基本不等式0
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
基本不等式0
过点Q作垂直于AB
的弦PQ，连AP,BP,
A
a o Q b B 则半弦PQ=____,
ab
半径AO=a____b_ 2
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
§3.4基本不等式
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
则AB=a2 b2 则正方形的面积为S=a2 b2 。
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三
角形，它们的面积总和是S’=2a—b——
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
D
a2 b2 2ab
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
A
当a=b时，S=S，
a2 b2 2ab(a 0,b 0)
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点： ①当且仅当a=b 时，等号成立。
②结构上：不等号两边，一边是积，另一 边是和。
你会了 吗？
Ea F cb
a2 b2 B
问5：当a,b为任意实数时，a2 b2 2a b
还成立吗？为什么？
结论：
一般地，对于任意实数a、b， a2 b2 2a b
重要不等式
第六章第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式[学生用书P122]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可． (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同)；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 D [解析] 因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．(2017·郑州模拟)设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8C [解析] 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时，取等，所以最小值为4.3．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．[解析] x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等成立．[答案] 54.教材习题改编 若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．[解析] 设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10， 所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等． [答案] 25 m 2利用基本不等式求最值(高频考点)[学生用书P123]利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．[典例引领](1)(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋4b 的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 【解析】 (1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2.(2)因为ln(a ＋b )＝0，所以a ＋b ＝1， 又因为a ＞0，b ＞0，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ×4ab＝9. 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝23时取“＝”．(3)令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等，此时a ＝72，b ＝32.所以 t max ＝18＝3 2. 【答案】 (1)C (2)9 (3)32利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等成立的条件，判断等能否取到，只有等能成立，才能利用基本不等式求最值．[题点通关]角度一 知和求积的最值1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82C [解析] xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等成立，故选C. 角度二 知积求和的最值2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12A [解析] 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等． 所以S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.角度三 求参数的值或范围3．(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1D ．2C [解析] 由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a时取等；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.利用不等式解决实际问题[学生用书P123][典例引领]某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？【解】 (1)由题意可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x ＞3，y ＞3)．(2)法一：S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 法二：设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x ＞3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3（40－x ）（40＋x ）x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40，当3＜x ＜40时，f ′(x )＞0；当x ＞40时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [解] (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.[学生用书P124]——忽视最值取得的条件致误(1)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x ＜0)的最小值为________．【解析】 (1)因为x ＞0，y ＞0， 所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)因为x ＜0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋22 (2)1＋2 6利用基本不等式求最值的注意事项(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等能取得”，这三个方面缺一不可．如本例(2)易忽视x ＜0.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等成立，并且要注意取等的条件是否一致．在利用基本不等式处理问题时，列出等成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．1.(2017·合肥市第二次质量检测)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [解析] 因为a ，b 都是正数，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等，选项C 正确．2．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．[解析] y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15 ≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3. [答案] 33．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0，1)，则1a ＋1b 的最小值是________．[解析] 依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(2a ＋b )＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等，所以1a ＋1b的最小值是3＋2 2.[答案] 3＋2 2[学生用书P354(独立成册)]1．当x ＞0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2 B [解析] f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ，x ＞0即x ＝1时取等．所以f (x )有最大值1.2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [解析] 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而ab ＋b a ≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件． 3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [解析] 因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy ≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1. 4．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3D [解析] 由题意得⎩⎨⎧ab ＞0，3a ＋4b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 即3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4ba＝7＋4 3. 当且仅当3a b ＝4ba时取等．故选D.5．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A.L 28 B.L 24 C.L 22D ．L 2A [解析] 设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ， 因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A.6．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C [解析] 根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．[解析] 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取到等．[答案] 2 148．(2017·郑州市第二次质量检测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．[解析] 由题意得，y ＝3－x 22x ，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等成立．[答案] 39．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________． [解析] 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1.又因为a ＞1，所以b ＞0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1＞0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26（a －1）×6a －1＋15＝27.当且仅当6(a －1)＝6a －1(a ＞1)，即a ＝2时取等．[答案] 2710．(2017·厦门模拟)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． [答案] (－∞，22－3]11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等成立，所以x ＋y 的最小值为18.12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17. (1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？[解] (1)由试验数据知，s 1＝25n ＋4，s 2＝710n ＋494，所以⎩⎨⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解之得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514. 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1)知，s ＝3v 50＋v 2400，v ≥0. 依题意，s ＝3v 50＋v 2400≤12.6， 即v 2＋24v －5 040≤0，解得－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60.故行驶的最大速度为60 km/h.13．(2017·湖南省东部六校联考)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13C.3＋223D.34C [解析] 由已知可得AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →＝13x AM →＋13yAN →，又M 、G 、N 三点共线，故13x ＋13y ＝1，所以1x ＋1y＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·13＝13⎝⎛⎭⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等)．故选C.14．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋a c2的最小值为________． [解析] 因为x 2－2x －3＞0，所以x ＜－1或x ＞3，因为A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，所以B ＝{x |－1≤x ≤4}，所以－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根，所以－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝c a， 所以b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a ＞0，所以b 2a ＋a c 2≥2b 2c 2＝－2b －c ＝6a 4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝a c2时取等． [答案] 3215．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)1x ＋1y的最小值． [解] (1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 16．(2017·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？[解] 设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .所以S ≤34⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝2 500 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”． (2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000，即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝⎛⎭⎫y －80072＋120 0007⎝⎛⎭⎫0<y <4003，当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.。
基本不等式的常见题型
12.已知x 0, y 0, x y 1, 则
13.已知2 x y 0,
1
1
的最小值是 _____.
1 x 1 2 y
1
1
1, 则x y的最小值是 _____.
2 x-y x +2 y
1 1
4x
9y
14.已知x 0, y 0, 1, 则
2.基本不等式
一、知识点梳理
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b
称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数.
2
(3)其中
1 a 2＋b2 2ab, a,b R
(当且仅当 a＝ b时取等号 )
2
a＋b
的最小值为_______.
xy
a2 1
的最小值为_______.
ab
x2 3y
的最小值为_______.
xy
[题组训练]
(�+1)(2�+1)
1. (2019 天津,13,5 分)设 x>0,y>0,x+2y=5,则
��
的最小值为
.
1 a
2.设a 0, b >0, 且a b 1, 则 的最小值为_______.
1 1
2.若 2m＋n＝1 上，且 m，n 为正数，则 ＋ 的最小值为________.
m n
1
4
3.已知正数 x,y 满足 x+y=1,则�+1+�的最小值为________.
考点24 基本不等式及其应用
考点二十四 基本不等式及其应用知识梳理1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．3.基本不等式的几个常见变形(1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．5.利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .典例剖析题型一 基本不等式成立条件问题例1 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b ≥2ab④b a ＋a b ≥2 答案 ④解析 ∵a 与b 可能相等，∴a 2＋b 2≥2ab ，故①不正确；对于②、③，当a <0，b <0时不等式不成立，故②、③不正确；对于④，由于ab >0，∴b a >0，a b >0，a b ＋b a≥2a b ·b a＝2成立(当且仅当a ＝b 时等号成立)．变式训练 下列不等式中一定成立的是________．①x ＋1x ≥2 ②b a ＋a b ≥2 ③sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) ④x ＋1x ≥2(x >0) 答案 ④解析 对于选项①，当x <0时显然不成立；对于选项②，当b a<0时显然不成立； 对选项③，当sin x <0时显然不成立；只有选项④正确.解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.题型二 利用基本不等式求最值例2 (1) 若x >0，则x ＋2x的最小值是________． (2) 当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1的最小值是________． 答案 (1) 2 2 (2) 3解析 (1) 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.(2)y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2 (x －1)·1x －1＋1＝3 ⎝⎛⎭⎫当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立. 变式训练 (1)当x >1时，x ＋4x －1的最小值为________； (2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________． 答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x >1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5. (2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163. 例3 设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.变式训练 若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是________．答案 1解析 ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0.lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1. 当且仅当a ＝b ＝10时取等号．解题要点 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．题型三 利用1的代换求值例4 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 变式训练 已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________． 答案 18解析 ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y≥10＋28y x ·2x y＝18. 当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.解题要点 解决这类条件最值问题通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．当堂练习1．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是________． 答案 982．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________． 答案 92解析 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12×[5＋(b a ＋4a b )]≥12×(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 3. 已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有________． 答案 最大值为－4解析 ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1－x－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立． 4．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝______. 答案 36解析 ∵a >0，x >0，∴f (x )＝4x ＋a x ≥2 4x ·a x＝4a ⎝⎛⎭⎫当且仅当4x ＝a x 即a ＝4x 2时等号成立， 又x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36.5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2. 课后作业一、 填空题1．若0＜x ＜1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为________．答案 23解析 ∵0＜x ＜1，∴f (x )＝x (4－3x )＝13·3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”． 2．已知a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，则ab 的最大值为________．答案 14解析 ∵ln(a ＋b )＝0，∴a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14. 3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为________． 答案 (0,2)解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1≥2， 当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2． 4．若x ＞54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为________． 答案 7解析 f (x )＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋5. ∵x ＞54，∴4x －5＞0，∴4x －5＋14x －5≥2. 故f (x )≥2＋5＝7，等号成立的条件是x ＝32. 5．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可.6．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是________． 答案 1解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 7．(2015湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________． 答案 2 2解析 由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数．因而可利用基本不等式求解． 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.8．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6.9．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案 36解析 因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x≥24a ＝4a ， 当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36. 10． (2014年上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．答案 2 2解析 x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．11．已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则xy 的最大值为______．答案 3解析 ∵12＝3x ＋4y ≥23x ·4y ，∴xy ≤3.二、解答题12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9. 证明 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. ∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9. 13．(2015湖南理节选)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：a ＋b ≥2；证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. 由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.。
不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)
例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式[学生用书P132]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0；(2)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D.因为x <0，所以－x >0， －x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立， 所以x ＋1x ≤－2.2．若x ≥2，则x ＋4x ＋2的最小值为________．解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2，得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t －2取得最小值4＋44－2＝3.答案：3[学生用书P133]利用基本不等式求最值(多维探究)角度一通过拼凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】(1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x＋（4－3x）22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号．(2)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2 （5－4x）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【答案】 (1)23 (2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________． 解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A.223B ．23 C.33D.233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎨⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.【答案】 4当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B.方法一：由题意x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy＋9＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.方法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B. 2．(2021·贵阳市四校联考)已知a ＋b ＝2，且a ＞－1，b ＞0，则1a ＋1＋1b的最小值为( )A.23 B ．1 C.43D.32解析：选C.由a ＋b ＝2，得a ＋1＋b ＝3.因为a ＞－1，所以a ＋1＞0，所以1a ＋1＋1b ＝13(a ＋1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋b a ＋1＋a ＋1b ≥13·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2ba ＋1·a ＋1b ＝43，当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝12，b ＝32时等号成立，所以1a ＋1＋1b 的最小值为43，故选C.3．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y＋3y x 的最小值为( )A.53 B ．103 C.32 D ．3解析：选 D.由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4x x ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y ·x ＋3yx－1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号，故选B.【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2021·安徽安庆大观模拟)如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的()A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2解析：选B.设BC ＝a ，a ＞0，CD ＝b ，b ＞0，则ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋4a ≥22a ·4a ＝42，当且仅当2a ＝4a ，即a ＝2时取等号，此时长度取得最小值4 2.故选B.基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(2021·吉林通钢一中等三校第五次联考)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A.76 B ．712C.712＋33D.76＋33【解析】 因为CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， 所以CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，因为P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， 所以x 3＋y4＝1(x ＞0，y ＞0)，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33， 当且仅当x 3y ＝y 4x 时等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C. 【答案】 C角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y 的最小值为4.故选C.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1) ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.答案：923．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞[学生用书P135]核心素养系列12 逻辑推理——利用基本不等式连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)．【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d 的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D.3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d ≥5＋24d c ·c d ＝9，当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时取等号，即1abc ＋1d 的最小值为9，故选B.[学生用书P393(单独成册)][A 级 基础练]1．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1.2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.方法一：由于a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.方法三：由题意知a ＝b b －1(b >1)，所以a ＋b ＝b b －1＋b ＝2＋b －1＋1b －1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B ．43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值是0.4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2. 5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.6．(2021·四省八校第二次质量检测)已知a ＝(1，x )，b ＝(y ，1)，x ＞0，y ＞0.若a ∥b ，则xyx ＋y的最大值为( ) A.12 B ．1 C. 2D ．2解析：选 A.方法一：a ∥b ⇒xy ＝1，所以y ＝1x ，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ＝1x ＋1x≤12x ×1x ＝12(当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.方法二：a ∥b ⇒xy ＝1，又x ＞0，y ＞0，所以xy x ＋y ＝1x ＋y ≤12xy＝12(当且仅当x ＝y ＝1时取等号)，所以xy x ＋y的最大值为12，故选A.7．(2020·高考天津卷)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．解析：依题意得12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2×8a ＋b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ＝1，a ＋b 2＝8a ＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝4时取等号．因此，12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案：48．(2020·高考江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__________．解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1得x 2＝15y 2－y 25，则x 2＋y 2＝15y 2＋4y 25≥215y 2·4y 25＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5x 2＋y 2）＋4y 222＝254·(x 2＋y 2)2，则x 2＋y 2≥45，当且仅当5x 2＋y 2 ＝4y 2＝2，即x 2＝310，y 2＝12时取等号，则x 2＋y 2的最小值是45.答案：459．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12(x ＝72舍去)时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）取最大值，为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[B 级 综合练]11．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12. 12．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．5C．7 D．9解析：选C.因为x>0，y>0.且1x＋1＋1y＝12，所以x＋1＋y＝2⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＋1y(x＋1＋y)＝2(1＋1＋yx＋1＋x＋1y)≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2yx＋1·x＋1y＝8，当且仅当yx＋1＝x＋1y，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.13．若a＋b≠0，则a2＋b2＋1（a＋b）2的最小值为________．解析：a2＋b2＋1（a＋b）2≥（a＋b）22＋1（a＋b）2≥212＝2，当且仅当a＝b＝2－34时，a2＋b2＋1（a＋b）2取得最小值 2.答案： 214．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－2m＋1(m≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2021年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，为21万元．[C 级 提升练]15．已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a ＋b 的最小值为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.16．(2021·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2xsin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t －4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1.答案：1。
(完整版)基本不等式及其应用
基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1（22、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形（1（2总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时,它们的积有最小4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”5、经常使用结论（1当且仅那时=”）（2当且仅那时=”）（3当且仅那=”）（4（5）若,则6、柯西不等式 （1）若,则（2则有：（3两组实数,则有题型一：利用基本不等式证明不等式1、,2,求证3、已知,求证：45、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知>≥b a ,求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y +=（2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y（4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ,求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ,求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ,求函数4242-+=x x y 的最年夜值；练习：1、已知54x >,求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最年夜值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、那时,求(82)y x x =-的最年夜值；变式14(82)y x x =-的最年夜值；变式2：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最年夜值.202<<x ,y x x =-()63的最年夜值；变式40<<x ,)28(x x y -=的最年夜值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最年夜值；（提示：平方,利用基本不等式） 数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最年夜值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1最小值；法一： 法二：变式1：已知,求变式2最小值；变式3：已求.变式4：值；变式5： （1）值；（2）若且,求变式6：使得题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数的值域；变式：2、示：换元法）变式：题型七：基本不等式的综合应用1小值2、（2009天津）已知,求变式1：（2010求关值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知,那时像恒过定点,若点在直线,3、已知,,求变式1：变式2：（2010山东）已知值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知年夜值；4、（2013年山东（理））取得最年夜值时值为（）（）A（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设是正数,满足题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012且,最小值；2、已知且,4）（提示：分离参数,换元法）变式：已若,题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式若,则2、二维形式的柯西不等式的变式3、二维形式的柯西不等式的向量形式4、三维柯西不等式则有：5,。
基本不等式
§1.4 基本不等式考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)其中a ＋b2称为a ，b 的算术平均值，ab 称为a ，b 的几何平均值．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．利用基本不等式求最值(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × )(2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ ) (4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × )教材改编题1．若正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 答案 A解析 因为正实数a ，b 满足a ＋4b ＝ab ， 所以ab ＝a ＋4b ≥24ab ＝4ab ， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝4b ，即a ＝8，b ＝2时等号成立． 2．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________．答案 1解析 因为x ≥0，所以x ＋1>0，1x ＋1>0， 利用基本不等式得y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立．所以函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为1.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立， ∴y max ＝25，即矩形场地的最大面积是25 m 2.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1 (1)已知x >2，则函数y ＝x ＋12(x －2)的最小值是( )A ．2 2B ．22＋2C ．2 D.2＋2答案 D解析 由题意可知，x －2>0， ∴y ＝(x －2)＋12(x －2)＋2≥2(x －2)·12(x －2)＋2＝2＋2，当且仅当x ＝2＋22时，等号成立，∴函数y ＝x ＋12(x －2)(x >2)的最小值为2＋2.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．答案 92解析 ∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. 命题点2 常数代换法例2 已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为( ) A ．16 B ．8＋4 2 C ．12 D ．6＋4 2答案 A解析 由题意可知2x ＋4y＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋4y ＝8x y ＋2yx ＋8≥28x y ·2yx＋8＝16， 当且仅当8x y ＝2yx ，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16. 命题点3 消元法例3 (2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法)由已知得9－(x ＋3y )＝xy ＝13·x ·3y ≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号． 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值． 解 9－xy ＝x ＋3y ≥23xy ， ∴9－xy ≥23xy ，令xy ＝t ， ∴t >0， ∴9－t 2≥23t ， 即t 2＋23t －9≤0， 解得0<t ≤3， ∴xy ≤3，∴xy ≤3，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号， ∴xy 的最大值为3.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)(多选)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列说法错误的是( ) A ．ab 有最小值14B ．8a ＋8b 有最大值8 2 C.1a ＋1b有最小值4 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 AD解析 由1＝a ＋b ≥2ab ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 得ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 错误；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋214＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 则a ＋b ≤2，则8a ＋8b 有最大值82，故B 正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 故1a ＋1b有最小值4，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， 所以a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．(2)已知x >1，则y ＝x －1x 2＋3的最大值为________．答案 16解析 令t ＝x －1，∴x ＝t ＋1， ∵x >1，∴t >0，∴y ＝t (t ＋1)2＋3＝t t 2＋2t ＋4＝1t ＋4t ＋2≤124＋2＝16，当且仅当t ＝4t ，t ＝2，即x ＝3时，等号成立，∴当x ＝3时，y max ＝16.题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．b >a ＋b 2>a >abB ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ， ∴b >a ＋b 2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a . 故b >a ＋b 2>ab >a .(2) (2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得， CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ， ∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( ) A.2a ＋b B.1a ＋1b C.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b<22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.题型三 基本不等式的实际应用例5 中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解 (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为⎝ ⎛⎭⎪⎫50＋1015－0.1x 元， 单套利润为x －50－1015－0.1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50－100150－x 元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(150－x )＋100150－x ＋100≤100－2(150－x )·100150－x＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm 时，用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)．答案 12 5解析 设直角梯形的高为x cm ，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm 2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm ， ∴海报宽AD ＝x ＋4，海报长DC ＝1 440x ＋8，故S矩形ABCD＝AD ·DC ＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎫1 440x ＋8＝8x ＋5 760x＋1 472≥28x ·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，当且仅当8x ＝5 760x ，即x ＝125时，等号成立．∴当直角梯形的高为12 5 cm 时，用纸量最少．课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时取等号，又x 2≠－1，故B 错误； y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)， y ＝sin x ＋1sin x≥2， 当且仅当sin x ＝1sin x ，即sin x ＝1时取等号， 因为sin x ∈(0,1)，故D 错误．2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则lg a ＋lg b 的最大值为( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 A解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2， ∴lg a ＋lg b ＝lg ab ≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝0， 当且仅当a ＝b ＝1时，取等号． ∴lg a ＋lg b 的最大值为0.3．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．所以|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.4．(2023·太原模拟)已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝3，则1a ＋1＋1b ＋2的最小值为( ) A.23 B.56 C.12D ．4 答案 A解析 因为a ＋b ＝3，所以1a ＋1＋1b ＋2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋2(a ＋1＋b ＋2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2a ＋1＋a ＋1b ＋2＋2≥16⎝⎛⎭⎪⎪⎫2b ＋2a ＋1·a ＋1b ＋2＋2＝23， 当且仅当b ＋2a ＋1＝a ＋1b ＋2，即a ＝2，b ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1＋1b ＋2的最小值为23. 5．(多选)(2022·衡阳模拟)设a ＝log 23，b ＝log 243，则下列关系正确的是( ) A ．ab >a ＋b 2B ．ab <a ＋b 2 C.a ＋b 2>b aD ．ab >b a 答案 BCD解析 易知a >0，b >0，a ＋b 2＝1，a ≠b ，ab <(a ＋b )24＝1，ab >b a⇔a >1，显然成立． 所以a ＋b 2>ab >b a. 6．(多选)(2023·黄冈模拟)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14B.1a ＋1b ≥1 C ．log 2a ＋log 2b <2D.1a 2＋b 2≤18答案 BD 解析 因为a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 则ab ≤⎝⎛⎭⎫422＝4或⎝⎛⎭⎫422≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则1ab ≥14，a 2＋b 2≥8，1a 2＋b 2≤18， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，则log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 24＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A ，C 不恒成立，D 恒成立；对于B 选项，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥4×14＝1， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 恒成立．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 答案 0解析 因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)， 所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0. 8．(2023·娄底质检)已知a ，b 为正实数，且2a ＋b ＝1，则2a ＋a 2b的最小值为________． 答案 6解析 由已知条件得，2a ＋a 2b ＝4a ＋2b a ＋a 2b＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋4≥22b a ·a 2b＋4＝6， 当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝25，b ＝15时，取等号．所以2a ＋a 2b的最小值为6. 9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解 (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时，取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以4－x 2>0， 则y ＝x 4－x 2＝x 2·(4－x 2)≤x 2＋(4－x 2)2＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.10．某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0<x <40，701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出今年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)当0<x <40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－300＝－10x 2＋600x －300，当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎫701x ＋10 000x －9 450－300＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，∴W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －300，0<x <40，－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150，x ≥40. (2)若0<x <40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 700，当x ＝30时，W (x )max ＝8 700(万元)．若x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 150≤9 150－210 000＝8 950， 当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，取等号． ∴W (x )max ＝8 950(万元)．∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．11. (2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan 2β＝0，则tan α的最大值为( )A.24B.23C.22D. 2 答案 A解析 因为β为锐角，所以tan β>0，由题意可得tan α＝tan β1＋2tan 2β＝12tan β＋1tan β≤122＝24， 当且仅当tan β＝22时取等号， 故tan α的最大值为24. 12．(2022·天津模拟)若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 若a >0，b >0，则(a ＋b )2＋1ab ≥(2ab )2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，4ab ＝1ab ， 即a ＝b ＝22时取等号，故所求的最小值为 4.13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≤ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)D.a 2＋b 22≥a＋b 2(a >0，b >0)答案 C解析 根据图形，利用射影定理得CD 2＝DE ·OD ，又OD ＝12AB ＝12(a ＋b )，CD 2＝AC ·CB ＝ab ，所以DE ＝CD 2OD ＝aba ＋b 2，由于OD ≥CD ，所以a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)．由于CD ≥DE ， 所以ab ≥2aba ＋b ＝21a ＋1b(a >0，b >0)．14．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则() A ．x ＋y ≤1 B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案 BC解析 因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x ＋y )2－1＝3xy ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1可变形为(x 2＋y 2)－1＝xy ≤x 2＋y 22， 解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；因为x 2＋y 2－xy ＝1可变形为⎝⎛⎭⎫x －y 22＋34y 2＝1， 设x －y 2＝cos θ，32y ＝sin θ， 所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， 因此x 2＋y 2＝cos 2θ＋53sin 2θ＋233sin θcos θ＝1＋33sin 2θ－13cos 2θ＋13 ＝43＋23sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6∈⎣⎡⎦⎤23，2，所以D 错误．。
0 利用基本不等式求范围的四个典例 教师版.
ab bc
ab bc
注：以上各题，形异质同；
【条件是不等关系】
1.已知实数 x,
y
满足 x
y
0
，且 x
y
2
，则
x
2 3y
x
1
y
的最小值为
.
方法一 ∵4 2x 2 y ，∴
( x
2 3y
x
1
)( x y
y)
(
x
2 3y
x
1
)[( x y
3y)
(x
y)] 1 2
1 [3 2
2(x y) x 3y
答案： M
(a
c)( a
1 b
b
1
) c
[(a
b)
(b
c)]( a
1 b
b
1
) ，∴ M c
4 ；；
注：已知a b c ，且 1 1 M 0 恒成立，求 M 的取值范围. ab bc ca
答案： M (a c)( 1 1 ) [(a b) (b c)]( 1 1 ) ，∴M 4 ；
答案：( 2 1)(a b) 3 2b a 3 2
2 ，∴a b 3 2
2
；
ab
ab
3
变式 2：已知a, b 0 ，且2a b 3ab ，求a b 的最小值.
答案：同变式 1；
变式 3：已知a, b 0 ，且a b 2 ，求 a b 的最大值. a 1 b1
答案： a b (a 1) 1 (b 1) 1 2 ( 1 1 ) ，
2
取等号，∴
a 1 b1 a 1
b 1
a 1 b1
问题变为：(a 1) (b 1) 3 ，求 1 1 的最小值，下略； a 1 b1
高一数学必修 不等式知识点总结
5、常用的基本不等式：① a2 b2 2ab a,b R ；② ab a2 b2 a,b R ；
2
③ ab
ab 2
2
a
0, b
0 ；④
a2
b2 2
a
b 2
2
a,b R ．
6、极值定理：设 x 、 y 都为正数，则有
⑴若 x y s （和为定值），则当 x y 时，积 xy 取得最大值 s2 ． 4
判别式 b2 4ac
0
0
0
二次函数 y ax2 bx c
a 0 的图象
一元二次方程 ax2 bx
c 0 a 0 的根
有两个相异实数根
x1,2
b 2a
x1 x2
有两个相等实数
根
x1
x2
b 2a
没有实数根
ax2 bx c 0
x x x1或x x2
一元二次 a 0
x
⑵若 xy p （积为定值），则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 p ．
例：（13-14 耀华 7）若 2-m 与|m|-3 异号，则 m 的取值范围是
A、m>3
B、-3<m<3
C、2<m<3 D、-3<m<2 或 m>3
2 m 0 2 m 0
解析：由题 得
m
3
0或
m
3
, 3 0
m
2或m
3.
答案：D
例：（13-14 蓟县 11）已知实数 x、y R,且x y 1,则 2 1 的最小值为 xy
解析： 2 1 ( 2 1 )(x y) 3 2 y x 3 2 2 当且仅当 x2 2 y2
高考数学之基本不等式
基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a ＋b 2；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0， ∴f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2()4y x ＋xy ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15(3)18考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋cab ≥2 bc a ·cab ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋()b a ＋a b ＋()c a ＋a c ＋()c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[)15，＋∞ 答案[)15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900()x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900()x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元． 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 【示例】►已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b 的最小值．错因 两次基本不等式成立的条件不一致． 实录 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.又1a ＋2b≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab≥4， ∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b 的最小值为4 2. 正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝()1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 [尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1aba (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立． 答案 D16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为f (x)的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，求33++a b 的取值范围．18.已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R=++∈满足：对任意实数x,都有()f x x≥，且当x∈（1，3）时，有21()(2)8f x x≤+成立. （1）求(2)f; （2）若(2)0,()f f x-=的表达式;（3）设()()2mg x f x x=-[0,)x∈+∞，若()g x图上的点都位于直线14y=的上方，求实数m的取值范围.解：（1）由条件知224)2(≥++=cbaf恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=cbaf与恒成立∴2)2(=f…………3分（2）∵⎩⎨⎧=+-=++24224cbacba∴,124==+bca∴acb41,21-==……5分又xxf≥)(恒成立，即)1(2≥+-+cxbax恒成立∴)41(4)121(,02≤---=∆>aaa，…………7分解出：21,21,81===cba∴212181)(2++=xxxf…………10分（3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=xxmxxg在必须恒成立即),0[2)1(42+∞∈>+-+xxmx在恒成立x －2 0 4f (x) 1 －1 1①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ……13分②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m ………16分19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围. 解：由cbx ax x x f +++=23)(求异得bax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即由已知切线方程为13+=x y 所以：⎩⎨⎧=-+-=++12323c a b a2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分（2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f当),32(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02依题意)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分①在16≥=b x 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分②在φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx 0212)2()(,26小时…13分③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b…16分[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)， 所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是(]－∞，－13.。
基本不等式的概念以及常规配凑法
基本不等式的概念以及常规配凑法嘿，朋友！咱今天来聊聊基本不等式这玩意儿。
您想想，数学世界就像一个神秘的大花园，里面各种奇妙的式子就像五颜六色的花朵。
而基本不等式，那可是花园里相当亮眼的一朵！
啥是基本不等式呢？简单说，对于非负实数 a 和 b ，有根号下 ab 小于等于（a + b）/ 2 ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
这就好像是一个神奇的平衡杆，让两边的数值保持着一种巧妙的关系。
比如说，您开了个小店，要算成本和利润。
成本是 a ，利润是 b ，那基本不等式就能帮您找到一个合理的平衡，让您心里有底，知道怎么经营才能效益最大化。
再来讲讲常规配凑法，这可有点像搭积木，得把合适的零件拼在一起。
咱就拿个例子来说。
假如给您个式子 x + 1 / x ，x 大于 0 ，这时候怎么用基本不等式呢？您得把它凑成（根号 x）的平方 + （1 / 根号 x）的平方，然后根据基本不等式，它就大于等于 2 啦！这是不是有点神奇？
又比如说，给您个式子 2x + 8 / x ，还是 x 大于 0 。
这时候您就得动动脑筋，把它变成 2（x + 4 / x ），然后再按照基本不等式来算，结果就出来啦！
您可别觉得这有多难，其实就像炒菜一样，掌握了火候和配料，就能做出美味的菜肴。
基本不等式和配凑法也是这样，多练练，多琢磨琢磨，您就能运用自如。
想想看，如果您在数学的战场上，基本不等式就是您的秘密武器，常规配凑法就是您熟练的战术，那还不得把难题打得落花流水？
所以说呀，朋友，别害怕基本不等式，也别怕常规配凑法，只要您用心去学，用心去练，它们就会成为您的好帮手，让您在数学的世界里畅游无阻！这多棒啊，您说是不是？。
基本不等式0k
所以 a 1 b2 2 ，当 2a 2 1 b2 时，数a,b满足 2a b 3
2 2
求 a 1 b 的最大值。 解：（法二凑项）
2
a (1 b 2 )
2
2a 2 (1 b 2 ) 2
2
当 2a 1 b 时，即a=b=1时等号 成立。
2 2
2
当且仅当a=b时取等号
考纲要求：进一步掌握基本不等式 内容；会应用基本不等式求函数最 值。 教学重、难点：基本不等式法求最 值的技巧。
13分钟
例3、已知正数a,b满足 2a b 3
2 2
求 a 1 b
2
的最大值。
2 2
提示：先求平方后 a (1 b ) 的最大值
例4、已知正数x,y满足 x y 1
长垣县第一高级中学 邱淑昌623616793@ 2015年8月28日星期五
昨天限时练卷面较好的有
苗欣月 张奎瑶 李 祥 孙廷威 陈宇涵 常思远 李庆哲 吴小雨 吴梦瑶
5分钟
重点回顾：
a b ab ab (a, b R ) 2 2
2 2
当且仅当a=b时取等号
a b ab ab(a, b R) 2 2
1 2 的最小值。 求 x y
1 2 1 2 提示： x y ( x y )( x y)
9分钟
8分钟
12分钟
例3、已知正数a,b满足
2a b 3
2 2
求 a 1 b2 的最大值。
解：（法一平方）
2a (1 b ) 1 2a 1 b a (1 b ) 2 2 2 2
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x <0，则x ＋1x( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2利用基本不等式求最值(典例迁移)(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为____________．(3)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)由题知a －3b ＝－6，因为2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．(3)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 (1)23 (2)14(3)9[迁移探究1] (变问法)若本例(3)中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案：4[迁移探究2] (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋ab ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案：114＋102利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．(2019·南昌市摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：因为x >2，m >0，所以y ＝x －2＋mx －2＋2≥2（x －2）·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，所以2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案：42．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， 所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：53．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 答案：4利用基本不等式解决实际问题(师生共研)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0， 当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式知识点归纳
2.基本不等式知识点归纳5性，易知x=2时畑I［自测•牛刀小试已知m >0, n >0,且mn =81，贝U m +n 的最小值为（ ）解析：选 A 因为 m >0, n >0,所以 m u n >2mn = ^81 = 18.1若函数f （x ）=x+ ------ （x>2）在x=a 处取最小值，则 a =（X —21 .基本不等式丿乔 < 葺匕2（1）基本不等式成立的条件： a >0,b >0. ⑵ 等号成立的条件：当且仅当 a =b 时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示：①当心时，宁,寸莎取等号，即a 心苇^=届②仅当a =b 时，丈巴取等号，即 HP a =b.2 22.几个重要的不等式22b aa 2 +b 2>2ab(a,b 壬 R); —+—>2(abA 0). a b 2 a +b 2 a + b 2 a +b ab <(——)2(a,b-R);(——)2<2 2 22 一 ("R)3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a,b 的算术平均数为 ，几何平均数为 Jab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术2平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知X :>0,y >0,则 ⑴ 如果积xy 是定值P,那么当且仅当 x=y 时，x + y 有最小值是 2/P. （简记：积定和最小）.2⑵如果和x+y 是定值P,,那么当且仅当x = y 时，xy 有最大值是—.（简记：和定积最大）.4［探究］2.当利用基本不等式求最大（小）值时，等号取不到时，如何处理?提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解.例如,y=x+」在x>2时的最小值，利用单调X1. A. 18 B. 36C. 81 D . 243最小值是1 1[例 1] 已知 a >0,b 》0, a +b =1,求证：（1 +丄）（1+丄）>9.a b-規律］利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用 基本不等式条件的可通过“变形”来转换， 常见的变形技巧有： 拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.II 闢代UH 练1.已知 a >0, b >0, C >0,求证：些 +ca+ 亚 >a + b+c. a b cA. D. 43.xz已知 X A 0, y ；>0, z >0, X — y + 2z=0,则弋的（A.1 1最小值为8 B .最大值为8C.最小值为8D-最大值为84.1函数y =x +—的值域为x5.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x) = 2的图象交于P 、Q 两点，则线段 PQ 长的x保持例题条件不变，证明:利用基本不等式证明不等式b + 2 W2.■^1(1)将该厂家20XX 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;利用基本不等式求最值[例2] (1)(2012 •浙江高考)若x>0,y>0,满足x+3y=5xy,则3x + 4y 的最小值是( )应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:(1) 一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;(2) “二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值;(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方.4 d1. (1)函数y = aJ(a :>0,a H 1)的图象过定点A,若点A 在直线mx + ny —1 = 0(m, n >0)上，求一+ —的最小值;m n⑵ 若正数a,b 满足ab = a +b +3,求ab 的取值范围.［例3］为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在20XX 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量 (即该k厂的年产量)x万件与年促销费用gO)万元满足x=4-齐(k为常数)•如果不搞促销活动，则该产品的年销 量只能是1万件.已知20XX 年生产该产品的固定投入为 6万元，每生产1万件该产品需要再投入 12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分 )•24 A.亏B.28C . 5 D • 62(2)已知a 》0,b 》0, a+—=1,则a J 1 + b2的最大值为利用基本不等式解决实际问题⑵该厂家20XX 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?［方法■规律］解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;⑵根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值;4有些实际问题中， 要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值II 國代UII 练3.某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并1 提高定价到x 元.公司拟投入一(X 2-600)万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入6a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.1个技巧一一公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2+ b 2>2ab 逆用就是ab <a+b(a A0,b >0),逆用就是ab <(a +b )2(a,b >0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条2 2件等.2个变形一一基本不等式的变形⑴晋)2兰于曲a,*当且仅当a 讪取-3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求.1-X 万元作为 5浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量 ［通法归纳领悟］1.本题具有以下创新点(1) 本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题.(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 2.解决本题的关键有以下几点正确理解a,b 的几何意义，并能正确用 A 、B 、C 、D 的坐标表示;8能用拼凑法将m +(m A 0)化成利用基本不等式求最值的形式.2m +1［变式训练］21•已知X A0, y :>0, x,a,b, y 成等差数列x, c,d, y 成等比数列，则(a b)的最小值是( )cd一 112.若直线ax —by +2 =0(a :>0,b 》0),被圆x 2+y 2+ 2x-4y+1=0截得的弦长为4,则一+—的最小值为()a bA. 4B . #2c. 3+ 72D . 2 + 2^/23.若X >0, y >0,且勺G + j y 兰a J x + y 恒成立，则a 的最小值是⑵君芦.竽二丁孔吕(a>0，b >0,当且仅当a = b 时取“「)a b3个关注一一利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致创新交汇一一基本不等式在其他数学知识中的应用1.考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.2.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件.8［典例］(2012 •湖南高考)已知两条直线l 1:y=m 和l 2：y =2m+1(m 〉。
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③
a b时
④中的等号成立.
P
A
a
o
Q b
B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,
ab 则半弦PQ=____, ab 半径AO=_____
你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗?
2
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为xym2
得 xy
81
x y xy =18/2=9 2
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大， 最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值， 当且仅当两值相等时取最值。
基本不等式
2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 2.代数证明:
3.几何意义：半弦长小于等于半径 3.几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
重要不等式： 2 a
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
最值定理 结论1 结论2 两个正数积为定值，则和有最小值. 两个正数和为定值，则积有最大值. 一“正”， ②和为定值或积为定值； 二“定”， ③注意等号成立的条件. 三“相等”.
注意：①各项皆为正数；
四、
小结
1、本节课主要内容？
你会了 吗？
2、两个结论:（1）积定和最小。
（2）和定积最大。
1. 两个不等式 （1）
§3.4基本不等式
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
三国时期吴国的数学家赵爽
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
一 、探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,
x y x y 2 100, xy 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的 面积最大，最大面积是多少？
a b 2a b
当且仅当a=b时，等号成立 如果用 a , b去替换 a b 2ab中的 a, b, 能得到什么结论? a, b 必须要满足什么条件?
2 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
a 2 b2 。 则AB= a b 则正方形的面积为S=
2 2
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab 形，它们的面积总和是S’=———
问3：观察图形S与S’有什么样的大小 D 关系？ 易得，s > s’,即
a b 2ab
2 2
H
G
C
问4：那么它们有相等的情况吗？ A 何时相等？
1 变式:已知 0 x ,求函数 y x (1 2 x ) 的最大值. 2
应用要点： 一正 二定 三相等
例3： （1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
作业
(课本100页)
1 1.x＞0, 当x取何值时， x 的值最小？最小 x 值是多少？
2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各 为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多 少？ 3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
b 1.设 a >0， >0，若 3是
得最小值为（
3
a
与
3
b
1 1 的等比中项，则 a b
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
D.
1 4
ab 证明:当 a 0, b 0 时, ab . 2
ab 证明:要证 ab ① 2 只要证 a b ( 2 ab )
要证②，只要证
②
a b (2 ab ) 0 2 要证③，只要证（ a － b ) 0 ④
a, b R, 那么a 2 b 2 2ab
(当且仅当a b时取" "号)
ab （2） ab (a>0,b>0) 当且仅当a=b时，等号成立 2
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
E
c
a
b
F
B
a 2 b2
D
2. a b 2ab成立吗？
2 2
G a A
F
C
E HEFGH b
当且仅当a=b时，等号成立
即a b 2ab成立.
2 2
B B
问5：当a,b为任意实数时， 2 b2 2a b a 还成立吗？
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
ab ab (a 0, b 0) 2
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
三、应用
发现运算结构，应用不等式
ab ab （a 0, b 0） 2
a b 2 ab a 0, b 0） （
1 例1、若 x 0 ,求 y x 的最小值. x 12 变1:若 x 0,求 y 3 x 的最小值 x b a 变2:若a 0, b 0,求 y 的最小值. a b
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
1 变3:若 x 3 ,求 y x 的最小值. x3
构造条件
三、应用
发现运算结构，应用不等式
2
ab ab （a 0, b 0） 2
ab ab （a 0, b 0） 2
例2、已知 0 x 1 ,求函数 y x(1 x ) 的最大值.