高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修11

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高中数学选修1-1课时作业17：2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1 双曲线及其标准方程基础达标练一、选择题1．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．若方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－23．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 24＝1 4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋mD ．2a ＋4m5．已知双曲线过点P 1⎝⎛⎭⎫－2，352和P 2⎝⎛⎭⎫473，4，则双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.y 216－x 29＝1 二、填空题 6．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________.7．以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)的双曲线方程的标准方程为________．8．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.能力提升练1．设θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y2cos θ＝1所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆2．已知P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( )A ．27B ．10C ．8D ．63．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝______________. 4．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．5．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)．——★ 参考答案 ★——基础达标练一、选择题1．[[答案]]D[[解析]]由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．[[答案]]A[[解析]]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.3．[[答案]]C[[解析]]由⎩⎨⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2， ⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 4．[[答案]]B[[解析]]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a |BF 1|－|BF 2|＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＝2a ＋|AF 2||BF 1|＝2a ＋|BF 2|且|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝m所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m . 5．[[答案]]B[[解析]]因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为P 1⎝⎛⎭⎫－2，352，P 2⎝⎛⎭⎫473，4两点在双曲线上，所以⎩⎨⎧4m ＋454n ＝11129m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19，于是所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.故选B.二、填空题 6．[[答案]]24[[解析]]双曲线的实轴长为2，焦距为|F 1F 2|＝2×5＝10.由题意，知|PF 1|－|PF 2|＝43|PF 2|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2，∴|PF 2|＝6，|PF 1|＝8，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×8＝24.7．[[答案]]x 23－y 25＝1[[解析]]由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.8．[[答案]]x 24－y 212＝1(x ≤－2)[[解析]]设动圆圆心为P ，由题意知|PB |＝|P A |＋4，即|PB |－|P A |＝4<|AB |，则动圆圆心P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的双曲线的左支，又a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≤－2)．] 三、解答题9．解：法一：以O 为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4.∴曲线C 是以A ，B 为焦点的双曲线．则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA |－|MB ||＝|P A |－|PB |<|AB |＝4. ∴曲线C 是以A ，B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝4，解得a 2＝b 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．解：(1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．能力提升练1．[[答案]]B[[解析]]由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．故选B.] 2．[[答案]]B[[解析]]设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由题意，知a ＝4，b ＝3，c ＝5.∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10，故选B.3．[[答案]]－1[[解析]]设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.]4．[[答案]](－1,3)[[解析]]由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.]5．解：以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正方向，建立平面直角坐标系．设A ，B ，C 分别是正西、正东、正北观测点，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)．设P (x ，y )为巨响产生点，由A ，C 同时听到巨响声，得|P A |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x . ∵点B 比点A 晚4 s 听到巨响声， ∴|PB |－|P A |＝340×4＝1 360.由双曲线的定义，知点P (x ，y )在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左支上，∴x <0.依题意，得a ＝680，c ＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线的方程为x26802－y25×3402＝1.将y＝－x代入上式，得x＝－6805或x＝6805(舍去)，∴y＝6805，即P(－6805，6805)，故|PO|＝68010.∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心68010m处.。

高中数学选修1-1课时作业18：2.2.1 双曲线及其标准方程

§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数[[答案]] C [[解析]] 将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.2．如果方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示双曲线，则m 的取值范围是() A ．(3,4) B ．(－∞，3)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，3)考点题点[[答案]] B[[解析]] 方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示双曲线，即(4－m )(m －3)<0，解得m >4或m <3，∴m 的取值范围是(－∞，3)∪(4，＋∞)．3．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型[[答案]] D[[解析]] 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1，由mn <0，知－n m>0，所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1，F 2的距离的差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 考点题点[[答案]] D[[解析]] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 27＝1(x >0)． 5．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为( )A ．17B ．22C ．2或22D ．7或17 考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用[[答案]] C[[解析]] 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝10，又|PF 1|＝12，则P 到F 2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.6．已知中心在坐标原点的双曲线的一个焦点坐标是(0,5)，且双曲线过点(0,3)，则其标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.y 216－x 29＝1 考点题点[[答案]] C[[解析]] 由题意设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，9a 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.35考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形[[答案]] B[[解析]] 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程[[答案]] B[[解析]] 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 二、填空题9．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是________．考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数[[答案]] －1[[解析]] 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k ＝9，∴k ＝－1.10．经过点P (3,2)和Q (－2，－1)的双曲线的标准方程是________________．考点题点[[答案]] x 273－y 275＝1 [[解析]] 设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋4n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝37，n ＝－57.∴双曲线的标准方程为x 273－y 275＝1. 11．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为________．考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形[[答案]] 9[[解析]] △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用[[答案]] 56[[解析]] 设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由双曲线定义，得a －c ＝10，由正弦定理，得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56. 三、解答题13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2||F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角．故△MF 1F 2为钝角三角形．14．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(填序号)．考点题点[[答案]] ②③④[[解析]] ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆； ②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52； ④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4. 15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上的动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．考点题点解 (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r . 由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1，∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1. (2)过点M ，F 的直线l 的方程为y ＝－2(x －5)，将y ＝－2(x －5)代入x 24－y 2＝1中，整理得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，故直线l 与L 的交点为T 1⎝⎛⎭⎫655，－255，T 2⎝⎛⎭⎫14515，2515. 因为T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，所以||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2，若点P 不在MF 上，则||MP |－|FP ||<|MF |＝2，综上所述，||MP |－|FP ||只在点T 1处取得最大值，最大值为2，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫655，－255.。

2021_2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程练习(含解析)新人教A

2.2.1 双曲线及其标准方程[学生用书P105(单独成册)])[A 根底达标]1．平面内两定点A (－5，0)，B (5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，那么点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B ．x 216－y 29＝1(x ≥4)C.x 29－y 216＝1 D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)解析：选D.由|MA |－|MB |＝6，且6＜|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16. 故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B ．⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，0. 3．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C.x 23－y 24＝1 D ．y 23－x 24＝1解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1.4．(2021·绍兴高二检测)双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1上有一点M 到Γ的右焦点F 1(34，0)的距离为18，那么点M 到Γ的左焦点F 2的距离是( )A ．8B ．28C ．12D ．8或28解析：选D.因为双曲线Γ：x 2λ－y 29＝1的右焦点F 1(34，0)，所以λ＝34－9＝25，所以双曲线Γ：x 225－y 29，可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝10，又|MF 1|＝18，那么|MF 2|D.5．(2021·邯郸高二检测)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．0B ．1 C.12D ．2解析：选A.易知F 1(－5，0)，F 2(5，0)．不妨设P (x 0，y 0)(x 0，y 0>0)，由12×2c ×y 0＝1，得y 0＝55，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2305，55，所以PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5－2305，－55，PF 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫5－2305，－55，所以PF 1→·PF 2→＝0.6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有一样的焦点，那么a 的值是________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.答案：17．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，那么点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：双曲线右焦点为(4，0)，将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15.所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为〔4－3〕2＋〔±15〕2＝4.答案：48．双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，假设PF 1⊥PF 2，那么|PF 1|＋|PF 2|的值为____________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，那么(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 39．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.10．如图，假设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)假设双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，那么|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]11．(2021·保定检测)双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，那么m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20.又|AB |＝4，那么|AF 2|＋|BF 2|，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9.12．(2021·西安高二检测)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为点A ，B ，线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上，假设|AN |－|BN |＝12，那么a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A.连接QF 1，QF 2.因为线段MN 的中点为Q ，点F 2为MB 的中点，所以|QF 2|＝12|BN |，同理可得|QF 1|＝12|AN |.因为点Q 在双曲线C 的右支上，所以|QF 1|－|QF 2|＝2a ，所以12(|AN |－|BN |)＝2a ，所以12×12＝2a ，解得a A.13．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大．解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，①所以c 2＝8－2＝6.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2.设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a2＝1(0＜a 2＜6)．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23.由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝83 a 2〔6－a 2〕≤83·a 2＋〔6－a 2〕2＝8，当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号．所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1. 14．(选做题)双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有一样的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)假设点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在双曲线的右支上，那么有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63，所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上焦点在y 轴上图象标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是（） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.2双曲线及其标准方程(二)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.2 双曲线及其标准方程（二）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线中的基本运算因为双曲线中的基本量之间存在着内在联系，所以从方程的角度来讲，可已知一部分求另一部分，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 双曲线1k9y k 25x 22=-+-的焦距为A. 16B. 8C. 4D. 3422. 在双曲线中，25a c =且双曲线与椭圆36y 9x 422=+有公共焦点，则双曲线的方程是A. 1x 4y 22=-B. 1y 4x 22=-C. 14y x 22=-D. 14x y 22=-3. 双曲线8my mx 822=-的焦距为6，则m 的值是A. 1±B. –1C. 1D. 84. 设双曲线与椭圆136y 27x 22=+有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程。

题型二：求双曲线的方程求双曲线的方程的常用方法有：待定系数法、直译法、定义法、相关点法、几何法等，请根据以上知识解决以下5~8题。

5. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+6. 双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线020y 2x 5=+-上，两焦点关于原点对称，35a c =，则此双曲线的方程是A. 164y 36x 22=-B. 136y 64x 22=-C. 164y 36x 22=-D. 136y 64x 22-=-7. 动圆与两圆1y x 22=+和012x 8y x 22=+-+都外切，则动圆圆心的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支8. 在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN=90°，tan ∠PMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程(一)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.1 双曲线及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：双曲线的定义平面内到两定点1F 、2F 的距离的绝对值为定值（小于|F F |21）的点的轨迹叫双曲线，其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 已知定点1F （-2，0）、2F （2，0），在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是A. 3|PF ||PF |21±=-B. 4|PF |PF |21±=-C. 5|PF ||PF |21±=-D. 4|PF ||PF |2221±=-2. 若动点P 到1F （-5，0）与P 到2F （5，0）的距离的差为8±，则P 点的轨迹方程是A.116y 25x 22=+ B.116y 25x 22=- C.19y 16x 22=+ D.19y 16x 22=- 3. 已知双曲线的两个焦点坐标为()2,2F 1--、()2,2F 2，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程。

4. 在△ABC 中，B （4，0）、C （-4，0），点A 运动时满足A sin 21C sin B sin =-，求A 点轨迹。

题型二：双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，方程为1b y a x 2222=-，焦点为F （c ±，0）；（2）焦点在y 轴上，方程为1bx a y 2222=-，焦点为F （0，c ±）；（3）a 、b 、c 之间的关系：222c b a =+。

请根据以上知识解决5~7题。

5. 已知方程b ay ax 22=-，如果实数a 、b 异号，则它表示的曲线是A. 焦点在x 轴上的双曲线B. 焦点在y 轴上的双曲线C. 圆D. 椭圆6. 已知双曲线的焦距为26，1325c a 2=，则双曲线的标准方程是 A.1169y 25x 22=- B.1169x 25y 22=- C.25x 21144y 2=- D.1144y 25x 22=-或1144x 25y 22=- 7. 已知双曲线过M （1，1）、N （-2，5）两点，求双曲线的标准方程。

人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)

§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线不存在 (2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3， ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8，所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4判断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

高中数学选修1-1课时作业6：2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是 ( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12 D ．13．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为左焦点，则△ABF 1的周长为 ( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1 B.32 C ．2 D ．45．(2014·南阳高二检测)若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s ) C ．m 2－s 2 D.m －s二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. 7．若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为______．三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．10．已知A(－7,0)，B(7,0)，C(2，－12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．11．(2014·济宁高二检测)如图，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，半焦距c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝123，求双曲线的标准方程．[[答案]]1．[[解析]] 由题意动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，b ＝4，故应选D.[[答案]] D2．[[解析]] 由于a ＞0,0＜a 2＜4且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.[[答案]] D3．[[解析]] 根据双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .[[答案]] B4．[[解析]] ∵|P A |－|PB |＝3＜|AB |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上，其中2a ＝3,2c ＝4，∴|PO |min ＝a ＝32. [[答案]] B5．[[解析]] 如图所示，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则{ x ＋y ＝2m ，x －y ＝2s ，∴4xy ＝4(m －s )．∴xy ＝m －s .[[答案]] A6．[[解析]] 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16.[[答案]] 167．[[解析]] 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．[[答案]] (－2,5)8．[[解析]] 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |，∴要使|PF |＋|P A |最小，只需|PF ′|＋|P A |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.[[答案]] 99．【解】由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴a 2＋b 2＝5，①又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－3b 2＝1.② 联立①②得a 2＝2，b 2＝3，因此所求双曲线的方程为x 22－y 23＝1. 10．【解】设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )，则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |，∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC |＝2＜|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1. 11．【解】由题意，由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝[(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|2]/2|PF 1||PF 2|∴|PF 1||PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝2b 2·32＝3b 2， ∴3b 2＝123，b 2＝12，由c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2得a 2＝4，∴双曲线标准方程为x 24－y 212＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程课时提升作业1 新人教A版选修11

双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·福建高考)若双曲线E：-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为=2a，所以-=±6，所以=9或-3(舍去).【补偿训练】设点P是双曲线-=1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________. 【解析】由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|PF2|=|PF1|+6=10+6=16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.故|PF2|=4或|PF2|=16.答案：4或162.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是( )A.-=1(x≥2)B.-=1(x≤2)C.-=1D.-=1【解析】选C.由已知N(4，0)，内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PN|=|PM|-4，外切时，有|PN|=|PM|+4，故||PM|-|PN||=4，因此2a=4，2c=8，所以b2=12，点P的轨迹是双曲线-=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选A或B.3.(2015·信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为( )A.1B.-1C.D.-【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-y2=1，即-=1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在y轴上，所以c=3，a2=-，b2=-，所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.【误区警示】本题有两处易错：一是a2，b2确定错误，应该是a2=-，b2=-；二是a，b，c的关系式用错.在双曲线中应为c2=a2+b2.4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ 的周长为( )A.19B.26C.43D.50【解析】选B.如图,由双曲线的定义可得将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,所以△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.5.(2015·开封高二检测)双曲线-=1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(-5，0)的距离为( )A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】选D.由题知a2=16，b2=9，所以c2=25.又焦点在x轴上，所以焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，||PF1|-|PF2||=2a=8，||PF1|-15|=8，所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8，所以|PF1|=23或|PF1|=7.【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点①若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；②若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|-|PF2||=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c-a).二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知△ABC的顶点B(-2，0)，C(2，0)，并且sinC-sinB=sinA，则顶点A的轨迹方程是________. 【解析】设△ABC外接圆半径为R，则由：sinC-sinB=sinA，得：-=·，即|AB|-|AC|=2.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.因为2a=2，c=2，所以a2=1，b2=c2-a2=3.故点A的轨迹方程为x2-=1(x>1).答案：x2-=1(x>1)7.(2015·山西师大附中高二检测)从双曲线-=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT 交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=________.【解析】设F2为椭圆右焦点，则|OM|=|PF2|，|PF|-|PF2|=6.因为FT是☉O的切线，所以|FT|=4，所以|MT|=|MF|-|FT|=|PF|-4，所以|MO|-|MT|=|PF2|-|PF|+4=4-(|PF|-|PF2|)=1.答案：1【补偿训练】若双曲线-=1(m>0，n>0)和椭圆+=1(a>b>0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|·|MF2|等于________.【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=±2，①|MF1|+|MF2|=2，②②2-①2得，4|MF1|·|MF2|=4a-4m，所以|MF1|·|MF2|=a-m.答案：a-m8.已知双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-4)，，则双曲线的标准方程为________. 【解析】若曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：-=1(a>0，b>0)依题意得令m=，n=，则方程组化为：解这个方程组得即a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为-=1.若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，依题意得此时无解. 综上可得，所求双曲线的标准方程为-=1.答案：-=1【一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0)，依题意得解得故所求双曲线方程为-+=1即-=1.答案：-=1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·洛阳高二检测)已知曲线C：+=1(t≠0，t≠±1).(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线.(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|>1时，t2>0，t2-1>0，曲线C为椭圆；当0<|t|<1时，t2-1<0，曲线C为双曲线.(2)当|t|>1时，t2-1>0，曲线C是椭圆，且t2>t2-1，因而c2=t2-(t2-1)=1.所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).当0<|t|<1时，双曲线C的方程为-=1.因为c2=t2+(1-t2)=1，所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点.10.(2015·漳州高二检测)已知双曲线-=1的两焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且·=0，求M点到x轴的距离.(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程. 【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·=0，则MF1⊥MF2，设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线定义知，m-n=2a=8，①又m2+n2=(2c)2=80，②由①②得m·n=8，所以mn=4=|F1F2|·h，所以h=.(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16)，由于双曲线C过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14(舍去).所以所求双曲线C的方程为-=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为( )A.6B.12C.12D.24【解析】选B.由已知得2a=2,不妨设P为双曲线右支上一点,又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.又|F1F2|=2c=2.由余弦定理得cos∠F1PF2==0.所以三角形为直角三角形.=|PF1|·|PF2|=12.2.(2015·武威高二检测)已知向量a=(x+1,-ky),b=(y,x-1),且a∥b,则点P(x,y)的轨迹不可能是( )A.圆B.椭圆C.一条直线D.双曲线【解析】选C.依题意得(x+1)·(x-1)+ky·y=0,故x2+ky2=1,当k=1时,点P(x,y)的轨迹为圆;当k>0,且k ≠1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k<0时,点P(x,y)的轨迹为双曲线.当k=0时,点P(x,y)的轨迹为两条直线x=±1,故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·武汉高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点是(0，2)，椭圆-=1的焦距等于4，则n=________.【解析】因为双曲线的焦点为(0，2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为-=1，即a2=-3m，b2=-m，所以c2=-3m-m=-4m=4，解得m=-1，所以椭圆方程为+x2=1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2=n-1=4或1-n=4，解得n=5或-3(舍去).答案：54.(2015·盐城高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________.【解析】设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|，所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF1|=5，故所求最小值为9.答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)5.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程. 【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.①又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以·=0,即-c2+25=0.解得c2=25.②又c2=a2+b2,③所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.6.(2015·益阳高二检测)双曲线-y2=1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.【解题指南】利用双曲线的定义结合勾股定理表示三角形面积.【解析】如图，由双曲线方程-y2=1，可知：a2=4，b2=1，c2=a2+b2=5.即a=2，c=.由双曲线定义，有|PF2|-|PF1|=2a，所以|PF2|=4+|PF1|.由∠F1PF2=90°，在直角△F1PF2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即|PF1|2+(4+|PF1|)2=(2)2，即|PF1|2+4|PF1|-2=0，由|PF1|>0，所以|PF1|=-2，可得|PF2|=+2，所以Rt△F1PF2的面积S=|PF1|·|PF2|=1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修1-1(

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2。

1 双曲线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义1，2，11双曲线的标准方程3,4,5与双曲线定义有关的轨迹问题6,8综合问题7,9，10,12,13【基础巩固】1。

已知M(-2,0），N（2,0),｜PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是（ C ）(A)双曲线（B)双曲线左支（C)一条射线（D)双曲线右支解析：因为|PM|—｜PN｜=4=｜MN｜,所以动点P的轨迹是一条射线。

故选C。

2。

双曲线—=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ A ）（A）22或2 （B)7(C）22 (D）2解析：因为a2=25，所以a=5。

由双曲线定义可得｜｜PF1|—｜PF2｜｜=10，由题意知｜PF1|=12,所以|PF1|-｜PF2|=±10，所以|PF2|=22或2.故选A。

3。

（2018·洛阳高二月考)已知方程—=1表示双曲线,则k的取值范围是（ A ) (A）（-1,1）（B)（0,+∞)(C）[0,+∞）（D)（—∞,-1）∪(1，+∞)解析：由题意得(1+k）(1-k)>0,所以(k-1)(k+1）<0，所以—1〈k<1.故选A.4。

2019-2020学年高中数学课时作业双曲线及其标准方程新人教A版选修

因为||PF1|－|PF2||＝16.|PF1|＝17.所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
答案：33
8．已知双曲线E：－＝1(a>0.b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上.AB.CD的中点为E的两个焦点.且2|AB|＝3|BC|.则E的标准方程是________．
解析：如图.由题意不妨设|AB|＝3.则|BC|＝2.设AB.CD的中点分别为M.N.在Rt△BMN中.|MN|＝2c＝2.故|BN|＝＝＝ .由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1.即a2＝ .而2c＝|MN|＝2.从而c＝1.b2＝ . 所以双曲线E的标准方程是－＝1.
因为双曲线的焦点在x轴上.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6.且焦点在y轴上．因为点A(－5,6)在双曲线上.所以2a＝
| － |＝|13－5|＝8.则a＝4.b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)由题意得.双曲线的焦点在x轴上.且c＝2 .
答案：C
5．已知定点A.B且|AB|＝4.动点P满足|PA|－|PB|＝3.则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D．5
解析：如图所示.点P是以A.B为焦点的双曲线的右支上的点.当P在M处时.|PA|最小.最小值为a＋c＝＋2＝ .
答案：C
二、填空题(每小题5分.共15分)
6．设m是常数.若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点.则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上.所以m>0.且m＋9＝52.解得m＝16.
答案：16
7．已知P是双曲线－＝1上一点.F1.F2是双曲线的左、右焦点.且|PF1|＝17.求|PF2|＝________.

高中数学22_1双曲线及其标准方程习题新人教A版选修11

2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（）A.()±B.(0,±C.()2,0±D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（）A ．223312x y -= B ．2214x y +=C ．22143x y -=D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（）A ．28B ．14-．14+．6．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（） A ．b a MO MT -=- B ．b a MO MT ->- C ．b a MO MT -<- D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+成立，则λ的值为（）A ．1222+ B ．31 C 21 D 21二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.2.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1. 【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,48x y a b c c -=∴==∴=∴=，焦点为()±，故选A.考点：双曲线方程及性质. 【题型】选择题【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义．【题型】选择题【难度】较易 3. 【答案】A 【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A. 考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=. 考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知a b ==4c ==，根据双曲线的定义，得21PF PF -=，21QF QF -=，∴21PF PF =+21QF QF =+2211PF QF PF QF +=++，∵117PF QF PQ +==，∴227PF QF +=+，因此△2PF Q 的周长227714PF QF PQ =++=+=+，故选C ．考点：双曲线的定义．【难度】一般6.【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得y=，由题意可知12F F=所以12112F PFS=⨯=△.考点：焦点三角形的面积.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】A【解析】连接OT，则1OT PF⊥，在1FTO△中，1TF b=．连接2PF，在12PF F△中，O、M分别是12F F、1PF的中点，所以212OM PF=，()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a⎛⎫∴-=--=-+=-+=-⎪⎝⎭，故选A．考点：双曲线的定义，直线与圆相切．【题型】选择题【难度】较难8.【答案】C【解析】设△12PF F的内切圆半径为r，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c-==，1112IPFS PF r=⋅，2212IPFS PF r=⋅，12122IF FS c r cr=⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r crλ⋅=⋅+，∴122PF PF ac cλ-==，又2122bF F ca==，∴222c a ac-=，∴1acλ==，故选C．考点：双曲线定义的应用.【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程．【题型】填空题【难度】较易10. 【答案】【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以(22212PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=，则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以12PF PF +=考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】(221214x y x -=≥【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1MC r =2MC r =，∴12MC MC -=()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴12C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵a =4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是(221214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】22135x y -=【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知a b ==c = 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中a cb ===221.35x y -=考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF F F -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立，综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题【难度】较难。

高中数学 221《双曲线及其标准方程》同步课件新人教A版选修11

[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上式两边平方，得 |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＝ 36 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 36＋64＝100，由余弦定理，得
[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合 |PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．
3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.
1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出推导过程．
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所以有
中，由正弦定理，得
S△F1PF2
＝
1 2
|PF1|·|PF2|·sinθ＝1－sincoθsθ·b2＝b2·cotθ2.
[例4] 设声速是am/s.在相距10am的A、B两个哨所，听到一炮弹爆炸声的时间相差6s，且B处的声强是A处声强的4倍，试确定炮弹爆炸点P的位置，即确定P点到AB中点 M的距离及∠PMB的大小．(注：声强与距离的平方成反比)

选修2-1双曲线及其标准方程课时作业

选修2-1双曲线及其标准方程课时作业work Information Technology Company.2020YEAR课时作业11 双曲线及其标准方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7) C ．(－5,0)，(5,0) D ．(0，－5)，(0,5)【答案】 C【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∴c ＝5，又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(5,0)和(－5,0)．故选C.2．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【答案】 D【解析】由题意得点M 到A 点的距离大于到B 点的距离，且|MA |－|MB |<10，所以动点M 的轨迹是双曲线的右支．3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72D ．5【答案】 C 【解析】点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72，故选C.4．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3 D ．2【答案】 A【解析】由题意知，点P 的轨迹是双曲线的左支，c ＝2，a ＝1，b ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，把y ＝12代入双曲线方程，得x 2＝1＋14＝54.∴|OP |2＝x 2＋y 2＝54＋14＝64，∴|OP |＝62.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为8，则P 到焦点F 2的距离为( )A ．2B ．2或14C ．14D ．16【答案】 B 【解析】如图，设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，由已知得a ＝3，b ＝4，c ＝5，∵双曲线右顶点到左焦点F 1的距离为a ＋c ＝8， ∴点P 在双曲线右顶点时，|PF 2|＝c －a ＝5－3＝2，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋6＝8＋6＝14.6．设F 1、F 2为双曲线x 25－y 24＝1的两个焦点，P (3,1)是双曲线内的一点，点A 是双曲线上一动点，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5 【答案】 C【解析】如图，连接F 1P 交双曲线右支于点A 0，∵|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－25，∴要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A 落在A 0时，|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|最小，最小值为37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5.二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．【答案】 48【解析】由题意知|F 1F 2|＝|PF 2|＝10且|PF 1|－|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝16.由勾股定理得PF 1上的高h ＝102－82＝6.∴△PF 1F 2的面积S ＝12h ·|PF 1|＝12×6×16＝48.8．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是________.【答案】 x 2－y24＝1【解析】因为线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以P 点坐标为(5，4)，又因为焦点在x 轴上，且c ＝5，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，将(5，4)代入得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝25或a 2＝1，由c >a 知a ＝1，此时b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 2－y24＝1.9．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．【答案】 833【解析】 ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7， ∴c ＝7，弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线上的点．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离是多少？【解析】解法一：由题意得F 1(－5,0)、F 2(5,0)，设P 的坐标是(x 0，y 0)，又PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x 0＋5)2＋y 20＋(x 0－5)2＋y 20＝100，x 209－y 2016＝1.解得|y 0|＝165，∴P 到x 轴的距离为165.解法二：以O 为圆心，以|F 1F 2|2＝5为半径作圆x 2＋y 2＝25，与x 29－y 216＝1联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝25，x 29－y 216＝1，解得y 2＝16225，即|y |＝165.∴P 到x 轴的距离为165.11．(13分)已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1，求当k 为何值时：①方程表示双曲线；②方程表示焦点在x 轴上的双曲线；③方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【分析】求参数的值或范围时，可先根据焦点的位置把方程化为相应的标准方程的形式，再根据其余条件确定方程中的a 2，b 2.【解析】 ①若方程表示双曲线，则需满足：⎩⎨⎧1－k >0|k |－3>0或⎩⎨⎧1－k <0，|k |－3<0，解得k <－3或1<k <3.②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则1<k <3. ③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k <－3.【总结】明确方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的条件，即AB <0，且C ≠0.化成x 2C A ＋y 2C B ＝1的形式，若焦点在x 轴上，则C A >0，CB<0；若焦点在y 轴上，则C B >0，CA <0.12．(14分)已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．【解析】设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)，所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |，所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.所以|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点的双曲线的下半支上，所以点F的轨迹方程是y2－x2＝1(y≤－1)．48。

高中数学 231 双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修21

课时作业13 双曲线及其标准方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010·安徽高考)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C .⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D .()3，0 解析：∵双曲线方程为x 2－2y 2＝1， ∴a＝1，b ＝22，得c ＝a 2＋b 2＝12＋222＝62， ∴它的右焦点坐标为(62，0)，故C 正确．答案：C2．k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：原方程化为y 2k 2－1－x21＋k ＝1，∵k>1，∴k 2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．答案：C3．若双曲线x 2m 2－4－y2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(－1,2)解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<m<2m<－1.即－2<m<－1.答案：B4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9解析：由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9. ∴n＝±3. 答案：B5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1 解析：∵F 1(－5，0)，PF 1的中点坐标为(0,2)， ∴P 的坐标为(5，4)．又∵双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)， ∴另一个焦点为F 2(5，0)． ∴2a＝||PF 1|－|PF 2||＝|5＋52＋16－5－52＋42|＝2.∴a＝1.又∵c＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝4. ∴双曲线方程为x 2－y24＝1.答案：B6．双曲线x 2n －y 2＝1(n>1)的两焦点分别为F 1、F 2.P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A .12B ．1C ．2D ．4解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n. 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1.所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∠F 1PF 2＝90°. 所以S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知双曲线x 216－y220＝1上一点M 到它的一个焦点的距离等于6，则点M 到另一个焦点的距离为________．解析：由题意可知，a ＝4，b ＝20，设焦点为F 1，F 2且 |MF 1|＝6，则|MF 2|－|MF 1|＝±2a＝±8， ∴|MF 2|＝6＋8＝14或|MF 2|＝6－8＝－2(舍去)．答案：148．双曲线x 2－y2k＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k 的值为________．解析：由已知c ＝2，∴c 2＝a 2＋b 2即1＋k ＝4，∴k ＝3. 答案：39．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m>n>0)和双曲线x 2a －y2b ＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F 1、F 2，P 为椭圆与双曲线的公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于________．解析：椭圆的焦点为(±m －n ，0)，双曲线的焦点为 (±a ＋b ，0)，∴m －n ＝a ＋b. ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，① ||PF 1|－|PF 2||＝2a ② ①2－②2有|PF 1|·|PF 2|＝m －a. 答案：m －a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x 2＋2y 2＝32的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4.求动点P 的轨迹E 的方程．解：由椭圆的方程可化为x 232＋y216＝1得|F 1F 2|＝2c ＝232－16＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4<8. ∴动点P 的轨迹E 是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点， 2a ＝4，a ＝2的双曲线的右支，由a ＝2，c ＝4得b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，故其方程x 24－y212＝1(x≥2)．图111．(15分)如图1，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．12．(15分)已知曲线C ：x 2t 2＋y2t 2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．解：(1)当|t|>1时，t 2>0，t 2－1>0，曲线C 为椭圆；当0<|t|<1时，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)当|t|>1时，t 2－1>0，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1，因而c 2＝t 2－(t 2－1)＝1. ∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y21－t 2＝1.∵c 2＝t 2＋(1－t 2)＝1，∴焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)．综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．。

高中数学选修1-1课时作业13：2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A.－1<m <3B.m >－1C.m >3D.m <－1[[答案]] B[[解析]] 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2.过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C.x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 [[答案]] D[[解析]] 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线标准方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线标准方程为y 212－x 2＝1. 3.若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的双曲线D.焦点在x 轴上的双曲线[[答案]] C[[解析]] 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断.原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线.4.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A.1B.－1C.653D.－653[[答案]] B[[解析]] 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 5.若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.(22，0) B.(52，0) C.(62，0) D.(3，0)[[答案]] C[[解析]] 将方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C. 6.设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14B.13C.19D.35[[答案]] B[[解析]] 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 7.已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A.x ＝0B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 [[答案]] D[[解析]] 动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切，与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切，与圆C 2外切.在①②情况下，显然动圆圆心M 的轨迹方程是x ＝0；在③的情况下，如图，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理，得|MC 2|－|MC 1|＝2 2.由③④得||MC 1|－|MC 2||＝22<8＝|C 1C 2|，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4，0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，所以此时动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1.故选D. 二、填空题8.已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为________.[[答案]] 22或2[[解析]] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2.9.焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.[[答案]] x 216－y 29＝1 [[解析]] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 10.若双曲线x 216－y 2m＝1的焦距为10，则m ＝________. [[答案]] 9[[解析]] 由题意知，a ＝4，b ＝m ，c ＝5，又由a 2＋b 2＝c 2得，16＋m ＝25，∴m ＝9.11.已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________.[[答案]] 2 3[[解析]] 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题12.已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0).求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形.解设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0). 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点).13.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状.解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF2F1为钝角.故△MF1F2为钝角三角形.。