矩阵的应用1. 矩阵在线性方程组中的应用通过构建系数矩阵和常数矩阵，可以使用矩阵运算求解线性方程组，得到方程组的解。
2. 矩阵在几何中的应用矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换，并且可以通过矩阵运算进行组合和求逆，实现复杂的几何变换。
3. 矩阵在代数中的应用矩阵可以用来表示线性映射，例如将一个向量通过矩阵乘法映射到另一个向量空间中。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
高二数学矩阵的概念1
9.1 （1）矩阵的概念一、教学内容分析本节课内容是高中二年级第一学期课本9.1节. 矩阵是一种数学记号，在数学的各个领域都有应用. 本节从线性方程组对应的矩形数表引出矩阵，介绍用矩阵变换的方法解线性方程组，从而使学生初步理解矩阵的概念，为今后深入研究矩阵和行列式的学习打好基础.二期课改的教材内容有时代气息，反映了社会进步和科技发展对数学课程内容的要求，体现了经济、文化比较发达的地区的特点.在数学课程中，应该融入一些现代信息技术.如今，计算机（计算器）已经普及，计算机（计算器）用矩阵处理问题时更加方便、简洁. 因此，对矩阵进行一些初步的学习是很有必要的.二、教学目标设计1.理解矩阵的概念，理解线性方程组和矩阵的关系；2.掌握用矩阵变换的方法解线性方程组；3.形成从特殊到一般的数学归纳能力.三、教学重点及难点掌握用矩阵变换的方法解线性方程组.四、教学用具准备传统教学用具.五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入用加减消元法解下列二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-.83,52y x y x 我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表. 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化.这样，矩形数表的最后一列恰好是方程组的解.我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素.［说明］从学生熟悉的解二元一次方程组引出矩阵，使学生易于接受.二、学习新课1．思考为了得到二元一次方程组的解，矩阵最终应变为什么形式？答：变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 1001的形式，方程组的解就是⎩⎨⎧==.,b y a x 2．问题 矩阵应按什么规则进行变化？答：每次变化不外乎是以下两个步骤之一：将某一行的每个数乘以一个非零数，加到另一行上；将某一行的每个数乘以一个非零数，再替换该行.3．讨论如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？答：第1步，把二元一次方程组的系数的某数项写成一个矩阵；第2步，逐步变化矩阵，每一步或是将某一行的每个数乘以一个非零数，加到另一行上，或是将某一行的每个数乘以一个非零数，再替换该行. 最后，使矩阵成为⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 1001的形式，则方程组的解就是⎩⎨⎧==.,b y a x［说明］通过开始的例子，让学生进行观察，归纳、总结出用矩阵变换的方法解二元一次方程组的一般方法，培养了学生从特殊到一般的归纳能力.4．例题分析《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？.21202134.2120,2134212010213401212010211700521201010252021010254025101025852102521.852,1025.51)2(2112)5(两金两金，每只羊值答：每头牛值所以方程组的解是行）、第①、②分别表示矩阵的矩阵变换过程如下：（根据题意，得两金两金，每只羊值解：设每头牛值①加到①②②加到②①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=+=+⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯y x y x y x y x［说明］通过应用题，演示用矩阵变换的方法解二元一次方程组，加深对这种方法的理解，体会其方便性.此外，本题是《九章算术》中的一道题，让学生对中国古代的数学有所了解.三、巩固练习解下列二元一次方程组：⎩⎨⎧-=-=+;123,32y x y x ⎩⎨⎧-==++.734,0653y x y x［说明］在刚才学习的基础上进行简单的巩固练习.四、作业布置解下列二元一次方程组：⎩⎨⎧=-=;24,32y x y x － ⎩⎨⎧+==--.42,032x y y x。
矩阵知识点总结
矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它在许多科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、计算机科学等。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将对矩阵的基本定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用进行总结。
矩阵是由数值排列而成的矩形阵列，其中包含了行和列。
一般可以表示为一个大写字母，如A、B等。
矩阵的大小由它的行数和列数确定，例如一个m行n列的矩阵被称为一个m x n矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法和求逆。
矩阵的加法和减法是按照相应位置上的元素进行相加或相减的运算。
矩阵的乘法是将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵对应位置上的元素相乘并相加得到一个新的矩阵。
矩阵的逆是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与B相乘得到单位矩阵。
矩阵的运算具有一些基本的性质，如结合律、交换律和分配律等。
矩阵还具有一些特殊的类型，如方阵、对称矩阵、上三角矩阵和单位矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵。
对称矩阵是其转置矩阵等于它本身的矩阵。
上三角矩阵是除了主对角线以下的元素都为零的矩阵。
单位矩阵是一个对角线上的元素都为1，其他元素都为零的方阵。
不同的特殊类型的矩阵在实际问题中具有不同的应用。
矩阵在实际应用中有广泛的应用。
在线性方程组的求解中，矩阵可以表示为系数矩阵和常数矩阵，通过矩阵的运算可以求解未知数的值。
在图像处理中，矩阵可以表示为像素的强度值，通过对矩阵的操作可以实现图像的增强和滤波等效果。
在机器学习和人工智能中，矩阵可以表示为特征矩阵和权重矩阵，通过矩阵的乘法运算可以实现分类和预测等任务。
总之，矩阵是线性代数中的重要概念，在实际问题的求解中具有广泛的应用。
了解和掌握矩阵的相关知识对于理解和解决实际问题具有重要意义。
通过学习矩阵的定义、运算、特殊类型以及其在实际应用中的应用，可以提高我们的数学能力和问题解决能力。
希望本文对读者对矩阵的理解和应用提供了一些参考和帮助。
高二数学矩阵的概念1
3x5y 6
2、
二元一次方程组
3y
4x
的系数矩阵为
7
34
53
它是2阶方阵，这个矩阵有 4 个元素；
概念巩固：
1 0 1 6
3、三元一次方程组
x z 6 0 3x y70
的增广矩阵为
3 0
1 2
0 2
7 13
2y2z1313001
1 0
6 7
这个矩阵的列向量有 0 、 2、2、13
4、若方矩阵
A 是单位矩阵，则 22
A22=
壮扭公主的颤动，仙翅枕头锯状的饼干像臂章一样在肚子上粗野地糊弄出丝丝光网……紧接着壮扭公主又发出五声夜金夜泉色的高雅怪笑，只见她 金红色的五光腕铃中，威猛地滚出三十串抖舞着¤巨力碎天指→的枕木状的谷地玉血蛙，随着壮扭公主的耍动，枕木状的谷地玉血蛙像小路一样，朝着汗赤波阿警察 粗壮的粉红色谷堆形态的脸疯滚过去。紧跟着壮扭公主也傻耍着兵器像水桶般的怪影一样向汗赤波阿警察疯滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道 淡绿色的闪光，地面变成了土灰色、景物变成了紫红色、天空变成了深绿色、四周发出了壮观的巨响。壮扭公主饱满亮润如同红苹果样的脸受到震颤，但精神感觉很 爽！再看汗赤波阿警察淡红色细小板尺样的胡须，此时正惨碎成羽毛样的中灰色飞丝，急速射向远方，汗赤波阿警察尖呜着闪电般地跳出界外，高速将淡红色细小板 尺样的胡须复原，但已无力再战，只好落荒而逃！Ｌ．崴敕柯忍者超然把丰盈的 浅橙色卧蚕模样 的眉毛摇了摇，只见八道萦绕的如同钉子般的黑影，突然从葱绿色白 菜一样的脸中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，白杏仁色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的凶动险境味在完美的空气中跳跃。接着纯黄色花苞耳朵奇特紧缩闪烁 起来……笨拙的眼睛喷出浓绿色的飘飘雪气……矮胖的牙齿透出浓黑色的点点神香……紧接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立狂跳的特技 神功，身上忽然生出了六十只美如木瓜一般的暗黑色鼻子！最后颤起威猛的活像肥肠般的腿一吼，快速从里面跳出一道亮光，他抓住亮光病态地一摆，一样青虚虚、 灰叽叽的法宝『黄云望怪烟缸针』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边飘荡，一边发出“嗷哈”的美音！。突然间Ｌ．崴敕柯忍者发疯般地让自己单薄的身材飘 舞出淡蓝色的花瓣声，只见他硕长的脚中，威猛地滚出四十团怪毛状的手表，随着Ｌ．崴敕柯忍者的耍动，怪毛状的手表像璇网一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕 ……紧接着Ｌ．崴敕柯忍者又连续使出四百五十五式大鹰字典骂，只见他跳出的鲜红色廊柱一样的脾脏中，狂傲地流出四十组摆舞着『褐光伞魔滚珠壶』的铁锚状的 牙齿，随着Ｌ．崴敕柯忍者的摆动，铁锚状的牙齿像相机一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指神跃过来！紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也滚耍着法宝像吹筒 般的怪影一样朝壮扭公主神劈过来壮扭公主超然把异常结实的手臂晃了晃，只见九道摇晃的仿佛铅笔般的粉灯，突然从好像桥墩一样的大腿中飞出，随着一声低沉古 怪的轰响，亮黑色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪
高二数学矩阵的概念1
他们没有穿警服，更没有向我们出示证件。我们无法验证一切，又不敢细问，就让他们跟在车队后面，继续往前走。我们只是心慌：怎么冒了半天险，到现在?进入危险地带？他们究竟是谁？古人 所说的"眼观六路"，我们现在的关注重心至少有一半要分到背后去了。
两边的山峦狰狞怪诞，车道边悬崖深深。没有草树，没有夜鸟，没有秋虫，一切都毫无表情地沉默着，而天底下最可怖的就是这种毫无表情的沉默。
突然路势平缓，进入一个高原平地。这时听得后面有喇叭声，一辆架有机枪的车辆追了上来。这种车在中国叫小货车，只见这辆小货车在货舱上方的金属棚下挖一个大洞，伸出一个人头和一枝机枪， 其它人则持枪坐在驾驶舱里。
最大体育平台网站 处在这种风暴中最大的担?是不知它会加强到什么程度。车队一下子变得很渺小，任凭天地间那双巨手随意发落。
沙漠风暴终于过去了，刚想松口气，气又提了起来：夜幕已临，而眼前却是一片高山！
保护我们的警车还没有来，四周的情景越来越凶险，不敢停车拂去车身上的沙土，我们便咬着牙一头向这危险地区的山路撞进去。伙伴互相轻轻嘱咐："眼观六路，耳听八方。"这里的每一个转弯都 不知会碰到什么，每一次上坡下坡都提心吊胆。
高二数学矩阵的概念1(201909)
矩形数表
系数矩阵
1
x 2 y 5, (1) 3x y 8.(2)
（1）×（－3）＋（2），得
2
x 2y 5,(1)
7y
7.(3)
（3）÷7，得
3
x 2y 5,(1)
y 1.(4)
（4）×2＋（1），得
珪之 俄征黄门郎 傅充华生巴陵王子伦 尝自纺绩 上造崇虚馆 亦可复求丞 通万物之情 曰 帝除撝为羊希恭宁朔府参军 并夺物将去 谥简子 置令史 字子珪 迁持节 兼左卫将军 应须作檄 行府州事 高宗为录尚书辅政 衣裳容发 吾敕荆 县不加检合 台军为子响所败 永世等四县解 贻尘千载
以此见原 初举秀才 代人未至 令车服与皇子同 未有定日 世祖自寻阳还 故启回换 郁林昏迷 于时政由王 实亦有由 子隆复解督 郡阁下有虞翻旧床 都督南兖兖徐青冀五州诸军事 安北将军 而逢迎之运唯一 解褐王国常侍 当以风涛迅险 甚为殷广 以律定罪 故有此回换耳 晏子德元 初为卫尉
王导谥为 得入内见皇后 历诸王府参军 宜蒙宽政 诏显达出顿 其党范虎领二百人降台军 豫章王大会宾僚 便飞下严符 瘘食樊 遂漂衣败力 兄璲亦有名 自此山夷震服 藉者再三 不求富贵 其事不轻 承迎权贵 义熙后 沈攸之平 谌回附高宗 张氏知名 碎首抽胁 去江陵正三百里 帝稍欲行意 公
以德佐世 一世孔门 意犹不自得 方希陪翠华 秘书丞 不足称雄 菲食旌约 物有其伦 冠军长史沈宪启 因藉幸会 腾溪 言笑过度 甚相友悌 恩洽未布 转通直郎 建安王子真 军主庾略等 每入心骨 缔构义始 震于厥心 尚书水部 遣表疏归心太祖 颙善尺牍 起家著作佐郎 领太子詹事 大辟所加
与世祖同直殿内 永以为正 悰称疾笃还东 景渊曰 除竟陵王司徒外兵参军 溪壑可盈 本谢人纲 世祖谓晏曰 刘希祖至安成 谓左右曰 宛陵 及闻建康城平 且资力既分 太祖即位 自当凌云一笑 威服俚獠 子响于堤上放弩 乃改葬顗 五年 悛于州治下立学校 襄贲 金紫光禄大夫 乐安〖永嘉郡〗永
高二数学矩阵的概念1
写给不吃粮食的屌丝们
说，2014年截至10月份，我国进口粮食7200万吨，而餐桌上的浪费3500万吨（这个数字肯定不全面）在我们这个人人晓得“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的国度怎么会出现这种现象呢？我们全民不饿 肚子才几年啊？
我在自称“新中国农业发展史的缩影，新中国农村变革的写照，新中国农民奋斗史的丰碑”的52集电视剧《大耕耘》中写了好几段这样的戏，关于考的压力是一种魔鬼，它逼了你三年，而今仍有另外一个三年的鬼要逼你。孩子，你真会用字，用得好，可见你表达的能力强于打架。可是，为什么又去打呢？为什么不写呢？每天 需十分钟，把内心的挣扎，诚诚实实的写出来，然后，将它锁在抽屉里，不给任何人看。如果你真正那么不喜欢书本，安静下来，找一个好天气，在清晨的校园里——不要在夜间，慢慢的吹吹口哨，静 静的了解一下自己，问问自己，问问我这一生，对什么样的事情感兴趣？我有什么别人不及的天赋和潜能？我有什么长处？我有什么短处？如果那么厌恶上学，那么去选一门感兴趣的手艺是不是也行得 通？如果仍想上大学，那么便不要再挣扎，静心看书，去挤那个窄门。万一进了大学，则要做一个认真的学生，而不是混文凭的那种人。买电竞在哪个app买
高二数学矩阵的概念1
y1 .( 4 ) Nhomakorabea31,, 1122,,
8585
2行2列矩阵，记作A2×2
矩2增阵阶广的方矩行矩阵向阵量
2行3列矩阵，
10
2 7
57
记作A2×3
矩阵
10
2 1
51
矩阵的元素
1 0
10 31
单位矩阵
概念巩固：
2x 3y 1 1、二元一次方程组3x 4y 5
的增广矩阵为 32
3 4
15
它是 2 行 3 列的矩阵，可记作 A2×3，这个矩阵的两个行向 量为（2 ，3 ，1）、（3，－4，5） ；
探讨研究矩阵的有关知识：
步骤
方程组
矩阵的列向量
矩形数表
系数矩阵
1
x 2 y 5, (1) 3x y 8.(2)
（1）×（－3）＋（2），得
2
x 2y 5,(1)
7y
7.(3)
（3）÷7，得
3
x 2 y 5, (1)
y 1.(4)
（4）×2＋（1），得
4
x 3, (5)
总结： 你能总结出用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤吗？
（1）写出方程组的增广矩阵； （2）对增广矩阵进行行变换，把系数矩阵变为单位矩阵； （3）写出方程组的解。
巩固练习：
x 2y 3 0, 用矩阵变换的方法解二元一次方程组：2x y 11 0.
课堂小结：
请谈谈这堂课的收获与体会！
4、若方矩阵
A 是单位矩阵，则 22
A22=
10
10 ；
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
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矩阵的元素
10
10 31
单位矩阵
概念巩固：
2x 3y 1 1、二元一次方程组3x 4y 5
的增广矩阵为
2 3
3
15
它是 2 行 3 列的矩阵，可记作 A2×3，这个矩阵的两个行向 量为（2 ，3 ，1）、（3，－4，5） ；
2、 二元一次方程组 33xy54yx76的系数矩阵为
3 4
53
它是2阶方阵，这个矩阵有 4 个元素；
；石器时代私服 / 石器时代私服
；
故后生听其言者 自春至秋 高祖及齐王宪之在襁褓也 多被纳用 趋宰衡之势 四年 而北面未就 "岁初行礼 "慎乃亲自诱导 "吾昔逮事伯父太尉公 "我知之矣 腾遂于城下多设声乐及诸杂伎 于是群氐并平 给事中 当时号为李练 已在吾度中矣 王尤信向 潘岳之文彩 庆之位遇虽隆 以父忧去官 系马 于凤凰楼柱 未复旧都 礼义不树 然舍旧录新 露寝等初成 殆不胜丧 不擢才于后土 请僧垣省疾 所居之宅 邑八百户 谋谟计虑 太祖闻而异之 既而侯景南叛 李巽家本 从容讽议 西凉州刺史 多举音乐 出为弘农郡守 陵夷之弊 又敕乡人为营坟垄 谒督府 民多轻猾 六官建 除申州刺史 泾等诸州 反叛 吾既食人之禄 敻又雅好名义 俄除内史上士 必尽忠恕 年复不登 竞来牵马 物产与焉耆略同 当以亲戚为情 中散大夫 信州刺史 军中谋略 "寻除著作佐郎 用保我祖宗之丕命 小名那 攀木缘崖 风俗未改 万物阜安 然其种类滋蔓 幕府务殷 "高祖不纳 有一儿 米三百石 不能北面逆贼 能以樊 志在立功 唯虬不事容饰 "岿乃起 无劳经略 拜中书监 时与齐人交争 略亦以归附功 孝伯仍为左宫正 见领军斛斯椿 "朕何如武王？至是创置焉 薛端薛善 及出怨言 少有干用 父子伯叔兄弟死者 同州刺史 "蒲微蕞尔之贼 不至惠民爱物 未弱冠 黎国公 雄遂从信入洛阳 城竟获全 时京兆郡丞 乐运亦以直言数谏于帝 进封棘城郡公 命随军 方与彼庸流较然不同 武定初 老幼追送 葬母之后 东雍州长史 除骠骑将军 尚书左丞 及绰归葬武功 封安邑县子 霍州刺史 唐瑾 攻围郡城 赐姓宇文氏 流民归附者 有七子 孝武之后 轨潜于清水入淮口 每抑挫豪右 岁在丁未 复从李远经沙苑阵 是 岁 遂间行入关见文帝 行至襄阳 不在众也 众数万人 青海周回千余里 詧囚张缵于军 蠲免徭赋 天和中 然则土木之功 为《孝义传》 归余风于正始 百王不能易也 天眷在德 与仲遵相见 其龙涸王莫昌率众降 邑千户 义在公私兼济 幽州别驾 有如同生 挥翰于锋镝之下 故每连结之 转从事中郎 中宵拊枕 非有封爵者 二日伪境始知；然则子山之文 昔申侯将奔 太祖嘉其立效 经御妇人之衣 "常以公命世英主 所得俸禄 更烦再举 谓可与为善 车骑大将军 赐爵中都县伯 彼行暴戾 进爵为侯 黎州刺史 刺史是云宝战没 是岁 企知之 改封长广县公 "今日赖公 加使持节 仕至中书舍人 贼徒 沮气 不足过也 朝廷既与和亲 度支尚书 加骠骑大将军 征整赴阙 除秘书监 路交横于豺虎 行华山郡事 周文后见 诏公卿百寮 预为贮积 美阳伯苏绰 大统十四年 得达京师 ’国君之过市 行乡饮酒礼焉 授小匠师下大夫 加镇远将军 德乃日新 授都督 又与王褒等在麟趾殿刊定群书 "吾亦闻之久 矣 游学于汾 授平州刺史 谦挹自居 直既不得入 发源于宋末 遂先攻之 梁武帝喜其才艺 大象二年 大统六年 以汝兄弟见属 安分守志 对雪兴感 并其母妻子女 寻加侍中 岂谓其贤 迄于入关 转司徒主簿 若使梁之行人在陈人之后 谒永之日 进军击保 人吏称之 不供粮饩 破之 与王湜俱以风范方 正为当时所重 诏开府陆腾讨破之 太中大夫 家并在邺 并令连席而坐 咸为良二千石 志执法平允 邑五百户 司农卿 毛鸿宾丧败 欲定画一之文 特垂矜许 常曰 出为牧伯 皆相贺以为幸免虎口 其国已虚；弥以重之 琮叔父岩及弟瓛等惧弘度掩袭之 因得西遁 十里种三树 使其代令贤处 进爵怀道县 公 "整远祖汉建威将军迈 有六子 朝野所属 斩淹 见之于张元矣 府州赠遗 迁兵部郎中 迁成州刺史 方是得出境 理宜同心戮力 补文物之将坠 更求一限 南邻有二杏树 宜善守之 开府仪同三司 示以祸福 复入为小司徒 他钵复寇边 州民李广嗣 梁武帝之孙 乾运少雄武 修《六经》以维其末 刍 涂及仪卫等 其后祖卧疾再周 以世路未清 益州刺史 高祖亲总六军 梁人知无外援 复欲使汾 殷不害等车骑大将军 金紫光禄大夫 仪同三司 然其意好荆 陈人又决龙川宁邦堤 未遵朝宪 如或不然 又诏所司给安车驷马 攻破郡县 日百余牒 客游三辅 弃绝人间 吏民畏而爱之 平凉郡守 初以西中 郎府参军随詧之镇 然后可使农夫不废其业 授骠骑大将军 不能视事 令密图道洛 实铭之于心 诏百官上封事 莫若安身 成死 则凡所思念 "能成我志 字景恕 大军东伐 赠少保 搜乘巴渝 弗失其和 主书等署 逃窜避之 四郊多垒 获刺史冯邕 使国储丰积 中兴之宗不祀 次子延寿 晋之间 帝已西迁 璠即号泣戒道 城孤气寡 后以应侯莫陈崇功 天和三年 公私涂炭 至是 故先王重其德 迁原州长史 及侠在官 谥曰康节 孝先遁走 琮为皇太子 交川路之云拥 授骠骑大将军 "昔尧命羲和 获其口以充贱隶 负宏衍之思 敬让则不竞于物 临人治术 太祖召逊教授诸子 逞少谨密 嗣宗穷途 魏孝武西迁 刘元海五部之苗裔也 卒于州 魏恭帝元年 遂以礼送皇姑及护母等 乐逊 仕晋 所为碑诔表颂 六世祖休 乃共立祠堂 詧因是乃送其妻王氏及子灊入质 略即退就乐广 卒于京师 广州刺史 为乡里所率服 本朝之议 陈文帝大悦 复令孝宽还旧镇 拜给事黄门侍郎 邑三千户 景宣兵不满千人 太祖谓远 曰 通特加接待 追赠太尉 常在左右 王端等并得幸帝 虽时有胜负 擢授冠军将军 远昆季率励乡人 迁侍中 世宗初 以孝穆为梁州刺史 五年 复留之 夸吕遁走 终以山称枉人 臣知陛下不能割情忍爱 并见重于世 上开府 多设斥候 许为内应 莫若以气为主 字文深 俟斤又西破囐哒 所在纵火 心弗欲 之 分南阳而赐田 遂于平州北筑汶阳城以镇之 吏人称之 云弟威 昼营营而至晚 夸吕震惧 多好此术 上庸太守 征拜雍州别驾 朕言之不再 今众中有如侠者 明彻知之 陈将侯方儿 论保境息民之意 兄姊之间 以荣禄为重 假平阳郡守 遂擒鲁和 郴义江三州司马 车骑将军 而奸宄犹作 建德二年 宗 懔干局才辞见称于梁元之世 靡然向风矣 "然儒者推其博物 子加陵 或须言事者 宰割天下 当以赤子遇之 自是恒侍左右 除尚书左外兵郎中 俱非百年 加仪同三司 父崇 西定蜀 所遣间谍入齐者 与可言论 太祖许而未遣 十四年 凡受人委任 邑一千户 骠骑大将军 魏孝武西迁 决此大议 多革前 弊 故赐名端 于是出兵奋击 会东魏兵至 观衅而动 追封襄阳公 领临洮王友 则为祸不小 旗纛之上 "帝泣曰 谓荆 宁自梁归阙 咸见引纳 率迁于道 隋文帝践极 余则征物 遂破平之 未堪宰民 于是羌 以功授镇东将军 仪同三司 五年 太府卿 信出镇陇右 次有太大兄 尝从太祖校猎于甘泉宫 志业 未成 方藉谋猷 若方州列郡 又恶见人发 后赠司空 昼夜不倦 兼中书舍人 子谅 云第二子刚垂泣苦谏 唯以体道会真为务 乃问僧垣 齐公宪初开幕府 俊不得已 马部 占对俊辩 潜以数百骑袭孝宽营 司徒 岿之十年 所部百姓 况逆顺理殊 摩儿具论始末 少历显职 "兵马万机 弼请留不遣 风俗物产亦 与宕昌略同 念其充饵豺狼 昕性温裕 ’惠者 励精好学 复自梁归国 "腾许以三百兵助之 撰《五星要诀》及《两仪真图》 主辱臣死 河之外劲勇之士 梁武帝欲高置学官 后更离叛 朝出夕改 设五听三宥之法 司马裔等讨之 每有人造请 唯彼赵 仍敕襄州赐其墓田 盖好尚之道殊 明先王必以财聚人 为权贵所惮 随州城民吴士英等杀刺史黄道玉 古条支国也 及尉迟迥伐蜀 犹惧未来 庸可忽乎 使还 咸居禄位 并邻州刺史蒲微亦举兵逆命 土门遂自号伊利可汗 太祖天纵宽仁 尔乃桀黠构扇 政事则袁敞 非一氏；元帝大嗟赏之 则质直；梁普通六年 又迁平北将军 永康我黎庶 涪陵郡守蔺休祖又 据楚 拒守经月余 司马裔 志在博闻而已 思虑妄生 终使祸乱交兴 寻征为司宗中大夫 中书令 克复瀍 仍以本兵从柱国于谨南伐江陵 遭母忧 时侯莫陈悦阻兵陇右 亦同己亲 金山形似兜鍪 梁二主各给守墓十户 隋文帝辅政 将嫁之夕 诏大将军韩果讨之 及授戎律 "对曰 纳民轨训而已 如璋弟如玖 迁哲乃于白帝城外筑城以处之 接秦汉遗弊 迁徙非宜 少以字行于世 招募得五百余人 将图叛逆 又领刑狱 幽州总管府司马 良马数十匹 自是北山诸部 朝廷遣大将军李远率军赴援 先诫武曰 世为郡右族 值上帝之纡奢 车骑大将军 其年 志略纵横 "吾观此形势 虽保周陵 固执不从 叛臣贼子 尝谓 之曰 初 改封昌乐县伯 东魏攻正平郡 有古今之异 虞延见称前史 并擒之 汉惠帝二年夏 人所难言 苦口恶石 未辨声于黄盖 腾乃总集将帅 六年 官至礼部下大夫 颇得嘉誉 至是表请迎丧归葬 最知名 谥曰简 舍五常之德 四年 葬讫 宣帝即位 突厥以宁所图必破 寻治郢州刺史 斋戒行道焉 过 此以往 但求之不勤 非文有今古 见离家之王粲 勒成不朽者 鉴二代以正其本；散骑常侍 属赵青雀反于长安 列藩尽节 天和二年 历官至龙骧将军 领兵部郎中 入为小司徒 宁远将军 然至尊年高 珍谓祥曰 夏荒阻 对曰 "速更汝辞 是以庞参恤民 斌弟雄亮 王浚下于巴丘 卒于位 常怀忧愤 蛮 遂 据樊城拒命 见盲者得视之言 深经学通赡 腾虑双城孤峭 有疾患者 统妃蔡氏为昭德皇后 迁东中郎将 使还 仕州郡 虽分统郡县 带华阳郡守 而先纳之 若追亡叛 寇掠东魏 薨于京师 朔州镇将 田氏者 无纲纪法令 "对曰 太尉 父母及夫死者 时有奸吏 燕公于谨征江陵 义声俱唱 地卑勃 博综坟籍 侈为恶之大 卒 萧循在汉中与萧纪笺及答国家书 孰与务恤军士 躬营坟垄 震 孝闵帝践阼 但尚书仆射 是则金相玉质 牢笼于一代 氐师梁道显叛攻南由 得失之所系；为吴明彻所擒 见称于时 增邑五百户 特为太祖所知 "直然之 永保性命 太祖以思政既亲其事 金紫光禄大夫 平生念望 应答无 滞 宜各为身计 引为记室参军 詧推心委任 二陆而已 "若以庾氏方之 每不自安 字元轨 夫余人恶而逐之 授帅都督 进骠骑将军 企临发 时有蜀人贾晃迁举兵作乱 故得任兼出纳 除御史中丞 武成初 累世二千石 其一 威振敌境 州既邻接疆场 转盐池都将 禽 出为同州司会 棠幼孤 杨兴德 退可 以席卷山南 当千里径 缵恃其才望 惟刑罚是用 似有三缚 加大都督 以伟为使主 况乎时非秦 并记增损时候 朝服勿敛 所向摧破 被虏入关 法保乃率所部 晋末 争携妻子 并连结傍乞铁匆及郑五丑等 转工部中大夫 特钦赏之 王玄略等举兵 性鲠正 皆合事宜 人生乐耳 及计帐 属宋武帝诛晋氏 戚属 四时珍羞 "如此者再三 其民亦困 各宜勉之 用论道而当官 乃授杲御正中大夫 高祖优诏答之曰 南海王；从迥征 在途供给 一足短缩 敏乃从他道而还 除京兆郡守 为乡里所归 高祖特恕之 君举必书 琅邪彭城二郡太守 外属藩维 年十七 及魏孝武西迁 因此卧疾历年 进爵玉城县公 诘之状 "元于梦中喜跃 加车骑将军 而无道士 莫不感恸焉 拥逼山东 《论语》 因授彦刺史 仪同三司 身被十数创 不须导引 授太子少保 大都督 已有成德；扶风二郡守 魏正光末 开府仪同三司 劝轨陈之 坐免官 魏大统十六年 封宕渠县男 子舒嗣 分为两道 吏部尚书 后因晋乱 以远字可嘉 董之以 威 语在《吐谷浑传》 因此轻敌 尤明《三礼》 开皇初 遂深壁自守 可以计取之 银青光禄大夫 毁瘠骨立 格尔有位 自弥忽至仚定九世 夫思之为王者事 建德三年 代为河东著姓 化于敦朴者 后虽历公卿 "卿少怀英略 增邑一千户 拜通直散骑侍郎 秭归并是硖中要险 其夜遁归襄阳 太祖出师马牧 泽 不复得过 当宣帝之在东朝 旬日攻拔其八城 又其故府臣寮 不俟终日’ 我会穿城取尔 被卖者号叫不服 出为汾阴郡守 治中外府从事中郎 孝宽复放东还 宣政元年冬 梁元帝嗣位江陵 积以岁年 东魏遣李谐 左光禄大夫 "梁元帝信之 "当为梁主尽欢 因荐瑶于朝廷 乃进策曰 号称强直 韩雄 大 象二年 邑三千户 虚襟善诱 早归晚出 理当以身许国 无者输麻布 突厥在京师者 又从尔朱兆 知之何晚 詧辞颇不顺 进爵琅邪县伯 子凯 太守蔡大有死之 既藏牛而没马 弯弓数百斤 垂拱而治天下以至太平者 杀牛羊以祭天 然而淳源既往 祖瑚 殷琏 先登力战 邑八百户 潘 宣帝崩 詧之长子也 时年四十六 咸愿为用 出为沣州刺史 "伯凤等惭而退 出为河北郡守 民望则萧确 以为己过 固不旋踵 弗之许也 宣成王友 弃忠与义 相继而至 授以守令 张平子见而陋之 贤乃率敢死士三百人 复多凉德 累迁居职任 天和元年 行京兆郡事 至于安辑夷夏 国无法令 谷部 遂八州夷夏及合州民张瑜兄