图的存储与Dijkstra算法求最短路径.ppt

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最短路径问题PPT课件

A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．在△AB′C′中，
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边饮马，然后到B 地；
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实际问题

Dijkstra算法求最短路径

在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。

交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。

以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。

最短路径问题的提法很多。

在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。

例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：图G14从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4)，其路径长度分别为：15,20和10。

因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。

为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。

那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。

迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V={0,2,…,n-1}，cost是表示G的邻接矩阵，G.arcs [i][j] .adj 表示有向边<i,j>的权。

若不存在有向边<i,j>，则G.arcs [i][j] .adj 的权为无穷大(这里取值为32767)。

设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。

设顶点v0为源点，集合S的初态只包含顶点v0。

数组D记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为D[i]= G.arcs[v0][i].adj ，i=1,…,n-1。

从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使D[w]的值最小。

于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整D中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的D[v] 和D[w]+ G.arcs [w][v] .adj中选择较小的值作为新的D[v]。

Dijkstra算法图示

Dijkstra算法学习笔记Dijkstra算法是一种最短路径算法，用于计算一个节点到其它所有节点的最短路径，动态路由协议OSPF中就用到了Dijkstra算法来为路由计算最短路径。

算法本身并不是按照我们的正常思维习惯，我们一般会，从原点遍历所有与之相连的节点，找到最短路径，再从最短路径上的那个点遍历与之相连的所有其它点（原点除外），然后依次类推。

这样做虽然可以算出一个树形，但是在大多数情况下，这种算法会产生很多次优路径，也就是说非最短路径。

Dijkstra算法的大概过程：假设有两个集合或者说两个表，表A和表B表A表示生成路径，表B表示最后确定的路径1.从原点出发，遍历检查所有与之相连的节点，将原点和这些节点存放到表A 中，并记录下两节点之间的代价。

2.将代价最小的代价值和这两节点移动到表B中（其中一个是原点）。

3.把这个节点所连接的子节点找出，放入到表A中，算出子节点到原点的代价4.重复第二步和第三步直到表A为空。

然后根据表B中的数据算出最优树。

维基百科中还有另一种说法，Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。

我们以V表示G中所有顶点的集合。

每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。

(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。

我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。

因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。

边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。

任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。

已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。

这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到u的最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从s到v的路径。

最短路径dijkstra算法过程

最短路径dijkstra算法过程
Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法，其过
程如下：
1. 创建一个距离表，记录从起始节点到每个节点的距离。

初始时，除了起始节点，其他节点的距离被设置为无穷大，起始节点的距离被设置为0。

2. 创建一个集合Q，用于存放还未被访问的节点。

3. 在集合Q中找到距离最小的节点v并将其从集合Q中移除。

如果没有找到，则说明所有节点已被访问完毕，算法结束。

4. 遍历节点v的所有邻居节点u，对于每个邻居节点u，更新
其距离表中的距离。

如果通过节点v可以获得比原先距离更短的路径，则更新距离。

5. 重复步骤3和步骤4，直到集合Q为空。

6. 返回距离表，其中记录了从起始节点到其他节点的最短距离。

需要注意的是，在实现过程中，需要使用一个优先队列来快速找到集合Q中距离最小的节点v，以提高算法的效率。

以上就是Dijkstra算法的基本过程。

通过不断更新距离表，算
法可以找到从起始节点到其他节点的最短路径。

迪杰斯特拉求最短路径算法

通过使用迪杰斯特拉算法，我们可以找到这些最短路径，从而帮助决策者做出更好的决策
在这些应用中，我们需要找到从一个地点到另一个地点的最短路径，以便优化成本、时间和路线等
应用
Tarjan
Robert E. "A Class of Algorithms for Decomposing Disconnected Graphs". Journal of the ACM (JACM) 16.3 (1969): 430-447
在图论中，我们通常用节点表示地点，用边表示两个地点之间的路径。每条边都有一个与之相关的权重，表示从一个地点到另一个地点的距离。迪杰斯特拉算法可以找到从源节点(出发节点)到目标节点(目的地)的最短路径，即使在图中存在负权重的边
算法步骤
算法步骤
初始化
01
将源节点的距离设置为0，将所有其他节点的距离
设置为正无穷。创建一个空的优先队列，并将源节
点放入队列
从优先队列中取出距离最小的节点
02
这个节点就是当前最短路径的起点
遍历从这个节点出发的所有边
03
对于每条边，如果通过这条边到达的节点的距离可
以通过当前节点更新(即新距离小于原距离)，那么
就更新这个节点的距离，并将其加入优先队列
如果队列中仍有节点
04
回到步骤2。否则，算法结束
算法步骤
这个算法的时间复杂度是O((E+V)logV)，其中 E是边的数量，V是节点的数量
这是因为每个节点和每条边都需要被处理和比较，而这个过程是在一个优先队列中进行的，
需要O(logV)的时间复杂度
优点和缺点
优点和缺点
迪杰斯特拉算法的优点在于它可以在大多数情况下找到最短路径，而且实现起来相对简单

dijkstra最短路径算法详解

dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。

以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。

2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。

之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。

更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。

3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。

4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。

Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。

其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。

总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。

在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。

最短路径问题的求解PPT精选文档

这种算法最关键的问题就是如何确定估价函数，估价函数越准，则能越快找到答案。这种算法实现起来并不难，只不过难在找准估价函数，大家可以自已找相关资料学习和思考。
.
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最短路径问题的求解
三、等代价搜索法等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值，也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
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最短路径问题的求解
二、启发式搜索在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
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最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径）例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
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最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点，处理后得到如下图的最终结果：

dijkstra最短路径算法

图解迪杰斯特拉（Dijkstra）最短路径算法目录前言一、最短路径的概念及应用二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是Dijkstra2.逻辑实现总结前言无论是什么程序都要和数据打交道，一个好的程序员会选择更优的数据结构来更好的解决问题，因此数据结构的重要性不言而喻。

数据结构的学习本质上是让我们能见到很多前辈在解决一些要求时间和空间的难点问题上设计出的一系列解决方法，我们可以在今后借鉴这些方法，也可以根据这些方法在遇到具体的新问题时提出自己的解决方法。

（所以各种定义等字眼就不用过度深究啦，每个人的表达方式不一样而已），在此以下的所有代码都是仅供参考，并不是唯一的答案，只要逻辑上能行的通，写出来的代码能达到相同的结果，并且在复杂度上差不多，就行了。

一、最短路径的概念及应用在介绍最短路径之前我们首先要明白两个概念：什么是源点，什么是终点？在一条路径中，起始的第一个节点叫做源点；终点：在一条路径中，最后一个的节点叫做终点；注意！源点和终点都只是相对于一条路径而言，每一条路径都会有相同或者不相同的源点和终点。

而最短路径这个词不用过多解释，就是其字面意思：在图中，对于非带权无向图而言，从源点到终点边最少的路径（也就是BFS广度优先的方法）；而对于带权图而言，从源点到终点权值之和最少的路径叫最短路径；最短路径应用：道路规划；我们最关心的就是如何用代码去实现寻找最短路径，通过实现最短路径有两种算法：Dijkstra迪杰斯特拉算法和Floyd弗洛伊德算法，接下来我会详细讲解Dijkstra迪杰斯特拉算法；二、Dijkstra迪杰斯特拉1.什么是DijkstraDijkstra迪杰斯特拉是一种处理单源点的最短路径算法，就是说求从某一个节点到其他所有节点的最短路径就是Dijkstra；2.逻辑实现在Dijkstra中，我们需要引入一个辅助变量D（遇到解决不了的问题就加变量[_doge]），这个D我们把它设置为数组，数组里每一个数据表示当前所找到的从源点V开始到每一个节点Vi的最短路径长度，如果V到Vi有弧，那么就是每一个数据存储的就是弧的权值之和，否则就是无穷大；我们还需要两个数组P和Final，它们分别表示：源点到Vi的走过的路径向量，和当前已经求得的从源点到Vi的最短路径（也就是作为一个标记表示该节点已经加入到最短路径中了）；那么对于如下这个带权无向图而言，我们应该如何去找到从V0到V8的最短路径呢；在上文中我们已经描述过了，在从V0到V8的这一条最短路径中，V0自然是源点，而V8自然是终点；于是我根据上文的描述具现化出如下的表格；在辅助向量D中，与源点V0有边的就填入边的权值，没边就是无穷大；构建了D、P和Final，那么我们要开始遍历V0，找V0的所有边中权值最短的的边，把它在D、P、Final中更新；具体是什么意识呢？在上述带权无向图中，我们可以得到与源点有关的边有（V0，V1）和（V0，V2），它们的权值分别是1和5，那么我们要找到的权值最短的的边，就是权值为1 的（V0，V1），所以把Final[1]置1，表示这个边已经加入到最短路径之中了；而原本从V0到V2的距离是5，现在找到了一条更短的从V0 -> V1 -> V2距离为4，所以D[2]更新为4，P[2]更新为1，表示源点到V2经过了V1的中转；继续遍历，找到从V0出发，路径最短并且final的值为0的节点。

迪杰斯特拉算法计算最短路径

利用Dijkstra算法计算最短路径摘要福格环游地球问题是一个十分典型的最短路径求解问题，题设给出了当时世界上主要交通网络图及交通通畅的城市之间来往所需时长，并限定了福格的出行方向（福格选择的是往东走），给出起止地点后要求找出福格环游世界天数最短的最佳路径。

我们认为，这个问题的实质在于最短路径的求解和优化。

我们对比图论中的多种最短路径算法，决定利用Dijkstra算法解决这个问题。

由于Dijkstra算法要求输入图G的关联矩阵，且图G为二维赋权图，而题中给出的地图可看成是三维环状地图，因此，我们对题设地图做相关处理，将其从起点处“切断”并展开为二维图，然后根据此图建立关联矩阵。

同时，我们考虑到最短路径可能会与切断线有交点，在切断线以西找出若干地点一分为二，修改关联矩阵。

对于题目中缺失的两处数据，本文将以当时的交通数据为基础，经过合理的数据处理，结合Google Earth测距软件与题目数据的合理类比，补充缺失数据，完成关联矩阵。

得到关联矩阵后，我们分别以伦敦、纽约和上海作为起点，调整关联矩阵起点和终点，用matlab编程进行求解得到最短环游时间和最短路径，进而判断出所选择的路径是否能让他赢得赌注。

根据我们的求解结果，在这三个城市，福格均能在80天内环游地球，赢得赌注。

本文进一步对此种算法的优缺点、灵敏度与推广性进行了分析，同时初步提出了两种优化方法。

关键词：最短路径算法 dijkstra算法算法优化一、问题重述儒勒•凡尔纳的著名小说《环游世界80天》中，英国绅士福格在伦敦与人打赌能够在80天内环游世界，这在当时的1872年是一个了不起的壮举。

当时最快的旅行方式是火车和轮船，然而世界上大部分地区还是靠马车、大象、驴子或者步行来旅行。

下面是一个从伦敦环游世界不同路线的交通网络图，福格选择的是往东走，每段路线所需要的天数显示在图上（见附录一），旅行的时间基于1872年能采用的旅行方式以及距离。

我们将解决以下问题：1．我们将设计一个算法为福格选择一条最佳路径，即环游世界天数最短，并判断所选择的路径是否能让他赢得赌注。

dijkstra算法最短路径

《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。

它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。

Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。

然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。

最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。

举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。

如果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，路径长度为3。

Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。

因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。

二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。

首先，Dijkstra算法可以用于解决交通路网中的最短路径问题。

例如，在一个城市的交通路网中，如果一个乘客要从一个地方到另一个地方，那么他可以使用Dijkstra算法来查找最短的路径。

这样可以节省乘客的时间和金钱，也可以减少拥堵。

此外，Dijkstra算法还可以用于解决计算机网络中的最短路径问题。

最短路径问题 ppt课件

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图论及其应用作业用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步骤2。算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。他在1972年获得美国计算机协会授予的图灵奖，这是计算机科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最短路线及长度。
3
图论及其应用
例使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)

最佳路径PPT课件2024新版

Floyd算法
• 算法思想：Floyd算法是一种多源最短路径算法，用于计算所有节点对之间的最短路径。该算法通过动态规划的思想，逐步计算并更新节点间的最短路径。
Floyd算法
算法步骤
1. 初始化：将所有节点对之间的距离设为无穷大，将相邻节点间的距离设为边的权重。
2. 通过中间节点，逐步更新节点对之间的距离。
03 最佳路径算法实现
数据结构选择
01
02
03
优先队列
用于存储待访问的节点，按照节点到起点的距离进行排序，保证每次取出的是距离起点最近的节点。
邻接矩阵或邻接表
用于表示图的结构，记录节点之间的连接关系及权重。
标记数组
用于记录节点是否已访问过，避免重复访问。
算法流程设计
初始化
将起点加入优先队列，并设置其距离为0。
05
对于稀疏图，使用邻接表代替邻接矩阵，以节省空间。
使用堆优化的优先队列，提高节点插入和删除的效率。
03
06
对于已访问过的节点，可不再加入优先队列，以避免重复处理。
04 最佳路径算法应用案例
地图导航
实时交通信息融合
结合实时交通信息，如拥堵、事故等，为用户规划出避开拥堵的最佳路径。
多模式交通方式
结束条件
当优先队列为空时，表示所有可到达的节点均已被访问过，算法结束。
循环处理
从优先队列中取出距离起点最近的节点，遍历其邻居节点，若邻居节点未被访问过，则更新其距离，并将其加入优先队列。
代码实现及优化
代码实现：根据算法流程设计，使用所选数据结构实现最佳路径算法。
01
优化措施
02
04

第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件

第2组为其余未求出最短路径的顶点集合（用U表示）。
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！源点v默认， dist[j]表示源点顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5，表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
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迪克斯特拉算法PPT课件

pathData.cost = 0; PQ.PQInsert(pathData); while (!PQ.PQEmpty( )) { pathData = PQ.PQDelete( );
ev = pathData.endV; mincost = pathData.cost; if (ev == eVertex) break;
S中只有一个源点v0，以后每求得的一条最短路径就将终点加入S，直到全部顶点都加入到S.
定义一个数组 D[n]; n是图的顶点数。 D[i]=从源点v0到顶点vi最短路经的长度。
第一步取D[i]为v0到vi的边的权值，无边时取值∞，取一个最小值 D[j1]=min{D[i], i<n}
D[j1]是v0到vj1的最短路径的长度。
DistanceMatrix& D)
{ int n=G.NumberOfVertices( ); int i,j,k,l,t; T u,v,w; for(i=0;i<n;i++) { u=GetVertex(G,i); for(j=0;j<n;j++) { v=GetVertex(G,j); D[i][j]=MaxInt; l=G.GetWeight(u,v); if(l>0)D[i][j]=l;
if (ev == eVertex) return mincost; else return -1; }
template<class T> T GetVertex(Graph<T> G,int pos) { int i, n=G.NumberOfVertices( );
if(pos<0||pos>=n) {cerr<<"There are not so many vertices!";

迪杰斯特拉算法求最短路径图解

迪杰斯特拉算法求最短路径图解
迪杰斯特拉算法是在用运筹学中解决路径搜索问题时候非常有用的一种算法。

它适用于求解从一个点到其他所有点的最短路径。

这种算法主要应用于交通网络，求解旅游问题，处理穿越桥梁或隧道的情况等等。

迪杰斯特拉算法的含义就是“最短路径”。

这种算法比较常见的一种，因为它
可以用于解决上述类型的问题，也能够给出即时的答案。

需要说明的是，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径，需要满足一定的条件：必须满足图的邻接关系，并且确定用于求最短路径的起点和终点。

迪杰斯特拉的步骤可以分为四步：
第一步：先从所有节点中选择一个起始节点，找出该节点与其他节点之间的最
短路径；
第二步：选择一个未被访问的节点，计算从起始节点到该节点的最短路径长度；
第三步：在剩余节点中重复步骤二直至起始节点与所有节点均被访问；
第四步：当所有节点都被访问后，根据记录的信息，选择起始节点通往其他节
点的最短路径。

一旦经过这四步完成了最短路径的搜索，就可以使用迪杰斯特拉算法解决最短
路径问题了。

这种算法的特点在于它的有效性，准确性和便捷性，可以找出最短路径的最优解来解决问题，并且很容易实施。

解决最短路径问题时，使用该算法的一大优势在于可以考虑到不同的费用，这也就意味着可以计算具有很高效率的最短路径。

最短路问题__迪杰斯特拉算法ppt课件

j
)}

min{
T
(v4
),
T
(v5
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T
(v6
)}

T
(v4
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T
(v5
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5,
所以有， p(v4 ) 5, p(v5 ) 5
（6） T (v6 ) min[T (v6 ), P(v4 ) l46, P(v5 ) l56 ] min[, 5 4,5 2] 7
X={1,2,4}, p2=2
ppt课件
13
X={1,2,4}
p1=0
p2=2
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
p6=3
8 8
min {d16,d23,d25,d47}=min {0+3,2+6,2+5,1+2}=min {3,8,7,3}=3
X={1,2,4,6}, p6=3
ppt课件
P(v1) 0
T (vi ) (i 2,3,,6)
（2） T (v2 ) min[ T (v2 ), P(v1) l12 ] min[ , 0 3] 3
T (v3 ) min[ T (v3 ), P(v1 ) l13 ] min[ , 0 5] 5
最短路问题
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1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最短路就是寻求连接这两个点的边的总权数最小的通路。（注意：在有向图中，通路——开的初等链中所有的弧应是首尾相连的。）

Dijkstra算法图文详解

Dijkstra算法图⽂详解Dijkstra算法Dijkstra算法算是贪⼼思想实现的，⾸先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛⼀次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

问题引⼊：指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。

例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。

下⾯我们来模拟⼀下：这就是Dijkstra算法的基本思路：接下来是代码：已经把⼏个过程都封装成了基本模块：#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];int n,m;//n个点，m条边void Init (){memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}}void Getmap(){int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}}void Dijkstra(int u){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]) {dis[i]=map[temp][i]+dis[temp]; }}}}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;}。

离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法

在离散数学中，图论是一个重要的研究领域，涉及到许多与图有关的概念和算法。

其中，最短路径和迪杰斯特拉算法被广泛应用于图中节点之间最短路径的计算与查找。

首先，我们来了解一下最短路径的概念。

在一个有向或无向图中，最短路径是指从起始节点到目标节点的路径中，具有最小权重的路径。

权重可以表示为两个节点之间的距离、成本或代价等。

在现实生活中，最短路径问题可以应用到许多场景中，比如寻找两个城市之间的最短路线或者确定网络中两台计算机之间的最短连接。

要计算图中的最短路径，其中一种经典的算法是迪杰斯特拉算法。

迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，通过逐步更新节点的距离值来找到最短路径。

它的基本思想是从起始节点开始，首先将起始节点的距离值设置为0，然后将所有其他节点的距离值设置为无穷大。

接下来，算法根据每条边的权重更新节点的距离值，直到找到目标节点或者遍历完所有节点为止。

具体来说，迪杰斯特拉算法可以分为以下几个步骤：1.初始化：将起始节点的距离值设为0，将其他节点的距离值设为无穷大。

2.遍历：从起始节点开始，逐一考察与当前节点相邻的节点。

3.更新距离：对于每一个相邻节点，计算通过当前节点到达该节点的距离，并将其与该节点存储的当前最短距离进行比较。

如果通过当前节点的路径更短，就更新该节点的最短距离值。

4.标记节点：在遍历的过程中，通过节点之间的最短路径更新，我们可以逐渐标记节点为“已访问”，确保每一个节点的最短路径都已计算。

5.终止条件：当遍历完成或者找到目标节点时，算法终止。

迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N是图中的节点数量。

尽管在大规模图中可能会出现效率问题，但对于中小规模的图，该算法具有较高的实用价值。

总结来说，离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法密不可分。

通过迪杰斯特拉算法，我们可以在图中找到从起始节点到目标节点的最短路径。

该方法的基本思想是贪心的，通过逐步更新节点的距离值，从而逐渐找到最短路径。

无论是用于寻找城市间最短路线还是网络中最短连接，这个算法都具有广泛的应用前景。