平面图形镶嵌问题
镶嵌(数学八年级上P26)
镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。
2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。
(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。
典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案一、教学目标1. 让学生了解平面图形的镶嵌概念，理解平面图形镶嵌的条件。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的动手实践能力。
二、教学内容1. 平面图形的镶嵌概念及其特点。
2. 平面图形镶嵌的条件。
3. 镶嵌在实际生活中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：平面图形的镶嵌概念、特点和条件。
2. 难点：平面图形镶嵌的判断和实际应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究平面图形的镶嵌特点。
2. 利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解平面图形镶嵌。
3. 组织学生进行合作交流，提高学生的实践操作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示一些生活中的镶嵌图案，引导学生关注平面图形的镶嵌现象。
2. 探究新知：讲解平面图形的镶嵌概念、特点和条件。
3. 实例分析：分析一些典型的平面图形镶嵌案例，让学生学会判断镶嵌。
4. 实践操作：学生分组进行镶嵌实践活动，制作平面图形镶嵌作品。
5. 总结提升：引导学生总结镶嵌的条件和判断方法，探讨镶嵌在实际生活中的应用。
6. 作业布置：让学生课后收集生活中的镶嵌图案，分析其特点和条件。
7. 课后反思：教师对本次课程进行总结，分析教学效果，为学生提供改进建议。
六、教学策略1. 利用多媒体展示不同类型的平面图形镶嵌案例，帮助学生直观理解镶嵌概念。
2. 设置富有挑战性的问题，激发学生的思考和探究兴趣。
3. 组织学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
4. 鼓励学生提出自己的观点和想法，充分尊重学生的个性发展。
七、教学准备1. 准备相关的多媒体教学资源，如平面图形镶嵌的图片、视频等。
2. 准备一些平面图形镶嵌的实际案例，以便进行实例分析。
3. 准备一些平面图形镶嵌的制作材料，如纸张、剪刀、胶水等。
八、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式和合作交流的能力。
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。
这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。
平面镶嵌知识点聚焦
平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳．知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k个正n边形.根据上述限定条件有方程()02180360, nkn-⋅⋅=整理,得kn-2k-2n=0,即242.22knk k==+--n,k皆为正整数,当k=3时,426;32n=+=-当k=4时,424;42n=+=-当k=6时,423;62n=+=-进而限用一种正n边形的镶嵌有三种情况:探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x 个,正四边形有y 个,根据限定条件有方程0006090360,x y ⋅+⋅=整理,得2x+3y=12,得整数解3,2,x y =⎧⎨=⎩即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌. 类似可讨论出:用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.探究三：任意多边形的平面镶嵌取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点处的各个内角之和为3600。
用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四边形。
知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( )A.3B.4C.5D.6分析:平面镶嵌的必备条件:图形拼合后同一顶点的若干个角的和恰好等于0360,一个顶点周围两个正方形的角的和是0180,那么一个顶点周围的n 个正三角形的角的和为0180,而正三角形的每个内角等于060,所以需要3个正三角形即可，所以选A.例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（ ）A.1种B.2种C.3种D.4种分析:本题卡考查正多边形镶嵌的条件.要达到平铺地面的目的,所选用的正多边形必须满足n×正多边形的内角=0360(其中n 为正整数).正方形内角090,00360904=⨯,符合要求,所以正方形可选用.正六边形内角0120,003601203=⨯,符合要求,所以正六边形可选用.故选B.例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形分析:正三角形的内角度数为090,而60,正四边形的内角度数为0 0360+⨯⨯,所以正三角形和正四边形能够铺满地面.903=260正四边形的内角度数为0360,108,它们组合得不到090,正五边形的内角度数为0所以正四边形和正五边形不能够铺满地面.正五边形的内角度数为0120,它们组合得不到108,正六边形的内角度数为0360,所以正五边形和正六边形不能够铺满地面.正轮流边形的内角度数为0135,它们组合得不到120,正八边形的内角度数为0360,所以正六边形和正八边形不能够铺满地面.综上所述,应选A.例4.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
数学：平面镶嵌知识简介
数学：平面镶嵌知识简介各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢用若干类全等形无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍．一、用一种任意多边形镶嵌1．全等的任意三角形能镶嵌平面把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1．用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．2．全等的任意四边形能镶嵌平面仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．3．全等的特殊五边形可镶嵌平面圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABcDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠c＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．4．全等的特殊六边形可镶嵌平面1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABcDEF中，∠A＋∠B＋∠c=360°，a=d．5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．二、用同一种正多边形镶嵌只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．三、用多种正多边形镶嵌例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m 个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．这个方程的正整数解是或可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9．读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题．各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案
数学综合实践课《平面图形的镶嵌》教案一、教学目标：1. 让学生了解平面图形镶嵌的概念，学会用简单的几何图形进行镶嵌。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的动手操作能力。
二、教学内容：1. 平面图形镶嵌的定义及特点。
2. 常见几何图形的镶嵌方法。
3. 镶嵌图案的设计与创作。
三、教学重点与难点：1. 重点：让学生掌握平面图形镶嵌的方法，学会设计简单的镶嵌图案。
2. 难点：如何运用不同的几何图形进行创新性的镶嵌设计。
四、教学准备：1. 教师准备镶嵌图案的示例及素材。
2. 学生准备剪刀、彩纸、直尺、圆规等工具。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些生活中的镶嵌图案，引导学生关注镶嵌现象，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：介绍平面图形镶嵌的定义及特点，讲解常见几何图形的镶嵌方法。
3. 动手实践：学生分组进行镶嵌图案的设计与制作，教师巡回指导。
4. 作品展示：学生展示自己的镶嵌作品，分享创作过程中的心得体会。
5. 总结评价：教师对学生的作品进行评价，总结本节课的学习内容。
6. 拓展延伸：鼓励学生课后搜集更多的镶嵌图案，进行创新性的设计制作。
六、教学评价：1. 学生能理解平面图形镶嵌的概念，并能够运用不同的几何图形进行简单的镶嵌设计。
2. 学生能够通过实践活动，提高观察、分析、解决问题的能力，以及空间想象能力。
3. 学生在创作过程中能够展现出合作学习的精神，以及动手操作的能力。
七、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 通过实践活动，让学生在操作中感知、理解和掌握平面图形镶嵌的方法。
3. 鼓励学生进行合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。
八、教学步骤：1. 引导学生观察生活中的镶嵌图案，引发学生对镶嵌现象的兴趣。
2. 讲解平面图形镶嵌的定义及特点，引导学生理解镶嵌的基本原理。
3. 教授常见几何图形的镶嵌方法，让学生掌握镶嵌的基本技巧。
平面图形的镶嵌问题_张开征
做平面图形镶嵌；全等的七边形、全等的八边形
等都不能做平面图形的镶嵌；一般的六边形也
不能做平面镶嵌，但如果六边形是中心对称图
形，则可以做平面镶嵌.
3.同一种正多边形的镶嵌：使同一种正多边
形能够镶嵌的条件是，在同一顶点处若干个正
多边形的内角和必须是 360°. 这样的话，可设有
k 个正多边形在同一顶点处的内角和等于
边形的每一个内角分别是 60°、90°、108°、120°.显
然，360°是 60°、90°、120°的整数倍，不是 108°的
整数倍.所以正三角形、正四边形、正六边形能够
铺满地面，而正五边形不能够铺满地面.故选 C.
例 ２ 学校新落成的阅览室需铺设同一种地
面砖，则下列正多边形中可以选用的是（ ）.
是在图形拼合后，同一顶点处若干个角的和等
于 360°，判断一种或几种多边形能否镶嵌，关键
是看同一顶点处若干个角的和加在一起能否等
于 360°.
二、掌握平面图形镶嵌的条件
1.要实现平面图形的密铺，必须保证每一个
拼接点处的角恰好能拼成 360°（不留空隙、不重
叠）.
2.任意全等的三角形、全等的四边形都可以
C.正五边形 D.正八边形
形匹配的正多边形是（ ）.
解析：正六边形、正三角形、正四边形、正五
A.正四边形
B.正六边形
边形、正八边形的每个内角分别是 120°、60°、90°、
数
C.正十二边形
D.正十八边形
学
解析：正三角形、正四边形、正六边形、正十
篇 二边形、正十八边形的每个内角分别是 60°、
90°、120°、150°、160°.不难发现，360°＝60°×3＋
理解平面镶嵌的基本概念
理解平面镶嵌的基本概念平面镶嵌是一种数学概念，用于描述如何通过将多个平面图形组合在一起来填充平面空间。
在理解平面镶嵌的基本概念之前，我们先来了解一下平面镶嵌的定义和一些相关术语。
首先，平面镶嵌是指将平面分割成由多个多边形组成的图形，使得任何两个图形的边要么相交于公共顶点，要么相交于共享边。
这些多边形称为镶嵌的单元。
而镶嵌的边和顶点则是单元之间的连接部分。
在平面镶嵌中，有一些重要的概念需要我们理解。
首先是欧拉公式，它给出了平面镶嵌中的顶点数、边数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，对于一个连通的平面镶嵌，顶点数、边数和面数满足以下关系：顶点数加上面数减去边数等于2。
其次，我们需要了解封闭镶嵌和非封闭镶嵌的概念。
封闭镶嵌是指所有单元围成一个封闭的区域，而非封闭镶嵌则是指单元之间存在开放的区域。
另外，平面镶嵌还有一个重要的特征是镶嵌的对称性。
对称性是指镶嵌中存在一些运动或变换操作，使得整个镶嵌在经过这些操作后不变。
常见的对称性包括旋转对称、镜像对称和滑移对称等。
在理解了这些基本概念之后，我们可以进一步探讨平面镶嵌的一些特殊类型。
其中，最简单的类型是三角形镶嵌和四边形镶嵌。
三角形镶嵌是指由三角形构成的镶嵌，而四边形镶嵌则是指由四边形构成的镶嵌。
这两种类型的镶嵌相对较简单，但在数学研究和实际应用中都有着广泛的应用。
除了三角形镶嵌和四边形镶嵌，还有许多其他类型的平面镶嵌，如六边形镶嵌、五边形镶嵌等。
这些镶嵌不仅在数学领域中有着重要的研究价值，还在工程设计、艺术设计等领域有着广泛的应用。
总结起来，理解平面镶嵌的基本概念涉及到平面的分割、单元的定义、欧拉公式、封闭镶嵌和非封闭镶嵌、对称性以及各种类型的镶嵌等内容。
通过深入理解这些概念，我们可以更好地应用平面镶嵌的理论和方法解决实际问题，并在数学研究和实践中发现更多的镶嵌规律和特性。
然而，平面镶嵌作为一个复杂而多样的数学领域，本文只是对其基本概念进行了简要介绍。
想要深入了解平面镶嵌的理论和应用，还需要进一步阅读更多的相关文献和参考资料。
八上活动课-平面图形的镶嵌问题精选全文
4 3
1
2
若干形状、大小相同的任意四边 形可以进行平面镶嵌。
4
32
1
1
23
2
14
4
3
3
41
2
∠1+∠2+∠3+∠4=360°
1. 形状、大小相同的任意三角形可以进行平 面镶嵌。
2. 形状、大小相同的任意四边形可以进行平 面镶嵌。
3. 镶嵌时，在某一拼接点处拼接在一起的各 角之和为360 °。拼接在一起的两条边相等。
人民教育出版社八年级上册数学教材第十一章数学活动
平面图形的镶嵌
一 课前准备 温故知新
1.多边形的内角和公式是 （n 2）•180
.
2.在下表中填入相应正多边形每个内角的度数。
正多边形的 边数
3
4
56
8
12
一个内角的 度数
60
90 108 120 135
150
二 创设情境 引入新课
生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面 或地面。从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不 重叠地铺满平面的一部分，这就是平面图形的镶嵌。
1.边长相等的两种正多形进行平面镶嵌的方案有4种： ①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形 ③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形。
2.进行平面镶嵌的条件是：在同一拼接点处的各角之
和恰好为 360 ，拼接在一起的两边 相等 。
运用结论 拓展探究
进一步想一想用三种边长相等的正多边形能否镶嵌 成一个平面图案？请同学们课后思考。
两种正多边形镶嵌的条件： 1.拼接在同一顶点处的各角之和恰好为360 °；如
果用a，b分别表示两种正多边形的个数，用x、y分别表示两种
平面图形的镶嵌问题
图 ５
点评 ： 本题 可先从 多项 式 ２ ＋５６ ｂ 的 ０ ＋２ 因式 分解人手 ，由于 ２２ ａ ＋２ ２ ＋ｂ ａ＋５ｂ ｂ＝（ａ ）
图３
Ｉ一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 Ｉ
ｌ Ｉ
Ｉ
Ｉ
（ ＋２ ） 口 ，因此要拼成 面积为 ２２ ａ ＋２ ａ＋５ｂ ｂ 的 矩形 ， 形的长为 ｎ ６ 宽为 ２ ＋６至此易 该矩 ＋２ ， ｎ ．
故选 Ｄ ．
兰 一
图１ 图２
点评 ： 本题要结合多边形内角和 、 外角和的
知识进行解答．
’例 ２ 用两种正多边形镶嵌 ，不能与正三 角形匹配 的正 多边形 是 （ ） ．
Ａ Ｂ ｃ ・ 寺 ・ ｛ 。 寻
解 析 ： 接从 “ 天鹅 ” 手较 难 ， 意到 直 小 入 注
纸片 （ 每种 至少用 一次 ） 图 ４的虚线 方框 中 在
ａ ｂ ｂ
拼成一个矩形 （ 每两个 纸片之 间既不重叠 ， 也
无缝隙 ， 出的图 中必须保 留拼图 的痕迹 ）使 拼 ，
拼 出的矩形 面积 为 ２２ Ⅱ ＋２ ｚ并标 出此矩 口＋５６ ｂ，
形的长和宽．
。
［ ６ ［］ ＝口 ］
略举几 例解析 如下 ， 同学们 学 习 供 局部求解 ， 往往无法解决 ； 而从 全局着眼 ， 体 角度 问题 ， 整
板 中的梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ。易知梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积是 解 析 ：要 确 保矩 形 的面 积 为 ２２ ａ ＋ ａ＋５ｂ 正方形 纸片 ２ 。ｘ 块 ａ ｂ的正方形纸片 ５ ， 块 通过
—
同一 种 地 面 砖 ，则 下 列 多 边 形 中不 能 选 用
《平面图形的镶嵌》)
曲线形镶嵌
使用曲线形状进行镶嵌，如波浪线、 弧线等，可以营造出柔和、流动的视 觉效果。
组合图形镶嵌
1 2
几何图形组合镶嵌
将不同种类的几何图形（如三角形、正方形、圆 形等）组合在一起进行镶嵌，可以形成富有创意 的视觉效果。
图案与几何图形组合镶嵌
在几何图形的基础上，加入特定的图案或纹理进 行镶嵌，可以丰富视觉效果，增加层次感。
提升自身技能，拓展应用领域
学习掌握新技术
设计师需要不断学习和掌握新技术，如参数化设计、3D打印等，以提升平面图形镶嵌的 设计水平和制造能力。
拓展应用领域
平面图形镶嵌具有广泛的应用前景，设计师可以积极拓展应用领域，如建筑、艺术、工业 设计等，为不同领域提供更多的创新解决方案。
加强实践与交流
通过参与实际项目、参加专业研讨会等方式，加强实践与交流，不断提升自身的专业素养 和实践能力。
检查镶嵌作品是否完整， 对不满意的地方进行修
饰和完善。
注意事项及常见问题解答
注意事项
使用剪刀和刻刀时要注意安全，避免 划伤；粘贴时要确保图形平整，避免 起皱或翘起。
常见问题解答
如遇到图形大小不合适、颜色搭配不 协调等问题，可重新设计图案或调整 裁剪方式；如粘贴不牢固，可更换胶 水或增加粘贴面积。
06 总结与展望
平面图形镶嵌广泛应用于建筑、装饰、纺织、计算机图形学等领域。
意义
镶嵌不仅是一种美学上的表现形式，更是数学、物理学等学科研究的重要对象， 对于理解平面图形的性质、空间结构以及自然界中的晶体结构等具有重要意义。
02 常见平面图形镶嵌方法
规则图形镶嵌
三角形镶嵌
使用等边三角形或等腰三 角形进行镶嵌，可以形成 美观且稳定的图案。
人教版八年级数学上册--平面镶嵌
∴无解 ∴不可以
探究新知
3)正五边形 4)正四边形 5)正三角形与 与正十边形 与正八边形 正十二边形
归纳整理
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个角的 和恰好等于360°（周角）。
问题3:任意相同三角形或四边形的平 面镶嵌
从数学角度看，用一些不重叠摆放的图形 把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫 做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题
探究新知
问题1: 一种正多边形平面镶嵌的条件
探究1：仅用一种正多边形镶嵌，哪些正多 边形能单独镶嵌成一个平面图案？
探究新知
正方形
正三角形
探究新知
正六边形
正五边形
探究新知
（1）正三角形、正方形、正六边形为什么能镶嵌？
3
1
2
4
3
1
2
探究3:用几个形状、大小相同的任意三角形能 镶嵌成一个平面图案吗？四边形呢？
探究新知
2
13
3
1
2
3
11
1 23
23
1
3
1
2
3
1
2
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360 °任意三角形能镶嵌成平 面图案。
探究新知
2 34
1 43
1
2
4
3
1
2
2 34 1
1 43 2
4
3
1
2
因为 ∠1+∠2+∠3+∠4=360°
所以任意四边形能镶嵌 成平面图案。
平面镶嵌
m 3 60m 90n 360 n 2
2.正三角形与正六边形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角。 m 4 m 2 60m 120n 360 , n 1 n 2
3.更多的正多边形的镶嵌
正八边形与正方形的平面镶嵌
每个顶点处几个角的和为360°
还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？如何寻找呢？ 正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能被360o 整除
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内 角和为360度。令正多边形的边数为n,个数为m,则有
( n 2)180 m 360 n
m 6 ∴解得 n 3
m 4 n 4
m 3 n 6
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌， 而其他的正多边形不可镶嵌．
1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ ） A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形 2. 用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ ）用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A.3 B.4 C.5 D.6
）
1.用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌呢？
结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.
2.用形状、大小完全相同的四边形能否镶嵌呢？
结论：形状、大小完全相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.
3.用形状、大小完全相同的五边形能否镶嵌呢？
1.正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角.
生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面或地面。 从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不重叠地铺满平面 的一部分，这就是平面图形的镶嵌（也叫做平面图形的密铺）.
平面镶嵌中的数学问题
1 / 1
平面镶嵌中的数学问题
无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及平面镶嵌的有关知识，如果你注意一下，就会发现用同一种地砖铺地面，地砖的形状大多是正方形或正六边形，为什么呢？
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无空隙、不重合的一片，就是平面的镶嵌。
一个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。
在正多边形中，只有三种正多边形可以单独镶嵌。
1.正三角形
正三角形的每个内角都等于60°，因为60°×6=360°，所以用6个边长相等的正三角形可以镶嵌成一个平面图案，如图1。
2.正方形
正方形的每个内角都等于90°，因为90°×4=360°，所以用4个边长相等的正方形可以镶嵌成一个平面图案，如图2。
3.正六边形
正六边形的每个内角是120°，因为120°×3=360°，所以用3个边长相等的正六边形可以镶嵌成一个平面图案，如图3。
其它的正多边形不能单独镶嵌。
如正五边形的每个内角的度数为108°，3个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°×3=324°，小于360°，有空隙，而空隙又放不下第4个正五边形。
在铺地面时，为了美观，也可使用两种不同的正多边形地砖进行镶嵌，如用3个正三角形和两个正方形，用2个正八边形和一个正方形。
用三种不同的正多边形地砖进行地面镶嵌不常见，但也可以，如图4，用正六边形、正三角形和正方形地砖可以镶嵌成一个平面图案。
镶嵌 平面图形的镶嵌(A类基础)
a教类
28
探究总结：
用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：
正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
a教类
29
本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌
4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、 正方形、正六边形
正三角形
a教类
9
几个任意的全等三角形能否镶嵌？
a教类
10
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角，
它们的和为3600；同一种任意三角形可以镶
嵌。
a教类
11
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
①请尝试用你准备的全等三角形进行 镶嵌!同一种任意三角形可以镶嵌。
②请尝试用你准备的四边形进行镶嵌!
6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形
a教类
30
课后思考：
正三角形和正十二边形能进行 镶嵌吗？
a教类
31
a教类
12
正四边形—正方形
a教类
13
同一种任意四边形能否镶嵌？
a教类
14
3 4 1
2
21
12 43
34
4 3 2
1
a教类
3 4
2
1
15
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角， 它们的和为3600；
同一种任意四边形可以镶嵌。
a教类
16
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
平面图形的镶嵌
平面图形的镶嵌习题精选（一）[基础练习]1.在作平面镶嵌时，设在某一个顶点处有n个角，则这个n个角的和为_____。
2.用一种正n边形作平面镶嵌时，n的值只可能是________。
3.用正三角形和正方形作平面密铺，在一个顶点周围有________个正三角形和____个正方形的角。
4.如果用正四边形和正八边形作平面密铺，它的一个顶点周围有____个正四边形和__个正八边形。
5.用正三角形和正十二边形作地面密铺，在一个顶点周围有_______个正三角形的角和_____个正十二边形的角。
6.用三种正多边形镶嵌成一个平面，其中的两种是正四边形和正五边形，则另一种正多边形的边数是 ( )A.12B.15C.18D.207.用正三角形和正六边形作平面镶嵌，则在一个顶点处，正三角形与正六边形的个数之比为 ()A.4:1B.1:1C.1:4D.4：1或1:18.用正三角形和正六边形密铺成平面，共有______种拼法。
A.1B.2C.3D.无数9.用下列四种正多边形不能镶嵌成一个平面的是 ( )A.正三角形和正四边形B.正三角形和正六边形C.正四边形和正八边形D.正四边形和正六边形10.如图，现有任意四边形的地砖若干块，请你将它们设法摆放使它们可以密铺地面。
11.用正四边形和正八边形镶嵌成一个平面。
12.蜜蜂的蜂房是利用什么图形密铺的，请在下面长方形内画出蜜蜂房的图形。
13.如图所示，足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形，已知黑块有12块，则白块有 （ ）A.32块B.20块C.12块D.10块14.有六个等圆按下面图形的（甲）、（乙）、（丙）三种图形形状摆放使相邻两圆密铺，圆心连线分别构成平行四边形、正三角形、正六边形，将圆心连线外侧的阴影部分的面积之和依次记为1S 、2S 、3S ，试判断1S 、2S 、3S 的大小关系？想一想，为什么？15.请你自行设计一种地板的平面镶嵌图。
最新图形镶嵌的试题及答案
最新图形镶嵌的试题及答案
一、填空题
2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就拼成一个平面图形。
3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种。
二、选择题
4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是
A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形
5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是A正方形B矩形C正八边形D正六边形
6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少A8块B9块C11块D12块
7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是
A、正三角形
B、正五边形
C、正六边形
D、正八边形
8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的`布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料
才能使其与图(1)
拼接符合原来的图案模式?()
(图1)
A.B.C.D.
三、解答下列问题
9、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案。
10、试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，你能想出几种方法?
答案
1、16、4n+4
2、周角
3、正三角形、正四边形、正六边形
4、C
5、C
6、A
7、B，
8、C
9、
10、
12、方法如图所示：(还有很多)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“平面图形镶嵌问题”教学案例分析
一、设计背景
本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。
教材背景是学生刚学完的正多边形知识。
教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。
本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。
根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。
二、实施过程
本节课的教学目标是：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。
在上课的前两天，教师布置给学生一个任务，用纸片做一些正多边形的图片，说是上课要用，学生们都不知道教师葫芦里到底卖的什么药。
但因为这个班级每周都有一节数学研究性学习课，同学们都很喜欢这种课，在这种课上，大家可以充分展开想象的翅膀，展现自己的才能。
所以，各个学习小组的同学都相互合作，完成了老师布置的任务。
上课开始了，教师问学生：“ 大家见过自己家里地上铺的地砖及马路上人行道上铺的地砖吧？都是什么形状的啊？” 这是一个学生非常熟悉的问题，同学们纷纷回答，有的是正方形的，有的是正六边形的。
教师接着追问：“ 那么，我们能否用其它正多边形来铺地面呢？要求没有空隙。
这就是今天我们要研究的平面图形镶嵌问题。
比如用正五边形，大家看行吗？于是同学们分成小组，动手实践，用事先剪好的正五边形纸片进行试验，马上发现不行。
教师又问，用正五边形不行，用正八边形行吗？学生通过实践发现也不行。
教师问学生，那么我们今天要研究的平面图形镶嵌问题，应该研究什么问题啊？经过思考，一位学生说：“ 我们应该研究用什么样的正多边形可以完成平面的镶嵌而不留空隙。
” 另一位学生接着说：“ 我们还应该研究用两种以上的正多边形能不能完成平面的镶嵌。
” 教师对这两位学生进行了表扬，说：“ 我们就是要善于提出问题，好，我们今天就一起来研究这两个问题吧！”
对第一个问题，同学们通过实验，很快就得出了结论，只有正三角形，正方形或正六边形这三种正多边形可以完成平面图形的镶嵌。
教师引导学生讨论，为什么只有这三种而没有其它正多边形了。
很快地，就有学生回答说，因为要使平面完全镶嵌不留空隙，正多边形的内角度数必须能把 360 整除，符合要求的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。
第一个问题解决了，接着同学们动手研究第二个问题，大家用两种不同边数的正多边形的纸片拼接在一起进行组合，拼出了各种各样的图形。
其中有的能完全镶嵌，例如用正六边形和正三角形，有的则不能完全镶嵌，留下了一些空隙，例如用正八边形和正方形。
教师把它们都挂在黑板上，供全班同学欣赏、评论。
这时，下课时间快到了，教师让学生对这节课进行了总结。
并提出了第三个问题让同学们课后去进行实践探究：你能否想出一个用同一种多边形（非正多边形）的地砖铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。
三、案例分析
1 ．本节课通过对几个平面图形的镶嵌问题进行研究，学生加深了对正多边的有关性质的理解。
例如对正多边的内角度数的理解提高了一个层次。
2 ．由于研究的问题来自学生的日常生活实际，同学们一点也不感到陌生，因此兴致盎然，既提高了学习数学的兴趣和积极性，又初步了解了数学在生产生活中有着广泛的应用。
3 ．以问题为主线层层深入，通过对问题的探究解决，学生参与了知识的发生过程，初步改变了学生的学习方式，培养了学生的实践能力和探究精神。
四、对案例的反思
1 ．本节课应用的是正多边的知识，因此在用哪种正多边形可以完成平面图形的完全镶嵌这一个问题上可以进一步深化，可引导学生用数学的方法来证明只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能达到目的的正确性，从而进一步培养学生逻辑思维的严谨性。
2 ．无空隙这一说法如何用数学语言来叙述？可引导学生归结为如下结论：拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边。
3 ．学生对本课主题很感兴趣，但教学手段略显单一。
是否可以设计多媒体教学课件，在演示时会更直观。
4 ．留给学生课后研究的问题，应该更具有思考性及可探究性，本节课留给学生探索的问题的可操作性及探究性都有点牵强。
可否让学生进一步观察，为什么平常用的地砖一般都是正方形的，而贴在墙上的墙砖却是长方形的，这种长方形墙砖的长与宽的比例是多少？为什么这样设计？让学生在探究过程中体验数学美在生活中的应用。