三角函数的图象与性质(学生)

1学生： 上课时间：三角函数的图象与性质知识总结1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R)(2z k k x ∈+≠ππ值域[]1,1- []1,1-R2最值当)(22z k k x ∈+=ππ时，max 1y =；当 )(22z k k x ∈+-=ππ时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值最小正周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈ 上是增函数； 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ， )(Z k ∈ 上是减函数。

在[]πππk k 22，-)(Z k ∈ 上是增函数；在[]πππ+k k 22，)(Z k ∈ 上是减函数． 在 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈上是增函数．对称性对称中心：(,0)k k Z π∈对称轴:2x k ππ=+ 对称中心:2(,0)k ππ+)(Z k ∈对称轴:xk π=对称中心:(,0) k k Z π∈ 无对称轴3、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质：最大值是B A +，最小值是A B -， 振幅A , 周期是ωπ2=T ， 频率是πω2=f ， 相位是ϕω+x ， 初相是ϕ. *对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

*求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；*求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

*五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：3五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

4．由y ＝sin x 的图象变换出B x A y ++=)sin(ϕω的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，得到函数()si n y x ϕ=+的图象； 再将函数()si n y x ϕ=+的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变）)(ω＞0)，便得()siny x ωϕ=+的图象,再将函数()s i n y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．再将数()siny x ωϕ=A +的图象上各点整体向上（B>0）或向下（B<0）平移B 个单位，得到函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变）)(ω＞0)，便得()sin y x ω=的图象,再将函数()s i n y x ω=的图象上所有点再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得便得()siny x ωϕ=+的图象,再将函数()s i n y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．再将数()sin y x ωϕ=A +的图象上各点整体向上（B>0）或向下（B<0）平移B 个单位，得到函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像。

题型1：三角函数的定义域、值域例1 求下列函数的定义域：4（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }.方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1, ∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.（2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ. 方法二 利用三角函数线，如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ， 则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0，将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π, 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ.5题型2：三角函数的图象例2．函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。

答案为D 。

例3．函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数。

选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数。

点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

题型3：三角函数图象的变换例4．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。

解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；6（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象。

例5 已知函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π， 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X . 列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.7方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象；再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象.例6．如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点， 则A =-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π， ∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π， 所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3，以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点. 列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∙=+∙πϕπωϕπω6503解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω.∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx .例7．（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）A ．（4π，2π）∪（π，45π） B ．（4π，π） C ．（4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，23π） 解析：C ；8解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图1可得C 答案。

图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C 。