2011—2012学年度南昌市高三第二次模拟测试(市二模)卷理科数学试卷(含答案)

2011—2012学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学（理）2011—2012学年度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5，共20分） 11．．6π13．214．三、选做题（本大题共5分）15.①5(7)()3-∞-+∞ ，，； ② 四、解答题（本大题共6小题，共75分）16.解：（1）x x x f 2sin 2)62sin(2)(-+-=π)2cos 1()6sin 2cos 62(sin 2x x xcox --+-=ππ )2cos 212sin 23(2cos 1x x x +-+=12sin 232cos 21+-=x x1)32cos(++=πx …………………………………………………………………………4分[0,]2x π∈ ，42[,]333x πππ∴+∈，1cos(2)[1,]32x π∴+∈-，所以函数)(x f 的值域是3[0,]2；…………………………………………………………6分（2）由1)2(=B f 得11)3cos(=++πB ,即0)3cos(=+πB又因为π<<B 0,所以πππ3433<+<B所以23ππ=+B ,即6π=B . ………………………………………………………………8分因为3,1==c b ，所以由正弦定理C c B b sin sin =,得23sin =C ，故ππ323或=C当22322=+===c b a A C ，从而时，ππ当16632=====b a B A C ，从而，又时，πππ 故a 的值为1或2. …………………………………………………………………12分17.解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A 种蔬菜才不亏本 所以农民种植A 种蔬菜不亏本的概率是21127343318P =⨯+⨯=；……………………6分 （2）按原来模式种植，设农民种植A 种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000,2000，352e ≤<5-1000，-2500.211(5000)346P ξ==⨯=，122(2000)339P ξ==⨯=，()2311000342P ξ=-=⨯=，()1112500339P ξ=-=⨯=，…………………………………………………………… 10分121150002000100025006929E ξ=⨯+⨯-⨯-⨯=500，……………………………11分设收购价格为a 元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则250070001500a ≥+， 即 3.4a ≥，所以收购价格至少为3.4元/公斤.………………12分 18．（1）证明：1//,2CF DE CF DE =，所以延长,DC EF 会相交， 设DC EF G ⋂=，则FG EF =，//,GF BA GF BA ∴=， 所以四边形ABGF 是平行四边形，//AF BG ∴，又BG Ü平面CBD//AF ∴平面CBD ；……………………6分（2）设AE 的中点为O ，2AD AE DE === ，则DO AE ⊥且DO = 又,EF AE EF ED ⊥⊥，EF ∴⊥平面ADE ，EF DO ∴⊥，DO ∴⊥平面ABFE .………………………………………………………………8分如图：以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -。

则平面ABFE 的法向量为()0,0,1m =，点,,B D G 的坐标分别为(2,1,0)B -，D ，(4,1,0)G ，………………10分设平面CBD 的法向量(,,)n x y z = ，则()()02,2,0,,00BG n x y z x y ⋅=⇒⋅=⇒+=， (()0,,020BD n x y z x y ⋅=⇒-⋅=⇒-++=令1x =，则1y =-，z =(1,1n =- ，cos ,5m n ∴<>==，平面CBD 与平面ABFE 夹角的余弦值为…………………………………12分 19．解：（1）22(1)(1)'()22(1)ax x f x ax a x x+-=---=， 0,0,'()01a x f x x >>∴>⇔> ，所以：递增区间是(1,)+∞，递减区间是(0,1)；………………………………………6分 （2）假设存在存在不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，（不妨设120x x <<），使得AB 存在“中值伴随切线”，则121212()()'()2f x f x x xf x x -+=-，………………………………………7分化简得：121212ln ln 2x x x x x x -=+-，即12112222ln 1x x x x x x ⋅-=+，……………………………8分 设函数()22ln 1x g x x x -=-+，则()()()()222114'11x g x x x x x -=-=++， 当(0,1)x ∈时，()'0g x >，即()g x 在(0,1]上是增函数，………………………10分又1201x x <<，所以()12()10x g g x <=，即12112222ln 1x x x x x x ⋅->+，与上面结论矛盾， 所以在函数()f x 的图像上是不存在不同两点,A B ，使得AB 存在“中值伴随切线”.……12分20．解：（1）由2132k k k a a a =⋅得到：2111(6)(24)a d a a d +=⋅+，所以：213612d a d =， 因为公差0d ≠，得：13a d =，即(2)n a n d =+， 所以等比数列123,,,,n k k k k a a a a 的公比是71933a dq a d===，……………………4分 得到：1(2)33n n k d d -+=⋅，即32nn k =-.…………………………………………6分（2）11933n n k a d a +=⇒=⇒=，所以：n b =，…………………7分则：222211()2n n n n b b b b +=+-=-2=232n ⨯-，所以：133222n n n S T n +-+=⨯-=3(31)2n n --………………………………………9分当n 为偶数时：1222231(81)188 n n n nn C--=+-=++⋅，能被4整除，2n 也能被4整除，所以n n S T +能被4整除.………………………………………………………………11分 当n 为奇数时，()13121n n n S T n ++=--+，111112221231(81)188 n n n n n C +++-++-=+-=++⋅能被4整除，2(1)n +也能被4整除，所以n n S T +能被4整除.………………………………………………………………12分 所以：数列{}n n S T +前100项中有100项是能被4整除的整数.…………………13分21．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d()()()()1111212n mda n m n n m m s s d a n m n mn m -+---⎡⎤⎣⎦-==++---， 同理：()112st s s da s t s t -=++--，m n s t +=+ ， ∴n m s ts s s s n m s t--=--；…………3分 （2）设,AB CD 的斜率分别为12,k k ，则221222A B A BA B x x x x p p k x x p-+==-，22C D x x k p +=， A B C D x x x x +=+ ，∴12k k =，即//AB CD ；……………………………………6分（3）A 类卷：能提出有深度的问题，并能严格证明，满分8分，如：设椭圆22221x y a b +=图像上有不同的四点,,,A B C D ，若线段,AB CD 的中点连线经过原点，则//AB CD .证明：设：11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，线段,AB CD 的中点不在坐标轴上，且它们的连线经过原点，则34121234y y y y x x x x ++=++， 又2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，2233221x y a b +=，2244221x y a b+=则：21212121212122221212()()()()0x x x x y y y y y y x x b a b x x a y y +-+--++=⇒=-⋅-+， 23434343434342223434()()()()0x x x x y y y y y y x x b a b x x a y y +-+--++=⇒=-⋅-+， 所以：AB CD k k =，即//AB CD ；又当,AB CD 中点在坐标轴上时，,AB CD 同时垂直这条坐标轴，//AB CD 成立.B 类卷：能模仿（2）提出问题，并能严格证明，满分6分，如：椭圆22221x y a b+=图像上有不同的四点,,,A B C D ，设它们的坐标分别是()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y ，若12341234,x x x x y y y y +=++=+，则//AB CD .证明：设：11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，2233221x y a b +=，2244221x y a b+= 当12341234,0x x x x y y y y +=++=+≠则：21212121212122221212()()()()0x x x x y y y y y y x x b a b x x a y y +-+--++=⇒=-⋅-+，23434343434342223434()()()()0x x x x y y y y y y x x b a b x x a y y +-+--++=⇒=-⋅-+， 所以：AB CD k k =，即//AB CD .当12340y y y y +=+≠时，,AB CD 同时垂直x 轴，//AB CD 成立. C 类卷：简单模仿（2）提出问题，且不能证明，满分2分椭圆22221x y a b+=图像上有四点,,,A B C D ，设它们的坐标分别是()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y ，若1234x x x x +=+，则//AB CD .。