高等数学 极限存在的判断准则

n
n lim 由此可得 n→ ∞ a
( a > 0)
n n n ⇒ lim a =1 由 1 a n ( n a 时 ) ≤ ≤ ≥ (1) 当 a ≥ 1 时， n→ ∞
∴ lim n a = lim (2) 当 0 < a < 1 时，
n→ ∞
1 1a
n→ ∞ n
=
1
n→ ∞
1 >1 a
lim n 1 a
第三节 极限存在的判别准则
1. 夹逼性定理 2. 单调有界性定理 3. 小结、作业
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一. 夹逼定理
定理1 设有数列 { x n }, { yn }, { z n }，满足： （1） ∃N , n > N : zn ≤ xn ≤ yn （2） lim yn = lim z n = A, 则ຫໍສະໝຸດ n→ ∞2 2解
n
<
1
++
<
2
,
注：1) 求n项和的数列极限时常用夹逼准则。 2) 使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。
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n 例2 再求 lim n→∞
n
证： 由AG不等式 :
( n − 2) + 2 n ⋅1 ⋅ 1 n n ≤ 1≤ n = n 1 n n− 2 2 n lim ≤ 1+ , ( n ≥ 2). ⇒ n→ ∞ n = 1. n
n →∞
由保序性， ∃N， ∀n > N :
n
a < aε .
两边取对数，得
log a n < ε. n
n n
当n → ∞时，下列无穷大量阶的 比较有
log a n n a (a > 1) n! n
k
例4 解
设 x n = n 1 + 2 n + 3 n , 求 lim x n
n→ ∞
1) x n ≤ β , ∀n ∈ {1,2}; 2) ∀ε > 0, ∃N : x N > β − ε .
{x n }单调增， 故 ∀n > N , 有 x n > x N > β − ε ,
而 x n ≤ β < β + ε , 于是 ∀n > N , 有 β − ε < x n < β + ε ,
思考题
1 1 1 (1) 证明不等式 < ln(1 + ) < ; n+1 n n
1 1 1 ( 2) 设 x n = 1 + + + + − ln n, 证明{x n }收敛。 2 3 n
1 [ln( k + 1) − ln k ] <∑ , 提示： 由(1)得， ∑ k =1 k =1 k 1 1 1 > 0, 有下界. 即 ln( n + 1) < 1 + + + , ∴ x n+1 > n +1 2 n
1 1 1 1 1 n lim n = lim ⋅ ⋅ ⋅ = lim = 0. n→∞ n→∞ n n →∞ 1 2 n n!
二. 单调有界数列收敛定理
定理2 若数列 {x n }单调增 (减 )且有上(下)界,
则 {x n }必收敛 .
证明 设 {x n }有上界，则必有上确界 ：β = sup{x n }, 由上确界定义知:
a ∴ lim = 0. n →∞ n!
n
a[a ] a → 0, ( n → ∞ ). ≤ ⋅ [a ]! n
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nk ( 3) x n = n , ( a > 1, k ∈ N + ). a
解
n
不妨设 a > 1, 记a = 1 + α (α
n
> 0)
k +1 k +1 a = (1 + α ) ≥ C n α
设 lim x n = a , 且a ≥
n→ ∞
A > 0.
对 x n +1
∴ lim x n =
n→ ∞
1 A 2 ( ) a a = a + ⇒ = A, 即 a = 两边求极限，得 2 a
1 A = ( xn + ) 2 xn
A.
A.
例3 证明数列 x1 = 3 , xn + 1 = 3 + xn 的极限存在并求 lim xn .
1 n+1 = (1 + ) = x n+1 , (∀n ≥ 2). ∴{x n }单调增。 n+1 n+ 2
=4
故{x n }有上界。
1 n (1 + ) = e 由此得 {x n }收敛， 并记 lim n →∞ n
1 n+1 解法二 作辅助数列 y n = (1 + ) n
( n > 2k )
n k = n ⋅ ( n − 1) ( n − k ) ≥ n( ) ( k + 1)! k +1 2
n k 2 k ( k + 1)! 1 0< n ≤ a α k +1 n nk ∴ lim n = 0. n→∞ a
α
k +1
α
k +1 `
0,（ n → ∞ ).
log a n =0 利用极限性质可证得 lim n→∞ n 事实上，∀ε > 0 ⇒ a ε > 1, 而 lim n a = 1 < a ε ,
5 12 29 而a1 = 2, a 2 = , a 3 = , a4 = , 故 a1 < a 3 , a 2 > a4 , 2 5 12
∴{a 2 n−1 }单调增，有上界；{a 2 n }单调减，有下界；
都收敛 . 设 lim a 2 n −1 = A, lim a 2 n = B ,
n→∞ n→∞
n→ ∞
lim x n = A
{yn }, {zn }在具体应 注意 定理中满足条件的
. 放大或缩小找出的
n→ ∞
, 而是通过对{x n }的适当 用时不是事先给出
例1 求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
++
1
2
1 n +n n
2
).
n +n n +1 n +n n +1 1 n n 1 又 lim 2 = lim = 1, lim = 1, lim = 2 n→ ∞ n + n n→ ∞ n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1 1+ 1+ 2 n n 1 1 1 由夹逼定理得 lim ( 2 + ++ ) = 1. 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n
n ( n + 1) + 1 n n+1 1 n+1 ) ⋅1 ≤ =( yn n+1 n+2
n+ 2
1 = , y n+1
即 y n+1 ≤ y n , {y n }单调减 , 又 y n ≥ 0,有下界，
由此得{y n }收敛。
1 n+1 (1 + ) 1 n n ∴ lim(1 + ) = lim = lim y n = e . n →∞ n →∞ n →∞ 1 n 1+ n
解
a1 = 2, 则 a n ≥ 2, ( n = 1,2, ), 又
1 1 a n−1 = 2+ a n +1 = 2 + = 2+ 1 an 2 a + 1 n − 1 2+ a n−1 a n−1 + 1 = 3− < 3, 2a n−1 + 1 ∴ 2 ≤ a n ≤ 3, 即 {a n }为有界 .
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1.
例3 求下列数列的极限
n! ! n (1) x n = n ; (由前面讨论知lim n = 0) n→∞ n n n a ( 2) x n = ; n! 证： ∀n > [a ],
a a a a a a an ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0< 1 2 [a ] [a ] + 1 [a ] + 2 n n!
n →∞
1 n 例 5 数 e 的存在性 设 xn = (1 + ) , 求 lim x n n→ ∞ n
1 n(1 + ) + 1 n 解 设 xn = (1 + 1 )n ⋅ 1 ≤ ( ) n+1 n n+1
1 1 n(1 + ) + 2 ⋅ 1 n 1 n 1 2 n 2 又 x n = (1 + ) = 4 (1 + ) ( ) ≤ 4 n+2 n n 2
设 lim x n = a , 对 x n = n + 3 x n−1两边求极限得 n→∞ 2n − 1
1 a = a ⇒ a = 0, ∴ lim x n = 0. n→∞ 2
例 2 设 A > 0 , x1 > 0, x n+1
试证 { x n } 收敛 , 并求此极限 .
A 1 = ( x n + ), ( n = 1,2, ) xn 2
3 = n 3 n < xn < n 3 ⋅ 3 n = 3 ⋅ n 3 → 3, ( n → ∞ ),
lim x n = 3.
n→∞
由夹逼定理得
一般有
n n n lim x n = lim n a1 + a2 + + am n →∞ n →∞
= max(a1 , a 2 , , a m )
n n
n →∞
1 1 当n充分大时 a n > 0, 故 lim = ， n →∞ a a n n 1 a= ← ≤ n a1 a 2 a n 1 1 1 1 + ++ a1 + a 2 + a n a a1 a 2 an ≤ → a.
n
由上例的极限可求得
1 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ( 2 n − 1 ) ( 2 n − 1 )! ! = 1; = lim n lim n n →∞ n →∞ 2 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 2n 2n!!
n→∞
证
易知 xn + 1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
又 x1 = 3 < 3, 假定 xk < 3 ⇒ xk + 1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3
∴ {xn } 是有界的 ; ∴ lim x n 存在.
n→ ∞
记 lim xn = A. xn + 1 = 3 + xn , n→∞
x n = β , 即{x n }收敛。 即 ∀n > N , x n − β < ε . ∴ lim n →∞
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n + 1 β
M
x
注: 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有 给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通 过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列 的极限问题）。 推论 单调增 (减 ) 数列 {x n }收敛的充分必要条件
a n−1 an−3 an−1 − an−3 − a n+1 − a n−1 = , = 2a n−1 + 1 2a n− 3 + 1 ( 2an−1 + 1)(2an−3 + 1)
1 > 0, 故 {a 由于 2 n −1 }, {a 2 n } 都单调， ( 2a n−1 + 1)( 2a n− 3 + 1)
是{x n }有上(下)界.
4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ ⋅ ( n + 3) 例1 设 x n = , 求 lim x n . n→∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ( 2n − 1)
解 x n > 0,
xn n+3 且 = < 1, (∀n > 4), x n−1 2n − 1
即 x n < x n−1 , ( n > 4). ∴ {x n }单调减有下界，故收敛 .
令 n → ∞ , 得 A2 = 3 + A,
2 ∴ xn + 1 = 3 + xn ,
由 xn>0 ⇒ A≥0 ,
1 ± 13 解得 A = . 2
1 + 13 ∴ lim xn = . n→∞ 2
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例 4 设a1 = 2, a n +1
1 = 2 + , n = 1,2, , 求lim a n . n→∞ an
A xn ⋅ = x A ( n ≥ 2)
n
证 x n+1
即 { x n }有下界 .
1 A = ( xn + ) ≥ 2 xn
2 A − xn 1 A ≤0 又 x n +1 − x n = ( x n + ) − x n = n 2 2x xn
{ x n }单调减少，所以 { x n } 收敛 .
∗
a n = a , 证明 : 例5 设 {a n }为非负数列 , 且 lim n→ ∞
lim n a1a 2 a n = a
a1 + a 2 + a n → 0, ( n → ∞ ) 证 a = 0, 则 0 ≤ a 1 a 2 a n ≤ n
n
n→ ∞
∴ lim n a1 a 2 a n = 0 若 a > 0,由极限保号性
对 a n +1
1 = 2 + 两边取极限，得 an
A = 2+ B = 2 +
1 B ⇒ A=B 1 (记为C ) A
1 ∴lim a n = C , 则有 C = 2 + , ⇒ C 2 − 2C − 1 = 0, n →∞ C
C = 1 ± 2 (1 − 2舍去），
即 lim a n = 1 + 2 .