2.5向量的应用(学生版)
高中数学第二章平面向量2.5向量的应用课件苏教版必修4
图 2-5-2
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
阶
阶
段
段一Leabharlann 三2.5 向量的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题． 2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
标法更好用．
[探究共研型]
平面向量在解析几何中的应用 探究 1 如何利用向量求经过点 P0(x0，y0)，且与 a＝(1，k)平行的直线 l 的 方程？ 【提示】 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0)． 由题意可知P→0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、 夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段 看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2)． 【答案】 (1,2)
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将平面_几__何__问__题___转__化__为__向___量__问__题___．
(2)通过向__量__运___算_，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、
栏
平行等．
目
(3)把运算结果_“___翻__译__”成几何关系．
链 接
6．常见到的问题包括以下命题：
题型2 速度向量的合成与分解
例2 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h
的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
栏
分析：设
w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞
目 链
接
机的航行速度，则 vb＝va－w.
解析：如上图所示，
∵vb＝va－w，∴vb、va、w 构成三角形，
栏 目
就是_向__量__的___加__减__法__．
链 接
3．功的定义即是力 F 与其所产生位移 s 的_数__量___积__．
4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹
角都可由__向__量__的__线___性__运__算__及__数___量__积__表示出来．
5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．
问题，接下来结合向量知识、利用余弦函数的单调性解决问题．
变式 训练
1．如下图所示，用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，
已知灯具的重量为 10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
栏 目 链 接
解析：设绳子拉力为 F，则 2|F|cos 60°＝10，故有 F＝10.
答案：10 N
|A→B|＝|va|，|C→B|＝|w|，
人教版必修四2.2.5向量在物理中的应用举例课件
个力的协力所做的功.
F3 北
W＝F·s＝
J
西
F1
F2
东
南
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题.
|v 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝(v1＋v2)2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？
B
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，当航程
θ∈[0°，180°)
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1| 与|G|可能相等吗？ 当θ＝0°时，|F1|有最小值，但没有最 大值； 当θ＝120°时，|F1|＝|G|.
探究（二）：向量在运动学中的应用
思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10km/h，水流速度|v2|＝ 2km/h，如果船垂直向对岸驶去，那么 船的实际速度v的大小是多少？
2.用向量知识解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图，必 要时可建立直角坐标系，再通过解三角 形或坐标运算，求有关量的值.
3.向量源于物理中的矢量，运用向量方 法可以解决物理中的矢量问题，这体现 了认识来源于实践又服务于实践的辩证 观点.
2.5平面向量应用举例
2（1）
P113A3
3.解：（1）s sB sA (2,7);
(2)设s和sA的夹角为，则s在sA方向上的投影为
s cos s s sA s sA 2 4 7 3 13
s sA sA
16 9 5
P119A14
小结：
1.向量方法：以向量和向量运算为工具，对几何 元素及其关系进行讨论。 2.特点：由于向量能够运算，因此它可以把几何 问题由一个思辨过程变成了一个算法过程，从而 降低了思考问题的难度。
1 3
Байду номын сангаасAC
(1)转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题
中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
三角形四心
• 重心是三角形三条中线的交点。 (重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离 之比为2：1。)
b
B
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
aO
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b 则 AC a b,CB a ，b
由此可得： ACCB a b a b
2
2
2
2
a b a b
r2 r2 0
即 AC CB 0，∠ACB=90°
3.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
转化：建立平面几何与向量的联系，用向量
表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题；
运算：通过向量运算，研究几何元素之间的
关系，如距离、夹角等问题；
翻译：把运算结果“翻译”成几何关系。
数学苏教版4课前导引2.5向量的应用含解析
2。
5 向量的应用
课前导引
问题导入
如右图所示顶角是2θ的等腰劈,今有力F =100 N 作用于劈背上将物体劈开，力F 是怎样分解的呢?分力又与角θ有何关系呢?
思路分析：根据力的作用效果(力F 1、力F 2的方向分别都垂直于劈面），可将力分解如右下图：
由向量的平行四边形法则及解直角三角形的知识有
｜F 1|=｜F 2｜=θ
θθθsin 50sin 2100sin 2||sin 2|
|N N F F ===。
据题意有0〈2θ<π,∴0〈θ〈2
π, 又θ∈（0，2
π）时,sinθ是增函数。
∴随着θ的增加，|F 1｜在减小，即顶角越小，分力越大；
当θ=6π时,即顶角为3
π时，|F 1|=|F 2｜=|F |. 知识预览
1.向量法解决几何问题的“三步曲”
（1）形到向量的转化；
(2)向量的运算；
（3）向量到形的回归。
2。
向量法
几何中的向量方法基本与几何中的代数方法一致，不同的只是用
“向量和向量运算"来代替“数和数”的运算.即就是先把点、线、面等几何要素直接化归为向量，进而对这些向量进行分析、计算，然后把各种计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。
3。
力、速度、加速度、位移都是向量.
4.力、速度、加速度、位移的合成与分解运用的就是向量的加减,其运算法则就是三角形法则和平行四边形法则。
5.动量mv就是数学上的数乘运算。
6。
功即是力F与所产生位移s的数量积。
数学必修4自主训练：2.5向量的应用 含解析 精品
自主广场我夯基我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形思路解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴AB =（1，1），BC =（-4，2），AC =（-3，3）. ∵·=1×（-3）+1×3=0,∴AB ⊥AC,即∠A=90°.∴△ABC 为直角三角形.答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰Rt △OAB,∠B=90°,则向量AB 的坐标为____________. 思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解. 设OB =(x,y),则AB =(x-4,y-2). 由已知⎩⎨⎧-+-=+=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥2222)2()4(0)2()4(||||y x y x y y x x ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒.1,33,1y x y x 或 故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F 1(3,4),F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：(1)F 1、F 2分别对质点所做的功；(2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：设物体在力F 作用下位移为S ,则所做的功为W=F ·S . 解：AB =（7，0）-（20，15）=（-13，-15）,(1)W 1= F 1·AB =（3，4）·（-13，-15）=-99(焦耳).W 2=F 2·=（6，-5）（-13，-15）=-3(焦耳).(2)W=F ·AB=（F 1+F 2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102(焦耳).4.如图2-5-8，在△ABC 中,D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,G 是它的重心,已知D 点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求A 、B 、C 、G 的坐标.图2-5-8思路分析：根据D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,得=.从而求出A 点坐标,B 、C 、G 点的坐标求法与此类似.解：设A （x 1,y 1),由已知得EF 平行且等于AD, ∴AD =EF .∴(x 1-1,y 1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-.4,0,22,111111y x y x 解得 ∴A(0,4).同理,可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE 过点G.设G(x 2,y 2),由=2得(x 2,y 2-4)=2(3-x 2,5-y 2), ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=.314,2.2104,26222222y x y y x x 解得.∴G(2,314). 5.设a 、b 、c 是两两不共线的三个向量.(1)如果a +b +c =0,求证:以a 、b 、c 的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a 、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解：(1)如图2-5-9,作=a ,=b ,=c .按向量加法的多边形法则有=++=a +b +c =0.图2-5-9∴B 与D 重合,故向量a 、b 、c 能构成一个三角形.(2)设向量a 、b 、c 能构成一个△ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即++=0.∵a=-,b=-,c=-,∴a 、b 、c 有下列四种关系之一即可：①a +b -c =0,②a +b +c =0,③a -b -c =0,④a -b +c =0.6.如图2-5-10所示，△ABC 三边长分别为a 、b 、c,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q 在什么位置时,·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a·b≤|a||b|求解.解：∵AB+BP=AP,AC+CQ=AQ=-AP,∴·=（-）·（--）=-2+·+·-·=-r2+AB·AC+AP·（AB-AC）=AB·AC+AP·CB-r2=cbcos∠BAC+AP·CB-r2.∵r、a、b、c、∠BAC均为定值,故当且仅当AP·CB有最大值时，BP·有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0，有·=ra.∴当∥,且与同向时,·有最大值：bccos∠BAC+ar-r2.我综合我发展7.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C8.如图2-5-11,已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||,即O 为△ABC 的重心. 解：由于++=0,∴=-(+),即+是的相反向量,以、OC 为邻边构造平行四边形OBDC,则有OD =-OA .在平行四边形BOCD 中,设BC 与OD 交于E 点,则BE =EC ,ED OE =,∴AE 是△ABC 的中线,且|OA |=2|OE |.故O 是△ABC 的重心.9.在△ABC 内求一点P,使222++的值最小.思路分析：根据已知条件,可设=a ,=b ,再把222++表示成关于向量=x 的函数,进而求出该函数的最小值.解：如图2-5-12,设CA =a ,CB =b ,CP =x ，图2-5-12 则=x -a ,=x -b , ∴222++=(x -a )2+(x -b )2+x 2=3x 2-2(a +b )x +b 2+a 2 =3［x -31(a +b )］2+a 2+b 2-31(a +b)2. 根据向量运算的意义知,当x=31(a +b )时,222++有最小值. 设M 为AB 的中点,易知a +b =2CM .当x=31(a +b )时,CP =32CM ,也即P 为△ABC 的重心时, 222CP BP AP ++的值最小，为a 2+b 2-31(a +b )2,即32a 2+32b 2-32ab . 10.如图2-5-13(1),有两条相交成60°的直线xx 1、yy 1,交点为O.甲、乙分别在Ox 、Oy 1上,起初甲位于离O 点3 km 的A 处,乙位于离O 点 1 km 的B 处.后来两个人同时用每小时4 km 的速度,甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?〔如图2-5-13(2),在三角形中有如下结论：b 2=a 2+c 2-2accosB 〕.（1） （2）图2-5-13思路分析：以甲、乙两人t 时刻的位置和O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在a 、b 两点,则|OA |=3,|OB |=1.∴|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cos60°=9+1-2×3×1×21=7.∴||=7 km,即起初两人相距7 km.(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q,则||=4t,||=4t.又∵甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.∴当0≤t≤43时, ||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t 2-24t+7；当t ＞43时, ||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t 2-24t+7.综上,|PQ |2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,t ∈［0，+∞), ∴当t=41时,即在第15分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为2 km. 11.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10 n mk/h.令v =λ1e 1+λ2e 2,基底e 1、e 2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°, e 1方向正东, e 2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值.思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v.解：建立如图2-5-14所示的直角坐标系,则e 1=(1,0),e 2=(23,21),v =(5n,35n).∵e 1、e 2不共线,图2-5-14∴v =λ1 e 1+λ2 e 2=λ1(1,0)+λ2(23,21), (5n,35n)=(λ1+23λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.352,523221n n λλλ ∴λ1=-10n,λ2=310n.。
【高中数学】2.5平面向量的应用
【高中数学】2.5平面向量的应用重难点：通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力．要求：① 能用矢量法解决一些简单的平面几何问题②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题．经典示例：如下图所示，非弹性绳索的一端固定在底部，并在相同质量的绳索的下端系上称重盘，因此，尝试分析三根绳索上的力，以确定哪根绳索受力最大？当堂练习：1.已知a、B和C是三个非共线点，P是平面中的一个点△ ABC。
如果是，则点P和△ ABC是（）a、点p在△abc内部b、点p在△abc外部c、点P在直线AB和D上，点P在AC的侧面2．已知三点a（1，2），b（4，1），c（0，-1）则△abc的形状为（）a、正三角形B，钝角三角形C，等腰直角三角形D，等腰锐角三角形3．当两人提起重量为|g|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|f|，若|f|=|g|，则的值为（）a、 300b、600c、900d、12004．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为（）a、 v-ab、a-vc、v+ad、v5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为km/h。
6.两个粒子A和B从同一个粒子源发射。
在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移为sa=（3，-4），sb=（4,3），（1）粒子B相对于粒子a的位移；（2）求s在sa方向上的投影。
7.如图所示，P点是AB线上的一个点，AP？pb=点O是直线ab之外的点。
让、、尝试用公式来表示向量8．如图，△abc中，d，e分别是bc，ac的中点，设ad与be相交于g，求证：ag?gd=bg?ge=2?1．9.如图所示，O是外部的任意点△ ABC。
如果是，验证G是物体的重心△ ABC（即三条边中线的交点）10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。
2.5向量的应用
平面向量的基本性质与运算
课前诊断
题1：已知平面向量a =(1,2)，b =(-2,m)，且a / /b，
破难点的策略。
思路一：利用平面向量的数量积将向量问题代数化。 思路二：通过坐标运算将问题代数化。
题 4、在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,
AD DC, AE 1 EB,若 BD AC 1 ,
2
2
则 CE AB ____
方法 2: （问题 1）能够建立坐标系吗?如何建系 （问题 2）如何使用等腰三角形这一条件?
题 4、在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2,
AD DC, AE 1 EB,若 BD AC 1 ,
2
2
则 CE AB ____
方法 2: （问题 1）能够建立坐标系吗?如何建系 （问题 2）如何使用等腰三角形这一条件?
小结：向量本身兼具几何形式和数量形式双重特性， 将数学问题代数化是转化思想的重要体现，也是突
(2)解
由已知条件cos α＋cos β＝0 sin α＋sin β＝1
例1：
又 0<β<α<π，
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则 β＝π－α，
sin α＋sin(π－α)＝1，
sin α＝12，α＝π6或 α＝56π，
当 α＝π6时，β＝56π(舍去)；
当 α＝56π时，β＝π6.
对照图形 认真读题
1）梯形的面积公式？本题已知哪些基本量， 还需要求哪个量？
高中数学 2.5 向量的应用教案 新人教A版必修4
2.5 向量的应用【教学过程】一、 引入空间向量的运算和平面向量一致，学习空间向量可帮助我们将许多立体几何问题化成简单的代数式，比如要求空间当中一条线段的长度可借助向量的模来求算，要判断两条直线之间的位置关系也可以借助两向量的夹角。
二、 概念分析向量的数量积 大小a ⋅a =|a |2，位置a ⊥b a ⋅b =0三、 例题讲解例1证明以圆的直径为一边的圆内接三角形是直角三角形．分析 如图15-6，只需证明AB ⋅AC =0． 证明 设⊙O 半径为r ,连结半径OA ． 因为 OB ＝－OC ，AB ＝AO ＋OB ＝AO －OC ，AC ＝AO ＋OC ,所以 AB ⋅AC ＝（AO －OC ）⋅(AO ＋OC ）＝2AO －2OC ＝r 2－r 2＝0． 因此AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．例2即得 c 2=a 2+b 2．如图15-7，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，棱长AB =a , AD =b , AA 1=c ，AC 1、CA 1是其两条对角线．求证：若AC 1⊥CA 1，则c 2=a 2+b 2．证明 因为 AC 1⊥CA 1，所以1AC ⋅1CA =0．1AC =AB +BC +1CC ，1CA =CD +DA +1AA ，1AC ⋅1CA =(AB +BC +1CC )⋅(CD +DA +1AA )=AB ⋅+AB ⋅DA +AB ⋅1AA +⋅ +⋅+⋅1AA +1CC ⋅+1CC ⋅+1CC ⋅1AA ． 因为CD uuu r =-AB u u u r , BC u u u r =-DA u u u r, 1CC uuu u r =1AA uuuu r ，故O ABC图15-6• 图15-7A 1B 1C 1D 11AC uuuu r ⋅1CA uuur =-|AB u u u r |2-|DA u u u r |2+|1AA uuuu r |2=-a 2-b 2+c 2=0．即得 c 2=a 2+b 2．例3如图15-8，在两个互相垂直的平面α和β 的交线上有两个点A 、B ，AC ⊂α且AC ⊥AB ，BD ⊂β且BD ⊥AB ．已知AB =AC =1, BD =2，求线段CD 的长．解 CD CA AB BD =++uuu r uu u r uuu r uuu r，所以2CD =BD AB BD CA AB CA BD AB CA ⋅+⋅+⋅+++222222． 由两平面垂直的性质知，AC ⊥平面β，所以AC ⊥BD ，CA uu u r ⋅BD u u u r=0．又由条件知CA uu u r ⋅AB u u u r =0, AB u u u r ⋅BD u u u r=0．所以 2222CD CA AB BD =++uuu r uu u r uuu r uuu r =1+1+2=4． 所以CD ＝2．四、 课堂练习1. 证明菱形的对角线互相垂直．2. 已知A ,B 是120︒的二面角α- l -β棱l 上的两点，线段AC ，BD 分别在面α, β内，且AC ⊥l ，BD ⊥l ．已知AC =2，BD =1，AB =3，求线段CD 的长．【小结】课堂小结：本节课我们运用向量的数量积形式来计算空间当中线段的长短与位置，直接通过向量的加和形式来表示空间中的线段，最后经由简单的代数运算即可判断出大小与位置关系，此种方法在某些复杂的立体结构中会显得比立体几何的方法更加的简单。
苏教版2018-2019学年高二数学：第2章 2.5 向量的应用
[例1] 如图所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[精解详析] 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.||＝||cos 30°＝300×OA OC32＝150(N)，3||＝||sin 30°＝×300＝150(N)．OB OC12故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.3[一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F ＝F ＋F ＋2F 1·F 2＝F ＋F ＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.23212212∴|F 3|＝2.7答案：272．在水流速度为4 km/h 的河中，一艘船以12 km/h 的实际速度垂直对岸行驶，求这艘3船在静水中航行速度的大小与方向．解：如图，设表示水流速度，表示船行驶的实际速度，以为一边，为一AB AC ABAC 对角线作平行四边形ABCD ，则就是船在静水中的航行速度．AD∵||＝4.||＝12，AB3AC∴||＝||＝8，tan∠ACB ＝＝，ADBC 3431233∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∠BAD ＝120°.故船在静水中的航行速度大小为8 km/h ，与水流方向夹角为120°.3[例2] 如图，在等腰直角△ABC 中，角C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .[思路点拨] 欲证AD ⊥CE ，即证·＝0.由于已有·＝0，故考虑选此两向AD CECA CB 量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[精解详析] 法一：记＝a ，＝b ，CA CB则＝b －a ，且a ·b ＝0，|a |＝|b |.AB因为＝－＝b －a ，AD CDCA 12＝－＝(b －a )＋a ＝b ＋a ，所以CE AE AC232313·＝·＝b 2－a 2＝0.AD CE (12b －a )(23b ＋13a)1313可得AD ⊥CE .法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，则C (0,0)，A (2,0)，B (0,2)，因为D 是CB 的中点，则D (0,1)．所以＝(－2,1)，＝(－2,2)AD AB又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，CE CA AE CA 23AB 23(23，43)所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，AD CE (23，43)2343因此AD ⊥CE .[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算；(2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足·＝·＝·，则点O 是△OA OB OB OC OC OAABC 的三条________的交点．解析：由·＝·得·(－)＝0，OA OB OB OC OB OA OC即·＝0，所以⊥.OB AC OB AC 同理，⊥，⊥.所以O 为三条高的交点．OC AB OABC 答案：高4.已知：如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高，且相交于点O ，若DG ⊥BE 于G ，DH ⊥CF 于H ，求证：GH ∥EF .证明：设＝λ (λ≠0)，OA OD∵⊥，⊥，∴∥，同理∥，DG BE AE BE DG AE DH AF 则＝λ，＝λ，AE DG AF DH∴＝－＝λ(－)＝λ.EF AF AE DH DGGH ∴∥，又∵，没有公共点，∴GH ∥EF .GH EF GH EF[例3] 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴上的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足·＝0，＝－，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．PA AM AM32MQ [思路点拨] 先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示，，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．AM MQ[精解详析] 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则＝(x ，y －b )，＝(a －x ，－y )，AMMQ ∵＝－，∴(x ，y －b )＝－(a －x ，－y )，AM32MQ 32∴a ＝，b ＝－，则A，Q ，x 3y2(0，－y 2)(x3，0)＝，＝.PA (3，－y 2)AM (x ，32y )∵·＝0，PA AM∴·＝0.∴3x －y 2＝0，(3，－y2)(x ，32y)34∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．5．过点M (2,3)且平行于向量a ＝(2,3)的直线方程为________．解析：设P (x ，y )是所求直线上的任意一点(M 除外)，则＝(x －2，y －3)．MP∵该直线平行于向量a ＝(2,3)，∴2(y －3)＝3(x －2)即3x －2y ＝0.又点M (2,3)在直线3x －2y ＝0上，故所求直线方程为3x －2y ＝0.答案：3x －2y ＝06．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA的延长线上，且＝2，求点N 的轨迹方程．MA AN解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由＝2得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．MA AN∴Error!代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.1．向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．2．利用向量研究平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．向量在解析几何中的应用利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量a ＝(A ，B )即为直线l 的法向量，b ＝(1，k )或c ＝(－B ，A )为直线l 的方向向量．两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋c 2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，则n 1·n 2＝0⇔n 1⊥n 2⇔l 1⊥l 2.课下能力提升(二十二)一、填空题1．已知△ABC 中，＝a ，＝b ，若a ·b <0，则△ABC 的形状为________．ABAC 解析：由a ·b <0⇒∠A >90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P (x ，y )是所求直线上的任意一点(A 点除外)，则⊥a ，∴·a ＝0.AP AP又∵＝(x －2，y －3)．AP∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.又∵点A (2,3)在直线2x ＋y －7＝0上，∴所求直线方程为2x ＋y －7＝0.答案：2x ＋y －7＝03．作用于原点的两个力F 1＝(1,1)，F 2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F 3＝________.解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F 1＋F 2＋F 3＝0，设F 3＝(x ，y )，则Error!解得Error!故F 3＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)4．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力都为|F |，夹角为θ，若|F |＝|G |，则θ的值为________．解析：作＝F 1，＝F 2，＝－G ，则＝＋，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，OA OB OC OC OA OB△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.答案：120°5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝，3则·＝__________.OA OB解析：如图，取D 为AB 的中点，∵OA ＝1，AB ＝，∴∠AOD ＝.3π3∴∠AOB ＝.2π3∴·＝1×1×cos ＝－.OA OB2π312答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设＝a ，＝b ，则＝a ＋b ，＝a －b ，AD AB AC BD由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4，则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝.12所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×＋4＝6，即|a ＋b |＝.126故||＝，即对角线AC 的长为.AC667．在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝90°，CD 是直角三角形ABC 的角平分线，求CD 的长．解：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则＝(0，－3)，＝(4，－3)，||＝3，||＝CA CB CA CB＝5.42＋ －3 2设D (x,0)，则＝(x ，－3)，CD又∵CD 是直角三角形ABC 的角平分线，∴＝λ＝λCD (||＋||)[ 0，－3 3＋ 4，－35]＝，∴Error!解得Error!(4λ5，－8λ5)＝，CD (32，－3)故＝ ＝，∴CD 的长为.CD (32)2＋ －3 23523528．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a 公里/小时时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此人感到的风速为v －a ，如图所示，设＝－a ，＝－2a ，OA OB∵＋＝，PO OA PA ∴＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．PA∵＋＝，∴＝v －2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北PO OB PB PB方向吹来的风速就是.PB由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ，从而△POB 为等腰直角三角形，∴PO ＝PB ＝a ，即|v |＝a ，22∴实际为风速是a 的西北风．2。
平面向量复习专题3——向量的应用(学生)
平面向量复习专题3——向量的应用
学习目标：向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题
例1（解析几何、位置关系的几何计算应用，练习册127页第9、14题）
在四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB
（1）若DA BC //,求x 与y 之间的关系式；
（2）满足（1）的条件，同时又有BD AC ⊥,求y x ,的值以及四边形ABCD 的面积.
变式 1 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为_____________；DC DE ⋅的最大值为________________.
例2（平面几何证明问题，书126页4、5题，书127页13、14、16题）
已知ABC ∆，点O 为ABC ∆的重心（中线的交点），求证：0=++OC OB OA
例3（综合应用，三角函数应用问题，书127页15题，练习册128页18题） 设函数n m x f ⋅=)(，其中向量R x n x m ∈==),3,1(),1,2cos 2(
（1）求)(x f 的最小正周期；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,
0πx 时，求()x f 的最大值.
总结：向量在几何中的应用，主要利用平面几何知识（平行、垂直）与向量运算的联系进行计算，从而达到几何知识代数化.
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高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.向量在平面几何中的应用向量是数学中证明几何命题的有效工具之一。
根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题。
案例1 求证平行四边形对角线互相平分,【探究】如图所示,已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设=x ，=y ，则 =x =x +x ,=+BM =+y =AB +y （AD —AB ）=（1-y)AB +y AD .于是我们得到关于基底{、｝的AM 的两个分解式,因为分解式是唯一的，所以⎩⎨⎧=-=.,1y x y x解得x=21，y=21,故M 是AC 、BD 的中点，即对角线AC 、BD 在交点互相平分. 通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。
②通过向量运算，解决几何元素之间的关系。
③把运算结果翻译成几何关系。
规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义。
高中数学必修四2.5向量应用全面版
2.5 向量的应用【学习目标】用向量的知识解决有关实质问题；稳固所学知识，提升剖析和解决实质问题的能力．【学习要点】用向量方法解决实质问题的基本方法．【学习难点】加强应用数学的意识；能用向量知识解决有关的物理问题．【活动方案】活动一、讲堂引入问题情境一、引入：1．已知A(1，2)，B(4，3)，C(2，4)，则|AB |=； AB· AC=；CAB =；若四边形 ABCD 为平行四边形，则点 D 坐标为．2．a与b =(1,2) 同向，且a·，则a =．b =103．若|a|=1，|b|= 2 ，则：（1）若 a ∥ b ，则 a · b =；（ 2）若a与b的夹角为60°，则|a+b|=；| a－b |=；（ 3）若a－b与a垂直，则a与b的夹角为．4．一条向正东方流淌的河水，河水流速为3m/s ，若一条小船为 3 3 m/s的速度向正北方向航行，求该船的实质航速和航向．活动二、新授内容向量的应用：例 1.已知OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB．【变式拓展】已知 A (2，－1)， B (3，2)， C (－3，－1)， BC 边上的高为AD ，求向量 AD ．例2.设a (cos80 , sin 80 ), b (cos20 , sin 20 ), 试采纳不一样的方法计算 a b，你能发现什么？【变式拓展】利用例 2 的启迪，用向量的知识证明：cos() cos cos sin sin例 3（ 1）已知在ABC中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明： a b cosC c cos B ．（2）已知向量OA，OB，OC知足条件OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：ABC 为正三角形．例 4．已知坐标平面内OA (1,5) ， OB (7,1)， OM (1,2) ，P 是直线 OM 上一个动点，当 PA PB 取最小时，求OP 的坐标，并求cos APB 的值．活动三讲堂反应单1．若A(1,2)，B(3, 4)，C (2 x, x 5)三点在同一条直线上，则实数x 的值为．2．在ABCD 中， AC 为一条对角线，若AB(2,4)， AC(1,3)，则 BD．3．在ABC 中， AB3， AC4，BC 5，则 AB BC=．4．某人在静水中游泳速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若这人朝正南方向游去，则他的实质行进的方向；速度大小．5．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O 的直线分别交直线AB、AC 于不一样的两点→→→→m ＋ n 的值M 、 N，若 AB＝ mAM ， AC＝ nAN ，则为．四、课后作业：1．设A(1,3)，B( 3, n)，C (m2,1) ，若AB2BC ，则 mn 的值为．2．在平面直角坐标系中，A(2,2) ， B(3,1) ， C (5, 4) ，则AB CB=．3．已知A(6,1)，B(0,7) ，C (2,3) ，则 ABC 的形状为．4．如图在△OAC中，B为AC的中点，若OC＝x OA＋y OB，则 x－ y＝ ________．5．在△ABC中，已知A(4,1)、 B(7,5)、 C(－4,7)，则 BC边的中线 AD 的长是6．在ABC中，AB3， BC4，CA→→ →→ →→5 ，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝．．7．已知点 A (1，－2)，若向量AB 与向量a= (2,3) 共线，| AB |213，则点B的坐标为．8.以原点和A(5, 2)为两个极点作等腰直角三角形OAB ，使得 A90，求点 B 和向量 AB 的坐标．9．在四边形ABCD 中，AB+CD=0，AC BD=0ABCD 为菱形．·，试证明：四边形10．设向量a，b的夹角为1350，且|a|= 2 ，|b|=2 ， c a xb ，当 | a xb | 取最小值时，求 a xb 与 b 夹角的大小．11. 设a，b，c都是单位向量，且 a b 0 ，求 (c a) (c b) 的最小值．12.在平面直角坐标系中，已知A(3, 4) ， B(5,12) ， O 为坐标原点，AOB 的均分线交线段 AB 于点 D ，求点 D 的坐标．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
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课题：§2.5向量的应用 总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】
1．掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通； 2．能应用向量的有关性质解决诸如平面几何的问题． 【重点难点】
学习重点：向量的性质及相关知识的综合应用；
学习难点：用向量方法解决简单的几何问题，力学问题的过程． 【学习过程】
一、自主学习与交流反馈： 1．两个平面向量垂直的条件；
2．两个平面向量共线的坐标表示；
3．a 与b
夹解为锐角等价于_________________；
a 与b
夹解为钝角等价于_________________.
二、知识建构与应用：
||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅
1212x x y y =+．
三、例题
例1 如图所示，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得O B ⊥OC ，试分析OA ，OB ，OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳子受力最大．
c b a
O C
B
A
例2 已知OA BC OB AC OC AB ⊥⊥⊥
，，求证：．
思考：你能否画一个几何图形来解释这个结论呢？
例3 (1)已知在△ABC 中，⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的 心.
(2)若O 是ABC ∆内一点，=++，则O 是ABC ∆的 心.
(3)A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[AP λλ=∈∞
AB AC （+），0，+）|AB ||AC |
， 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 心.
例4 某人在静水中游泳的的速度为3m/s ，河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
四、巩固练习
1．)1,3(),2,1(==b a
已知向量，则下列向量的坐标：
（1）b a
32+= ； （2）b a 2
1-= ．
2．在四边形ABCD 中，=+，0=∙，试证明四边形ABCD 是菱形.
3．用向量方法证明：在ABC ∆中,A AC AB AC AB BC cos 22
2
2
⋅-+= .
4．已知OAB ∆的两个顶点为原点O 和),2,5(A 且
90=∠A AO AB =．
求：(1)B 点的坐标；（2）的坐标．
5．已知向量OA ，OB ，OC 满足条件OA ＋OB ＋OC ＝0，且｜OA ｜＝｜OB ｜＝ ｜｜＝１，求证：△ＡＢＣ是正三角形．。