07 电通量、高斯定理
大学物理电通量 高斯定理
P +
+ R r+
++
Q+
方向: ?
E
电场分布曲线如右图所示。 O 电场分布曲线 r
21
例5 “无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 。
求:电场强度分布。 解:电场强度分布具有面对称性。
选取一个圆柱形高斯面
根据高斯定理,有
22
例6 无限长均匀带电直线的电荷线密度为+ 。
求: 距直线 r 处一点P 的电场强度。 解:电场分布具有轴对称性。
16
利用高斯定理求解特殊电荷电场分布的思路: 分析电场对称性； 根据对称性同心球壳、同心球体与 球壳的组合。
轴对称: 长直导线、圆柱体、圆柱面、同轴圆 柱面和同轴圆柱体的组合。
面对称: 无限大带电平板、平行平板的组合。
17
四、高斯定理的应用 例3 已知球体半径为R,带电量为q（电荷体密
度为），求:均匀带电球体的电场强度分布。
解:根据对称性分析，选择如图所示高斯面
球外
r
++ R
+ q+
18
球内
r
++ R
++
E
r
O
R
电场分布曲线
19
例4 均匀带电球面,总电量为Q ,半径为R 。
求:电场强度分布。
解 对球面外一点P : 取过场点P 的同心球面为高斯面
P
+
+ R r+
++
Q+
20
故，球面外 对球面内一点:
电场线净穿入，
15
因此，电场线起于正，止于负，即静电场 为有源场，电荷即为其源。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
大学物理-电通量-高斯定理
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
大学物理
1)板内任意点：
E1
R2 r,
E
R1， Q1
R２， Q2
大学物理
结论
❖ 距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的 球壳所带电量决定
❖ 其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处 所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量 无关
❖ 分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间 讨论
大学物理
例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
大学物理
[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
电通量高斯定理
03 电通量高斯定理的应用场 景
静电场计算
静电场计算是电通量高斯定理的重要 应用场景之一。通过使用高斯定理， 可以方便地计算出给定区域内电荷产 生的电场强度和电势分布。
在实际应用中，静电场计算广泛应用 于电子设备、电磁兼容性分析、材料 科学等领域。
内的电荷分布仍然满足高斯定理。这一理论为分析复杂电场问题提供了重要的基础。
电通量高斯定理与麦克斯韦方程组的关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
电通量高斯定理是麦克斯韦方程组的一个推论，表明在时 变电磁场中，电场线闭合的特性与电荷守恒定律相一致。
麦克斯韦方程组是描述电磁场运动的基本方程，其中包括 了波动方程、高斯定理和安培环路定律等。在高斯定理中 ，它指出在时变电磁场中，电场线闭合的特性与电荷守恒 定律相一致。这意味着在变化的电磁场中，电荷分布的变 化必须满足电荷守恒定律，从而保持电场线的闭合性。这 一关系表明了电通量高斯定理与麦克斯韦方程组之间的紧 密联系。
推动科学发展
电通量高斯定理的发现和应用，推动了科学技术的进步和发展。在电子工程、通信工程、生物医学工程 等领域，电通量高斯定理都发挥了重要的作用，为各种先进技术和设备的研发提供了重要的理论支持。
对未来研究的展望
要点一
深入研究电磁场的内 在机制
随着科学技术的发展，对电磁场的内 在机制和规律的认识越来越深入。未 来可以进一步深入研究电通量高斯定 理的内在机制和规律，探索更加复杂 和深入的电磁场问题。
02 电通量高斯定理的公式与 推导
公式表述
公式
$oiint_{S} vec{E} cdot dvec{S} = frac{1}{varepsilon_{0}} iint_{S} rho dS$
电场的电通量与高斯定理
电场的电通量与高斯定理电场的电通量是描述电场线通过一个封闭曲面的程度的物理量，它在物理学中有着重要的应用。
而高斯定理则是计算电场电通量的一种重要方法。
本文将探讨电场的电通量的概念及计算方法，以及高斯定理的原理和应用。
1. 电场的电通量电场的电通量是指单位时间内通过垂直于电场线的面积的电场线数目。
常用符号表示为Φ，单位为“麦可伏伦/米平方”（C·V/m^2）。
电通量的大小与电场线的密度有关，电场线越密集，则电通量越大。
2. 电通量的计算电通量的计算可以通过积分来实现。
设曲面S为一个封闭曲面，并在曲面上选取微小面元dS，该微小面元的面积为ΔS。
假设电场E在该面元上的投影长度为E⊥，则通过该微小面元的电场线条数为E⊥·ΔS。
将所有微小面元上的电场线条数相加，就可以得到通过整个曲面的电通量Φ，即Φ = ∫ E⊥ · dS。
3. 高斯定理的原理高斯定理主要应用于具有对称性的电场问题。
它指出，对于任意封闭曲面S，通过该曲面的电通量Φ与该封闭曲面所包围的总电荷量Q之间存在以下关系：Φ = Q/ε0，其中ε0为真空中的电介质常数，约等于8.85 × 10^-12 C^2/N·m^2。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场问题的求解中具有广泛的应用。
通过选择合适的封闭曲面，可以简化电场问题的求解过程。
例如，当电场具有球对称性时，可以选择以球心为中心的球面作为封闭曲面，这样可以使计算过程更加简化。
5. 实例分析考虑一个均匀带电球体，球心位于原点，半径为R，总电荷量为Q。
我们希望计算通过球面的电通量。
根据高斯定理，可以选择以球心为中心，球面为封闭曲面进行计算。
由于球对称性，电场E在球面上的大小处处相等。
根据球面积分的计算公式，可以得到Φ = E · 4πR^2。
而球内的总电荷量为Q，因此根据高斯定理，我们可以得到Φ = Q/ε0。
将上述两个等式联立，可以解得E = Q / (4πε0R^2)。
电通量 高斯定理
(2)选过场点和板对称且垂直的封闭柱面为高斯面 S3 S3 S1 S2 S1 + + + + + +
+ + S2
S 2 ( 3) e E dS 2 ES2
S
0
E 2 0
0 场强垂直于板向外 0 场强垂直于板向内
例5 两块均匀无限大薄平板相互垂直，它们的电荷 面密度为+σ和-σ。求空间各点的场强大小和方向， 并画出电力线。 解：由图，对空间任一 点，由场强叠加原理得
本节作业： P321 15 17 18 19 20
在空腔内任取一点p, 设该点场强为 E
Ε1 op 3 0
1
c o
E1
小球单独存在时，p点的场强为
E2 cp 3 0
ห้องสมุดไป่ตู้
o p E
R
2
E1 E 2 E ( op cp ) E E1 E2
3 0
l
侧面
+++ S下 +++
ES侧
q E 2πrl
E
q
2 π 0 rl
0
E
+ + +++ +++
q
2 π 0 rl
2
l
+++ +++
r > R： q π2R l R E 2 0 r 2 q π r l r R： r E E 2 0
令
Q Aa 0 2 2 4 0 r 2 0 r
电介质的高斯定理
电介质的高斯定理
高斯定理又称为电通量定理，是描述电场分布的一条基本定理，它是高斯定律的一部分。
高斯定理是指在电介质中，通过一个闭合曲面的电通量与该曲面所包围电荷的代数和成正比。
具体而言，电介质的高斯定理可以用如下公式表示：
∮E·dA = Q/ε
其中，∮E·dA表示通过闭合曲面的电场E与面元dA的点积之和，Q表示该闭合曲面所包围的电荷量，ε表示电介质的介电常数。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的总电通量与这个曲面所包围的总电荷成正比关系。
通过这个定理，可以方便地计算电场分布及电荷分布之间的关系。
在应用高斯定理时，需要注意以下几点：
1. 选择合适的闭合曲面：闭合曲面可以是球面、柱面、平面等等，具体的选择要根据实际情况来确定。
一般来说，如果电
荷分布比较对称，选择球面作为闭合曲面较为方便。
2. 计算电场通量：通过选择的闭合曲面计算电场与面元的点积之和，即计算∮E·dA。
这一步需要根据具体的电场分布来进行计算，可以利用库仑定律等来求解。
3. 计算电荷量：根据实际情况确定闭合曲面所包围的电荷量Q。
如果已知电荷分布，可以直接计算；如果未知，则需要根据已知的电场分布来进行推导。
4. 确定介电常数：介电常数ε是电介质的一个属性，它反映了电场在电介质中的传播速度和电荷分布的影响程度。
不同的介电常数对应不同的电介质材料，可以通过实验测量或者查找资料获得。
通过以上步骤，可以利用高斯定理计算电场的分布以及与电荷之间的关系。
高斯定理不仅适用于电介质，还可以用于真空中的电场分布计算，只是在真空中介电常数ε的值为真空介电常数ε0。
大学物理-电通量--高斯定理
Φe
q
0
点电荷在闭合曲面之外
只有与闭合曲面S相切的锥 体范围内的电力线才通过闭
合曲面S，每一条电力线从
某处穿入必从另一处穿出， q
一进一出正负抵消，总电通 ＋
量为零.
rrq
Ñ E dS 0
仍成立
14
S
E
多个点电荷的情况
vv
nv v
Ñ Ñ Φe
E dS
S
(
S
Ei ) dS
i 1
v nv
外侧. 因此，从曲面上
穿出的电力线，电通量
为正值；穿入曲面的电
力线，电通量为负值。
9
r
r
例：一电场强度为 E 的均匀电场 ，E 的方向与x轴正方
向平行，则通过图中一半径为R的半球面的电通量为 D
A、πR2E
B、πR2E/ 2
C、2πR2E
O
x
D、0
B
10
三 高斯定理
通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φe
例8.6 均匀带电球面的电场强度
一半径为 R, 均匀带电+ q 的球
面 . 求球面内外任意点的电场强度.
解：电荷分布具有球对称性，所以 空间场强分布为球对称性，即
+ +S1+
r +
+O
+ +
+R +
+++
与球心距离相等的球面各点
场强大小相等，方向沿半径
呈辐射状。
取过场点P的同心球面为高斯面，半径为r
均匀电场 ，E 垂直平面
Φe ES
均匀电场 ，E 与平面法线 夹角为
电通量和高斯定理
05 电通量与高斯定理的意义 和影响
对电磁学理论的意义
描述电场分布
建立电磁场理论
电通量是描述电场分布的重要物理量， 通过高斯定理，我们可以计算出空间 中任意区域的电场强度和电通量密度。
电通量与高斯定理是电磁场理论中的 基础概念，为后续的麦克斯韦方程组 等理论奠定了基础。
揭示电场性质
高斯定理揭示了电场的一个重要性质， 即电场线总是闭合的，这一性质对于 理解电场的产生和传播机制具有重要 意义。
散度定理法
利用散度定理计算电通量， 公式为：∮E⋅dS=∫E⋅dS。
微元法
将闭合曲面划分为若干个 小面元，分别计算每个面 元的电通量，最后求和得 到总电通量。
02 高斯定理的表述
定理的表述
高斯定理的表述
在封闭曲面S内，总电荷量Q等于该封闭曲面内电通量Φ的积分， 即 ∫∫Σ Q = ∫∫Σ dΦ。
电通量的物理意义
表示电场分布的特性
电通量的大小反映了电场在某个闭合 曲面上的分布情况，可以用来描述电 场的强弱和方向。
与电荷分布的关系
电通量的大小与电荷分布有关，电荷 分布的不同会导致电通量的变化。
电通量的计算方法
01
02
03
公式法
根据电场强度E和闭合曲 面S的面积S，计算电通量。 公式为：Φ=∫∫E⋅dS。
要点一
总结词
要点二
详细描述
高斯定理是求解电场的强大工具，通过合理选择高斯面可 以简化问题求解过程。
高斯定理表述为：“通过任意闭合曲面的电场强度通量等 于该闭合曲面所包围的电荷量与真空电容率的比值。”在 求解电场问题时，可以根据问题的对称性和电荷分布情况 选择合适的高斯面，从而将复杂的积分运算简化为简单的 代数运算。例如，在求解无限大均匀带电平面或球壳产生 的电场时，利用高斯定理可以快速得出结果。
大学物理下07静电场复习
ES
记住几个结论：
1. 无限长均匀带电直线外，或无 E
限长均匀带电圆柱面外任意一点：
2 0r
2. 无限大均匀带电平面外任意一点： E （匀强电场）
3. 带+、- 两无限大均
匀带电平面间任意一点：
E
0
2 0
（匀强电场）
4、均匀带电球面外，或均匀带电球体外：
q
E 4 0r 2
四、电势
（一）电场力b作功特点： 电场力对电荷作的功与路径无关，
1. 点电荷的电势:
q
P
(U 0)
2. 点电荷系的电势：
UP
q
4 0r
UP
n
Ui
i 1
1
4 0
n qi i1 ri
3. 连续带电体的电势:
dq Q
r dU P UP
dq
Q 4 0r
dq
一维: 二维:
dq dq
dx静电平衡：
导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态 平衡条件：
零
U P P E dr
R
r
q
P
R
r E dr
1
4 0
R1 r r 2 dr
1 1 1
4 0 r R
6、两个同心球壳，壳的厚度可忽略。内球壳半径为 R1，均匀带电，电量为Q；外球壳半径为R2，原来不 带电；今将外球壳接地，设地为电势零点，求在内球
壳里距球心为r 处的P点的场强大小和电势。
场强
(1). 导体内任一点场强都为零。
(2). 导体表面上任一点的场强都垂直于该点表面。
电势
导体是一等势体，导体表面是一等势面。
2、导体的电荷分布： （1）实心带电导体，电荷只能分布在表面上；
电通量_高斯定理
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n
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习题 七 电通量、高斯定理
一、选择题
1、 一电场强度为→E 的均匀电场，→E 的方向与x
则通过图中一半径为R 的半球面的电通量为（D ）
A 、πR 2E
B 、21πR 2E
C 、2πR 2E
D 、0
提示：电通量的几何意义：穿过该曲面的电场线的条数。
穿过该半球面的任一电场线必穿过两次，一次算正的，一次算负的，因半球面是有方向的，穿过该半球面的电场线的条数是代数量。
2、点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪种情况高斯面的电通量会发生变化（C ）
A 、将另一点电荷放在高斯面外
B 、将球心处的点电荷移到高斯面内另一处
C 、将另一点电荷放进高斯面内
D 、改变高斯面半径大小
提示：由高斯定理知，高斯面的电通量只和面内的电荷有关。
3、真空中两平行带电平板相距为d ，面积为S ，且有d 2 << S ,带电量分别为+q 和-q ，则两极板之间的作用力大小为（ D ）
A 、202
4d q F πε= B 、2
0q F S ε= C 、202q F S ε= D 、202q F S
ε= 提示：A 板在B 板处的电场：000/222q S q E S
σεεε=== B 板上一电荷微元的受力：00()()
()22q
q
dF dq E dq dq S S εε=== B 板总受力：2
0000()()2222S S S q q q
q F dF dq dq q S S S S εεεε====⋅=⎰⎰⎰
4、如果一点电荷q 位于立方体一个顶点上，则通过不与该顶点相连的任一立方体侧面的电通量为（ D ）
A 、0
B 、 0εq
C 、 06εq
D 、 0
24εq 提示：以该立方体为一个卦限，作一边长为该立方体边长2倍的立方体。
将大立方体的6个面分别分成4个小正方形，这样的小正方形共24个。
由对称性，通过每个小正方形的电通量相等：
00
11124242424S q q E dS εεΦ=Φ=⋅==⎰ 总
5、下列说法正确的是（ A ）
A 、若高斯面上→
E 处处为0，则该面内必无净电荷（0
0S q E dS ε⋅==⎰ 内，0q ⇒=内） B 、若高斯面内无电荷，则高斯面上的→E 必定处处为0（反例：处在均匀电场中的球面）
C 、若高斯面上→E 处处不为0，则高斯面内必有净电荷（反例：处在均匀电场中的球面）
D 、若高斯面内有电荷，则高斯面上→
E 处处不为0（反例：两正的点电荷相距2R ，高斯面为以一电荷为球心，以R 为半径的球面，则在两电荷连线和球面的交点处，场强为0）
二、填空题
1、一均匀带有电量为Q ，长为l 的直线，以直线中心为球心，R （R >l ）为半径作球面，则通过该
球面的电通量为0Q ε，在带电直线的延长线上与球面的交点处的场强大小为
0422Q l l R R πε⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭。
提示：第一空：该带电线完全被球面所包围，由高斯定理可知结果。
第二空：建立Or 坐标系，坐标轴位于带电线上，坐标原点位于带电线的中心，方向沿球面的半径向外。
在带电线上取微元dQ 。
22
00(/)4()4()dQ Q l dr dE R r R r πεπε==-- /2/22/2/200(/)4()422l l l l Q l dr Q E dE l l R r R R πεπε++--===-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎰⎰
2、由一半径为R 、均匀带有电量Q 的球面，产生的电场空间，在距离球心r 处的电场强度为：当
r<R 时，E= 0 ，当r>R 时，E=204Q
r πε。
提示：参考课件有关例题。
3、由一半径为R 的无限长均匀带电圆筒面产生的电场空间，与圆筒中心轴线相距为r 处的电场强
度大小为：当r<R 时，E= 0 当r>R 时，E=r
02πελ（已知圆筒面上带电线密度为λ）。
提示：参考课件有关例题。
4、由一半径为R ，电荷体密度为ρ的无限长均匀带电圆柱体产生的电场空间，当r<R 时，E=0
2r ρε，当r>R 时，E=r
R 02
2ερ。
提示：由高斯定理：0
(2)S q E dS E rh πε⋅==⎰ 内 20022000(),(),()222(),(),()22r r h r R r R hr q E hr R R h r R r R r hr
ρρπεπεπερρπεπε⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⇒===⎨⎨⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩内 省略了一些步骤，可参照课件学习！
5、一无限大均匀带电面密度为σ的平面上有一半径为R 的圆面型空缺，则在空缺的中垂线上与
圆面相距为d 处的电场强度大小为
2202d R d +εσ。
提示：均匀带电圆环在其轴线上的电场：223/204()
qx E x R πε=+ 把带电面划分成无数带电圆环，每一带电圆环的电场：
223/2223/2223/2
000()()(2)4()4()4()dq d dS d rdr d dE d R d R d R σσππεπεπε⋅===+++
带电面的电场：223/20(2)4()R rdr d E dE d R σππε∞
⋅===+⎰⎰ 或用补偿法，直接用无限大均匀带电面的场减均匀带电圆盘的场。
三、计算题
1、一对无限长的同轴直圆筒，半径分别是R 1和R 2（R 1<R 2）,筒面上都均匀带电，沿轴线单位长
度的电量分别为λ1和λ2，试求其空间的电场强度分布。
解：取一半径为r ，长度为L 的同轴圆筒面为高斯面，应用高斯定理，
(2)S q E d S E r L πε⋅==⎰ 内
101111212000121222000,()20,()
,(),()222(),(),()22r R rL r R q L E R r R R r R rL rL r L r R r R rL r πελλπεπεπελλλλπεπε⎧⎧<⎪⎪<⎪⎪⎪⎪⇒==<<=<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪++>>⎪⎪⎩⎩
内
2、内外半径分别为R 1、R 2的均匀带电厚球壳，电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度。
解：取一半径为r 的同心球面为高斯面，应用高斯定理，
20
4S q E dS E r πε⋅=⋅=⎰ 内 ()()12013333111212222000333321212202200,()40,()4433,(),()44344,()333,()4r R r r R r R r R q E R r R R r R r r r R R R R r R r r R r περππρπεπεερρππεπε⎧<⎪⎧⎪⎪<⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪-⎪⎪⎝⎭==<<=<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎛⎫--⎪⎪ ⎪>⎝⎭⎪⎪>⎩⎪⎩
内
3、厚度为d 的无限大均匀带电平板，若电荷体密度为ρ，求空间各处的电场强度。
解：方法一： 参考课件有关例题。
由无限大均匀带电平面周围空间的电场
2E σε=可计算得出： ()()00
2,02,02x d x d E d x x d ρερε⎧-<<⎪⎪=⎨⎪<>⎪⎩或，方向均远离对称面。
提示：1）dx σρ=；
2）在板外，所有无限大带电面的电场同向；在板内，考察点两侧的无限大带电面的电场反向；
方法二：利用高斯定理。
为方便见，此次坐标原点定在板的对称面上。
x
00,2,22x d x E d d x ρερε⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，方向均远离对称面。
（ 提示：参考课件有关例题。
）。