九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.1配方法2_1-5

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21.2 解一元二次方程(第1课时)

过程与方法目标：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．
情感与态度目标：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法
四、教学重点
理解配方法及用配方法解一元二次方程．
五、教学难点
1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
课题
21.2解一元二次方程（第1课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识与技能目标：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
达标测评
练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
（2）解方程x2－4x－2＝0．
解方程：2x2＋3＝5x．
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：1．教科书第6页练习；第9页练习．
2．思考：利用本节课的知识，试解关于x的方程x 2 + px + q = 0．
十、课后反思
问题3解方程：（x + 3）= 5．
问题4怎样解方程x 2 + 6x + 4 = 0

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版

21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。

九年级上册数学21.2 解一元二次方程直接开平方法

21．2.1 配方法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版

∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1

22 3
，x2

22 3
.
注意：二次根式必须化为最简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1

x1

, 3
x2

1.
整理，得_x_2_=_2_5 ，根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长是_5_d_m__.

21.2.1 解一元二次方程-配方法

x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
思维拓展
2 1、把方程x -3x+p=0配方得到
(x+m)2=
1 2
(1)求常数p，m的值；
(2)求方程的解。
2、若: x y 4 x 6 y 13 0,
2 2
则x _____ -8
y
理论迁移
1、将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为 (x+3)2-7 。 2、比较大小：
6x ≤ x2+9．（填“＞”、“＜”、“≥”、 3、若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1，则 a+b的值是 5 。
课堂小结
1、一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方
根的定义，可解得
例题精讲
例1 用配方法解下列方程：
(1) x2 - 8x ＋1 =0
(2) 2x2 +1=3x (3) 3x2-6x+4=0
教材P42
2、 3
归纳总结
解一元二次方程的基本思路：
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(mx+n)2＝P的形式(其中m、 n、P是常数）。
当P≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程。当P<0时，原方程的解又如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

九年级数学上册第21章21.2.1配方法第二课时

第二十一章一元二次方程 21.2 解一元二次方程
21.2.2 配方法第二课时配方法
第1页
新知配方法
(1)配方法定义：把一元二次方程左边化成一个完全平方式，
右边变成一个非负数，用直接开平方方法来求方程解，这种方法称为配方法.
(2)用配方法解一元二次方程步骤： ①化：把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；②移项：把常数项移到方程右边；
第5页
举一反三 1. 填空： (1)x2＋6x＋( 9 )＝(x＋ 3 )2； (2)x2－8x＋( 16 )＝(x－ 4 )2； (3)x2－4x＋( 4 )＝(x－ 2 )2； (4)
第6页
2. 用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方
程变形正确是( B) A. (x－1)2＝2
B. (x－1)2＝4
∴x1＝ 5 －2，x2＝－ 5 －2. (2)2x2＋1＝3x.
解：移项，得2x2－3x＝－1，整理，得
，配x方2 ，3得x6
∴x1＝1，x2＝
1 2
.
第8页
第2页
③配方：方程两边都加上一次项系数二分之一平方； ④变形：方程左边配方，右边合并同类项； ⑤开方：依据平方根意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元一次方程；⑦定解：写出原方程解.
注意：(1)配方目标是为了降次，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.
(2)配方法关键一步是配方，即方程两边都加上一次项系数二分之一平方，千万不要忘了在右边也加上一次项系数二分之一平方.
第3页
例题精讲【例】解以下方程： (1)x2＋6x＋5＝0；(2)2x2＋6x＋2＝0. 解 (1)移项，得x2＋6x＝－5，配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2， ∴x1＝－1，x2＝－5.

人教版数学九年级上册教案21.2.1《配方法》

人教版数学九年级上册教案21.2.1《配方法》一. 教材分析《配方法》是人教版数学九年级上册第21章第2节的内容，本节课主要让学生掌握配方法的原理和步骤，并能够运用配方法解决一些实际问题。

教材通过引入“完全平方公式”的概念，引导学生探索如何将一个二次多项式转化为完全平方形式，从而引出配方法。

学生在学习过程中，需要理解并掌握配方法的基本步骤，以及如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法、完全平方公式等知识，对于二次多项式的基本概念和性质有一定的了解。

但学生在运用配方法解决实际问题时，可能会遇到一些困难，如判断多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与课堂活动，提高学生运用配方法解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握配方法的原理和步骤，能够运用配方法将一个二次多项式转化为完全平方形式。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习活动，培养学生探索问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。

四. 教学重难点1.重点：配方法的原理和步骤。

2.难点：如何判断一个多项式是否可以配成完全平方形式，以及如何正确地进行配方操作。

五. 教学方法1.启发式教学：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。

2.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。

3.案例教学：教师通过举例子，让学生理解并掌握配方法的运用。

六. 教学准备1.准备相关教案和教学资料。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：已知一个二次多项式 f(x) = x^2 - 6x + 9，请问如何将其转化为完全平方形式？2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾二次方程的解法和完全平方公式，然后引导学生探索如何将 f(x) = x^2 - 6x + 9 转化为完全平方形式。

《21.2.1_配方法》精品教案

21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法教学目标：一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的形式．教学过程：环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．一般地，对于方程x 2＝p ：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝__.(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__0__；(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6.3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __；(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5.由此可得x －1＝±5，∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1. 配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B )A ．p ＝4，q ＝2B ．p ＝4，q ＝－2C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4.(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(3)x 1＝－1，x 2＝13. (4)x 1＝16，x 2＝－16. (5)x 1＝92，x 2＝－92. (6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136. 【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤：一移项→二化简→三配方→四开方练习设计：请完成本课时对应练习！。

21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)

二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学逻辑推理的重要性，提高他们在解决问题时的逻辑思维能力。
2.增强学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用配方法求解一元二次方程，培养他们将现实问题转化为数学模型的能力，从而提高解决实际问题的数学素养。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们在理解配方法的原理和步骤上存在一定困难。虽然我通过详细的解释和举例来说明，但仍有部分学生感到困惑。在以后的教学中，我需要更加关注学生的反馈，针对他们的疑难点进行有针对性的讲解和练习。同时，可以增加一些互动环节，让学生在课堂上及时提问，以便于我了解他们的掌握情况。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们能够将所学知识应用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。这一点让我感到很欣慰。但同时我也注意到，有些小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生讨论方向的引导，确保讨论能够紧紧围绕主题进行。
21.2.1用配方法解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材《代数与方程》第21章第2节，主题为“21.2.1用配方法解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能熟练运用该方法解决实际问题。
2.了解配方法的原理，理解为何配方法可以求解一元二次方程。
a.将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0转换为完全平方形式。
b.利用完全平方公式解出方程的根。
c.分析解的实际情况，如重根、无解等。
（2）运用配方法解决实际问题：学生需学会将实际问题抽象为一元二次方程，然后运用配方法求解，例如以下例题：

人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(配方法)ppt课件

方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
21.2 解一元二次方程
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
，配方后的方程可以是A( )
A．(x-1)2=4
B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16
D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出
，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h
＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为C( )
A．1 s
B．2 s
C．1 s或2 s
21.2 解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时
，此方程可变形D为( ) A．(x＋2)2＝1
B．(x－2)2＝
1
C．(x＋2)2＝9
D D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是(
)
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1 的类型．
21.2 解一元二次方程
1．通过配成__完___全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫

21.2.1 解一元二次方程—配方法

【跟踪训练】 1．一元二次方程 x2－3＝0 的根为( C ) A．x＝3 B．x＝3 C．x1＝ 3，x2＝－ 3 D．x1＝3，x2＝－3
2．用直接开平方降次法解下列方程：
(1)x2－16＝0；
(2)(x－2)2＝5.
解：(1)x2－16＝0，即 x2＝16.
∴x1＝4，x2＝－4.
(2)(x－2)2＝5，即 x－2＝± 5.
∴x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5.
作业
• 练习册第3页基础巩固的1、2、3、方程叫一元二次方程？ • 2.它的一般形式是： • 3.二次项、二次项系数、一次项、一次项
系数、常数项分别是： • 4.如何求出2x2-8=0的解呢？
21.2 解一元二次方程
第1课时配方法
学习目标
• 1.用直接开平方法解一元二次方程
自学指导
自学课本第5---6页，并完成以下填空。
解：(1)3x2－1＝5 可化成 x2＝2，
则原方程的解为 x1＝－ 2，x2＝ 2. (2)4(x－1)2－9＝0 可化成(x－1)2＝94. 两边开平方，得 x－1＝±32. 则原方程的解为 x1＝－12，x2＝52. (3)4x2＋16x＋16＝9 可化成(2x＋4)2＝9. 两边开平方，得 2x＋4＝±3. 则原方程的解为 x1＝－72，x2＝－12.
1．直接开平方降次法根据平方根的定义，把一个一元二次方程_降__次___，转化为 ___两__个___一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的方程，其解为___x_＝__a_±__b___．
注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：
x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；

九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次

第3页
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
第8页
12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
第9页
13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值．【解】已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0，即(x＋2)2＋(y－3)2＝0，所以x＝－2，y＝3.
第10页
21.2.1 配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4

人教版数学九年级上册21.2.1配方法解一元二次方程教案

配方法解一元二次方程的教案教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第21章第2节第1课时。

一、教学目标（一）知识目标1、理解求解一元二次方程的实质。

2、掌握解一元二次方程的配方法。

（二）能力目标1、体会数学的转化思想。

2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。

（三）情感态度及价值观通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。

二、教学重点配方法解一元二次方程的一般步骤三、教学难点具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。

四、知识考点运用配方法解一元二次方程。

五、教学过程（一）复习引入1、复习：解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

2、引入：二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。

实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。

（二）新课探究通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。

通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。

问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。

这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来，具体解题步骤：解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2列出方程：60x2=1500x2=25x=±5因为x为棱长不能为负值，所以x=5即：正方体的棱长为5dm。

1、用直接开平方法解一元二次方程（1）定义：运用平方根的定义直接开方求出一元二次方程解。

（2）备注：用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。

问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16㎡，场地的长和宽应各为多少？问题2重在引出用配方法解一元二次方程。

21.2.1 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
练一练
填上适当的数，使等式成立。
(1) x 12x ____ x 6
2
6
2
2
(2) x2 4x 2 ____ x ___ 2
(3) x
2 2 4 4 8x ____ x ___
要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？设场地的宽为 xm ,长
x 6m，列方程得
即
xx 6 16 2 x 6 x 16 0
0 方程 x 6 x 16 和方程
2
x 6 x 9 25
2
有何联系与区别呢？
4 x 2x 3
2
二次项系数化为1，得配方
4 2 x 2x 1 1 3
2 2
x 1
由此可得
2
7 3
21 x 1 3
x1 1 21 , x2 1 3 21 3
（3）移项，得 2 配方
2
x 2 x 2
2 2
x 2 x 1 2 1
2
2
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
2
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
2
设正方体的棱长为 xdm，列方程10 6 x 1500 由此可得 x 25 x 5，即 x1 5， x2 5
2
这种解法叫做什么? 直接开平方法
九年级
上册
21.2.1
配方法解一元二次方程
完全平方公式：
a a

九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.2公式法2_1-5

=
3 − 15 3
.
（2）4x2 − 6x = 0 解： a = 4 , b = − 6 , c = 0 .
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 4 0 = 36.
− (−6)
x=
3ห้องสมุดไป่ตู้ = 6 6 ,
24
8
3
x1
=
0, x2
=
. 2
他病好下床后，没用真正的牛来酬谢众神，而用面团做成了一百头牛，放在祭坛上烧了，并念念有词地祷告说：“诸位神明，请接受我所许下的承诺吧。它梦见，身子长了整整半尺，自己在吞食梭鱼。几个月过去了，一只猎鹰已能傲然飞翔，另一只却一直待在枝头纹丝不动。
2、求出b2-4ac的值，注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 −b b2 − 4ac
3、代入求根公式: x = 2a
4、写出方程的解： x1、x2
四、课堂练习
1.用公式法解下列方程： (1)3x2-6x-2=0 (2)4x2-6x=0 (3) x2+4x+8=4x=11 (4) x(2x-4) =5-8x
玛特迪夫
“真是的，到现在还没来收。镜子又问：“你不再考虑一下了吗?”狗蛋再次摇了摇头。，猴子在它的果园里种了桃树，兔子在房前菜地里种上蔬菜，山猫则在屋后不远处挖了个鱼塘养鱼
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 +17 = 8x
−b b2 − 4ac x=
2a
解：方程可化为: x2 − 8x +17 = 0
a =1,b = −8,c =17
= b2 − 4ac = (−8)2 − 4117 = −40
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：

数学九年级上册 21.2解一元二次方程 ——配方法解一元二次方程

2 4 24
即 (x-3)2 1 4 16
开平方得： x- 3 1
44
∴
x1 1,
x2

1 2
推导
议一议：结合上面例题的解答过程，说出解一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
配方
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
具体步骤：（1）二次项系数化为1；（2）移项；（3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平方）；（4）开平方。
2 x 2 1 2 x _ _ 122_ _ 2 _ (x _ _ 6_ _ )2 ;
3 x 2 5 x _ _ _ 52_ _ 2_ ( x _ _ _ 52 _ _ ) 2 ;
4 x22 3x_ _ _ 13_ _ 2 (x_ _ １_ 3 _ _ )2.
3. 用配方法解下列方程
（ 1 ） 3x26x40;
（ 2） 4x26x30;
(3) 2x2 3x
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为（x + n）2 = p （n，p 是常数，p≥0）的形式，运用直接开平方法，降次求解．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? ①将方程二次项系数化成 1； ②移项； ③配方（方程两边都加上一次项系数一半的平
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边配成完全平方式左边写成完全平方形式
降次
x3 5 ，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5

人教版数学九年级上册第21章 21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案

人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案21.2.1用配方法解一元二次方程教案第 2 页第 3 页教学过程教学具体目标教学内容实施途径教师学生课前任务1、了解配方的过程，并能够通过模仿进行配方；2、完成课前学案识别已经能够解决1.看配方的微课(洋葱数学微课)；2.完成课前学案；3.提出自己的疑问.教师发布任务.学生看微课，并完成课前学案.第 4 页的一元二次方程.课前任务反馈培养学生的集体荣誉感.1.网上任务完成情况；2.学案的完成情况.注：给完成较好的同学，加分；给完成好的小组加红旗.教师ppt呈现.学生看，班长记录加分情况.回顾课前任务解决学生课前学习的共性问题，归纳总结用配方1.呈现课前任务的内容，用颜色区分课前任务的共性问题；2.归纳总结.（1）配方的规律；教师组织，引导学生解决问通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.第 5 页法解一元二次方程的步骤.（2）用配方法解一元二次方程的步骤；（3）思想方法.题.配方检测巩固落实配方.（1）例22221(1)x x x++=+（2）28x x++=（3）25x x-+=（4）24+3x x+=（5）234x x-+=（6）2+x x+=教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学分享错误原因.第 6 页（7）2+x px+=我的收获知识和方法.1.配方；2.数学思想.教师引导学生总结.学生总结.课堂检测具体内容反馈目标配方法检测，用配方法解一元二次方程.会用配方法解系数为1的一元二次方程.作业设计具体内容作业目标学探诊九上第3页.会用配方法解二次项系数为1的一元二次第 7 页方程.板书设计21.2.1用配方法解一元二次方程主板左侧：配方：222+()22p px px x⎛⎫+=+⎪⎝⎭当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方例：2210x x--=解：移项，得221x x-=配方，得222222+1+22x x⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(1)2x-=开方，得12x-=±12x-=，或12x-=-1+2x=，或12x=-第 8 页中间：学生板演主板右侧：解一元二次方程的方法：（1）直接开平方法——特法（2）因式分解法（3）配方法第 9 页。

2022年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程教案配方法(第1课时)

21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法一、教学目标【知识与技能】1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度与价值观】在成功解决实际问题过程中,体验成功的快乐,增强数学学习的信心和乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时四、教学重难点【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2）一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根..a(a≥0)的平方根记作:.x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知,x=.2. 求出下列各式中x的值,并说说你的理由.（出示课件3）⑴x2=9；⑵x2=5.解:⑴x=±3 ；⑵x=.思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢？（二）探索新知探究直接开平方法一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5）教师问:设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面面积为6x2dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2,由此你可得到方程为10×6x2=1500,你能求出它的解吗？学生思考后,共同解答如下:.解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为6x2dm2,可列出方程:10×6x2=1500,由此可得x2=25.开平方得x=±5,即x 1=5,x 2=－5.因棱长不能是负值,所以正方体的棱长为5dm ．教师问:解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.（出示课件6）(1) x 2=4；(2) x 2=0；(3) x 2+1=0.学生回答:⑴根据平方根的意义,得x 1=2, x 2=-2.⑵根据平方根的意义,得x 1=x 2=0.⑶根据平方根的意义,得x 2=-1,因为负数没有平方根,所以原方程无解.教师归纳:（出示课件7）一般地,对于可化为方程 x 2 = p, (I)(1)当p>0 时,根据平方根的意义,方程(I)有两个不等的实数根1x =,2x =；(2)当p=0时,方程(I)有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0；(3)当p<0时,因为任何实数x,都有x 2≥0 ,所以方程(I)无实数根.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 例1 利用直接开平方法解下列方程:（出示课件8）(1) x 2=6；(2) x 2－900=0.师生共同讨论解答如下:解:(1)直接开平方,得x =12，∴==x x（2）移项,得x 2=900.直接开平方,得x=±30,∴x 1=30, x 2=－30.出示课件9:解下列方程: (1) 2280;x -=(2)2953.x -=学生自主思考并解答.解:(1)移项,得228.=x系数化为1,得2 4.=x∴=x即122,2;==-x x（2）移项,得298.=x系数化为1,得28.9=x12,∴==-x x教师问:对照前面方法,你认为怎样解方程（x+3）2=5①？（出示课件10）学生自主讨论后回答:解:把x+3看做一个整体,两边开平方得3x +=33.x x ∴+=+=，或③于是,方程（x+3）2=5的两个根为1233x x ∴=-+=--或教师总结:由方程①得到②,实质是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.例2 解下列方程:（1）（x＋1）2= 2；（出示课件11）教师分析:本题中只要将（x＋1）看成是一个整体,就可以运用直接开平方法求解.师生共同解答如下:解:（1）∵x+1是2的平方根,∴x+1=即x12=-1-（2）（x－1）2－4 = 0；（出示课件12）教师分析:本题先将-4移到方程的右边,再同第1小题一样地解.师生共同解答如下:解:（2）移项,得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根,∴x-1=±2.即x1=3,x2=-1.(3) 12（3－2x）2－3 = 0.（出示课件13）教师分析:本题先将－3移到方程的右边,再两边都除以12,再同第1小题一样地去解,然后两边都除以-2即可.师生共同解答如下:解:（3）移项,得12（3-2x）2=3,两边都除以12,得（3-2x）²=0.25.∵3-2x 是0.25的平方根,∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5,∴ x 1=54 x 2=74.出示课件14,学生自主思考并解答.例3 解下列方程:（出示课件15）（1）2445x x -+=；（2）29614x x ＋＋=. 师生共同解答如下:解:（1）()225,x -=2x ∴-=22x x -=-=方程的两根为12=+x22x =-（2）()2314,x +=312,x ∴+=±312312,x x ，　+=+=-方程的两根为113，=x 2 1.x =-出示课件16,学生自主思考并解答.（三）课堂练习（出示课件17-21）1. 一元二次方程x 2﹣9=0的解是______________．2.下列解方程的过程中,正确的是（）A. x 2=-2,解方程,得x=B. (x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)= ±3, x 1=14,x 2=74D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-43. 填空:(1)方程x 2=0.25的根是______________ .(2)方程2x 2=18的根是______________.(3)方程(2x-1)2=9的根是______________ .4.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程,你认为他解的对吗?如果有错,指出具体位置并帮他改正.解:21150,3⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y 2115,3⎛⎫+= ⎪⎝⎭y ① 113+=y ② 113=-+y ③1.y =-④5.解方程22(2)(25)x x -=+参考答案:1.x 1=3,x 2=﹣3解析:∵x 2﹣9=0,∴x 2=9,解得:x 1=3,x 2=﹣3．故答案为:x 1=3,x 2=﹣3.2.D3.⑴x 1=0.5,x 2=-0.5 ⑵x 1＝3,x 2＝-3 ⑶x 1＝2,x 2＝－14.解:不对,从②开始错,应改为113y +=123, 3.y y =-=--5.解:()()22225,x x -=+2(25),x x ∴-=±+ 225,22 5.∴-=+-=--x x x x方程的两根为17,=-x 2 1.=-x（四）课堂小结(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（21.2.1）第2课时的相关内容。