2020八年级数学上册 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式师生学习案(新版)苏科版
八年级上册数学知识点整理
八年级上册数学知识点整理一、整式与分式1. 整式：整数和变量的乘积或和的代数式称为整式。
例如：2x + 3y，4xy² + 2x - 3y。
2. 分式：分子、分母都是整式的式子称为分式。
例如：（x + y）/（2x + 3y），（4xy² + 2x - 3y）/（x² - 4y²）。
分式中要注意分母不能为0。
3. 最简分式：分子和分母没有公因式，且分子、分母没有整数因子的分式称为最简分式。
4. 基本公式：乘法公式、分配公式等是进行代数运算常用的基本公式。
二、一元一次方程与一元一次不等式1. 一元一次方程：形如ax + b = 0，且a≠0的方程称为一元一次方程。
例如：3x + 4 = 10。
解一元一次方程的步骤：将方程化为形如x = a的形式。
2. 一元一次不等式：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式称为一元一次不等式。
例如：2x - 3 > 5。
解一元一次不等式的步骤：确定不等式的符号，将不等式化为方程，解方程得到不等式的解集。
三、直角三角形与三角函数1. 直角三角形：一个内角为90°的三角形称为直角三角形。
直角三角形的边有三种特殊关系，即勾股定理。
2. 正弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角（非直角），其对边与斜边的比值称为正弦函数，记作sin。
sinA = 对边/斜边。
3. 余弦函数：在直角三角形中，对于一个锐角（非直角），其邻边与斜边的比值称为余弦函数，记作cos。
cosA = 邻边/斜边。
4. 正切函数：在直角三角形中，对于一个锐角（非直角），其对边与邻边的比值称为正切函数，记作tan。
tanA = 对边/邻边。
5. 弧度制：角的单位有角度和弧度两种，弧度是计量角的单位，用符号rad表示。
1圆周对应的弧度数是2π。
四、平行线与全等三角形1. 平行线：在平面上，不在同一直线上的直线，如果它们的任意两条线互相平行，则这些直线称为平行线。
苏科版数学八年级上册 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 教案
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学目标：1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.3．通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点：通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．教学难点：了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.教学方法：引导发现法教具：电脑、投影仪等多媒体设备。
教学过程：一、热身训练填空：（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；不等式2x＋4＜0的解集为________.（3）当x为何值时，函数y=2x＋4的值为0？正数？负数？二、例题讲解：例一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．解:（1）根据题意，y与x之间的函数表达式为：y=0.5x+25(2)画出图像因为所挂物体越重，弹簧伸得越长，又因为挂上物体后弹簧得长度不能超过35cm，所以当y＝35时，该弹簧所挂物体得质量最大。
解一元一次方程0．5x+25=35x=20所以该弹簧所挂物体的最大质量是20kg.问题一：你能不能用一元一次不等式的方法来求该弹簧所挂物体得最大质量？问题二：通过上述问题请你谈谈一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间存在怎样的关系？三、课堂小结：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系：已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.四、趁热打铁1．x取什么值时，函数y＝－2x＋2的值是正数？负数？非负数？五、探索（一）、例题再探利用图求当长度为35cm时，弹簧所挂物体质量利用图求弹簧在所允许的弹性限度内所挂物体的最大质量（二）、1．试根据一次函数y＝2x＋4的图像，说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0 、2x＋4＜0的解.探索１：1．画出一次函数y＝2x＋4的图像。
数学沪科版八年级(上册)第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
沪科版八年级上册
新课导入
前面，已经学过一元一次方程和一元一次 不等式的解法，它们与一次函数之间有什么联 系呢？
新课推进
问题 1 （1）解方程 2x+6=0； 解得 x=-3
（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时， y=0？
画出y=2x+6的图像
分别说出一元一次不等式 2x+6＞0 和 2x+6＜0
的解集吗？
y y=2x+6
• A（0,6）
B（-3,0）
•O
x
由图象知， 当 x>-3 时，y>0， 即 2x＋6＞0；
当 x<-3 时，y<0， 即 2x+6<0.
y y=2x+6 • A（0,6）
B（-3,0）
•O
x
一般地，一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解集，就是使一次函数 y=kx+b （k，b为常数，且k≠0）取正值（或负值） 时x的取值范围.
Aபைடு நூலகம்2
y=kx+b
B
x
O1
2.已知一次函数 y=ax+b（a，b是常数，且 a≠0），x与y的部分对应值如表：
那么方程 ax+b=0的解是___x_=_1___；不等式 ax+b＜0的解集是___x_＞__1__.
2.用画函数图象的方法解不等式
3x＋2＞2x＋1.
y y=3x+2
如图所示， 不等式的解集是
函数 y=2x+6 的图象与x
y y=2x+6
轴交点坐标为（-3,0），当
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式同步练习附答案
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式1．当自变量x_______时，函数y＝5x＋4的值大于0；当x_______时，函数的值小于0．2．已知函数y1＝x－2，y2＝2x－4，当_______时，y1－y2<3．_______．3．如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图像，观察图像，可知：(1)b＝_______，k＝_______；(2)当y>2时．x_______．4．如图，已知函数y＝x＋b和y＝ax＋3的图像交点为P，则不等式x＋b>ax＋3的解集为_______．5．甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图像如图．根据图像回答下列问题：(1)_______先出发，先出发_______；_______先到达终点，先到_______；(2)甲、乙两人的行驶速度分别为_______、________；(3)在什么时间段内，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）?在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x(m1n)的方程或不等式（不化简，也不求解）：①甲在乙的前面____________________________；②甲与乙相遇____________________________；③甲在乙的后面____________________________．6．已知函数y＝－2x＋4．(1)画出它的图像；(2)当x 为何值时，y<－4?(3)当y 为何值时，－12≤x<32？7．折线ABC 是某人乘出租车所付的费用y （元）与乘车的里程数x(km)之间的函数关系的图像．(1)乘车3 km 和6 km 各需付乘车费多少元？(2)当x ≥3时，求乘车费用y （元）与乘车的里程数x(km)之间的关系式；(3)某乘客所付车费在14元～18元之间，求他乘车路程的范围．8．为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取：(1)若某户用水量为x 吨，需付水费y 元，则水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系式是：y ＝()_______(010)_______10x x ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩(2)若小华家四月份付水费17元，则他家四月份用水多少吨？(3)已知某住宅小区100户居民五月份交水费共1682元，且该月每户用水量均不超过15吨（含15吨），求该月用水量不超过10吨的居民最多有多少户？9．某校准备在暑假期间组织在这学年中受表彰的部分学生去旅游，甲旅行社收费标准为：除两名带队教师，其余学生可享受半价优惠；乙旅行社收费标准为：两名带队教师和所有学生均按六折优惠，这两个旅行社的全票价均为200元．(1)若共有20名学生，选择哪一家旅行社较优惠？(2)若有x名学生，选择哪一家旅行社较优惠与学生的人数有没有关系？试说明理由．10．如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，－2）和点B(－2，0)，直线y＝2x过点A，则不等式2x<kx＋b<0的解集为( )．A．x<－2 B．－2<x<－1C．－2<x<0 D．－1<x<011．南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式为y乙＝kx．(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600 m2，那么公园选择哪个工程队施工更合算？12．一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则方程kx＋b＝0的解为( )．A．x＝2 B．y＝2C．x＝－1 D．y＝－113．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．(1)上表中，a＝_______；b＝_______；(2)请直接写出y与x之间的函数关系式；(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？参考答案1．＞－45＜－452．x>－13．(1)3－k (2)x<14．x>15．(1)甲10min 乙5min (2)12 km/h 24 km/h(3)①甲在乙的前面：15x>25x－4；②甲与乙相遇：15x＝25x－4；③甲在乙后面：15x＜25x－4；6．(1)略(2)当x>4时，y<－4(3)当1<y≤5时，－12≤x<327．(1)10元，16元，(2)y＝2x＋4，x≥3．(3)5km～7km8．(1)1.3x 13＋2(x－10)(2)12吨．(3)61户．9．(1)选择甲旅行社较优惠(2)选择哪家旅行社较优惠与学生人数x的多少有关系，10．B11．(1)y甲＝()() 560500 40800500x xx x⎧≤<⎪⎨+≥⎪⎩(2)当k>45时，选择甲工程队更合算；当0<k<45时，选择乙工程队更合算；当k＝45时，选择两个工程队的花费一样．12．C13．(1)0.6 0.65 (2)当x≤150时，y＝0.6x；当150<x≤300时，y＝0.65x－7.5；当x>300时，y＝0.9x－82.5．(3)0.62元．。
初中数学_《一元一次不等式与一元一次不等式组》单元起始课教学设计学情分析教材分析课后反思
第十一章“一元一次不等式（组）”单元起始课教学设计一、教学理念：1、尊重学生的学习体验；2、注重知识的生成过程；3、突出学生的主体地位；4、让学生学习有价值的数学。
二、教学目标：1、了解不等式的意义和不等式的性质；2、理解不等式的解及解集的概念，会用数轴表示简单不等式的解集；3、经历建构研究不等式内容的框架图，体会“类比”是研究数学的重要方法,提升数学素养．二、重点：一元一次不等式的相关概念和性质的得出难点：不等式性质3三、教学过程（一）、解决问题，激发生成问题 1、幼儿园王老师给小朋友分糖果，如果每人分5块，还剩3块；如果每人分6块，则差5块. 有多少个小朋友？有多少块糖果?借助方程（组）可以解决生活中许多等量关系的问题，我们学过哪些与方程有关的知识点呢？（通过方程这个知识点建构一元一次方程的知识体系）问题2、幼儿园张老师给小朋友分糖果，如果每人分5块，还剩3块；如果每人分6块，则有一个小朋友不足6块. 有多少个小朋友？有多少块糖果?生活中还存在着不等量关系，如何表达呢？【类比等式，建构不等式的概念】1.根据你的理解，什么样的式子叫做不等式？（引导学生说出“用不等号连接表示不相等关系的式子，叫做不等式）2.如何用不等式表示生活中的不等关系？请举例说明。
3.表示不等关系的关键词有哪些？（二）类比联想，促进生成【类比等式，建构不等式的框架】刚才类比等式，我们得出了什么叫不等式，在本章，我们将系统地学习最简单的不等式-----一元一次不等式的相关内容，还有一元一次不等式组的知识。
请大家根据前面学习等式的经验，你认为我们将学习不等式的哪些内容呢？【板书课题：一元一次不等式（组）】可以从学习内容、过程、方法等多个角度谈谈你的看法。
（三）深入探究，自主生成【类比一元一次方程的相关概念，建构一元一次不等式的相关概念】活动1：观察下列不等式：该如何定义？活动2：类比一元一次方程的解的定义，什么是不等式的解呢？请举例说明。
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式(基础作业)2022-2023学年苏科版数学八年级上册
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（基础作业）-苏科版八年级上册一．选择题1．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．k＞0B．b＝﹣1C．y随x的增大而增大D．当x＞2时，kx+b＜02．若一次函数y＝kx+b的图象过点（﹣2，0）、（0，1），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（）A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞1D．x＞23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝k1x+5与直线l2：y2＝k2x的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+5的解集为（）A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＜3D．x＞34．对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（）A．y随着x的增大而减小B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上C．图象与y轴交于点（0，b）D．当时，y＜05．一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k取值范围（）A．k≤﹣2B．﹣2≤k≤1且k≠0C．k≥1D．﹣2＜k＜1且k≠06．如图，已知一次函数y＝mx+n的图象经过点P（﹣2，3），则关于x的不等式mx+n＜3的解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞﹣2D．x＜﹣27．如图，直线l是函数y＝x+3的图象．若点P（a，b）满足a＜5，且b＞x+3，则P 点的坐标可能是（）A．（2，3）B．（3，5）C．（4，4）D．（5，6）8．定义max（a，b），当a≥b时，max（a，b）＝a，当a＜b时，max（a，b）＝b；已知函数y＝max（﹣x﹣3，2x﹣9），则该函数的最小值是（）A．﹣9B．﹣3C．﹣6D．﹣59．已知函数y1＝3x+1，y2＝ax（a为常数），当x＞0时，y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a≥3B．a≤3C．a＞3D．a＜310．一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝1；④不等式ax+b＞3的解集是x＞0；⑤不等式mx+n≤ax+b的解集是x≤﹣2．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．已知一次函数y＝mx+n与x轴的交点为（﹣5，0），则方程mx+n＝0的解是．12．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象经过A（0，2）、B（4，0）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是．13．如图，直线y＝x+5与直线y＝0.5x+15交于点A（20，25），则方程x+5＝0.5x+15的解为．14．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③关于x 的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；④当x＜3时，y1＞y2．则其中正确的序号有．15．对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x 且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，3），B（3，1），C（2.3），请回答下列问题：（1）在P1（3，3），P2（3，2），P3（1，2）中，是△ABC的覆盖特征点的是；（2）若在一次函数y＝mx+5（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，则m的取值范围是．三．解答题16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点A（0，5），与正比例函数y＝mx的图象交于点C，且点C的横坐标为（1）求一次函数y＝kx+b和正比例函数y＝mx的解析式；（2）结合图象直接写出不等式0＜kx+b＜mx的解集．17．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．18．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）（1）求直线AB的表达式；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．19．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．（1）求P点的坐标；（2）求△APB的面积；（3）利用图象求当x取何值时，y1＞y2．20．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．（1）求点A和点B的坐标；（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
苏教版八年级数学上册第六章 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式一．选择题（共8小题）1．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜32．如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣23．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2B．x＞3C．x＜﹣2或x＞3D．﹣2＜x＜34．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣15．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞16．已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．无法确定7．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（）A．B．C．D．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜2二．填空题（共6小题）9．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．11．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为．12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为．13．如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是．14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为．三．解答题（共6小题）15．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；20．【感知】如图①，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，0.5），点A的坐标为（1，0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，易知△AOC≌△CMB，得到点B的坐标为（0.5，1.5）．【探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB（1）求点B的坐标．（用含m的代数式表示）（2）直接写出点B所在直线对应的函数表达式．【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连结BO、BA，则BO+BA的最小值为．答案与解析一．选择题（共8小题）1．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜3【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y＝0求出x值，从而找出点B 的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．2．如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2【分析】利用函数图象写出直线l1：y＝x+6与在直线l2：y＝﹣x﹣2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＞﹣2时，x+6＞﹣x﹣2，所以不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是x＞﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2B．x＞3C．x＜﹣2或x＞3D．﹣2＜x＜3【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．4．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣1【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．5．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞1【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．6．已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．无法确定【分析】首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，∴函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选：A．【点评】本题考查一次函数的性质，解题时应认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．7．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（）A．B．C．D．【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．【解答】解：∵OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故选：A．【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，将一次函数、等边三角形的性质及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜2【分析】将点（）代入y1＝kx+1，得出m＝k+1，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象过点（），∴m＝k+1，∴m＝k+2，∴不等式组即为，解得＜x＜2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式组的解法．得出m＝k+2是解题的关键．二．填空题（共6小题）9．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为x＜4．【分析】由于一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．【解答】解：函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．故答案为：x＜4．【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为x＜2．【分析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．【解答】解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确得出k与b之间的关系是解题关键．11．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．【分析】先把不等式x（kx+b）＜0化为或，然后利用函数图象分别解两个不等式组．【解答】解：不等式x（kx+b）＜0化为或，利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．故答案为﹣3＜x＜0．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为x≤1．【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；故答案为x≤1；【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．13．如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．故答案为x＝2．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜2．【分析】先将点P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y＝2x+m落在y ＝﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．故答案为﹣2＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．三．解答题（共6小题）15．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．【分析】（1）与m轴相交于点P（，0），可知OB＝，OA＝1；（2）设AB的解析式y＝kx+b，将点B（0，），A（1，0）代入即可；（3）在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝（﹣m）＝1﹣m，所以s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤）；当m＝0时，s＝，即可求Q（0，）．【解答】解：（1）∵与m轴相交于点P（，0），∴OB＝，∵∠ABC＝30°，∴OA＝1，∴S＝＝；（2）∵B（0，），A（1，0），设AB的解析式y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+；（3）在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝（﹣m）＝1﹣m，∴s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤）当m＝0时，s＝，∴Q（0，）．【点评】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B（0，）是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；【解答】解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BC的解析式y＝﹣；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得：t＝，2t﹣2＝解得：t＝，即点E（，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，由于H点为定点，则∠HTD不可能等于90°．故点E（，6）或（6，15）．【点评】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【分析】（1）作AH⊥OP，由y＝x知：∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，由三角函数得出AH的值即为AP的最小值；（2）分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解；（3）分OQ＝PQ、PO＝OQ、PQ＝OP三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝x的图象上∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A（0，2）∴AH＝AO•sin60°＝∴AP≥（2）①当点P在第三象限时，如图2，由∠QP A＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QP A＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠P AQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠P AQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QP A＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠P AQ＝∠POQ＝30°（3）设P（m，m），则l AP：y＝∵PQ⊥AP∴k PQ＝∴l PQ：y＝（x﹣m）+m∴Q（，0）∴OP2＝m2，OQ2＝m2﹣m+PQ2＝m2﹣m+①OP＝OQ时，则m2＝m2﹣m+整理得：m2﹣4m+3＝0解得m＝2±3∴Q1（2+4，0），Q2（2﹣4，0）②当PO＝PQ时，则m2＝m2﹣m+整理得：2m2+解得：m＝或m＝﹣当m＝时，Q点与O重合，舍去，∴m＝﹣∴Q3（﹣2，0）③当QO＝QP时，则整理得：m2﹣解得：m＝∴Q4（）∴点Q的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0）或（﹣2，0）或（）．【点评】本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为（11，3）．【分析】（1）利用待定系数法求出直线表达式；（2）先确定出直线l的解析式，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出△ABO∽△EBC，得出，再判断出△BOC∽△CFE，即可求出CF，EF即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，∴，∴，∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6；（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，∵BC⊥l，∴∠BCD＝90°＝∠BOC，∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，∴∠OBC＝∠OCD，∵∠BOC＝∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2，∴，∴OD＝，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y＝x﹣，设E（t，t﹣），∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S△ACE＝AC×y E＝×11×（t﹣）＝11，∴t＝8，∴E（8，2）；20．【感知】如图①，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，0.5），点A的坐标为（1，0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，易知△AOC≌△CMB，得到点B的坐标为（0.5，1.5）．【探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB（1）求点B的坐标．（用含m的代数式表示）（2）直接写出点B所在直线对应的函数表达式．【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连结BO、BA，则BO+BA的最小值为．【分析】【探究】（1）证明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）点B的坐标为（m，m+1），即可求解；【拓展】BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，即可求解．【解答】解：【探究】（1）过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，∴∠BMC＝90°，∴∠MCB+∠B＝90°，∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠MCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CMB（AAS），∴MC＝OA，MB＝OC，∵点C（0，m），点A（1，0），∴点B的坐标为（m，m+1）；（2）点B的坐标为（m，m+1），则点B所在的直线为：y＝x+1；【拓展】如图作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则：BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝＝，故：BO+BA的最小值为，故答案为．【点评】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中【拓展】，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，是本题的新颖点。
八年级上册数学知识点总结归纳
八年级上册数学知识点总结归纳一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式1) 一元一次方程的定义及解法2) 一元一次不等式的定义及解法3) 实际生活中的应用案例2. 二元一次方程组1) 二元一次方程组的定义及解法2) 二元一次方程组的几何意义3) 实际生活中的应用案例3. 整式的加减和乘除1) 整式的概念2) 整式的加减法规则3) 整式的乘除法规则4) 实际生活中的应用案例4. 因式分解1) 因式分解的基本概念2) 因式分解的公式及方法3) 实际生活中的应用案例二、平面几何1. 直角三角形1) 直角三角形的性质及判定方法2) 特殊直角三角形（30-60-90三角形、45-45-90三角形）3) 直角三角形的应用题2. 平行线与相交线1) 平行线与转化线的基本概念2) 平行线与转化线的判定方法3) 平行线与转化线的性质3. 圆1) 圆的基本概念2) 圆的性质及判定3) 圆的应用题4. 规则图形1) 正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质2) 规则图形的面积和周长计算方法3) 规则图形的应用题三、空间与立体几何1. 空间图形的投影1) 正投影与侧投影的概念2) 空间图形的投影绘制方法3) 实际生活中的应用案例2. 三棱柱与三棱锥1) 三棱柱与三棱锥的定义及性质2) 三棱柱与三棱锥的表面积和体积计算方法3) 实际生活中的应用案例3. 直角坐标系1) 直角坐标系的建立及性质2) 直角坐标系中点、距离的计算方法3) 实际生活中的应用案例四、统计与概率1. 统计图1) 条形图、折线图、饼状图的绘制方法2) 统计图的解读及应用2. 概率1) 随机事件与概率的基本概念2) 概率的计算方法及性质3) 实际生活中的应用案例以上就是八年级上册数学知识点的总结归纳，希望同学们能够通过系统的学习和复习，牢固掌握这些知识点，为将来更深入的学习打下坚实的基础。
苏科版八年级数学上册6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案
苏科版八年级数学上册6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式班级姓名教学目标：1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学难点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学过程一、创设问题情境，引入新课一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏，弹簧的长度是ycm。
（1）、求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像。
二、探索新知1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当时，求的值。
从图像上看，这相当于已知，确定的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的解集．三、例题精选例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题：（1）当x＝0时，y＝，当y＝0时，x ＝；（2）写出直线对应的一次函数的表达式；（3）一元一次方程 和一次函数 有什么联系？例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．例 3 某用煤单位有煤m 吨，每天烧煤n 吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨.(1)求该单位余煤量y 吨与烧煤天数x 之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？例4 某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，设xh 后蜡烛剩下的长度为y ㎝。
6.6一次函数、一元一次方程、一元一次不等式 (教案)
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式(教案)主备人：王建英审核人：王炜班级姓名学号【学习目标】1．通过具体实例，体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系；2．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用与联系．【学习重点】体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系【学习过程】一、新知探究：活动1（P163）：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm 的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm，（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）画出函数图像；（3）求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量；（4）请用一元一次不等式求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量?活动分析：通过函数图像的观察结合实际意义，学生容易想到，当弹簧的长度为35cm时，物体A的质量最大，从而利用方程解决问题.题目中的“不超过”其实暗含的是不等式的模型，所以很自然会考虑用不等式解决问题.通过上面例子我们可以看到：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系，已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．Array活动2（P164探索）：已知一次函数y1＝2x＋4的图像．（1）根据一次函数y1＝2x＋4的图像，说出方程2x＋4＝0（2）根据一次函数y1＝2x＋4的图像，说出不等式2x＋4＞0和2x＋4＜0的解集；（3）根据一次函数y1＝2x＋4的图像，说出方程2x＋4＝6的解和不等式2x＋4＞6、2x＋4≤6的解集.（4）如果x的值在－2≤x≤1的范围内，那么相应的y1的值在什么范围内？（5）如果y1的值在－2＜y1≤2的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？变式1：1、若一次函数y=kx+b 的图像如图：则当x 时, kx+b=0;当x 时, kx+b>0;当x 时, kx+b<0; 2、已知关于x 的一元一次不等式kx+b ＞0的解集是x ＜3，则一次函数y ＝kx+b 的图像与x 轴的交点坐标是 .二、归纳总结：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）与一元一次方程的关系:一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)，它的解是一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 为 的情形，从图像看即与 轴的交点的 坐标. 2、一次函数y=kx+b （k ≠0）与一元一次不等式的关系:一元一次不等式kx ＋b ＞0(k ≠0)的解集是一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 的情形，从图像上看即在 轴 方的图像的x 的取值范围，同样一元一次不等式kx ＋b <0(k ≠0) 的解集是一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 的情形，从图像上看即在 轴 方的图像的x 的取值范围.变式2：在活动2的平面直角坐标系中，请画出函数y 2＝－x ＋1的图像，并利用此函数图像求： （1）当x 的值在什么范围内，y 1＞y 2，y 1=y 2，y 1≤y 2？（2）当x 的值在什么范围内时，2x ＋4 ＞0与－x ＋1＞0同时成立？ 你还能提出什么问题？三、拓展提升（P164尝试） 活动3、一辆汽车行驶35km 后，驶入高速公路，并以105km/h 的速度匀速行驶了xh ．（1（2）请根据上述情境，提出一个用一元一次方程来解决的问题，并解答； （3）请根据上述情境，提出一个用一元一次不等式来解决的问题，并解答.函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化过程的重要模型，三者之间相互联系. 尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验.过去学习方程和不等式时，是直接面对这些概念，没有把它们与其他概念更多的联系起来.现在是在学习新概念（函数）后回头审视老概念，看问题的角度和高度都发生了变化，认识应更深刻，即应能将老概念纳入扩大后的新知识体系中，这样才能体现学习中的进步.y 1=2x+4 B(-2,0)A(0,4)O 12 3 -1 -2 -3 -4 -4 -3-2 -1 4 3 2 1yx。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
八年级上册数学一元一次不等式
八年级上册数学一元一次不等式八年级上册数学一元一次不等式一、不等式的定义和基本性质不等式是数学上一种重要的比较关系，不同于等式，它表示两个数的大小关系。
我们将一些基本概念和性质列出来，方便大家理解。
1. 定义：两个数a、b之间的不等式可以表示为a<b或a>b，读作a 小于（或大于）b。
2. 对称性：若a<b，则b>a；若a>b，则b<a。
3. 传递性：若a<b，b<c，则a<c。
4. 增量性：若a<b，则a+c<b+c；若a>b，则a+c>b+c。
二、一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的推广。
我们一般将一元一次不等式写成ax+b<0或ax+b>0的形式，其中a、b为实数，且a≠0。
下面列出一些一元一次不等式的解法。
1. 解ax+b<0（a>0）的步骤：（1）移项，得到ax<-b；（2）消去a的负号，得到x>-b/a。
（3）注意：当等式左边出现乘方时，应考虑反号。
2. 解ax+b<0（a<0）的步骤：（1）移项，得到ax>-b；（2）消去a的负号，得到x<-b/a。
（3）注意：当等式左边出现乘方时，应考虑反号。
3. 解ax+b>0（a>0）的步骤：（1）移项，得到ax>-b；（2）消去a的正号，得到x<-b/a。
（3）注意：当等式左边出现乘方时，应考虑反号。
4. 解ax+b>0（a<0）的步骤：（1）移项，得到ax<-b；（2）消去a的正号，得到x>-b/a。
（3）注意：当等式左边出现乘方时，应考虑反号。
三、一元一次不等式的综合应用一元一次不等式的应用非常广泛，如何解决一些实际问题，需要我们了解并掌握一些技巧。
下面列出一些例题及解法，供大家参考。
1. 例题：小明要买苹果，商店每斤3元以下，小明手头只有30元，请问小明最多能买多少斤苹果？（1）解法1：假设小明能买的苹果质量为x，那么有不等式3x<=30，即x<=10。
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 教案 八年级数学上册
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式主备人用案人授课时间第 1 课时课题一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学目标1．通过函数图像初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.2.了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数在解决问题过程中的作用和联系.重点通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．难点了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数在解决问题过程中的作用和联系.知识点一、一次函数与一元一次方程解一元一次方程对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.二、一次函数与一元一次不等式解一元一次不等式对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x 轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .主要题型探究点一：一次函数与一元一次方程一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3解析：∵y ＝kx ＋b 经过点(2，3)、(0，1)，∴⎩⎨⎧b ＝1，2k ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.令x ＋1＝0，解得x ＝－1.故选A.方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．探究点二：一次函数与一元一次不等式对照图象，请回答下列问题：(1)当x 取何值时，2x －5＝－x ＋1?(2)当x 取何值时，2x －5＞－x ＋1?(3)当x 取何值时，2x －5＜－x ＋1?解析：(1)直线y ＝2x －5与直线y ＝－x ＋1的交点横坐标的值即为方程2x －5＝－x ＋1的解；(2)直线y ＝2x －5在直线y ＝－x ＋1上方的部分对应的x 的取值范围即为不等式2x －5＞－x ＋1的解集；(3)直线y ＝2x －5在直线y ＝－x ＋1下方的部分对应的x 的取值范围即为不等式2x －5＜－x ＋1的解集．解：(1)由图象可知，直线y ＝2x －5与直线y ＝－x ＋1的交点的横坐标是2，所以当x 取2时，2x －5＝－x ＋1；(2)由图象可知，当x ＞2时，直线y ＝2x －5落在直线y ＝－x ＋1的上方，即2x －5＞－x ＋1；(3)由图象可知，当x ＜2时，直线y ＝2x －5落在直线y ＝－x ＋1的下方，即2x －5＜－x ＋1. 方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ＝kx ＋b 的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y ＝kx ＋b 在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．探究点三：运用一次函数与方程、不等式解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x (单位：件)是推销产品的数量，y (单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围． 解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，∴方案一y 关于x 的解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩⎨⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得⎩⎨⎧a ＝20，b ＝600，∴方案二y 关于x 的解析式为y ＝20x ＋600； (2)根据两直线相交可得40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．。
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教学设计
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》是本册教材的重要内容，它帮助学生建立数学模型的初步概念，培养学生解决实际问题的能力。
本节课的内容包括一次函数的图像与性质，一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基本知识，具备了一定的逻辑思维和解决问题的能力。
但部分学生对于一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的联系和应用还不够清晰，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.理解一次函数的图像与性质，掌握一次函数的解析式。
2.学会解一元一次方程，掌握解题方法。
3.学会解一元一次不等式，掌握解题方法。
4.能够运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的图像与性质。
2.一元一次方程和一元一次不等式的解法。
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生探究一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的性质和关系；通过案例分析，让学生学会解决实际问题；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和习题。
3.笔记本电脑、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解一次函数的图像与性质，展示一次函数的解析式，让学生理解一次函数的斜率和截距的含义。
3.操练（20分钟）让学生通过解一元一次方程和一元一次不等式，巩固所学的知识。
提供一些练习题，让学生独立完成，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
沪科版八年级数学上册课件.6一次函数与一元一次方程、不等式教学课件
量的取值范围，即在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x的取值范围
第12章 一次函数
12.2
第6课时
一次函数
一次函数与一元一次方程、
一元一次不等式
学习目标
1
会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式（重点）.
2
理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集
与一次函数图象间的对应关系.（难点）.
3
初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系.
新课导入
思考：
（1）解方程：2x+6=0
求一元一次方程
kx+b=0的解
求一元一次方程
kx+b=0的解
从函数
值看
求y=0时一次函数
y= kx+b中x的值
从函数
图象看
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标
二、一次函数与一元一次不等式
y =2x+6
思考：2x+6>0和2x+6<0分别可以转化
6
成什么问题？从图象上看，哪部分图象
4
y
2
可以满足题目的要求？这部分图象上点
下列问题，并填空
y =2x+6
y
(1)一元一次方程2x+6=2的解是 （
）
x=2
(2)一元一次不等式2x+6>2的解集是
（
）
(3)一元一次不等式2x+6<2的解是 （
4
x>2
x<2
6
（-2，2）
）
-4
2
-2 O
-1
初中数学八上6
2、已知：如图，一次函数y=kx+b的图像通 过点（3，m)，你能直接说出有关x的一元一 次方程kx+b=m的解吗？
y=kx+b y
（3，m)
0
x
2、一次函数与一元一次不等式
根据一次函数y＝2x＋4的图像，你能说出一元一
次不等式 2x＋4＞0 、2x＋4＜0的解集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ？
由此你能得到什么结论？ 上方部分对应的x
与 x 轴所围成的三角形的面积？
例、一根长25 cm的弹簧，一端固定，另一 端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超出35cm的程 度内，每挂1 kg质量的物体，弹簧伸长0.5 cm. 设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm. 写出y与x之间的函数体现式，画出函数图像，并 求这根弹簧在所允许的程度内所挂物体的最大质 量.
由此你能得到什么结论？ 一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的 _横__坐_标____ ， 即是方程kx+b=0的 __解_____
一次函数y=kx+b的图像与x轴交点横坐标对应方 程kx+b=0的解，那么该图像上其它点的横坐标与 否也是各自对应的方程的解呢？
变式训练： 1、根据一次函数y＝2x＋4的图像说出
一次函数y=kx+b的图像在x轴的_的__取__值__范_ 畴， 即是不等式kx＋b＞0 的 _解__集_____ ；
下方部分对应的x 一次函数 y=kx+b的图像在x轴的 __的__取__值_范_ ，畴 即是不等式kx＋b＜0 的__解__集____ 。
1、根据一次函数y＝2x＋4的图像说出不等式2x＋4＞2、 2x＋4＜2的解集.
6.6一次函数、一元一次 方程和一元一次不等式
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教学目标
1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象，初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、通过解决实际问题，进一步认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学习数学的信心和兴趣。
（3）当x＞2时，y。
(4)当x时，y≤12
（5）当x时， ≤12
【提高题】
7、在同一坐标系内画出函数y1=2x – 4与
y2=-2x+8的图象，观察图象解答下列问题：
（1）x取何值时，2x-4>0?
（2）x取何值时，-2x+8>0?
（3）x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？
（4）求函数y1=2 x–4与y2=-2x+8的图象
由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当时，求的值。从图象上看，这相当于已知，确定的值。
答：一次函数，函数值确定，与之对应 的自变量。纵坐标，横坐标。
一元一次不等式与一次函数的关系：
（1）一元 一次不等式ax+b >0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值 的情形．
3、已知函数y=— x+6，当x时，y＞4；当 时，y≤—2。
【中档题】
4、如图，已知函数 和 的图象交点为 ，
则不等式 的解集为．
5 、如图，已知函数 和 的图像交于点 ，
则根据图象可得不等式 的解集是．
6、如右图，直线l是一次函数y=kx+，x。
（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b0的解集．
答：（1）不等于0；（2）>，<。
【基础题】
1、在一次函数y=2x—3中，已知x=0则y=；若已知y=2则x=；
2、当自变量x时，函数y=3x+2的值大于0；当x时，函数y=—3x+2的值不小于0。
与X轴所围成的三角形的面积。
8、某用煤单位有煤m吨，每天烧煤 n吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨.
(1)求该单位余煤量y吨与烧煤天数x之间的函数解析式；
(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？
(3) 预计多少天 后会把煤烧完？
。
作业次数_________时间_____________等级______________
重点
一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内 在联系，灵活选用合适的模型解决问题
难点
一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系，灵活选用合适的模型解决问题
【学习过程】
自学：已知 ，当x取何值时，
（1） （2） （3）
问题：除了用方程和不等式，你还可以用其他方法解决这个问题吗？
例1、如图是一个一次函数， 请根据图像回答问题：
（1）当x＝0时，y＝，当y＝0时 ，x＝ ；
（2）写出直线对应的一次函数的表达式；
（3）一元一次方程 和一次函数 有什么联系？
（4）一元一次不等式 和一次函数 有什么联系？
例2、画出函数y=-3x+12的图像，并利用图像求：
（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．
总结：一元一次不等式与一次函数的关系：