第二章 随机变量及其分布(第2讲)

分布函数还具有相当好的性质，有利于用数 学分析方法来处理；
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
P{X
= 1} =
点的长度 区间【0,2】的长度
=
0 2
能引量完言的整统地计描规述律随性机变
f (x ) =
⎧ ⎪
1
cos
⎨2
x
⎪⎩ 0
−π < x<π
2
2
其它
f
(x ) =
⎧1 ⎪ ⎨2
cos
x
⎪⎩ 0
−π < x<π
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
∫ F (x) = x f (t )dt ，求分布函数 F (x) −∞
∫ ∫ 当 x < − π 时, F (x) =
3.正态分布 f ( x)所确定的曲线叫正态曲线。
定义:若连续型随机变量X的概率密度为：
X ~ f (x) =
1
e , −
(
x−μ )2 2σ 2
x∈R
2π σ
其中μ，σ（σ>0）为常数，称随机变量 X 服从参 数为μ,σ2的正态分布。记作： X ~ N (μ,σ 2 )
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
−π < x<π
2
2
其它
当 x ≥ π 时，
2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) x f t dt =
−∞
−
π 2
f
t dt +
−∞
π
2 f t dt +
−
π 2
x
f t dt =
π 2
π
2
−
π 2
1 2
cos tdt
=
1
综上所述，求得 X 的分布函数
⎪⎧0,
⎪
F
(
x)
=
⎪ ⎨ ⎪
1 2
sin
x
+
1 2
,
⎪⎪⎩1,
x < −π
2
− x≤x<π
2
2
x≥π
2
f
(x ) =
⎧1 ⎪ ⎨2
cos
x
⎪⎩ 0
−π < x<π
2
2
其它
⎪⎧0,
⎪
F
(
x
)
=
⎪ ⎨ ⎪
1 2
sin
x
+
1 2
,
⎪⎪⎩1,
x < −π
2
− x ≤x<π
2
2
x≥π
2
求 X 落在区间 (0, π ]上的概率,可以用概率密度函数计算
2π σ
(3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ固定,σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
四、几种重要的连续型分布 思考:对一般正态分布
(3)成立吗?
4. 标准正态分布
定义: 若μ=0,σ2=1, 即
X ~ϕ(x) =
1
e , −
x2 2
x∈R
2π
X~N(0,1)
lim F ( x + Δx) − F ( x) = f ( x) = lim P{x < X ≤ x + Δx}
Δx→0
Δx
Δx→0
Δx
若不计高阶无穷小，有：
P{x < X < x + } Δx ≈概率f密( x度)的Δ由x 来！
三、注意事项（二）
连续型随机变量取任一指定值的概率为0。
P( X = a) = 0 a 为任一指定值
满足性质(1)(2)的 函数都可以看作某 个随机变量的概率 密度.
二、性质:(1) f(x)≥0, －∞<x<＋∞;
∫ (2)
+∞
f ( x )dx = 1
−∞
∫ （3） P{x1 < X ≤ x2}=F(x2)−F(x1)= x2 f(x)dx (x1 < x2) x1
（4）若 f(x)在点 x处连续,则有 F′(x)= f(x)
这条曲线就是上海年降雨量分布的理论曲线。
第2.4节 连续型随机变量及其分布
一、定义: X是随机变量, F(x)是X的分布函数。若存在一个非负
可积函数f(x), 使对于任意实数 x 都有
∫x
F ( x) = P( X ≤ x) = f (t )dt −∞
则称X为连续型随机变量，称f(x)为 X的概率密度函 数，简称密度或概率密度。简记为X~f(x).
(3) 函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对 应概率值;
(4) 分布函数是右连续的;
(5) P{X=xi}=F(xi)-F(xi -0)
例2.3.2. 设X的分布函数为 求X的概率分布.
⎧0 x < 0
F
(
x)
=
⎪⎪0.4 ⎪⎨0.8
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩1 2 ≤ x
解:X的取值为 X 0 1
4
∫ ∫ P⎨⎧0 ⎩
<
X
≤
π
4
⎫ ⎬ ⎭
=
π
4 f (x)dx =
0
π 4
1 cos xdx =
1 sinπ
=
02
24
2 4
也可以用分布函数计算
P⎨⎧0 ⎩
<
X
≤
π
4
⎫ ⎬ ⎭
=
F⎜⎛ ⎝
π
4
⎟⎞ ⎠
−
F
(0)
=
2 4
四、几种重要的连续型分布
1. 均匀分布
2.指数分布 3.正态分布 4. 标准正态分布
例如:
f
(x)
=
⎧sinx ⎩⎨0
x∈[0,π / 2]
其他
满足
(1) f(x)≥0;
∫ ∫ (2)
+∞
f ( x)dx =
π
π /2
2 sin xdx = − cos x = 1
−∞
0
0
所以f（x）是一个概率密度函数。
三、注意事项（一） f ( x)具有的性质（4）：
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有 F '( x) = f ( x)
其相应的分布函数
∫ F (x) = x
1
− (t −μ )2
e 2σ 2 dt
−∞ 2π σ
− ∞ < x < +∞
请看演示：正态分布 总结：正态分布的概率密度曲线性质！
正态分布的随机变量的概率密度函数具有性质:
∫ (1)
+∞
f ( x)dx = 1
−∞
(2)概率密度f(x)的图形是以x=μ为对称轴的R1上的连续函数, 在x=μ点 f(x) 取得最大值, 最大值为 f ( x) = 1 ；
只要知道了随机变量
第2.3节 随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P {X ≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数.
思考：
第2.3节 随机变量的分布函数
2. 随机变量的分布函数的性质:
(1) F(x)是x的单调不减函数;
(2) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞,
⎧0,
F
(x)
=
பைடு நூலகம்
⎪⎪ ⎨ ⎪
x b
− −
a a
,
⎪⎩1,
x<a a≤ x<b x≥b
均匀分布例子（P57页）
例 2.4.2 某汽车总站每隔 3 分钟发一趟车,乘客在 3 分钟
内的任一时刻到达是等可能的,则乘客的候车时间 X 在区间
[0,3] 上服从均匀分布,求乘客候车时间不超过 2 分钟的概率.
解: X 的概率密度函数为