基本不等式专题----完整版(非常全面)
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：
3、设 ， ，求 之最小值为，此时
（析： ）
4、（2013年湖南卷（理））已知
则 的最小值是( )
5、（2013年湖北卷（理））设 ,且满足: , ,求 的值；
6、求 的最大值与最小值。（ ：最大值为 ，最小值为 ）
析：令 (2sin， cos，cos)， (1，sin，cos)
已知 ，求证:
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1） （2）
（3） （4）
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知 ，求函数 的最小值；
变式1：已知 ，求函数 的最小值；
变式2：已知 ，求函数 的最大值；
练习：1、已知 ，求函数 的最小值；
2、已知 ，求函数 的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当 时，求 的最大值；
变式1：当 时，求 的最大值；
变式2：设 ，求函数 的最大值。
2、若 ，求 的最大值；
变式：若 ，求 的最大值；
3、求函数 的最大值；
（提示：平方，利用基本不等式）
变式：求函数 的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知 ，求 的最小值；
法一：
法二：
变式1：已知 ，求 的最小值；
变式2：已知 ，求 的最小值；
变式3：已知 ，且 ，求 的最小值。
变式4：已知 ，且 ，求 的最小值；
变式5：
（1）若 且 ，求 的最小值；
（2）若 且 ，求 的最小值；
变式6：已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 ，使得 ，求 的最小值；
题型六：分离换元法求最值（了解）
1、求函数 的值域；
变式：求函数 的值域；
3、已知 ， ，求 最小值；
变式1：已知 ，满足 ，求 范围；
变式2：（2010山东）已知 ， ，求 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：（2011浙江）已知 ， ，求 最大值；
4、（2013年山东（理））设正实数 满足 ,则当 取得最大值时, 的最大值为（ ）（ ）
A． B． C． D．
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
若 ，则
2、二维形式的柯西不等式的变式
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
4、三维柯西不等式
若 ，则有：
5、一般 维柯西不等式
设 是两组实数，则有:
题型分析
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 ，若 ，则 的最小值为时，
析：
∴ 最小值为
此时
∴ ， ，
2、设 ， ，求 的最小值 ，并求此时 之值。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（2）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（3）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（4）若 ，则
（5）若 ，则
特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”
6、柯西不等式
（1）若 ，则
（2）若 ，则有：
（3）设 是两组实数，则有
变式：设 是正数，满足 ，求 的最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（2012沈阳检测）已知 ，且 恒成立，求正实数 的最小值；
2、已知 且 恒成立，如果 ，求 的最大值；（参考：4）
（提示：分离参数，换元法）
变式：已知 满则 ，若 恒成立，求 的取值范围；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若 ，则
（2）若 ，则
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若 ，则
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若 ，则
（2）若 ，则
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”
2、求函数 的最大值；（提示：换元法）
变式：求函数 的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
1、已知 ，求 的最小值
2、（2009天津）已知 ，求 的最小值；
变式1：（2010四川）如果 ，求关于 的表达式 的最小值；
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当 时，函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，求 的最小值；
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设 均为正数，证明不等式: ≥
2、已知 为两两不相等的实数，求证：
3、已知 ，求证：
4、已知 ，且 ，求证：
5、已知 ，且 ，求证：
6、（2013年新课 标Ⅱ卷数学（理）选 修4—5：不等式选 讲
设 均为正数,且 ,证明:
(Ⅰ) ; (Ⅱ) .
7、（2013年江苏卷（数学）选 修4—5：不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 讲
3、设 ， ，求 之最小值为，此时
（析： ）
4、（2013年湖南卷（理））已知
则 的最小值是( )
5、（2013年湖北卷（理））设 ,且满足: , ,求 的值；
6、求 的最大值与最小值。（ ：最大值为 ，最小值为 ）
析：令 (2sin， cos，cos)， (1，sin，cos)
已知 ，求证:
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1） （2）
（3） （4）
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知 ，求函数 的最小值；
变式1：已知 ，求函数 的最小值；
变式2：已知 ，求函数 的最大值；
练习：1、已知 ，求函数 的最小值；
2、已知 ，求函数 的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当 时，求 的最大值；
变式1：当 时，求 的最大值；
变式2：设 ，求函数 的最大值。
2、若 ，求 的最大值；
变式：若 ，求 的最大值；
3、求函数 的最大值；
（提示：平方，利用基本不等式）
变式：求函数 的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知 ，求 的最小值；
法一：
法二：
变式1：已知 ，求 的最小值；
变式2：已知 ，求 的最小值；
变式3：已知 ，且 ，求 的最小值。
变式4：已知 ，且 ，求 的最小值；
变式5：
（1）若 且 ，求 的最小值；
（2）若 且 ，求 的最小值；
变式6：已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 ，使得 ，求 的最小值；
题型六：分离换元法求最值（了解）
1、求函数 的值域；
变式：求函数 的值域；
3、已知 ， ，求 最小值；
变式1：已知 ，满足 ，求 范围；
变式2：（2010山东）已知 ， ，求 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：（2011浙江）已知 ， ，求 最大值；
4、（2013年山东（理））设正实数 满足 ,则当 取得最大值时, 的最大值为（ ）（ ）
A． B． C． D．
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
若 ，则
2、二维形式的柯西不等式的变式
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
4、三维柯西不等式
若 ，则有：
5、一般 维柯西不等式
设 是两组实数，则有:
题型分析
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 ，若 ，则 的最小值为时，
析：
∴ 最小值为
此时
∴ ， ，
2、设 ， ，求 的最小值 ，并求此时 之值。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（2）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（3）若 ，则 (当且仅当 时取“=”）
（4）若 ，则
（5）若 ，则
特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”
6、柯西不等式
（1）若 ，则
（2）若 ，则有：
（3）设 是两组实数，则有
变式：设 是正数，满足 ，求 的最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（2012沈阳检测）已知 ，且 恒成立，求正实数 的最小值；
2、已知 且 恒成立，如果 ，求 的最大值；（参考：4）
（提示：分离参数，换元法）
变式：已知 满则 ，若 恒成立，求 的取值范围；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若 ，则
（2）若 ，则
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若 ，则
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若 ，则
（2）若 ，则
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”
2、求函数 的最大值；（提示：换元法）
变式：求函数 的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
1、已知 ，求 的最小值
2、（2009天津）已知 ，求 的最小值；
变式1：（2010四川）如果 ，求关于 的表达式 的最小值；
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当 时，函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，求 的最小值；
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设 均为正数，证明不等式: ≥
2、已知 为两两不相等的实数，求证：
3、已知 ，求证：
4、已知 ，且 ，求证：
5、已知 ，且 ，求证：
6、（2013年新课 标Ⅱ卷数学（理）选 修4—5：不等式选 讲
设 均为正数,且 ,证明:
(Ⅰ) ; (Ⅱ) .
7、（2013年江苏卷（数学）选 修4—5：不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 讲