基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
22111
22b a b a ab b a +≤+≤≤+
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x >，则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
（2）若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
2
21112
2b a b a ab b
a +≤+≤
≤+
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$
2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
3、基本不等式的两个重要变形
1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当
$x=1$ 时取“=”）
2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）
3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）
4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq
\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq
基本不等式完整版
基本不等式完整版
一、知识点总结
1.基本不等式原始形式：
若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：
若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：
1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq
\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：
1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当
$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq
基本不等式完整版(非常全面)96099
基本不等式完整版(非常全面)96099
实用标准——基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$；
2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形
1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$；
2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取等号。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论
1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当
$x=1$ 时取等号）；
2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取等号）；
3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取等号）；
4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq
\frac{a^2+b^2}{2}$；
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非
常全面)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
（2）若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取
“=”）
（2）若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时
取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时
取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*,R b a ∈，则2
2111
22b a b a ab b
a +≤
+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则
22222()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”
） （2）若0x <，则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
2
2111
22b a b a ab
+≤+≤≤+ 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之阿布丰王创作
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1
（2
2
、基本不等式一般形式（均值不等式）
3、基本不等式的两个重要变形
（1
（2
总结：当两个正数的积为定植时,它们的和
有最小值；
当两个正数的和为定植时,它们的积有最小
4、求最值的条件：“一正,二定,三相等”
5、经常使用结论
（1
当且仅那时
=”）
（2
当且仅那时
=”）
（3
当且仅那
=”）
（4
（5）若
,则
6、柯西不等式 （
1
）
若
,则
（2
则有：
（3
两组
实数,则有
题型一：利用基本不等式证明不等式
1
、
,
2
,求证
3、已知
,求证：
4
5、已知,,a b c R +
∈,且1a b c ++=,求证：
1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修
4—5：不等式选讲
设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)
1
3
ab bc ca ++≤
; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不
等式选讲 已
知
>≥b a ,求
证:b a ab b a 2
23322-≥-
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）
2
2
21
3x x y +=（2）)4(x x y -= （3）
)0(1
>+=x x x y
（4）)
0(1
<+=x x x y
题型三：利用不等式求最值 （一）
（凑项）
1、已知2>x ,求函数
424
42-+
-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ,求函数4
24
2-+
=x x y 的最小值；
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
![基本不等式完整版(非常全面)[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/9348b628cd1755270722192e453610661ed95ab5.png)
基本不等式完整版(非常全面)[整理]
基本不等式可以指几乎所有组成分析和数学的基础。它可以使许多不同的数学问题变
得更容易理解，因此使用它们进行计算是极其重要的。基本不等式包括了三类不等式：大
小不等式，加法不等式和乘法不等式。以下是一些基本的不等式定义。
1、大小不等式：大小不等式表示一个数与另一个数之间的存在或缺失的关系。例如，如果A > B，则表示A大于B，而A ≤ B表示A小于或等于B，A ≠ B表示A与B之间存
在某种不同。
2、加法不等式：加法不等式表示两个数相加时的结果。例如，A + B > C的意思是A
与B的和大于C，A + B ≤ C的意思是A与B的和小于或等于C，A + B = C的意思是A
与B的和等于C。
一般地，一个数与另一个数之间的关系可以用不等式来表示，但也可以用不等式来表
示多个数之间的关系：
1、省略不等式：3x + 2y = 4z，这表示3x + 2y至少等于4z的意思。
基本不等式可以用来处理大量数学问题，比如解一元不等式、求函数的极值以及进行
多元函数分析等。它们对于熟悉数学理论和解决数学问题都极其重要。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则22111
22b a b a ab b
a +≤+≤≤+
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
222
222
2
1
2311
23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
基本不等式(很全面)
基本不等式
【知识框架】
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+ （2）若R b a ∈,，则2
22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则22111
22b a b a ab
+≤+≤≤+ 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则22222
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22
2
2
2
2
21231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有
22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)2
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导之青柳念文创作
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*,R b a ∈，则ab b
a ≥+2
（2）若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常常使用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
（3）若0>ab ，则2≥+a
b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则22111
2
2b a b a ab b
a +≤
+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则22222
()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
22111
22b a b a ab b a +≤+≤≤+
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式
（1）若,,,abc d R ∈，则22222
()
()()a b c d a c b d ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
2
22
222
2
1
2311
23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
基本不等式(很全面)
基本不等式
【知识框架】
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2≥+ （2）若R b a ∈,，则2
22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2
)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2
211122b a b a ab b a +≤+≤≤+
6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则22222
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有
22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2
b
a a
b +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2
)2(
2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则22111
22b a b a ab b
a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当
b a =时取“=”
6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+
（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有
22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知
c
b a ,,为两两不相等的实数，求证：
ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=，求证：2
2
2
13
a b c ++≥
4、已知,,a b c R
+
∈，且1a b c ++=，求证：
abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
5、已知,,a b c R
+
∈，且1a b c ++=，求证：
1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、（2013年卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1）2
2
21
3x x y += （2）)4(x x y -=
（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1
<+=x x
x y
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知2>x ，求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ，求函数4
24
2-+=x x y 的最小值；
变式2：已知2 24 2-+=x x y 的最大值； 练习：1、已知54x >，求函数14245 y x x =-+-的最小值； 2、已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值； 题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值； 变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值； 变式2：设2 3 0< 2、若02< 变式：若40< 3、求函数)2 5 21(2512<<-+-=x x x y 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式） 变式：求函数)4 1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值； 题型五：巧用“1”的代换求最值问题 1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b =+11 的最小值； 法一： 法二： 变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b =+11 的最小值；