三角恒等变换

第五节三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.[常用结论]1．公式T(α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．公式C2α的变形：(1)sin2α＝12(1－cos 2α)；(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)． 3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α. 4．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( )A.210 B ．－210C.7210 D ．－7210A [由cos α＝－35，α是第三象限角知sin α＝－45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210.故选A.] 4．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________. 725[由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，则 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725.]5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.33 [11－tan 15°－11＋tan 15°＝(1＋tan 15°)－(1－tan 15°)(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. ]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 A [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α.所以1－32cos α＝3－12sin α. 所以tan α＝sin αcos α＝－1，故选A.] 2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－32B [sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.]3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23B.43 C.34 D.32D [由sin θ－cos θ＝－144 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.]4．已知0＜θ＜π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.－cos θ [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0.所以原式＝－cos θ.]．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________. (1)B (2)A (3)－73[(1)cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×132＝79.故选B.(2)由0＜α＜π2得－π6＜α－π6＜π3 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223 ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.(3)因为sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，所以cos(α－β)＝34， 因为α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0， 所以0＜α＜β＜π2.所以－π2＜α－β＜0. 所以sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.所以tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.]►考法2 给角求值【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)3 (2)1 [(1)由tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝3得tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝ 3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________． (1)A (2)－3π4 [(1)∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.又sin 2α＝55＞0，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4.∵sin(β－α)＝1010＞0，∴cos(β－α)＝－31010且β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.∵2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴α＋β∈[]π，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. (2)因为tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13＞0， 所以0＜α＜π2，又因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0，所以0＜2α＜π2， 所以tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.因为tan β＝－17＜0，所以π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0， 所以2α－β＝－3π4.](1)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.539 B ．－69 C.33 D ．－33 (2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________. (3)(2019·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________． (1)A (2)22 (3)π4 [(1)由0＜α＜π2得π4＜π4＋α＜3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，由－π2＜β＜0得π4＜π4－β2＜π2.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.(2)原式＝sin 210°cos 80°2sin 210°＝sin 210°2sin 210°＝22.(3)∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.]【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵－π3≤x ≤π4， ∴－5π6≤2x －π6≤π3，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )有最小值， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )有最大值， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34. 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．[解] (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)若－π2＜α＜0，则2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6， ∴f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋12＝56， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝13， ∴2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝223， ∴sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6sin π6＝13×32－223×12＝3－226.1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )ma x ＝65，故选A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15 B.55C.255D．1B[由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝23，所以cos α＝56，sin α＝±16，得|tanα|＝55.由题意知|tan α|＝a－b1－2，所以|a－b|＝55.]4．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tan α＝________.32[法一：因为tan α－5π4＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tan α＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.]5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．5[f(x)＝2cos x＋sin x＝5⎝⎛⎭⎪⎫255cos x＋55sin x，设sin α＝255，cos α＝55，则f(x)＝5sin(x＋α)，∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 5.]。