w第7章 磁场 毕奥-萨伐尔定律

Bz dBz
Bx dBx By dBy
9.2.2.毕奥 —萨伐尔定律的应用
解题步骤
dB P r
Idl

I 1. 任取电流元 Idl —根据已知电流的分布与待求场点的位置； 2. 选取合适的坐标系 μ 0 Id l er 3. 写出电流元在空间一点产生的dB dB 4 π r 2 4.整个电流在空间该点产生的磁场 注意:
3） m
—通过面元 dS 的磁感线（磁通量）。
—通过 S 面的磁感线（磁通量） 。
S
—进入（负）和穿出（正）闭合曲面 (S ) S 的磁感线代数和（磁通量） 。 3 . 高斯定理-磁通连续定理(theorem of continuity of magnetic flux) 通过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。即
B0 ?
• 磁场
电
流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
• 毕奥－萨伐尔定律
I B 0 ①无限长载流导线： 2 a
铁 0 Idl r 0 Idl er dB 3 4 r 4 r 2 ①圆环圆心： B
0 I
2R
磁
0 I B ②半无限长载流导线： 4 a B0 ③延长线上：
S
S1
S2
B dS B d S
S1 S2
n1
——磁通连续原理。
S1
S2
n2
B
S
即：只要给定了回路L，穿过L的磁通量与所选择的积分曲 面（以L为边界）的形状无关。 3) 该定理适用于任何磁场，包括非稳恒磁场。
例：求通过无限长载流直导线与导线共面的矩形线圈的磁通量。
B dS 0
(S )
微分表达式 B 0 （稳恒磁场是无源场）
讨论：
1) 该定理说明的磁场的一个基本性质： 无源性 磁场是“无源场 ——不存在“磁单极”（磁荷 ” ） 2) 磁场的高斯定理亦可以另一种形式表述： L B dS B dS B dS 0
用其比值表示 B 的大小
Fm Fmax B qv sin qv
磁感应强度 B
由
方向: q不受力的方向定义为 B 的方向.
Fm qv B
v
F
Fmax qv 决定
放在该点的小磁针平衡时N极的指向
B
Fm Fmax 大小: B qv sin qv
各个电流元产生的 dB 的方向往往不同, 先分解成分量,再做积分。
μ 0 Id l er B dB 4 π r2
Bx dBx Bz dBz By dBy
矢量积分
0 Idl er B dB 4 r2
例9.1 直线电流的磁场
单位:
？
Fm Fmax B qv Fmax qv qv sin
牛顿/安培。米称作特斯拉 T ( 1 T = 10 4 G )
洛伦兹力
F q E qv B
磁场也服从叠加原理(superposition principle of magnetic) B Bi
i
7.4 毕奥－萨伐尔定律(Biot-Savart本思路： 带电体 (回答“电流如何产生磁场”的问题)
I
2、定律的表述
Idl
dq
电流元(current element): Idl ——矢量
电流元在空间P点产生的磁场B为:
?
dE
dB dB
E dE B dB
讨论
(1)注意 dB 的方向 —— 右手法则
例：
P
dB
P
dB
Idl
P
dB 0
dB
Idl
P
dB
Idl
Idl
P'
(2) 对任意一段有限电流，其产生的磁感应强度
0 Idl er B dB 4 r 2
(3) 原则上可求任意电流系统产生磁场的 B
(b)圆形电流磁力线
(c) 通电螺线管磁场
磁感线和电流的方向相互服从右手螺旋法则
2 . 磁通量(magnetic flux) 1 ) 磁通密度 B d m d m dS dS cos
dS
B
2 ) dm B dS
) B dS (S 4） m B dS
R
2
1
P

dB
2
r
x

即端口处磁场减小一半
l
dl
L
I I a O I
B0 ?
B0 ?
B0
0 I
4a
R 0
I
I
I
B0 ?
0 I 0 I B0 2R 4 R
2
2
I 0
二、磁感应强度 B
实验：运动电荷在磁场中的受力情况 1.将一检验电荷q至于磁场中某点P 静止： Fe 运动： F 则： Fm F Fe
F Fe Fm
z
V
Q
Fm
F
Fe
2.令q沿不同的方向通过点P，测 Fm
+
q
y
Fm
v
x （1）发现q沿某一特定方向运动时，不受磁力， 定义为 B 的方向(小磁针平衡时N极的指向)
1
r l rctg( ) rctg dl d 2 sin 0 I I 0 (cos 1 cos 2 ) B sin d 4 4r r 0 I (2)半无限长直线电流的磁场 （1）无限长直线电流的磁场 B 2r 0 I B (3)直线电流延长线上的磁场 B=0 4r
R
1
P

dB
2
r
x
dI nIdl
dB
0 dI

1 sin B sin dI 0 nI dl 2R 2 R 0 nI sin d
3 3
2
0
2R
sin 3
l
dl
L
l Rctg
Rd dl sin 2
基本磁现象（Basic Magnetic phenomena） ：
1.磁体与磁体 2. 电流对磁体 （1820年奥斯特实验） 3. 磁体对电流 4. 磁体对运动电荷 5.电流对电流 I
磁现象本质： 运动电荷对运动电荷的作用
磁力是运动电荷相互作用的表现
电荷之间的相互作用
1.静止电荷对静止电荷的作用力
2
Idl ' r0 r l
0 I r
dB
P
dB 0 Idl er Idl 4 r2 0 Idl er dB '2 4 r
0 Idl sin B dB '2 4 r r r ' r sin( ) sin
例9.2 圆形电流对称轴线处磁场： 0 Idl er dB 4 r2 Id l er dB r R 0 Idl sin 2 dB x x 4 r2 0 P 0 Idl sin B dB sin 0 I 2

0 I sin 2 dl 4 r 0 I sin 2R 2 4 r 2
0 I R sin
2R r2
4
r

0 I
2R
sin 3
0 I R 2 R2 2 2 32 2 (x R ) 2 r3
0 I
I I a O I
B0 ?
0 Idl er 0 Idl r dB 3 2 4 r 4 r
方向：
P
r er Idl
I
0 4 10 7 N / A 2 (真空中的磁导率)
大小：
0 Idl dB sin 2 4 r
垂直 Idl 与 r 组成的平面, 由 Idl r决定
B0 ?
B0
0 I
4a
R 0
I
I
I
B0 ?
0 I 0 I B0 2R 4 R
2
2
I 0
B0 ?
I
例3. 载流均匀密绕直螺线管轴线上的磁场。
设每匝线圈通过电流为Ｉ， 单位长度匝数n 线元dl 的电流强度为

无限长均匀密绕直螺线管的磁感应强度
B 0 nI
重要结论！
结论: 无限长均匀密绕通电直螺线管的磁场集中在管内， 且为匀强磁场 。
2）对于半无限长均匀密绕直螺线管，其轴线端口处 的磁感应强度为：
1 , 2
1 B 0 nI 2


第7章 真空中恒定电流的磁场 (Magnetic Field)
静止电荷——静电场 运动电荷——电场、磁场 稳恒电流产生的磁场不随时间变化——稳恒磁场 内容： 描述磁场的基本物理量——磁感应强度
电流磁场的基本方程——Biot-savart定律
磁场性质的基本方程——高斯定理与安培环路定理 磁场对电流与运动电荷的作用——Lorentz力、Ampere力
l
dl
L
1）若 螺线管长度 L远大于管的半径 R ,
1 , 2 0
则无限长均匀密绕直螺线管 ：
B
( L ~ 10R )