高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆知能训练轻松闯关 理 北师大版

第5讲 椭圆1．(2016·洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 解析：选C.依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b 2＝1a 2－b 2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y 25＝1.2．(2016·淮南模拟)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C.若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45， 解得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D.依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2016·烟台质检)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.5．(2016·江西省九校模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，63 解析：选A.设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，结合题目条件可得四边形AFBF ′为矩形，则有|AB |＝|FF ′|＝2c ，结合椭圆定义有|AF |＋|BF |＝2a ，而|AF |＝2c sin α，|BF |＝2c cos α，则有2c sin α＋2c cos α＝2a ，则e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，则α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋64，1， 故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1. 6．(2016·唐山质检)已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF →|＝1，且MP →·MF →＝0，则|PM →|的最小值为( ) A. 3 B ．3 C.125D ．1解析：选A.由题意得F (3，0)，|PM |2＝|PF |2－|MF |2≥(a －c )2－1＝(5－3)2－1＝3.所以|PM →|min ＝ 3.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2， 所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， 所以倾斜角∠MF 1F 2＝60°. 因为∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，所以∠F 1MF 2＝90°，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c . 由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.答案：3－19．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2为两焦点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 答案：710．(2016·石家庄一模) 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，设P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2的外角平分线所在的直线为l ，过点F 1，F 2分别作l 的垂线，垂足分别为点R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为________．解析：延长F 1R 交F 2P 的延长线于点R ′，则|F 1R |＝|RR ′|，|F 1P |＝|PR ′|，所以|R ′F 2|＝|R ′P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PF 2|＝2a .因为R ，O 分别是F 1R ′，F 1F 2的中点，所以|OR |＝a .同理可得|OS |＝a .因此R ，S 的轨迹是以原点O 为圆心，以a 为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝a 2，故R ，S 所形成的图形的面积为πa 2.答案：πa 211．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.12.(2015·高考陕西卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2， x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称， 且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入①得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1．(2016·济南模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝0解析：选C.设过点M (1，1)的直线l 与椭圆交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减可得，（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，即k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）＝－916，故所求的直线l 的方程为y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0.2．(2016·陕西省五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：233．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，e ＝c a ＝63. 解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋mx 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1x 2＝m 2－42＋k2又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0，解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。