电磁场作用下包晶合金定向凝固过程传输模型的建立

图1 计算流程图电磁场作用下包晶合金定向凝固过程传输模型的建立王京雁,沈 军,王 伟,冯周荣(西北工业大学国家凝固技术重点实验室,陕西西安710072)摘 要:建立了二元包晶合金在电磁场作用下定向凝固过程中多场耦合的数学模型,并根据包晶转变不同阶段的特点,提出了包晶转变中固相分数的计算办法。

该模型可以计算电磁场作用下包晶合金定向凝固中的流动、传热、传质的过程,为电磁场作用下包晶合金定向凝固过程的数值计算及对实验结果的分析提供理论依据。

关键词:定向凝固电磁场包晶;固相分数;SI M PLE 算法;数学模型中图分类号:TP 391.1 文献标识码:A 文章编号:1671 654X (2009)03 0013 05引言包晶合金凝固是近年来凝固领域的一个研究热点,许多重要的结构和功能材料都存在包晶反应。

在包晶合金的定向凝固过程中,流动会强烈影响相的选择,使之形成非常丰富的微观组织,从而影响合金的性能[1-3]。

因此对流动条件下的包晶合金定向凝固过程进行深入研究具有重要意义。

实验上常常采取减小试样直径的措施来减小流动[4],但是由于合金的不透光性和晶体生长体系的复杂性,在熔体凝固和晶体生长过程中,测量其流动、热变化、成分、压力都十分困难[5]。

在熔体中,对流会改变溶质场分布,进而影响组织分布以及合金性能。

温度梯度和浓度梯度都会引起熔体的自然对流,外场作用下又会引起强迫对流,相对而言强迫对流对溶质场分布影响更大;而且温度场和受浮力影响的溶质场之间还有复杂的耦合关系,这些都使得以扩散理论为基础的实验结果分析存在较大偏差。

因此宏观尺度上定向凝固过程的数值模拟对分析这种凝固现象具有深远意义。

目前国内关于定向凝固过程中的传热、传质及流动的数值模拟较少,国外关于定向凝固过程的数值模拟发展已经较为成熟[6,7],但在电磁场作用下考虑包晶相变的多场耦合数值模拟国内外都未见相关报道,因而本文着重研究在电磁场作用下包晶合金定向凝固过程中温度场、溶质场、流场耦合的传输模型的建立,进一步完善包晶合金定向凝固模拟过程的计算方法。

作者根据Bennon 等人提出的连续介质模型[8]建立了数学模型,用控制容积的有限差分法得出通用微分方程的离散方程;并通过考虑包晶相变过程[9,10],改进了固相分数的计算方法。

对统一的离散方程使用三对角矩阵追赶法(TDMA )求解,而数学模型则采用SI M PLE 算法求解,同时电磁场部分由M axw ell-3D 软件计算。

1 模拟过程控制如图1所示,模拟过程为:选取研究对象建立关于温度场、溶质场、流场的数学模型;将数学模型及统一的数学微分方程转化成差分方程,并用C ++语言编程求解;采用出图软件使结果可视化,得到各场的分布图,并进行分析。

电磁场计算部分:首先,使用M ax w ell -3D 电磁场软件建立模型、定义材料属性、定义边界收稿日期:2008 11 26 修订日期:2009 03 27 基金项目:国家自然科学基金(50774061)作者简介:王京雁(1982-),女,山西阳泉人,硕士,研究方向为定向凝固数值模拟。

第39卷 第3期航空计算技术Vo.l 39N o .32009年5月A eronautical Com puti ng T echn i queM ay .2009与源项、选择执行参数、网格剖分、求解;然后使用场计算器做后处理,通过改变电流强度I 和电流频率f 改变熔体中的电流密度J 和磁感应强度B,从而控制电磁感应热Q 与电磁体积力F ,按照网格点保存,供程序计算时读取,据此来研究电磁场对凝固过程的影响。

对程序计算获得的不同情况下的数据可以使用出图软件得到温度场、浓度场、流场不同时刻的分布图。

计算流场的程序,名为SI M PLE ,即求解压力耦合方程的半隐式法[11]。

图2为程序的主要部分。

计算进行的先后次序如下:图2 si m ple 算法核心1)读取磁场数据、初始条件、边界条件;2)估计压力场p *,求解动量方程得到u *, *;3)解压力p 方程;4)修正压力,由p 加p *计算p;5)利用速度修正公式,用u *, *计算u, ;6)求解能量方程,浓度方程;7)计算固相分数,输出数据;8)经过修正的压力p 处理成一个新的估计值压力p *返回到3),重复全部过程,直到求得收敛的解为止。

2 数学模型及其求解2.1 基本假设与守恒方程基于如下假设,建立电磁场作用下描述定向凝固过程中流动、传热、传质的数学模型:1)液相流动为层流,液相粘度为常数;2)动量传输方程中浮力项采用Boussinesq 假设,其余各项中密度为常数;3)固液两相区渗透率各向同性;4)相变收缩引起的流动忽略不计;5)两相区内固相和液相浓度处于局部平衡状态;6)糊状区近似为多孔介质,各守恒方程如下:连续性方程t + x ( u )+ y ( )=0(1)动量守恒方程x ( u)+ ( V u )= ! u -!K x u + F x - Px(2)y ( )+ ( V )= ! -!K x + F y - P y + g [∀T (T -T ref ]+∀c (c -c l ,ref )](3)能量守恒方程t ( h)+ ( V h)= (k c h)+ (k c (h s -h))- ( V (h 1-h))+Q (4)溶质守恒方程t( c)+ ( V c)= ( D c)+ ( D (c 1 -c))- ( V (c l -c))(5)两相区的渗透率由K ozeny-C ar m an 公式决定K x =K y =K 0f 3l(1-f l )2(6)符号说明:t 为时间, 为密度,V 为速度矢量,u 为x 方向速度, 为y 方向速度,p 为压力,∀T 为温度膨胀系数,∀C 为溶质膨胀系数,!为粘度,T 为温度,#为液态金属的电导率,f S 为固相分数,f l 为液相分数,c 为溶质质量分数,D 为溶质扩散系数,h 为焓,k 为平衡分配系数,∃为通用变量,S 为源项,下标s 表示固相,下标l 表示液相,下标ol d 表示上一步的值,ref 表示参考值,T m 为熔点,k 0为与两相区枝晶尺寸有关的参数, g [∀T (T -T ref )+∀c (c l -c l ,ref )]为浮力Boussi n esq 假设,F x ,F y 为电磁体积力F 在x,y 方向的分量,电磁体积力F 与电磁感应热Q 由M ax w e ll 场计算器算得,计算公式为F =J !B ,Q =12J 2#-1。

2.2 统一的离散格式将数学模型(1)-(5)写成统一的微分方程,转化成统一的差分方程,计算过程使用同一个求解程序,可以节省计算时间与内存,提高计算效率[11]。

t( ∃)+ ( V ∃)= (%∃ ∃)+S ∃(7)采用控制容积的有限差分法建立统一方程的隐式离散格式,其中对流项采用幂函数方案:A (|P |)=∀0,(1-0.1)|P |)5#(8)式中A 为幂函数格式,P 为Peclet 数,由流动项F 与扩散项D 决定,定义为F /D 。

离散过程中使用了交错网格方法,网格控制容积如图3所示,建立的离散方程为(9):a P ∃P =a E ∃E +a W ∃W +a N ∃N +a S ∃S +b (9)a E =D e A (|P E |)+m ax (-F e ,0)a W =D w A (|P W |)+m ax (-F w ,0)14 航空计算技术 第39卷第3期a N =D n A (|P N |)+m ax (-F n ,0)图3 控制体积a S =D s A (|P S |)+m ax (-F s ,0)a P =a E +a W +a N +a S +a p 0-S P &x &y b =S C &x &y +a P 0∃P 0a P 0= P 0&x &y /&t其中D e =%e &y(∋x )e,D w =%w &y (∋x )w ,D n =%n &x (∋y )n ,D s =%s &x (∋y )s F e =( u )e &y,F w =( u )w &y,F n =( v)n &x,F s =( v)s &x其中a E ,a W ,a N ,a S ,a P 为三对角阵的系数,D e ,D w ,D n ,D s 为扩散项,F e ,F w ,F n ,F s 为流动项,a P 0为系数a P 的初值,以上所涉及其它符号的含义见文献[11]。

离散方程使用三对角矩阵追赶法求解。

2.3 边界条件本文研究对象为Sn -1%Cd 合金在20mm !80mm 的二维矩形区域中垂直凝固行为。

冷却条件为底部冷却,由实验测得具体的冷却曲线;其余边界绝热。

所有边界均为无滑移边界,且与外界无溶质交换。

假设合金初始全部熔化,瞬时充满型腔,初始温度T 高于液相线温度,初始Cd 成分取包晶反应点附近的值,网格划分42!42,时间步长t 为1s 。

3 固相分数计算固相分数是指在凝固过程中各处已凝固部分的重量与该处熔体总重量的比率,是反映各处在凝固过程中所处状态的重要参数。

目前很多二元系合金的处理方法没有考虑凝固过程发生相变释放潜热这一项,而本文详细地考虑了该项的影响,并考虑了凝固过程所处的不同状态来计算整个固/液相变过程的固相分数[9,10]。

为使(1)-(5)模型方程封闭,需要定义固相分数、焓、温度三者的关系,以焓为自变量,温度及固相分数为因变量,得到表1所示三者之间的关系。

热力学上,设c k 为相k (k 取l 或s)的有效比热,相k 的焓表达式为:h k =∃Tc kd T +h 0k(10)对液相设:h l =c l T +h 0l(11)对固相设h 0s =0,可以得出:h s =c s T(12)根据(11),(12)和f s +f l =1得出固液混合物的焓为:h =f l h l +f s h s =f l (c l T +h 0l )+f s c s T(13)式中h 0l =(c s -c l )T p +L,L 为潜热,L =(h l -h s )|T =T p 。

根据文献[12],当发生包晶反应时,对(13)式,T =T p 已知,f s =1-f l ,h 可通过(4)式求出,从而可求得f s 。

任一成分在相图上的凝固过程都会经过液相区、单相区、包晶线、固相区,因此固相分数的计算可分为四种情况(如下表所示)。

根据公式(11)(12)预先算出相图上特殊温度点对应的焓值,设定四种情况的焓值范围。

程序只需要判断模型每一时刻算出的焓所在范围,即可据下表选择对应公式,求解出相应的温度、固相率,直到完全凝固结束计算。