第二章 1 1.1 直线的倾斜角和斜率

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：2.1.1 直线的倾斜角和斜率

第二章
解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率
第二章
解析几何初步
1．问题导航 (1)“直线的倾斜角就是这条直线与 x 轴的夹角”，这种说法正确吗？ (2)任何一条直线都有倾斜角吗？倾斜角相同的直线是同一条直线吗？不同的直线的倾斜角一定不相同吗？ (3)当直线与 x 轴或 y 轴平行时，斜率公式适用吗？
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所以
3 7 A ，2，C ，n. 4 4
n－2 又 A、B、C 三点共线，所以 kAC＝tan 45°＝＝n－2＝1. 7 3 － 4 4 所以 n＝3. 3 即 m 与 n 的值分别为和 3. 4
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思想方法数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用
作这条直线的斜率
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倾斜角补充规定表示或记法
斜率
90° 当直线 l 和 x 轴平行或重合倾斜角为_____ 的 0° 时，它的倾斜角为_____
α 直线没有斜率 k＝tan α
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3.倾斜角与斜率的对应关系图示 0°<α <90° 90°<α <180°
解析几何初步
探究点一求直线的倾斜角直线 l1 的倾斜角为 α，l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜角不可能为( ) B．90°＋α D．180°－α
A．90°－α C．|90°－α|
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[解析] (1)当 α＝0°时，l2 的倾斜角为 90°.(如图 1) (2)当 0°＜α＜90°时，l2 的倾斜角为 90°＋α.(如图 2) (3)当 α＝90°时，l2 的倾斜角为 0°.(如图 3) (4)当 90°＜α＜180°时，l2 的倾斜角为 α－90°.(如图 4)

高中数学必修2第二章《1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计

《直线的倾斜角与斜率》教学方案..．情感、态度与价值观.）斜率公式给出了求斜率的反映了斜率是垂直变、元芳说：“过点（2，1），例题讲解就………. 电子屏幕直线的倾斜角与斜率（1）一、倾斜角的定义：二、斜率的定义三、斜率的坐标公式《直线的倾斜角与斜率1》教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。

教案的设计考虑了以下几方面内容：一、教学内容的数学本质（1）直线的应用直线作为平面几何的基本元素，在生活技术和自然科学研究中首先要作为被研究的对象，它是由几何到代数必经之路，16世纪开始，由于制造业和航海业的迅速发展，产生了许多迫切需要解决的问题，如航海中船的定位、速度问题等等，在这种形势下笛卡尔解析几何确立，如今的航天、导弹、卫星定位都有直线的影子。

如果把解析几何看成是我们科学发展的“必经路”那直线就是“铺路砖”。

（2）内容理解北师大教材侧重于由直观、归纳、理解的过程，本节也不例外，数学的本质是由现实到理论，由形到数的过程，如何把直线的“形”度量并表示出来是这解课的最终目标，倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜度的量，它们之间以及与坐标之间是有密切联系的，而如何建立、推导相互间的关系，是这节课的主要任务。

二、教学目标解析1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

三、教学内容与地位作用解析本节课是北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修2）第二章§2.1.1的内容。

第二章 1.1 直线的倾斜角和斜率

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【名师点评】 (1)应用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直； (2) 斜率公式应用时要注意顺序，即 k ＝ y2－y1 y1－y2 ＝； x2－x1 x1－ x2 (3)当直线倾斜角为锐角时，斜率为正，直线从左向右呈上升趋势；当直线倾斜角为钝角时，斜率为负，直线从左向右呈下降趋势．
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1．直线的倾斜角和斜率倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线 l，把 x轴(正方向) 按逆时定义针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角. 斜率把一条直线的倾斜角α 的正切值叫作这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝ tanα(α≠90°) ．
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4．直线y＝3的斜率为________，倾斜角为________．答案：0 0°
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北师大版高中数学必修二第二章1.1直线的倾斜角和斜率.docx

§1直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率问题导学1．求直线的倾斜角活动与探究1已知直线l1的倾斜角是30°，直线l2⊥l1，试求直线l2的倾斜角．迁移与应用1．如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是( )．A．α1＞α2＞α3 B．α1＞α3＞α2C．α2＞α3＞α1 D．α3＞α2＞α12．直线l过原点，且倾斜角为150°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为__________．求直线的倾斜角，主要是根据题意画出图形，根据倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正半轴所成的角，即为倾斜角，注意平面几何中相关知识的应用．2．求直线的斜率活动与探究2(1)已知两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝45°，求这两条直线的斜率；(2)如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．迁移与应用1．(1)若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为__________；(2)经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是__________．2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2，－3)，(－2,3)．1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得；二是已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式计算求得．2．使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．3．直线的倾斜角和斜率的关系活动与探究3a 为何值时，过点A (2a,3)，B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？迁移与应用已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是__________．根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．4．运用斜率公式解决三点共线问题活动与探究4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．迁移与应用已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，求证：三点在同一直线上．三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题．(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB |＋|BC |＝|AC |，则可判定A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．对于下列命题：①若θ是直线l 的倾斜角，则0°≤θ＜180°；②若k 是直线l 的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角等于( )．A ．0° B．45° C．90° D．135°3．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )．A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．已知A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，C (a ，2a )三点共线，求实数a 的值． 5．已知直线l 的倾斜角为30°，且过点P (1,2)和Q (x,0)，求该直线的斜率和x 的值．答案：课前预习导学预习导引1．一个点方向2．(1)逆时针倾斜角 0° 0°≤α＜180°预习交流1 提示：任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；不同的直线其倾斜角可能是相同的．(2)正切 tan α预习交流2 提示：并非每一条直线都有斜率，当直线与x 轴垂直时，即倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率k ≥0；当90°＜α＜180°时，斜率k ＜0，故可知斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即k ∈R .预习交流3 提示：斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率也越大．3．y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) 预习交流4 提示：不能．斜率公式的适用条件是x 1≠x 2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x 轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．预习交流5 提示：无关，即k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由l 1⊥l 2知两直线与x 轴可构成直角三角形，因此可利用三角形内角和定理以及倾斜角的定义求出l 2的倾斜角．解：如图所示，由于l 2⊥l 1，所以△MAB 是直角三角形，而l 1的倾斜角等于30°，即∠MAB ＝30°，于是∠MBA ＝60°，从而∠MBx ＝180°－60°＝120°，即直线l 2的倾斜角等于120°.迁移与应用 1．D2．0° 解析：将l 绕原点旋转30°后，直线与x 轴重合，其倾斜角为0°.活动与探究2 思路分析：利用斜率公式k ＝tan α和k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来解决．解：(1)k 1＝tan 30°＝33，k 2＝tan 45°＝1. (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12；直线AC 的斜率k AC ＝2－(－1)3－0＝33＝1. (3)当a ＝3时，斜率不存在．当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a . 迁移与应用 1．(1) 3 (2)52．解：①k ＝－2－1－1－1＝32；②k ＝4－(－1)－2－1＝－53；③k ＝2－210－2＝0；④∵x 1＝x 2＝－2，∴斜率不存在．活动与探究3 思路分析：根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k ＞0，若为钝角，则k ＜0，若为直角，则斜率不存在．解：当过点A ，B 的直线的倾斜角是锐角时，k AB ＞0，根据斜率公式得k AB ＝3＋12a －2＝2a －1＞0， ∴a ＞1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB ＜0，即2a －1＜0， ∴a ＜1.当倾斜角为直角时，A ，B 两点的横坐标相等．即2a ＝2，∴a ＝1.迁移与应用 m ≤5 解析：当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在，故m ＝5；当θ＞90°时，倾斜角为钝角，l 的斜率k ＜0，即2m －5＜0，解得m ＜5.综上m 的取值范围是m ≤5. 活动与探究4 思路分析：先用k AB ＝k BC 建立关于a 的方程，然后解方程求实数a 的值．解：∵A ，B ，C 三点共线，且3≠－2，∴BC ，AB 的斜率都存在，且k AB ＝k BC .又∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75， ∴9a ＋75＝53－a ，解得a ＝2或a ＝29. 迁移与应用证明：∵k AB ＝3＋13－1＝2，k BC ＝5－34－3＝2， ∴k AB ＝k BC .又直线AB 和BC 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．C 2．D 3．A4．解：∵A ，B ，C 三点共线，3≠32， ∴AB ，AC 的斜率都存在，且k AB ＝k AC .∴－3－032－3＝2a －0a －3，解得a ＝2. 5．解：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 又l 过点P (1,2)和Q (x,0)，则k ＝2－01－x ＝33，解得x ＝1－2 3.。

2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..

第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。

第2章 1.1 直线的倾斜角和斜率

§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理倾斜角的概念(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件①直线上的一个点．②这条直线的方向．(2)直线的倾斜角知识点二直线的斜率思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在．图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率与倾斜角的对应关系(3)由两点确定的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1( x 1≠x 2)．1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×)2．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(×)类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，倾斜角为α－140°考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，直线l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答此类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 类型二直线的斜率例2 (1)过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′的斜率为________．考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案3解析因为直线l 的斜率为33，所以直线l 的倾斜角为30°，所以直线l ′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l ′的斜率为tan 60°＝ 3.(2)如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3，2)，又直线l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3，2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.反思与感悟 (1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得． (2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．跟踪训练2 经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( )A ．4B ．3C ．1或3D ．1或4 考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案 B解析由5－m 2m －2＝12，解得m ＝3.类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2，1)，B (－2，m )，C (6，8)在同一条直线上，求m 的值．考点三点共线题点三点共线求参数的值解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．考点三点共线题点三点共线的判断及应用答案 12解析由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知点A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，k AB ＝3－23＋4＝17，k AC ＝3＋23－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④ 考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 A解析由倾斜角的定义可得．2．已知点A (a ，2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝3，b ∈R 且b ≠1考点题点答案 D解析由已知a ＝3，又A ，B 为不同的两点，故b ≠1.3．若经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 考点斜率的计算公式题点由斜率公式求参数的值答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.4．若三点A (2，3)，B (3，2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m 的值为________．考点三点共线题点三点共线求参数的值答案 92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得 k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.5．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1) 考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用答案 (0°，90°]解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：一、选择题 1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点直线的倾斜角题点直线倾斜角的概念的理解答案 C解析 ①②③正确．2．a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )的直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．90° D ．135° 答案 B解析 ∵k ＝b ＋c －(a ＋c )b －a ＝1，∴倾斜角为45°.3．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120°D ．30°或150°考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算答案 C解析由题意知，|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.4．下列各组中，能构成三角形的三个顶点的坐标为( )A ．(1，3)，(5，7)，(10，12)B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5)C ．(0，2)，(2，5)，(3，7)D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7)考点三点共线题点三点共线的判断及应用答案 C解析 A ，B ，D 三个选项中三点均共线．5.若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 D解析由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2. 6．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180°D ．0°<α<180°考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 C解析直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°<α<180°.7．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－k C.1k D ．－1k考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案 B解析设点P 的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知，PM 斜率k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B. 8．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.二、填空题9．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 2解析如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．已知三点A (a ，2)，B (3，7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点三点共线题点三点共线求参数的值答案 2或29解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75， ∴a ＝2或29. 11．已知点A (3，4)，在y 轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算答案 (0，－2)解析设B (0，y )，则y －40－3＝2，即y ＝－2，即B 点的坐标为(0，－2)． 12．若经过点A (1－t ，1＋t )和点B (3，2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是________．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算答案 (－2，1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.三、解答题 13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (1，1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算解由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1，倾斜角为135°；因为点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点M (m ＋3，2m ＋5)，N (m －2，1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6，2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题意知，tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

高二数学复习考点知识与题型专题讲解7---直线的倾斜角与斜率

高二数学复习考点知识与题型专题讲解第二章直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2022·全国·高二专题练习）对于下列选项中错误的是（） A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒ B ．若k 是直线的斜率，则R k ∈C ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角2．（2022·全国·高二专题练习）下列四个命题中，正确的有（） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ3．（2022·江苏·高二单元测试）已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（）A0B ．0C．题型二：直线的斜率4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率是（）A．．5．（2022·福建宁德·高二期末）若直线经过两点)(,2A m ，)(1,1B 且倾斜角为45°，则m 的值为（） A ．2B ．32C ．1D ．32-6．20my ++=的倾斜角为23π，则m =（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2022·全国·高二专题练习）直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为（） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．（2022·全国·高二专题练习）设直线l 的斜率为k ，且1k ≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（） A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．（2022·江苏·高二）已知直线l 的方程为sin 10,x R αα-=∈，则直线l 的倾斜角范围是（）A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,,66πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭题型四：与斜率公式有关的问题10．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,3A ，()3,2B --，若直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（） A ．34k ≤或2k ≥B ．1k <C ．12k <<D ．324k <<11．（2022·吉林·四平市第一高级中学高二期末）已知直线l ()1220m y +--=的倾斜角为23π，则m =（）A ．13B ．1C ．32D ．－112．（2022·江苏·南师大二附中高二期末）过两点()222,3A m m +-、()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为45，则m 的值为（） A ．2-或1-B ．1-C ．12D ．2-题型五：斜率公式的应用13．（2022·全国·高二）已知正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B ，顶点C 在第一象限，若点(),P x y 是ABC 内部及其边界上一点，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．32C ．23D14．（2022·江苏·高二专题练习）已知点()2,1A -，()3,B m ，若1m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则直线AB 的倾斜角α的取值范围为（） A ．{}60150αα︒≤≤︒B ．{060αα︒≤≤︒或}150180α︒≤<︒C ．{6090αα︒≤<︒或90150}α︒<≤︒D ．{6090αα︒≤<︒或150180}α︒≤<︒15．（2020·湖北·宜城市第三高级中学高二期中）已知点()23A -，，()32B --，，直线l 方程为10kx y k +--=，且与线段AB 相交，求k 的取值范围为（） A ．34k ≤-或4k ≥B ．4k ≤或34k ≥C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤-题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-17．（2022·全国·高二专题练习）设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤18．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）A ．1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．()1,5,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【双基达标】一、单选题19．（2022·全国·高二课时练习）将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l 的斜率是（） A ．32-B ．4C ．1D ．1220．（2022·全国·高二课时练习）设直线l 的斜率为k ，且1k -≤<l 的倾斜角α的取值范围为（）A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭21．（2022·全国·高二课时练习）设P 为x 轴上的一点，(2,1),(7,5)A B -，若直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，则点P 的坐标为（）A ．(10)-，B ．()3,0-C ．(20)，D ．(4,0) 22．（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．（2022·江苏·高二阶段练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[]1,1-B ．(,1]-∞-C ．()1,1-D ．[1,)+∞24．（2022·江苏·高二）已知两点()2,3A -，()3,2-B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．144k -≤≤-B ．4k ≤-或14k ≥-C ．344k -≤≤D ．344k -≤≤25．（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（）． A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为9026．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 过点(2,3)A a 和点(2,1)B -，分别求出满足下列条件的a 的取值或取值范围. (1)直线l 的倾斜角为直角； (2)直线l 的倾斜角为锐角； (3)直线l 的倾斜角为钝角.【高分突破】一：单选题27．（2022·全国·高二专题练习）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．(2,3)-B ．(2,0)(0,3)-⋃C ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对28．（2022·江苏·高二课时练习）已知点Q (－2，0)，A (1，B (1，P为动点．当点P 在线段AB 上运动时，求直线PQ 的倾斜角的取值范围．29．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知动直线:20l x my +-=的倾斜角的取值范围是,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（）A ．()1-B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．( 30．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知直线1l 的斜率为1，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，则直线2l 的斜率为（）A ．－1B ．．131．（2022·全国·高二课时练习）直线m 过点()(00O A ，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．．-C ．2D ．-232．（2022·全国·高二专题练习）已知直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B．60°C．120°D．150°33．（2022·辽宁大连·高二期末）若直线l 经过()0,0O ，(A 两点，则直线l 的倾斜角为（） A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π34．（2022·青海海东·高二期末（理））已知直线l 经过(A -，(3,B -两点，则直线l 的倾斜角是（） A ．30°B．60°C．120°D．150°35．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高二期中）设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（） A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭36．（2021·吉林·长岭县第三中学高二阶段练习）直线l 过点()0,1P -且斜率为k ，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则k 的取值范围为（） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．[]1,1-二、多选题37．（2022·全国·高二）下列四个命题中，错误的有（） A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ> B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ38．（2022·全国·高二课时练习）下列结论中正确的有（） A ．两条相交直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦B ．若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-C ．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为1-D ．若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α-=+ 39．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中，表述正确的是( )A ．向量(m =-在直线l 上，则直线l 的倾斜角为56πB ．若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角为4πθ-C ．若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，则代数式32y x ++的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则()12sin 1θθ-=是12l l ⊥的充要条件40．（2022·江苏·高二）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（） A ．45α+B ．45α-C ．135α-D ．135α-41．（2021·广东·江门市第二中学高二阶段练习）已知()1,2A -，()2,1B ，若直线l 恒过点()0,1-且与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值可能是（） A ．12-B ．2-C ．0D ．242．（2021·广东·深圳实验学校高二阶段练习）下列命题中，是假命题的是（）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角，则斜率k 的取值范围是([),1,-∞⋃+∞D ．若直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α43．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二期中）已知两点()23M -，，()32N --，，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．4k ≤-B ．34k ≥C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤44．（2021·江苏·高二专题练习）已知点()()2,3,3,2P Q -，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则实数a 可能取值是（） A ．1-B ．1C ．14D ．4-三、填空题45．（2022·全国·高二课时练习）若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率为______．（写出任意一条边所在直线的斜率即可） 46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若45135α<<，则k 的取值范围为______.47．（2022·全国·高二专题练习）()P x y ，在线段AB 上运动，已知()()2452A B -，，，，则11y x ++的取值范围是_______. 48．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过(3,1),(4,21)++A m B m 两点且倾斜角为5π6，则m 的值为_____.49．（2022·江苏·高二专题练习）若点(,)M x y 在一次函数28y x =-+的图像上，当[]2,5x ∈时，则211y x ++的取值范围是______． 50．（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．51．（2022·江苏·高二专题练习）已知三个不同的点()2,A a ､()1,21B a a ++､()4,1C a --在同一条直线上，则实数a 的值为___________.四、解答题52．（2022·全国·高二课时练习）已知坐标平面内三点()1,1A -，()1,1B ，()1C ． (1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为ABC 的AB 边上一动点，求直线CD 的倾斜角的取值范围．53．（2022·江苏·高二）已知直线l ：()120kx y k k -++=∈R ，()3,1P -，()3,3Q -，若直线l 与线段PQ 恒有公共点，求k 的取值范围.54．（2022·江苏·高二课时练习）（1）当m 为何值时，经过两点,6A m ，1,3B m 的直线的斜率是12？（2）当m 为何值时，经过两点(),2A m ，(),21B m m ---的直线的倾斜角是60°？（3）当m 为何值时，经过两点()1,A m ，()1,3B m -的直线的倾斜角是钝角？55．（2022·江苏·高二单元测试）已知两点()()1,2,,3A B m -，求： (1)直线AB 的斜率k ；(2)已知实数1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线AB 的倾斜角α的范围【答案详解】1．D 【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论．【详解】解：对于A ：α是直线l 的倾斜角，则0180α︒≤<︒，故A 正确；对于B ：由正切函数的值域可得斜率可为一切实数，故B 正确；对于C 、D ：任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C 正确；D 错误．故选：D2．B 【分析】根据直线的倾斜角概念及范围，以及倾斜角和斜率的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，所以A 、C 均错误；B 正确；若直线的斜率4tan 3k π=3π，所以D 错误；故选：B3．A 【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =120°. 要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°，只需直线2l 的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0故选：A4．Bα，将直线绕着原点逆时针旋转90︒，得到新直线的斜率为tan(90)α+，化简求值即可得到答案.【详解】由30x =α，则tan α=将直线30x =绕着原点逆时针旋转90︒，则sin(90)cos 1tan(90)cos(90)sin tan αααααα++===-=+-故新直线的斜率是故选：B.5．A 【分析】求出直线的斜率，再借助斜率坐标公式计算作答. 【详解】因直线的倾斜角为45，则此直线的斜率tan 451k ==，而直线过点(,2),(1,1)A m B ，因此，2111k m -==-，解得2m =，所以m 的值为2. 故选：A6．A 【分析】根据直线方程的特征和斜率的定义即可求解.20my ++=的斜率为2tan 13m π=⇒=. 故选：A.7．D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线sin 10x y α-+=的倾斜角为θ，可得[]tan sin 1,1θα=∈-，所以θ的取值范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选：D8．A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.【详解】因为直线l 的斜率为k ，且1k <≤，tan 1α≤，因为[0,π)α∈， 2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A.9．B 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l 的方程为sin 10x α+-=，所以y x =+ 即直线的斜率k =，由1sin 1α-≤≤.所以k ≤≤，又直线的倾斜角的取值范围为0,，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B10．A 【分析】首先求出直线PA 、PB 的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：直线PA 的斜率31221PA k -==-，直线PB 的斜率213314PB k --==--，因为直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，结合图象可得直线l 的斜率k 的取值范围是34k ≤或2k ≥．故选：A ．11．A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m . 【详解】因为直线l 的倾斜角为23π，所以斜率2tan33k π==-33m=-13m =.故选：A12．D 【解析】利用斜率公式可得出关于实数m 的等式与不等式，由此可解得实数m 的值.【详解】由斜率公式可得22223121210AB m m k m m m m ⎧--==⎪+-⎨⎪+-≠⎩，即22320210m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.故选：D.13．B 【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正ABC 的顶点()1,1A ，()1,3B 且顶点C 在第一象限，故顶点C 的坐标为(132)，1yx +可看作ABC 内部及其边界上一点与点()1,0-的连线斜率，当P 运动到点()1,3B 时，直线的斜率最大，故1y x +的最大值为33112=+故选：B.14．B 【分析】根据斜率的公式结合m 的范围求解出倾斜角的正切值取值范围，由此确定出倾斜角的取值范围.【详解】根据题意，直线AB 的斜率1132m k m +==+-，由331m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得k 的取值范围为33⎡⎢⎣，即tan α的取值范围为33⎡⎢⎣．又0180α︒≤<︒，则060α︒≤≤︒或150180α︒≤<︒．故选：B ．15．A 【解析】直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出,PA PB 的斜率，从而得出直线l 的斜率的取值范围【详解】解：因为直线l 方程为10kx y k +--=，可化为(1)10k x y -+-=，所以直线l 过定点(1,1)P ，且与线段AB 相交，如图所示，则直线PA 的斜率为31421PA k --==--，直线PB 的斜率为213314PB k --==--，则直线l 与线段AB 相交时，它的斜率k 的取值范围为4k ≤-或34k ≥，故选：A16．A 【分析】画出图象，对a 进行分类讨论，结合图象求得a 的取值范围. 【详解】直线20x ay +-=过点()2,0C ，画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-，由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意，当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a-，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A17．A 【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】如图所示：312134,21314PA PB k k ----==-==---，要想直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则34k ≥或4k ≤-，故选：A18．A 【分析】分别求出,PB PA k k ，即可得到答案. 【详解】直线:12l yk x 经过定点()1,2P -.因为()()2,3,2,1A B --，所以()()()321215,21213PA PB k k -----====----, 所以要使直线:12l yk x 与线段AB 没有公共点，只需：PB PA k k k <<，即153k -<<.所以k 的取值范围是1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A19．A 【分析】设直线l 上任意一点()00,P x y ，再根据题意可得()2002,3P x y +-也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.【详解】设直线l 上任意一点()00,P x y ，将直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，则P 点移动后为()1002,P x y +，再沿y 轴负方向平移3个单位，则1P 点移动后为()2002,3Px y +-． ∵2,P P 都在直线l 上，∴直线l 的斜率00003322k y y x x --=-+-=．故选：A ．20．D 【分析】根据tan k α=，利用斜率的范围，求角的范围.【详解】直线l 的倾斜角为α，则[)0,a π∈，由13k -≤<1tan 3α-≤<∴30,,34a πππ⎡⎫⎡⎫∈⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭．故选：D ．21．B 【分析】设(,0)P x ，根据直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍，列出方程，即可求得答案.【详解】设(,0)P x ，而(2,1),(7,5)A B -，则12PA k x =--，57PB k x=-， ∵直线PA 的斜率是直线PB 的斜率的2倍， ∴15227x x=⨯---，解得3x =-，即点P 的坐标为()3,0-，故选：B ．22．C 【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-．由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-，因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C23．A 【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.【详解】如图所示，直线PA的斜率为21110PAk-+==--，直线PB的斜率为11120PBk+==-．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率[1,1]k∈-．故选：A．24．B【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围. 【详解】如下图示，当直线l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k≤-或14k≥-.故选：B25．D 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A ，当π2α=时，直线的斜率不存在，故A 不正确；对于B ，当π4α=-时，斜率为1-，倾斜角为3π4α≠，故B 不正确；对于C ，平行于x 轴的直线的倾斜角为0，故C 不正确；对于D ，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90是正确的. 故选：D 26．(1)a ＝1； (2)()1,+∞； (3)(),1-∞.【分析】（1）解方程2a ＝2即得解；（2）解不等式201a >-即得解；（3）解不等式201a <-即得解. （1）解：当直线l 的倾斜角为直角时，2a ＝2，解得a ＝1. （2）解：当1a ≠时，直线l 的斜率()312221k a a --==--. 令201a >-，则1a >，所以直线l 的倾斜角为锐角时，a 的取值范围为()1,+∞. （3）解：当1a ≠时，令201a <-，则1a <，所以直线l 的倾斜角为钝角时，a 的取值范围为(),1-∞. 27．C 【分析】过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，利用数形结合，得到直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，进而求解即可【详解】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥kBC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥ 或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．28．[0°， 30°]∪[150°， 180°)．【分析】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M ，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ 的倾斜角为α，线段AB 与x 轴的交点为M .当点P 在线段AM (含端点)上时，因为30AQM ∠=︒，所以0°≤α≤30°；当点P 在线段BM (含端点B 但不含端点M )上时，因为30BQM ∠=︒，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为[0°， 30°]∪[150°， 180°)． 29．B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得113m<-<m 的范围. 【详解】由题设知：直线斜率范围为3)，即113m <-<31m -<<故选：B.30．C 【分析】根据直线1l 的斜率求出其倾斜角可求得答案. 【详解】设直线1l 的倾斜角为α，所以tan 1α=，因为0180α≤<，所以45α=，因为直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小15°，所以直线2l 的倾斜角为30，则直线2l 的斜率为3tan 303=31．B 【分析】由倾斜角和斜率的定义得tan OA k α=，tan 2k α=，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，tan OA k α='m 的倾斜角为2α，故22tan tan 21tan1k ααα====---故选：B32．B 【分析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线:l y kx =的方向向量为(，则直线l 的斜率k =l 的倾斜角90α≠，于是得[)tan 0,ααπ∈，解得60α=，所以直线l 的倾斜角为60. 故选：B33．B 【分析】根据直线上两点求出斜率，从而可得倾斜角.【详解】解：由直线l 经过()0,0O ，(A 两点，得直线的斜率k = 所以直线l 的倾斜角为3π. 故选：B.34．C 【详解】设直线l 的倾斜角为α，由题意可得直线l 的斜率k ==tan α=∵)0,180α⎡∈⎣，∴直线l 的倾斜角为120︒，35．D 【分析】求出直线20ax y ++=经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D36．D 【分析】作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，若l 与连接两点()1,2A -，()2,1B 的线段有公共点，则直线l 的斜率满足PA PB k k k ≤≤，因为1,1PA PB k k =-=，所以k 的取值范围为[]1,1-. 故选：D37．ACD 【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan 33k π==3π，故D 错误；故选：ACD38．ABD 【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A ：两条相交直线时，其所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ：若两条相交直线所成的角为α，其法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-，故B 正确；对于C ：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C 不正确；对于D ：设直线11y k x b =+的倾斜角为1θ，直线22y k x b =+的倾斜角为2θ，则1122tan ,tan k k θθ==，所以()1221121212tan tan tan tan 1+tan tan 1k kk k θθαθθθθ--=-==+，故D 正确，故答案为：ABD.39．AC 【分析】A ：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B ：当θ＜4π时，4πθ-＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C ：3(3)2(2)y y x x +--=+--可看作(x ，y )与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D ：两直线垂直，则122πθθ-=，据此即可判断．【详解】①向量()3,3m =-在直线l 上，则直线l 的斜率为33-，故直线倾斜角为56π，故A 正确；②若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为θ，直线l 绕点A 顺时针旋转4π后得直线1l ，则4π≤θ＜π时，直线1l 的倾斜角为4πθ-；当0≤θ＜4π时，直线1l 的倾斜角为π＋(4πθ-)＝34πθ+；故B 错误； ③若实数x 、y 满足3y x =-+，11x -≤≤，设A (－1，4)，B (1，2)，则代数式3(3)2(2)y y x x +--=+--表示线段AB 上任意一点(x ，y )和点C (－2，－3)连线的斜率，由图可知，[]3(3),2(2)BC AC y y k k x x +--=∈=+--5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； ④若直线1l 、2l 的倾斜角分别为1θ、2θ，则10θπ≤<，20θπ≤<，20πθ-<-≤， ∴12πθθπ-<-<，则()1212sin 12πθθθθ-=⇒-=12l l ⇒⊥；当12l l ⊥时，121222ππθθθθ-=⇒-=±；故()12sin 1θθ-=是12l l ⊥充分不必要条件，故D 错误﹒ 故选：AC ﹒40．AC 【分析】分别在0135α≤<和135180α<<求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-. 故选：AC.41．AC 【分析】设(0,1)P -，求出,AP BP k k ，由数形结合求解即可. 【详解】设(0,1)P -, 则121(1)1,10120AP BP k k -+--==-==--，如图，由图可知，当11k -≤≤时，直线l 与线段AB 相交，故选：AC42．ABD 【分析】利用正切函数的图象判断选项AC 的真假； B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；举反例说明选项D 错误.【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B. 若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C. 若直线倾斜角243，，则斜率k 的取值范围是([),31,-∞⋃+∞，所以该选项正确； D. 若直线的斜率为7tan 3π，则但是直线的倾斜角为不是73π，而是3π，所以该选项错误. 故选：ABD43．AB 【分析】由题可得PM k k ≤或PN k k ≥，即可求出. 【详解】解：31421PM k --==--，213314PN k --==--，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则PM k k ≤或PN k k ≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是：4k ≤-或34k ≥．故选：AB ．44．AC 【分析】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，利用斜率计算公式可得AP k 和AQ k ，由直线20ax y ++=与线段PQ 相交，利用斜率关系即可求出a 的范围，进而结合选项即可求出结果.【详解】直线20ax y ++=过定点()0,2A -，斜率为a -，321202AP k -+==--，22433AQ k +==，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，由图象可知，1423a--，则4132a-，符合条件的为选项AC ．故选：AC ．45．－2(答案不唯一)【分析】根据图形结合斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切公式，求出正方形某边的斜率即可.【详解】由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形OABC ，其中对角线OB 所在直线的斜率为3．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 3θ=，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OC 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 451tan 451tan tan 452OA k θθθ-︒=-︒==+︒，()tan tan 45tan 4521tan tan 45OC k θθθ+︒=+︒==--︒，故答案为：－2（答案不唯一）．46．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】分4590α<<、90α=、90135α<<三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可求得k 的取值范围.【详解】由正切函数的性质知，当4590α<<时，()tan 1,k α=∈+∞；当90α=时，k 不存在；当90135α<<时，()tan ,1k α=∈-∞-. 综上，k 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞. 故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.47．15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可【详解】11y x ++表示线段AB 上的点与()11C －，－连线的斜率，因为4(1)52(1)1,2(1)35(1)6AC BC k k -----====----- 所以由图可知11y x ++的取值范围是15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦48．3,A B 两点求得得斜率与倾斜角的正切值5tan π6相等可求得m .【详解】因直线AB 的倾斜角为5π6，则其斜率53tan π6==k又由(3,1)+A m ，42()1B m +,，则AB 的斜率(21)(1)43+-+==-m m k m ，则有3m = 故答案为：349．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由题意画出图形，再由211y x ++的几何意义，即线段AB 上的动点M 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍求解；【详解】解：如图，函数28y x =-+，[]2,5x ∈表示线段AB 其中(5,2)A -，(2,4)B ，1221211y y x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=++的几何意义为线段AB 上的动点(),M x y 与定点11,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的2倍，1212514PAk -+==-+，1432212PB k +==+，∴1342PM k -≤≤∴211y x ++的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦50．①②③【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误. 故答案为：①②③.51．12-或5【分析】根据斜率相等可求出结果.【详解】因为142AC a a k --=--216a -=，所以该直线斜率存在，又211121AB a a a k a a +-+==+--，根据题意得21161a a a -+=-，解得12a =-或5a =. 故答案为：12-或5.52．(1)0AB k =，BC k AC k =，直线AB 的倾斜角为0，直线BC 的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．(2),63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可. （1）由斜率公式，得1101(1)AB k -==--，311321BC k +-==-，31132(1)3AC k +-==--，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0, ，所以直线AB 的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为3π，直线AC 的倾斜角为6π．（2）如图，当直线CD 绕点C 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与线段AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时CD k 由AC k 增大到BC k ，所以CD k 的取值范围为3,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即直线CD 的倾斜角的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．53．(]2,2,5⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先判断直线l 所过定点，再数形结合求k 的取值范围【详解】()12012kx y k y k x -++=⇒-=+故直线过定点()2,1T - 如下图所示：()112235TPk --==---，()13223TQk -==---- 若直线l 与线段恒有公共点，则TQ k k ≤或TP k k ≥即(]2,2,5k ∞∞⎡⎫∈--⋃-+⎪⎢⎣⎭54．（1）2-；（23(31)+（3）2m <或3m >．【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得；（2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于tan 60︒可得；（3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得．【详解】（1）由题意36121m m-=+，2m =-；（2）由题意221tan 60m m m ++=︒+，解得3(31)m +=；（3）由题意3011AB m k m -=<-+，解得2m <或3m >．55．(1)答案见解析(2)2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分斜率存在和不存在两种情况求解即可，（2）利用不等式的性质求出斜率的范围，再由正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 (1)当1m =-时，直线AB 的斜率不存在，当1m ≠-时，直线AB 的斜率321(1)1k m m -==--+，(2)当1m =-时，2πα=，当1m ≠-时，11k m =+，因为1m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1m ≠-，所以1m ≤+≤10m +≠，所以11m ≤+11m ≥+tan α≤tan α，所以2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，综上，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

2-1-1 直线的倾斜角和斜率课件(北师大版必修二)

且直线 AB，BC 有共同的点 B，所以 A，B，C 三点共线．
题型三
直线的倾斜角和斜率的范围问题
【例 3】 (12 分)已知直线 l 过 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)、 B(3,0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围．审题指导当直线绕定点由与 x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)，按顺时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)．【解题流程】画出草图 → 求出斜率的边界值kPA、kPB → 结合倾斜角的变化，分析l斜率的变化 → 下结论
1 ②当 m＜1 时，k＝＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是 m－1 (90° ，180° )．直线的斜率是指其倾斜角 α 的正切值， α＝90° 当时，其正切值 tan α 是没有意义的，这时，我们认为直线的斜率不存在，在解题时，切莫忽视这一点．
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活页限时训练
[规范解答] 如图，直线 l 在 PA 与 PB 之间变动．若设 PA 与 PB 的倾斜角分别是 α 和 β，则直线 l 的倾斜角由 α 增至 β，可以由 PA 与 PB 的斜率求出 l 的斜率的取值范围． 1 直线 PA 的斜率是 kPA＝5，直线 PB 的斜率是 kPB＝－2.(4 分) 当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90° ，斜率的取值范围为[5，＋∞)．(7 分) 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90° 增至 β，
题型二
共线与斜率的关系
【例 2】已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数 a 的值． [思路探索] 由于三点共线，其中任意两点都可表示出这条直线的斜率，故可以按照求 kAB，求 kBC，再由 kAB＝kBC，求 a 的顺序求解．

课件2：2.1.1　倾斜角与斜率

(2)设直线 l2 的倾斜角为 α，α＝15°＋75°＝90°，
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案：(1)D (2)90°
方法规律 1．解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
探究题 3 解析：直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，
k＝tan α(a≠90°)．当 0°≤α<90°时，倾斜角越大，斜率越大；当 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内．
根据“直线的倾斜角越大，斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k＝tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0° __k_＝__0_
0°<α<90° α＝_9__0_°__
__k_>_0__
斜率不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__，斜率 k 的
取值范围是_(_－__∞__，__＋__∞__)______.
当 135°≤α<180°时，倾斜角为 α－135°

直线的倾斜角和斜率

必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。

2020-2021学年数学第2章 §11.1直线的倾斜角和斜率含解析

2020-2021学年北师大版数学必修2教师用书：第2章§1 1.1直线的倾斜角和斜率含解析§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率学习目标核心素养1。

理解直线的倾斜角和斜率的概念．（重点）2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．（重点）1。

通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养．2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养。

1．直线的确定及直线的倾斜角（1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．（2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．②范围:0°≤α〈180°.思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？提示：平行或重合．2．直线的斜率(1）直线的斜率：直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝错误!(2)经过两点的直线斜率的计算公式：经过两点P1（x1,y1），P2（x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k ＝错误!。

(3)斜率与倾斜角的关系：图示倾斜角（范围）α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率（范围)k＝0k＞0不存在k＜0思考2:所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少?提示:不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°。

思考3：在同一直线(与x轴不重合）上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗?提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．错误![k＝tan 60°＝错误!.]2．经过两点A（3,2），B（4，7)的直线的斜率是________．5［k＝错误!＝错误!＝5.]3．经过两点P(1，－4）,Q（－1,－4）的直线的倾斜角是________．0°[k＝tan α＝错误!＝错误!＝0,∴α＝0°。

2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2

【解析】当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－－23－－11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在，又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值．解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在，又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－－2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0，解得 a＝72或 a＝2.

2.1.1直线的倾斜角和斜率

答案：
(1)D
第二章解析几何初步栏目导引
直线的斜率 (1)已知过两点 A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为 135° ，则 y＝ ________； (2)过点 P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________； (3)已知过 A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为 1，则 m 的值为________．
第二章
解析几何初步
栏目导引
§1 1．1
直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率
第二章
解析几何初步
栏目导引
第二章
解析几何初步
栏目导引
升高量日常生活中，常用坡度坡度＝前进量表示倾斜程度．例如，“进
2 升 3”与
3 2 “进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2.
答案：
(1)－5
(2)1
(3)0
第二章
解析几何初步
栏目导引
[规律方法]
求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法
(1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0° <α<90° <α<180° ⇔k＝0；0° ⇔k>0；90° ⇔k<0；α＝90° ⇔斜率不存在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解．
(2)直线 l 的倾斜角的范围
α 表示，其取值范 .倾斜角通常用___ 当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0°
0°≤α＜180° . 围为_______________
栏目导引
第二章
解析几何初步
[强化拓展] (1)直线的倾斜角是一个几何概念，它只是从“形”的角度刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度． (2)平面直角坐标系中每一条直线都有唯一确定的倾斜角，而且倾斜程度相同的直线其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等．

高中数学必修2课件：第二章 1 直线的倾斜角和斜率

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． (3)斜率公式与两点的顺序无关． ( × ) ( × ) ( √ )
2．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率 y1 x2－x1 . k＝_________
[点睛]
直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴 (平行于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
tan α 叫作直线的斜率． ______
(2)斜率与倾斜角对应关系：图示倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α ＝ 0°
90° 90°＜α＜180° 0°＜α＜90° α＝____
k＝0 ______
k＞0 ______
不存在
k＜0 _____
(3)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：
1．1
直线的倾斜角和斜率
预习课本P61～64，思考并完成以下问题
(1)直线倾斜角是怎么定义的？
(2)过两点的直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何？
1．直线的倾斜角 (1)概念：在平面直角坐标系中，直线 l 与 x 轴相交，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角． (2)范围：0°≤α＜180° ，当直线 l 和 x 轴平行时，倾斜角为 0°. 2．直线的斜率 (1)概念：斜率 k 是直线倾斜角 α(α≠90°)的正切值，通常把

2.1.1 直线的倾斜角与斜率-新教材高二数学人教A选择性必修第一册第2章

答案
知识点二直线的斜率与倾斜角的关系
思考1
在日常生活中，我们常用“ 升高量” 前进量
表示“坡度”，图(1)(2)
中的坡度相同吗？
答案不同，因为32 ≠22
答案
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β.
答案
解析答案
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围. 解如图所示：当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值. 解由题意可知kAB＝53－－11＝2，kAC＝7a－－11＝a－6 1 ，kAD＝－b－ 1－11＝b－－21. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上，所以k＝2＝a－6 1 ＝b－－21 ，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
解析答案
类型三斜率与倾斜角的综合应用例3 (1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；解 ∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kp1p2 ＝kp2 p3＝k， ∴5x2－－y21 ＝31－－x52 ＝1 ，解得x2＝7，y1＝0.
解析答案
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_0_°__<_α_≤__9_0° (其中m≥1).

2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件(北师大必修2)(2)

2．斜率的概念及斜率公式把一条直线的倾斜角不等于90°的角α的定义正切值叫做这条直线的斜率，通常用k表
示，即k＝ tan α
当α＝0°时，k ＝0 取值范当0°＜α＜90°时，k ＞0 围当90°＜α＜180°时，k ＜0 当α＝90°时，斜率不存在
过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)P2(x2，y2)(x1≠x2)
[通一类] 3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．
解：∵A，B，C 三点共线，且 3≠－2， ∴BC，AB 的斜率都存在，且 kAB＝kBC. 7－2 －9a－7 9a＋7 5 又∵kAB＝＝，kBC＝＝， 5 3－a 3－a －2－3 9a＋7 5 ∴ ＝， 5 3－a 2 解得 a＝2 或 a＝ . 9
[读教材·填要点]
1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的概念．
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，
把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l的倾斜角． (2)倾斜角的取值范围．直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180° .当直线l和x轴
平行时，倾斜角为0°.
ห้องสมุดไป่ตู้通一类]
1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕
点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α ＋45°，试求α的取值范围．解：由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45° 都是直线的倾斜角， ∴0°＜α＜180°且0°≤α＋45°＜180°，解得 0°＜α＜135°.
是否相等，若相等，则斜率不存在，倾斜角是90°；若不相等，才能用斜率公式求斜率．

1.1 直线的倾斜角与斜率

坡度

升高量前进量
设直线的倾斜程度为K
kAC
AB AC
tan
kAD
BD AD
tan
A
D
C升
高

量
B
前进量
1、直线斜率的定义：
a 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做
这条直线的斜率(slope).
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
例如：
a 30 k tan30
o
ao
x
x
C
D
2、直线倾斜角的范围：
当直线 l 与 x轴平行或重合时，
我直们线规的定倾它斜的角倾的斜取角值为范围0为，：0因此a， 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
y
y
y
a
y
a
o
o
o
o
x
x
x
x
零度角
锐
直
钝
角
角
角
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.
3
3
a 45 k tan 45 1
a 60 k tan 60 3
y
当a 90时
k ?
o
x
思考：当直线与x 轴垂直
时，直线的倾斜角是多少？
a 90 tan a(不存在)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的斜率
k tan
锐角
能不能构造
y
直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系里
点用坐标表示:
y
p(x, y)

2.1.1倾斜角与斜率

变式练习
1.经过A( 2,0), B( 5,3)两点的直线的倾斜角（）. A．45° B．135° C．90 ° D．60 °
2.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于13
D.1 或 4
课堂小结
1、空间直角坐标系的概念． 2、空间直角坐标系中的点和向量的坐标的求法． 3、空间直角坐标系中具有特殊位置的点和向量的坐标的一般形式． 4、空间直角坐标系中的点的对称性．
课后作业
课时作业（四）A 组：基础巩固1-6 B组：综合运用7-9 C组：11、12
tan y1 y2 y2 y1
x1 x2 x2 x1
我们把倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.即k=tanα
tan y2 y1 (或 tan y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
注意：(1) 斜率与两点的顺序无关; (2) 直线上任意两点可以表示斜率,不需要求出倾斜角； (3) 倾斜角是90°的直线没有斜率
α
P
x
例题与练习
下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( A)D
y
y
x x
o
a A
y
o
Ca
x
o
B
a
y
a
o
D
x
问题三、生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？
探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α （1）已知直线l经过O(0,0)，P( 3 ,1)，α与O,P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线l经过P1(-1,1)，P2( 2 ，0)，α与P1 ，P2的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线l经过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，α与P1， P2的坐标又有什么关系？

2.1.1倾斜角与斜率课件(人教版)

(x1≠x2)的坐标有如下关系：
2 − 1
=
2 − 1
斜率：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常
用小写字母 k 表示，即：
=
倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是 90°的直线都有斜率.
由于正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.依次，
设 A，B 为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.所以，两点确定
一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
在平面直角坐标系中，
Hale Waihona Puke 经过一点 P 可以作无数条直线 l1，l2，l3，…，它们组成
一个直线束，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线的
向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不
同.如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于 x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与 x
轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向
上的方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.图中直线 l1 的倾斜角1
2 −1
2 − 1
同样，如图，当向量2 1 的方向向上时， 2 1 = 1 − 2 , 1 − 2 .
−
−
也有tan = 1 − 2 = 2 − 1
1
2
2
1
【思考】当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
综上所述，直线 l 的倾斜角与直线 l 上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
我们可以用斜率表示倾斜角不等于 90°的直线相对于 x 轴的倾斜程度，