变量间的相关关系(一、二)
高一数学必修3课件：2-3-1、2变量之间的相关关系和两个变量的线性相关
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
统 计
第二章
统计
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第二章
2．3 变量间的相关关系
第二章
统计
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第二章
2．3.1 2．3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
由图可见，具有线性相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点 图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散 点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
第二章
2.3
)
D．①④
[答案] D
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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^ [解析] ^＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x y ^ ^ 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实 关系．故选D.
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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[答案] ①④
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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[解析]
①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一
条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的 分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
(完整word)两个变量的相关关系
(完整word)两个变量的相关关系两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种：一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的。
例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”，我们说总成绩和单科成绩具有相关关系。
相关关系又分为两种:（1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势。
（2)负相关：两个变量具有相反的变化趋势。
对相关关系的理解可以从下面三个角度把握:相关关系的概念:自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系。
因此,不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点:均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系;而相关关系是一种非确定关系。
函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系。
然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄。
当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析，发现规律,才能作出科学的判断。
我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。
变量间的相关关系及独立性检验
判断两个变量之间是否存在非线性相关关系可以通过绘制散点图或计算非 线性相关系数等方法来进行。
相关系数及其计算
相关系数是衡量两个变量之间相关关系的统计量，其计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系 数和斯皮尔曼秩相关系数。
皮尔逊相关系数使用积差法计算，其值介于-1和1之间，用于衡量线性相关关系的强度和方向。斯皮尔 曼秩相关系数则用于衡量等级数据之间的相关性。
变量间的相关关系及独立性检验
目录
• 变量间的相关关系 • 变量间的独立性检验 • 变量间的因果关系推断 • 相关性与独立性的区别与联系
01
变量间的相关关系
线性相关关系
线性相关关系是指两个或多个变量之间存在一种可以用直 线表示的依赖关系。当一个变量发生变化时，另一个变量 也会随之发生相应的变化。
独立性检验
常用于验证两个变量之间是否存在直 接的因果关系，例如在经济学中检验 货币政策是否对经济增长有影响，或 者在心理学中检验某种疗法是否对心 理健康有影响。
THANKS。
因果关系推断的方法
基于理论的推断
01
根据相关学科的理论和知识，推断变量之间的因果关
系。
基于相关关系的推断
02 通过分析变量之间的相关系数、相关图等，推断变量之间的因果关系。基于实验的推断03
通过实验的方式，控制其他变量的影响，观察单一变
量的变化对结果变量的影响，从而推断因果关系。
因果关系推断的局限性
相关性与独立性的联系
相关性和独立性是描述变量间关系的 两种不同角度，有时一个变量可能既 与另一个变量相关，又与第三个变量 独立。
在某些情况下，相关性和独立性可能 相互转化，例如当引入第三个变量时 ，两个原本独立的变量可能变得相关 。
23变量间的相关关系
研究
利用统计
相关关系
二、两个变量的线性相关 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
3、求回归方程；
4、如果某天的气温是2摄氏度，预 测这天卖出的热饮杯数。
1.散点图
200
150
100
50
0
-20
0
图3-1
热饮杯数
20
40
2.从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区 域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.
3.从散点图可以看出，这些点大致分布在一 条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程 的系数. Y= -2.352x+147.767
2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者 负相关的例子吗？
3、若两个变量散点图呈下图，它们之间是否 具有相关关系？
120 100 80 60 40 20
0 0 20 40 60 80 100
人体脂肪含量百分比与年龄散点图
散
40
脂肪含量
点
20
图
0
0
20
40
60
80
年龄
回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 通过散点图中心的一条直线附近，我们就称这两个变 量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。
脂肪含量
40 30 20 10 0
0 10 20 30 40 50 60 70
11.3变量间的相关关系
4
题型三
利用回归直线方程对总体进行估计
【例3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： 月份 1 2 产量(千件) 2 3 单位成本（元） 73 72
3
4 5 6
4
3 4 5
71
73 69 68
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变 动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 解
ˆ =1.23x+5 B. y
D. y ˆ =0.08x+1.23
当x=4时，y=1.23×4+0.08=5.
题型分类 深度剖析
题型一 利用散点图判断两个变量的相关性
【例 1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、 形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施 化肥量 x 对产量 y 影响的试验，得到如下表所示的 一组数据（单位：kg).
归分析的前提.
2.求回归方程，关键在于正确求出系数 a ˆ ，由于 ˆ, b ˆ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进 a ˆ ,b
行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程 中一次项系数为 b ˆ ,常数项为 a ˆ ,这与一次函数的 习惯表示不同.）
3.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主
4
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同.
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如 正方形面积S与边长x之间的关系S=x2就是函数关系. 相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随 机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额
与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回
i 1 i 1
2.3 变量间的相关关系
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【示例】PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否 相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5 的数据如表：
时间
周一 周二 周三 周四 周五
车流量x/万辆
50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y/ (微克·立方米－1) 69 70 74 78 79
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2.3 变量间的相关关系
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目标定位
重点难点
1.理解两个变量的相 重点：通过收集现实问题中两个有关联 关关系的概念． 变 量 的 数 据 直 观 认 识 变 量 间 的 相 关 关
2．会作散点图，并 系；利用散点图直观认识两个变量之间 利用散点图判断两 的线性关系；根据给出的线性回归方程
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【分析】(1)利用描点法可得数据的散点图； (2)根据公式求出b^，a^，可写出线性回归方程； (3)根据(2)的线性回归方程，将 x＝25 代入，求出 PM2.5 的浓度．
配人教版 数学 必修3 【解析】(1)散点图如图所示．
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(2) x ＝50＋51＋554＋57＋58＝54， －y ＝69＋70＋754＋78＋79＝74，
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
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【答案】D 【解析】y^＝b^x＋a^表示y^与 x 之间的函数关系，而不是 y 与 x 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近 y 与 x 之间的真 实关系．故选 D．
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4．如果在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是 x 16 17 18 19 y 50 34 41 31
变量间的相关关系(全)
上述直线称为回归直线。
三.回归直线
3、如何求回归直线的方程
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方 法来刻画”从整体上看,各点到此直线的距离最 小”.
这样的方法叫做最小二乘法.
问题归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最 小.下面是计算回归方程的斜率和截距的一般 公式.
根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程.
回归直线方程: yˆ bx a
小结
1.变量之间除了函数关系外，还有相关关系,相关 关系是一种非确定关系.
2.散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据 的图形，叫做散点图．
3.正相关与负相关.
4.回归直线:如果散点图中点的分布从总体上看大致在 一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线就叫回归直线。
（2）粮食产量与施肥量之间的关系 （3）人体内脂肪含量与年龄之间的关系
相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系；而 相关关系是一种非确定关系.
2、两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确 定的随机因素的影响。 3、需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系
__5_2____.
2.3.1变量之间的相关关系
在学校里,老师对学生经常这样说:”如果你的数 学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问 题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学 成绩之间存在着一种相关关系,这种说法有没有根 据呢?
1、变量之间除了函数关系外，还有相关关系。 例：（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系
根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间 有怎样的关系?
1、散点图
表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图 形，叫做散点图．
变量之间的相关关系
变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。
(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。
应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。
第二,原因变量一定出现在结果变量之前。
第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。
社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。
在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。
(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。
社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。
变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。
当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。
在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。
当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。
表示两个变量之间的关系的三种方法
表示两个变量之间的关系的三种方法一、直接关系直接关系是指两个变量之间存在着直接的因果关系或者正向的相关关系。
在这种关系中，随着一个变量的增加，另一个变量也会相应地增加或减少。
下面列举了几种常见的直接关系的表达方法：1.变量A随着变量B的增加而增加。
2.变量A与变量B呈正相关关系。
3.变量A是变量B的原因之一。
直接关系的示例： - 温度升高，冰淇淋的销售量增加。
- 学习时间增加，考试成绩提高。
- 雨水增加，草地变得更绿。
二、间接关系间接关系是指两个变量之间存在着中介或者相互作用的关系。
在这种关系中，一个或多个额外的变量会影响两个主要变量之间的关系。
下面是几种常见的间接关系表达方法：1.变量A通过变量C间接地影响变量B。
2.变量A和变量B受到变量C的共同影响。
3.变量A和变量B之间存在着复杂的相互作用关系。
间接关系的示例： - 吃得更多的人更容易发胖，这可能是因为他们摄入了更多的卡路里。
- 高质量的教育可以提高人们的就业机会，进而改善经济发展。
- 一种药物可以通过改善睡眠质量来减轻焦虑症状。
三、无关关系无关关系是指两个变量之间不存在任何明显的关联或者相关性。
下面是几种常见的描述无关关系的表达方法：1.变量A和变量B之间没有任何关系。
2.变量A的变化对变量B没有影响。
3.变量A和变量B是相互独立的。
无关关系的示例： - 过去的月份对今天的天气没有影响。
- 身高和人的智商之间没有明显的关系。
- 鞋子的颜色与一个人的性格没有关联。
总结通过以上的介绍，我们可以看出，表示两个变量之间的关系可以采用直接关系、间接关系和无关关系的描述方法。
这些描述方法能够帮助我们更清晰地理解和表达变量之间的关系。
了解和掌握这些方法对于科研、数据分析以及日常生活中的决策制定都具有重要的意义。
我们应该根据具体情况选择合适的描述方法，准确地反映变量之间的关系。
高中数学 第二章 统计 2.3.1-2.3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关课件 新人教
A .1 B .1 C .1 D .1 1 6 8 4 2
35
【思路导引】利用回归直线方程必过样本点的中心求解.
【解析】选B.依题意可知样本点的中心为 ( 3 , ，3 )
48
则3
8
= 1×
3
+3
4
，a 解得
=a .
1 8Βιβλιοθήκη 36【拓展延伸】相关关系的强弱
(1)若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，称r=
6
(2)你能举例说明你对正相关与负相关的理解吗？ 提示：随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性 的相关关系，我们称为正相关.例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少 变多. 随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关 关系，我们称为负相关.例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就 越短.
n
n
x i2，
xi y，i
i1
i1
30
(5)代入公式计算
b ，a，公式为
n
x iyi n x y
b
i1
n
x
2 i
n
x
2
i1
，
a y b x .
(6)写出回归直线方程 = x+ .
yb a
31
【跟踪训练】 已知变量x，y有如下对应数据：
x1234 y1345
(1)作出散点图. (2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程.
42
【思路导引】(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标， 在平面直角坐标系内画散点图. (2)应用计算公式求得线性相关系数 bˆ ， aˆ 的值. (3)实际上就是求当x=100时，对应的 yˆ 的值.
变量间的相关关系
变量间的相关关系1、相关关系的理解我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。
生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。
这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。
例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。
在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。
下面我们就用这些方法来研究相关关系。
看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。
用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。
一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。
3、判断正、负相关、线性相关：请观察这4幅图，看有什么特点？图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。
这就像函数中的增函数和减函数。
即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。
对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。
图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。
后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。
从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。
我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。
这条直线叫做回归直线。
图3、4中的两个变量是非线性相关关系1、找回归直线下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，图12图图3图4从整体上看，它们是线性相关的。
如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。
这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。
能否画出这条直线？多种方法展示总结：所有的点离这条直线最近的方案最好。
从整体上看，各点与此直线的距离和最小。
变量之间的相互关系
变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。
这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。
本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。
二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。
这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。
2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。
相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。
3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。
这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。
三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。
接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。
2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。
它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。
3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。
四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。
例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。
在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。
五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。
通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。
随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。
高考数学——变量间的相关关系-考点复习
10
(wi − w)( yi − y)
i =1
i =1
i =1
1.47 20.6 0.78
2.35
0.81
−19.3
16.2
∑ 表中= wi
x1= i2 , w
1 10
10
wi
i =1
.
（1）根据散点图判断， y=
a + bx 与 y=
c + d 哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x2
3．已知线性回归方程
，当变量 每增加一个单位时，则 的变化情况正确的是
A． 平均增加约 1.2 个单位
B． 平均增加约 3 个单位
C． 平均减少约 1.2 个单位
D． 平均减少约 3 个单位
4．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳
量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 与冶炼时间 （从炉料熔化完毕到出钢的时
=i 1=i 1 =i 1
∑ ∑
10
xi2
−10x
= i 1= i 1
考向三 非线性回归方程及应用
求非线性回归方程的步骤： 1．确定变量，作出散点图． 2．根据散点图，选择恰当的拟合函数． 3．变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． 4．分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． 5．根据相应的变换，写出非线性回归方程． 学@#
（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数 aˆ、bˆ ，写出回归直线方程．
（3）根据方程进行估计.
典例 2 某车间加工的零件数 x 与加工时间 y 的统计数据如下表：
变量之间相关关系两个变量线性相关
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3．如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的 平均值作为回归直线的斜率和截距而得回归方程. 如图:
脂肪含量 40
35 30
25 20 15 10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
（1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.
摄 ( ℃ 氏 ） 温 度 - 5 0 4 7 1 2 1 5 1 92 32 7 3 1 3 6 热 饮 杯 数 1 5 61 5 01 3 2 1 2 8 1 3 0 1 1 61 0 48 99 3 7 6 5 4
对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，如何求回归方程？
yˆ bˆx aˆ
yˆ bˆx aˆ
n
( xi x )( y i y )
bˆ i 1
n
(xi x )2
i 1
n
xiyi n x y
i 1 n
,
x
2 i
nx 2
i 1
aˆ y bˆ x
这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变
量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化 趋势如何？
一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点 散布在从左上角到右下角的区域.
例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. ②③④
高中数学必修三-变量间的相关关系
变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。
变量之间的相关关系
概念辨析
练习：教材P85 1，2题
1.从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说 明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸 引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素（如独特 的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直 接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不 可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过实验来 进行。相同的环境下将居民随机地分为两组，一 组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅）， 而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居 民的出生率是否相同。
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
观察散点图的大致趋势， 两个变量的散点 图中点的分布的位置是从左下角到右上角 的区域，我们称这种相关关系为正相关。
思考4：如果两个变量成负相关，从整体上看这两 个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？
运鱼车的单位时间与存活比例
思考5：根据有关数学原理分析，当
n
n
(xi x )( yi y )
xi yi nx y
b i1 n
(xi x )2
i1 n
, a y bx
xi2 nx 2
i1
时，总体偏差
Q
n
i 1
(yi yˆi )2
为最小，这样
i1
就得到了回归方程，这种求回归方程的 方法叫做最小二乘法.回归方程 y bx a 中，a，b的几何意义分别是什么？
脂肪含量
观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数 据的散点图，这两个相关变量成正相关.我 们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增 加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加 呢？对此，我们从理论上作些研究.
40 35 30 25 20 15 10
变量间的相关关系
数学成绩
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
小结：用Excel作散点图的步骤如下 ： (结合软件边讲边练）
（1）进入Excel，在A1，B1分别输入“数学成 绩”、“物理成绩”，在A、B列输入相应的数据。 （2）点击图表向导图标，进入对话框，选择“标准 类型”中的“XY散点图”，单击“完成”。 （3）选中“数值X轴”，单击右键选中“坐标轴格 式”中的“刻度”，把“最小值”、“最大值”、 “刻度主要单位”作相应调整，最后按“确定”。y 轴方法相同。
(3)从散点图可以看出，0 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10
^ Y=-2.352x+147.767
20
30
40
^ （4）当x=2时，y=143.063, 因此，这天大 约可以卖出143杯热饮。
练习：P96 小结：
解2：用Excel求线性回归方程，步 骤如下:
. （1）进入Excel作出散点图。
（2）点击“图表”中的“添加趋势 线”，单击“类型”中的“线性”，单 击“确定”，得到回归直线。 （3）双击回归直线，弹出“趋势线格 式”，单击“选项”，选定“显示公 式”，最后单击“确定”。
三、利用线性回归方程对总体进行估计
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表： x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9
求两变量间的回归方程
解1： 列表：
i 1
i
2 -2 -7 14
3 -3 -5 15
4 -4 -3 12
10
5 -5 -1 5
2
6 5 1 5
变量间的相关关系
2.3 变量间的相关关系[知识与技能]1两个变量间的相关关系（1）、两个变量间的相关关系的定义。
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。
（2）、两个变量间的种类。
两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系。
例如“身高者，体重也重”。
我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系。
2两个变量间的相关关系的判断（1）、散点图。
（2）、根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确的判断两个变量是否具有相关关系。
（3）、正相关、负相关的概念。
3 回归直线方程（1）回归直线的概念（2）回归直线方程4、回归直线方程的系数公式[过程与方法][例1]下列关系中，是带有随机性相关关系的是①正方形的边长面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系。
[分析]两变量之间的关系有两种：函数关系与带有机性的相关关系。
①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系。
②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系。
③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系。
④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④。
[例2]现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考问这10名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系？[分析]应用散点图分析解：（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系。
[创新思维训练]一、选择题1、在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（2） （3） （4）A ：（1）（2）B ：（1）（3）C ：（2）（4）D ：（2）（3） 2、线性回归方程a bx y +=∧必过[ ]A ：（0，0）点B ：（x ，0）点C ：（0，y ）点心D ：（y x ,）点 3、设有一个直线回归方程为y=2－1.5x, 则变量x 增加一个单位时 A ：y 平均增加1.5个单位于 B ：y 平均增加2个单位 C ：y 平均减少1.5个单位 D ：y 平均减少2个单位二、填空题4、变量与变量之间的关系有两类：一类是 ，另一类是。
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知识探究（三） ：回归直线
你能举出类似的描述生活中两个 变量之间的这种关系的成语吗？
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定 性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义 如何？
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定 性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义 如何？
问题提出
1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式.对于两个变量， 如果当一个变量的取值 一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两 个变量之间的关系就是一个函数关系.
问题提出
1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式.对于两个变量， 如果当一个变量的取值 一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两 个变量之间的关系就是一个函数关系.
年龄
思考 3：上图叫做散点图， 你能描述一下散点 图的含义吗？
在平面直角坐标系中，表示具有相关关 系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
知识探究（二） ：散点图
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
年龄
思考 4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的 与人体脂肪含量具有什么相关关系？
x y4
4.0 7.5
5.1 6.12 12 18.01
A. y=log2x
B. y=2x
D. y=2x－2
x 1 C. y 2
问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正 相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有 什么特点？
问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正 相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有 什么特点？
（1）商品销售收入与广告支出经费；
（2）粮食产量与施肥量；
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 1：考察下列问题中两个变量之间的关系， 想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数 关系吗？
（1）商品销售收入与广告支出经费；
（2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄.
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 1：观察上表中的数据，大体上看，随着 年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
知识探究（二） ：散点图
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6
问题提出
2. 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数 据的散点图， 这两个相关变量成正相关.我们需要 进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内 脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们 从理论上作些研究.
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 1：考察下列问题中两个变量之间的关系， 想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数 关系吗？
（1）商品销售收入与广告支出经费；
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 1：考察下列问题中两个变量之间的关系， 想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数 关系吗？
房屋面积 m2 销售价格 （万元）
61 12.2 70 15.3 115 24.8 110 21.6 80 135 105 22
18.4 29.2
画出数据对应的散点图，并指出销售价格 与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
理论迁移
售价 35 30 25 20 15
10 5
0 50 100
面积 150
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群 脂肪含量的样本平均数.
知识探究（二） ：散点图
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
知识探究（三） ：回归直线 思考 2：在各种各样的散点图中，有些散点图中 的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有 一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据 的散点图中的点的分布有什么特点？
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
这些点大致 分布在一条 直线附近.
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
知识探究（三） ：回归直线
思考 3：对一组具有线性相关关系的样本数据， 你认为其回归直线是一条还是几条？
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
练习2. 今有一组试验数据如下表所示： 现准备用下列函数中的一个近似地表示 这些数据满足的规律，其中最接近的一 个是( )
x y
2
1.99 3.0 1.5 4.04
4.0 7.5
5.1 6.12 12 18.01
A. y=log2x
B. y=2x
D. y=2x－2
x 1 C. y 2
练习2. 今有一组试验数据如下表所示： 现准备用下列函数中的一个近似地表示 这些数据满足的规律，其中最接近的一 个是( C )
知识探究（二） ：散点图
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
年龄
思考 5：在上面的散点图中，这些点散布在从左 下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关 关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变 量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？
思考 1：观察上表中的数据，大体上看，随着 年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？
思考 2： 以 x 轴表示年龄， y 轴表示脂肪含量， 你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图 形吗？
知识探究（二） ：散点图
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相 关关系.
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
知识探究（一） ：变量之间的相关关系
思考 4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
1. 函数关系中的两个变量间是一种确定性 关系；相关关系是一种非确定性关系.
1. 函数关系中的两个变量间是一种确定性 关系；相关关系是一种非确定性关系.
2. 函数关系是一种因果关系而相关关系不 一定是因果关系，也可能是伴随关系.
3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系， 在一定条件下可以互相转化.
理论迁移
例 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相 关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
知识探究（三） ：回归直线
思考 1：一组样本数据的平均数是样本数据的 中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？ 它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0
(x , y )
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
知识探究（三） ：回归直线 思考 2：在各种各样的散点图中，有些散点图中 的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有 一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据 的散点图中的点的分布有什么特点？
练习 1
已知下列变量，它们之间的关系是函数关系 的有 ，是相关关系的有 .
①已知二次函数 y=ax +bx+c， 其中 a、 c 是已知 常数，取 b 为自变量，因变量是这个函数的 2 判别式△=b －4ac; ②光照时间和果树亩产量； ③每亩施用肥料量和粮食产量.
2
练习 1
已知下列变量，它们之间的关系是函数关系 的有 ① ，是相关关系的有 ② ③ .
2. 在中学校园里，有这样一种说法： “如果你的 数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大 问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数 学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和 物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间 的关系是函数关系吗？
问题提出
3. 这两个变量是有一定关系的， 它们之间是一种 不确定性的关系 . 类似于这样的两个变量之间的 关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数 学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重 要的现实意义.
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系.
问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正 相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有 什么特点？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系.
正相关的散点图中的点散布在从左下角到 右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从 左上角到右下角的区域
知识探究（二） ：散点图
思考 6：如果两个变量成负相关，从整体上看 这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什 么特点？ 一个变量随另一个变量的变大而变小， 散 点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
思考 7： 你能列举一些生活中的变量成正相关 或负相关的实例吗?
理论迁移
例 2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 和房屋的面积的数据：