平面直角坐标系经典讲义

启点教育七年级数学学案

平面直角坐标系经典讲解

知识点概述

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限内点的特征:

第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：（-， -）点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

5、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：已知点P(m,n),

关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号

关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号

7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)

9、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，

将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

例题精讲

例1、象限内的点的特征

1、原点O 的坐标是 ，点M （a ，0）在 轴上。

2、已知0=mn ，则点（m ，n ）在 。

3、若点B(a ，b)在第三象限，则点C(－a+1，3b －5) 在第 象限。

4、如果点A 的坐标为（a 2+1，－1－b 2），那么点A 在第几象限？为什么?

例2、点到坐标轴的距离

1、点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 。

2、点A 在x 轴上，位于原点左侧，距离坐标原点7个单位长度，则此点的坐标为 ；

3、若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ）

A ．（3，0）

B ．（3，0）或（–3，0）

C ．（0，3）

D ．（0，3）或（0，–3） 例3、平行于坐标轴上的点的特征

1、在平面直角坐标系内，有一条直线PQ 平行于y 轴，已知直线PQ 上有两个点，坐标分别为（－a ，－

2）和（3，6），则=a 。

2、已知AB∥x 轴，A 点的坐标为（3，2），并且AB ＝5，则B 的坐标为 。

3、A （– 3，– 2）、B （2，– 2）、C （– 2，1）、D （3，1）是坐标平面内的四个点，则线段AB 与CD 的关系是 。

4、在坐标系内，点P （2，－2）和点Q （2，4）之间的距离等于 个单位长度。线段PQ 的中点的坐标是 。

例4、关于坐标轴对称的点的特征

1、点A （﹣1，2）关于轴的对称点坐标是 ；点A 关于x 轴对称的点的坐标为 ；点A 关于原点的对称点的坐标是 。

2、已知点M ()y x ,与点N ()3,2--关于x 轴对称，则______=+y x 。

3、已知点P （a +1，2a -1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围.

例5、图形的平移与点的坐标的变化

1、在平面直角坐标系内，把点P （－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。

2、如图，将△ABC 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的△A 1B 1C 1，在图中画出并写出点A 1、B 1、C 1的坐标.

例6、如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线.

实验与探究：

1、 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ；

归纳与发现：

2、 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；

运用与拓广：

3、 已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和 最小，并求出Q 点坐标．

巩固练习

一. 选择题

1. 如果点M （a-1，a+1）在x 轴上，则a 的值为（ ）

A.a=1

B. a=-1

C. a>0

D. a 的值不能确定

2. 点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ）

A. （5，-3）或（-5，-3）

B. （-3，5）或（-3，-5）

C. （-3，5）

D. （-3，-5）

3. 若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b-a ，a-b ）在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4. 已知正方形ABCD 的三个顶点坐标为A （2，1），B （5，1），D(2，4)，现将该正方形向下 平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为（ ）

A. （5，4）

B. （5，1）

C. （1，1）

D. （-1，-1）

5. 点M （a ，a-1）不可能在（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

6. 到x 轴的距离等于2的点组成的图形是（ ）

A. 过点（0，2）且与x 轴平行的直线

B. 过点（2，0）且与y 轴平行的直线

C. 过点（0，-2且与x 轴平行的直线

D. 分别过（0，2）和（0，-2）且与x 轴平行的两条直线

二. 填空题

7. 直线a 平行于x 轴，且过点（-2，3）和（5，y ），则y=

8. 若点M （a-2，2a+3）是x 轴上的点，则a 的值是

9. 已知点P 的坐标（2-a ，3a+6），且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是

10. 若P （x ，y ）是第四象限内的点，且2,3x y ==，则点P 的坐标是

三. 解答题

11. 在平面直角坐标系内，已知点（1-2a ，a -2）在第三象限的角平分线上，求a 的值及点的坐标？ -3

-4-5-6C