第6节 极限存在准则 两个重要极限
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
第6节两个重要极限
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
上两式同时成立,
a z n a ,
城 市 学 院 数 学 教 研 室
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
于是有sin x BD,
x 弧 AB,
tan x AC,
高 等 数 学 电 子 教 案
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 2
sin x 即 cos x 1, x
当 0 x 时, 2
2 x x x 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) 2 , 2 2 2
xn 是有界的;
城 市 学 院 数 学 教 研 室
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
3x
城 市 学 院 数 学 教 研 室
x 1 例 lim x x 2
x
lim
x
1 1
1 x e 3 e x 2 2 e x
x
高 等 数 学 电 子 教 案
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
城 市 学 院 数 学 教 研 室
极限存在准则 两个重要极限
第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？
3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
两个重要极限公式
例3 求 lim(
n
1 n2 1
1 n2 2
1 n2 n
).
n 1 1 n , 解： 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim lim n n 2 n n 1 1 1 n
1,
例4 求
tan x sin x 1 sin x 1 解: lim lim lim 1 lim x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例5 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t
1 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 2 ＝ 1 xn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 所以，数列 xn 1 是单调增加的． 2013-7-19 n
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
2013-7-19
lim
n n 1
2
n
lim
1
n
1,
由夹逼准则得
10
1 1 1 ？ 思考题： lim n 2 2 n n n 2 2 n n 解: 利用夹逼准则 . 由
n 1
1 lim 1 ? n n n
n
4
1 其次，证 xn 1 有界． 显然， n x1 2 x nn n 1 类似于 xn 1 单调性的证明可证得数列 yn 1 1 n n n 1 1 zn 1 ，则 是单调增加的．设数列
高等数学 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1 + 2 +⋯+ n < I n 2 2 2 n +n n +n n +n < 1 + 2 +⋯+ n , n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1
+ 即 1 + 22 ⋯ + n < In < 1 + 2 + ⋯ + n , n +n n2 + 1
n(n + 1) n(n + 1) < In < , 2 2 2(n + 1) 2(n + n)
n
或 lim(1+ x)
x→0
1 x
=e .
e = 2.7182818284 59045⋯ (无理数 ⋯ )
sin x =1 . 2) . lim x→0 x
弦长 AB = 2 sin x , 弧长 AB = 2 x , 切线长 CD = 2 tan x .
F
A C
x
B
E
D
7
sin x < x < tan x . ( x > 0)
∀ε > 0 , ∃ N1 , 当 n > N1 时, A − ε < yn < A + ε ;
∃ N 2 , 当 n > N 2 时, A − ε < zn < A + ε , 从而 , 当 n > max{ N1 , N 2 } 时 ,
A − ε < yn ≤ xn ≤ z n < A + ε
n→∞
13
uk + uk uk −1 − uk −1 − uk −1uk uk uk−1 = − (1 + uk ) (1 + uk −1 ) 1+ uk 1+ uk−1 uk − uk −1 = > 0 ⇒ uk +1 > uk , { un } 单调增加 . (1 + uk ) (1 + uk −1 )
06第5讲两个重要极限、极限存在准则
x0 x
x0 5x
5lim siun 5. (u5x) u 0 u
或直接 l(x) i0 m s用 ia ( x n )(x)公 a(a式 0 ):
limsin5x5. x0 x
例4
求 limsin3(xa) xa xa
解 x a 时, (x) = x a 0 ,
故 lim si3n(xa)3.
2 22
2
故当 0x时 , 1 x 1
2
sinx cosx
即有 cox ssixn1, x
由sin x 与cos x 的奇偶性可知：
当0|x|时 , coxssixn1成.立
2
x
由 lic m o xs 1, li1 m 1及夹,得 逼
x 0
x 0
lim sin x 1 x0 x
一般地
limsink(x)k (x)0 (x)
想想, 作一个什么样的代换？
令 x t ,则 x 时 ,t .
令 x t, 则 x 时 , t ,
1
1
x
x
1
1 t
t
t
t
t 1
t
1
1
t
t 1
1
t
1
t
1
1
1
t1
1
1
t1 t1
再令 ut1,则 t 时 , u ,且
lim 1 x
e3
例8 解
求 lim x 1 x
x x 1
( 1 )
lim
x
x x
1x
1
lim1 x
2
x
x 1
lim1
2
(x1) x
极限存在准则两个重要极限
极限存在准则两个重要极限在极限存在准则中，有两个特别重要的极限存在定理，分别是柯西收敛准则和夹逼定理。
柯西收敛准则是极限存在定理中的一个基本定理。
它是由法国数学家柯西于19世纪初发现的，用来判定一个数列是否收敛。
柯西收敛准则的核心思想是，如果一个数列在无穷项的情况下，其任意两项之差都可以变得很小，那么这个数列是收敛的。
具体来说，柯西收敛准则可以分为两个条件：1.必要条件：如果对于任意给定的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n和m都大于N时，an - am，< ε，那么数列{an}是收敛的。
2.充分条件：如果数列{an}具有柯西序列的性质，即对于任意给定的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n和m都大于N时，an - am，< ε，则该数列一定是收敛的。
夹逼定理又称为挤压定理，是另一个极限存在定理。
它主要用于计算和证明无穷序列和函数的极限存在。
夹逼定理的核心思想是，如果一个函数在一些点的两侧有两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在并且相等，那么原始函数在该点处的极限也存在，并且等于这两个函数的共同极限。
具体来说，夹逼定理可以表达为以下三个条件：1.设函数f(x)，g(x)，h(x)在点a的一些去心邻域内有定义，并且对于这个去心邻域内的任意x，有g(x)≤f(x)≤h(x)。
2.如果lim(x→a)g(x) = L，并且lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x)存在，并且等于L。
3.夹逼定理对于数列也成立，即如果数列{an}满足对于所有的n，有gn ≤ an ≤ hn，并且lim(n→∞)gn = L，并且lim(n→∞)hn = L，则lim(n→∞)an存在，并且等于L。
柯西收敛准则和夹逼定理是极限存在准则中非常重要的定理，它们在数学分析中有着广泛的应用。
通过这两个定理，我们可以更加准确地计算和证明函数的极限存在，并建立起更为完善和严谨的数学分析体系。
1-6高等数学—极限存在准则(两个重要极限)
• 一、极限存在准则 • 二、两个重要极限 • 三、小结 思考题
一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列xn , yn 及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
x
[ lim (1
2x )2
]4
e6 e4
x
x
e2
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小 ,
10 lim sin 1; 某过程
1
20 lim (1 ) e. 某过程
思考题
1
求极限 lim 3x 9x x x
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
x 是有界的; n
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
- 16 -
x 0
解
1 x
令u(1 x)
1 x
limln u ln e 1
u e
例12
ln(1 x) lim 1. x 0 x ex 1 . 求 lim x 0 x
令 u e x 1
解
原式
u lim 1 u 0 ln(1 u )
ex 1 lim 1. x 0 x
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n 1 x 1 n 1 (1 ) (1 ) (1 ) , n1 x n
由于 x n , 而
1 n 1 1 n 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x n n x n 1 n 1 n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x n1 n1 n1
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六节 极限存在准则 两个重要极限
教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要
极限求极限的方法。
教学重点：利用两个重要极限求极限
教学难点：利用第二重要极限求极限的方法
教学过程：
准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件:
(1)(1,2,3,)n n n y x z n ≤≤= ,
(2) lim ,lim n n n n y a z a →∞→∞
==, 那么数列{}n x 的极限存在，且lim n n x a →∞
= 准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件:
(1)()()()g x f x h x ≤≤,
(2)lim (),lim ()g x A h x A ==,
那么lim ()f x 存在, 且lim ()f x A =．
注：在上面的定理中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程。
实际上，定理对0x x →及x →∞都是成立的。
准则I 及准则I '称为夹逼准则（或迫敛性准则）。
第一个重要极限
0sin lim
1x x x →=． 证 如图,设圆心角AOB x ∠=(0)2x π
<<,
D
B 1 O
C A
x
因为 △AOB 的面积<圆扇形AOB 的面积<△AOD 的面积，
所以 111sin tan ,222
x x x << 即 sin tan cos 1.sin x x x x x x <<⇒<
< 由偶函数性质，02x π
-<<时也成立。
又 0
lim cos 1x x →= 由准则I '，即得
0sin lim
1x x x →= 例1 求0tan lim .x x x
→ 解 0000tan sin 1sin 1lim lim()lim lim 1.cos cos x x x x x x x x x x x x
→→→→=⋅=⋅= 例2 求201cos lim .x x x
→- 解 222222000022sin sin sin 1cos 1111222lim lim lim lim()1.2222
()22
x x x x x x x x x x x x →→→→-====⋅= 例3 求0arcsin lim .x x x
→ 解 令arcsin t x =,则sin t x =,当0x →时,有0t →.于是由复合函数的极限运算法则得
00arcsin lim
lim 1.sin x t x t x
t →→== 例4 求1lim sin .x x x →+∞ 解 令t=1/x.当x →+∞时，t →0.
01sin lim sin lim 1.x t t x x t
→+∞→== 例5 求sin lim .x x x
ππ→- 解 令t x =-,则sin sin()sin x t t =-=.当x →0时，t →0.
0sin sin lim
lim 1.x t x t x t ππ→→==- 例6
求0x → 解
0sin 4lim 41)41284x x x x →→=⋅⋅=⋅⋅=．
准则II 单调有界数列必有极限.
准则II 的几何解释:
以单调增加数列为例, 数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生．
准则II ' 设函数()f x 在点0x 的某个左邻域内单调并且有界，则()f x 在0x 的左极限
0()f x -必定存在。
注：如果1,n n x x n N ++≤∈，就称数列{}n x 是单调增加的；如果1,n n x x n N ++≥∈，就称数列{}n x 是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列．
第二个重要极限
1lim(1)n n e n →∞+=或1lim(1)x x e x
→∞+= 其中e 是个无理数, 它的值是
2 718281828459045e = .
变形形式： 1
lim(1)e α
αα→+= 例7 求2lim(1).x
x x -→∞- 解 令2
x u =-.当x →∞时, u →∞. 222211lim(1)lim(1)[lim(1)].x u u x u u e x u u
-→∞→∞→∞-=+=+= 例8 求1
lim(12).x x x →+ 解 令2u x =，则12x u
=.当0x →时,0u →. 112
200lim(12)[lim(1)].x u x u x u e →→+=+= 小结与思考：
本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法．
1．求2lim cos
cos cos 222
n n x x x →∞ ； 解：原极限=sin sin lim lim 1(0)2sin 2
n n n n x x x x x →∞→∞==≠． 2．设有k 个正数12,,,k a a a ，令{}12max ,,,k a a a a = ，
求n （“大数优先”准则）． 解
：a =
≤≤==
而lim
n a
→∞=，所以由夹逼准则：
n
a
=
作业：作业见作业卡。