3.5单值函数的孤立奇点
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
解析延拓和孤立奇点
二、多值函数函数值的确定：
多值函数的研究方法：
首先将多个单值分支分开，在多值函数的两个支点之间 做割缝，并规定：Z在连续变化过程中不能跨越割缝。
下一步是规定割缝上下岸的幅角值，这样就完全确定 了函数的单值分支。
1、根据以上方法确定那个函数的单值分支后，在一个单 值分支中研究函数。先确定函数的模，再通过变量Z的变 化路径可求得相应的函数值的幅角值。 2、在已知函数在某一点Z的值的情况下，也可以不做割缝， 而是规定Z由参考点到终点的变化路径，因为上一种方法 做割缝的作用就是限制Z的变化路径。
三、多值函数的解析性与黎曼面：
lim 1、由于多值函数的多值性，
f (z) f (z0 )
z z0
z z0
不存在，因此多值函数不具有解析性。但是对于它
的每一个单值分支，我们可以像前面一样讨论函数
的解析性。
2、为了把多值函数的多个分枝作为整体来研究，我 们引入一个概念：黎曼面。
假定某个多值函数只有两个单值分枝，使一个单值 分枝确定的z平面的割缝下岸得幅角值与第二个单值 分枝确定的平面的割缝上岸幅角值相等。分别使两
第三章
解析延拓与孤立奇点
解析延拓与孤立奇点
单值函数的 孤立奇点
解析延拓 解析函数与
全纯函数
函数
多值函数
二维调和函数 与平面 场
保角变换法
名称
例子
的罗朗级数
可奇点
有限值
无负幂项
极点 本性奇点
无限大
含有限个负幂 项
无定值
含无限多个负 幂项
根据零点与极点的关系，即：如果b点是函数f（x）的
一个m阶零点则b点就是函数
将 的带域变为 的角域。
数学物理方法3-1
这表明，当 a k 时， z1是sinz–sina 的二阶零点， 2
1 从而是函数 sin z sin a 的二阶极点。 1 同理可证，当 a k 时，z2 是 sin z sin a 的一阶极点； 2 1 当 a k 2 时， z2 是 sin z sin a 的二阶极点。
解：sinz–sina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。
sin z sin a 0 sin z sin a
此三角方程有解：
z1 2n a z2 (2m 1) a (n, m 0, 1, 2,)
z1, z2 是函数sinz–sina 的零点，也就是
1 sin z sin a
b点为φ(z)=1/ f(z) 的m阶零点。 以上讨论：极点 零点
总之，如果点b为f(z)的一个m阶零点，则b点是1/ f(z)的 一个 m 阶极点，反之亦然。
补充：判断函数f(z)极点阶数的简便方法
设b点是f(z)的m阶极点，则
(非零的有限值)
即要求b点是f(z)的几阶极点，可先求出新函数(z–b)m f(z)
孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。
下面从函数 f(z)在该点的极限性质与洛朗级数的展开性质，
即：
这样两个方面对这三类孤立奇点进行分析 (见下表) 。
名称 的洛朗级数 可去奇点 有限值
例子
无负幂项
极点
无限大
含有限个负幂 项
本性奇点
无定值
含无限多个负 幂项
对于正幂项到底含有多少项，那是无关紧要的(解析)本 质区别在于负幂项的个数(没有、有限项、无限项)，故负幂 项部分称为级数的主要部分，它决定函数在奇点的性质。 1 . 可去奇点 z =0是 (1) 极限性质： (2) 洛朗展开 的可去奇点 ——有限值
第四章-解析函数的孤立奇点--有限点
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：孤立奇点和非孤立奇点是数学分析领域中的重要概念，它们在研究函数的性质和图像的特征时起着至关重要的作用。
对于数学学习者来说，了解孤立奇点和非孤立奇点的判断方法，对于深入理解复变函数、微分方程等数学领域都具有重要意义。
下面将详细介绍关于孤立奇点和非孤立奇点的判断方法。
我们先来介绍孤立奇点的判断方法。
孤立奇点是函数在某点附近出现的奇异行为。
在复变函数中，孤立奇点通常指代的是在某点附近函数不再是解析的点。
判断一个点是否为孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限不存在或为无穷大，则该点为孤立奇点。
2. 泰勒级数展开：对函数进行泰勒级数展开，如果展开后的级数包含了负幂次项（即有无穷多个非零项），则该点为孤立奇点。
3. 周围点的解析性：观察该点周围的函数是否在该点附近解析，如果不解析，则该点为孤立奇点。
接下来，让我们来介绍非孤立奇点的判断方法。
非孤立奇点是指函数在某点的附近呈现出的非奇异行为。
一般来说，当一个点不是孤立奇点时，它可能是可去奇点、极点或本质奇点。
判断一个点是否为非孤立奇点，可以通过以下方法来进行：1. 极限判别法：计算函数在该点附近的极限，如果极限存在并有限，则该点为非孤立奇点。
2. 函数的特殊性质：观察函数在该点附近的特殊性质，例如可积、有界等。
3. 应用奇异性定理：对于复变函数，可以根据奇异性定理来判断非孤立奇点的性质，这需要结合数学分析的相关知识来进行判断。
判断一个点是孤立奇点还是非孤立奇点需要综合运用极限判别法、泰勒级数展开、函数的特殊性质等方法。
在实际应用中，还需要根据具体函数的特点来选择合适的方法进行判断。
对于复变函数、微分方程等领域的研究者来说，掌握孤立奇点和非孤立奇点的判断方法是至关重要的。
通过深入了解和熟练运用这些方法，可以更好地理解函数的性质，为相关领域的研究工作提供重要的理论支持。
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点的三种类型及判断
孤立奇点是指在一个函数或方程中存在的与其他点有明显差异的特殊点。
根据函数或方程的定义，孤立奇点可以被分为以下三种类型，并可通过特定方法进行判断。
1. 可移除孤立奇点：这种类型的孤立奇点在其附近存在着有界的、趋近于某个常数的函数值。
判断方法是观察函数的附近是否存在局部平均值或局部积分平均值。
2. 极点：这种类型的孤立奇点会使得函数在该点附近发散，并且无法定义一个有界的近似函数。
判断方法是观察函数在该点附近的增长趋势，如果该点是函数发散的必要条件，那么该点是一个极点。
3. 本质孤立奇点：这种类型的孤立奇点是指在其附近没有趋近于某个常数的函数值，并且函数在该点附近无论如何映射都无法消除其奇异性。
对于这种孤立奇点，判断方法通常涉及复平面或复平面的拓扑性质，例如观察函数的奇点在复平面上的分布。
综上所述，我们可以通过观察函数在孤立奇点附近的行为以及复平面的拓扑性质，来判断孤立奇点的类型。
孤立奇点
z 0 是函数 e z , z 1 是函数
1
sin z z
的孤立奇点.
z1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z 0, z 因为 1 k 1 k
z sin
2
在点 z 0 的奇点特性. 1
2
m
,
f ( z ) cm ( z z0 )
c2 ( z z0 )
c 1 ( z z0 )
1
c 0 c1 ( z z 0 )
( m 1, c m 0 )
或写成
f (z)
1 ( z z0 )
m
(z) ,
那么孤立奇点 z 0 称为函数 f ( z ) 的 m 阶(级)极点.
当 n 0时，令 r 0，得 c n 0．即 ( 1 ) 成立．
由定理可得可去奇点的判定方法：
(1) 由Leabharlann 义判断: 如果 f ( z ) 在 z 0 的洛朗级数无负
幂项，则 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点.
(2) 判断极限 lim f ( z ) : 若极限存在且为有限值, z z
(2) 由定义的等价形式判别
z 0 是 f ( z )的 m 阶极点 f ( z ) lim ( z z 0 )
z z0
(z)
( z z0 )
m m
f ( z ) cm 0.
0
其中 ( z ) 在 z 0 的邻域内解析, 且 ( z ) 0 .
(3) 利用极限 lim f ( z ) 判断 . z z
第1篇 复变函数论-第3章 复变函数级数
第3章复变函数级数Anhui University第一章采用微分研究解析函数，第二章采用积分研究解析函数。
级数也是研究解析函数的重要工具，从另外一个侧面揭示解析函数的本质,从而进一步认识解析函数。
中心目标：解析函数与无穷级数的关系。
具体内容：1.有关复级数的概念、性质、定理；2. taylor级数与解析函数的关系及展开方法；3. 洛朗级数和奇点存在的关系及展开方法；4. 孤立奇点的分类3.1 复级数一. 复数项级数1. 复数项级数定义：2. 复数项级数收敛：lim Re lim Re ,Im lim Im .n n n n n n S S S S S S →∞→∞→∞=⇔==注意：复级数可归结为两个实级数的研究。
3. 复数项级数收敛的充要条件：4. 收敛的必要条件：二. 复变函数项级数1.定义：2.收敛与发散：3.一致收敛：4.一致收敛级数的主要性质及判别法则：（1）和函数连续；（2）逐项积分；（3）逐项可导；（4）判别法则；3.2 幂级数一. 幂级数的定义二. 幂级数的敛散性1. 阿贝尔（Abel）定理：2. 推论：3. 收敛圆与收敛半径：4. 收敛半径的计算方法：(1).比值法：1lim ||k k k a R a →∞+=(2).根式法：(3).奇点法：1lim ||k k k R a →∞=0kk z∞=∑求下列幂函数的收敛半径例1. 31k k z k ∞=∑例2. 311lim lim 1k k k k a k a k →∞→∞++⎛⎞==⎜⎟⎝⎠解：注：收敛半径R =1, 也就是级数在圆|z |<1内收敛, 在圆周外发散。
在圆周上发散注：所以收敛半径R =1, 也就是原级数在圆|z |=1内收敛。
在圆周|z |=1上, 级数是收敛的, 因为这是一个p 级数, p =3>1,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。
ln 1k k k kz ∞=∑例3. 2ln 1ln 1ln()(ln )ln ln()01lim ||lim()lim lim lim 1.||k k k k k k k k k k k k k k k k k R k e e e e a −−−−→∞→∞→∞→∞→∞=======解：由根式法：,61)(02∑∞==−+=n nn z C z z z f 2;R =解：由奇点法可锝（1）的收敛半径,)(61)(02∑∞=−=−+=n nn i z C z z z f 例4. 5R =解：由奇点法可锝（2）的收敛半径 即（0,0）到（2,0）之间距离。
3-6孤立奇点的分类
( z)
( z z0 )
m
则 ( z 0 ) a m 0
3) 极点处 lim f ( z )
z z0
3、z0为本性奇点的充要条件： 1) 有无穷多负幂项；
f ( z)
z z 0
k
ak ( z z0 ) k
(0 | z z0 | R)
zk 例如：e z k 0 k!
无限多项正次幂
→ ∞点为本性奇点， a-1=0→留数为零
五、支点
对于多值函数，在支点处各单值分支值相同，则 在支点的邻域内无法将各单值分支分开，即支点 的导数无法定义，所以，支点必是奇点。
k
( )
bk k
0
ak bk f ( z )
k
ak z k
z
可去奇点 有限多负幂项 m阶极点 无限多负幂项 本性奇点
无负幂项
无正幂项 可去奇点 有限多正幂项 m阶极点 无限多正幂项 本性奇点
特别地：-a-1称为f(z)在∞点的留数。
对于g(z)，z0不再是奇点→可去奇点 sin z z2 z4 如： f ( z ) 1 ... (0 | z | )
z 3! 5! sin z f1 ( z ) z 1 z0 z0
z0为可去奇点的充要条件(平行条件)： 1) f(z)在z0点的展开式中无主要部分；
2) lim f ( z )不存在且不为无穷。(参见P49)
四、无穷远点： z0=∞ ∵ f(z)在∞点总是没有定义 ∴∞点总是f(z)的奇点 定义：若函数f(z)在∞点的去心邻域r<|z|<∞内 解析，则称∞点为f(z)的一个孤立奇点。
高等数学孤立奇点
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
阶数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 等价于
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
孤立奇点判断方法
孤立奇点判断方法孤立奇点在数学和物理学中是一种特殊的点，其附近的数值或物理量发生了突变或发散现象。
判断一个点是否为孤立奇点是数学和物理学中的一个基本问题，有许多方法可以用来判断。
在数学中，通常会使用函数的极限性质来判断一个点是否为孤立奇点。
具体而言，可以通过计算函数在该点附近的极限来确定。
如果函数在该点附近的极限存在且有限，则该点不是孤立奇点；如果函数在该点附近的极限不存在或为无穷大，则该点可能是孤立奇点。
常用的方法有极限存在定理、极值判定法、洛必达法则等。
极限存在定理是判断极限存在与否的基本方法之一。
根据这个定理，对于一个函数f(x)，如果它在某一点x=a的领域内存在有限的左极限和右极限，则该点的极限存在，且等于这两个极限相等。
如果函数在该点附近的极限不存在，则该点可能是一个孤立奇点。
极值判定法是判断函数是否有极限的一种方法，其基本思想是如果一个函数在某点附近有极小值和极大值，并且极小值和极大值不相等，则该点不是孤立奇点。
如果函数在该点附近没有极值或者有极值但是极小值和极大值相等，则该点可能是孤立奇点。
洛必达法则是一种通过求函数极限的方法来判断孤立奇点的方法。
这个方法适用于函数的极限形式为0/0或者∞/∞的情况。
具体而言，如果一个函数的极限形式为0/0，则可以通过对函数及其导函数同时求极限，如果两个极限都存在且有限，则该点不是孤立奇点。
如果函数的极限形式为∞/∞，则可以通过对函数及其导函数同时求极限，如果两个极限都存在且有限，则该点不是孤立奇点。
在物理学中，判断孤立奇点的方法通常与具体物理量的性质相关。
例如，在物理学中，当一个物理量的数值出现无穷大或者非常大的突变时，可以认为该点是孤立奇点。
此外，在一些物理模型中，孤立奇点也可能出现在物理量的表达式中的某些特殊点，例如分母为零的情况。
总之，判断一个点是否为孤立奇点是数学和物理学中的一个基本问题。
在数学中，可以使用函数极限的性质来判断一个点是否为孤立奇点，方法包括极限存在定理、极值判定法、洛必达法则等。
孤立奇点的类型及判断方1
孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数)(z f =∑∞-∞=-n n na z c)(.我们称非负幂部分∑∞=-0)(n nna z c为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞=---1)(n nn a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为),0(,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞.证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，于是()()00lim z af z c c →=≠∞，必要性 ()()lim z af z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ<-a z ,就有εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界的，考虑)(z f 在点a 的主要部分+-++-+----nn a z c a z c a z )()(c 221,....)3,2,1()()(211=-=⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ,=-a 可以充分小，n n n M M c ρπρρπ=≤+--2211，即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.说明0=z 是sin zz的可去奇点，32sin 1()1,03!3!z z z z z z z =-+=-+<<∞，0sin lim1→=≠∞z zz.如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =ma z z ）-()(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且0)(≠a λ；② )(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有+-++-++-+-=-----)()()()(1011)1(a z c c az c a z c a z c z f m m m mmmm m a z z a z a z c c )()()()()1(-=-+-+=---λ，其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)(≠=-m c a λ所以在点a 的某去心邻域内有)()()(1)(z a z z f z g mλ-==，其中)(1z λ在点a 的某邻域内解析，且0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.必要性 如果)(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f mϕ⋅-=在此邻域内)(1z λ解析，在此邻域内命+-+=---)()(1)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是(1)111,(0),()()()m mm m m c c c c z a z a z a a ϕ------+++=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim()z af z →=∞.证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是)(1z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数1()f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数1()f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数21()z e f z z-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 231211()(),2!3!2!3!z z zf z z z z -=+++=+++所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z af z →不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则z a =必为)(1z f 的本质奇点. 证明：令)(1)(z f z =ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.2.3在∞点的孤立奇点定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =,1()()()g t f f z t==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0lim ()lim ()z t f z g t →∞→=,或两个极限都不存在.定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞=≠∞；如果z =∞是函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者1()()h z z f z ==∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件不存在lim ()z f z →∞.证明 令1t z =，1()()()g t f f z t==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞；②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim()z af z →=∞；③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z af z →不存在.3.复变函数中的应用定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数)()(z f z g ，)()(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z ag z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim()()z af z f a →=，于是[]lim ()()()z af zg z f z b →±=±（有限复数），lim ()()()z af zg z bf z →=（有限复数），所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z ag z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解析，所以lim()()z af z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()z ag z bf z f z →=（有限数）所以点z a=是函数)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)()(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)()(z f z g 的m 阶极点.证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是()()()()()()m mz a f z z f z g z z a λ-±±=-,令)()()()(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为)()(z g z f ±的m 阶极点.因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()()()()mf z z f zg z z a λ=-，这里)()()(z z f z λ=Φ在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.同理可证点z a =是函数)()(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)()(z f z g 的本质奇点.证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z ag z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z ag z f z g z b →→+=+存在，则lim ()(z ag z b c →+=有限数）或者∞； lim ()(z ag z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z ag z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,且()0f a ≠，所以lim ()()z af z f a →=，假z a =不是函数)()(zg z f 的本质奇点，则lim ()()(z af zg z b →=∞有限数）或，lim[()()]lim (=()(z az af zg z bg z f a f a →→=∞）或）相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是)()(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)()()(z g z h z f =，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇点.证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h mn-=-=,于是，11()()()()n mh z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a为)(z f 的可去奇点.例1 判断()2z z z f z e+=∞=点函数的孤立奇点类型.解 令z 1=ξ则得ξξ211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++432112112214218)()21(2)(ξξξϕξξϕξξee所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，()() ++-=2621ξξξϕe ，()()+∞<<⎪⎭⎫⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴z z cos sin 1+ ⑵()321iz + ⑶z 2tan ； 解：⑴4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，41limsin cos z k z zππ→-=∞+，4ππ-=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是一阶极点.⑵()i z -±=122是孤立奇点，()i z -±=122是函数()32i z +的3阶零点，所以()i z -±=122是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 22sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是二阶极点.例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.⑴226)1(1++z z z (2)21ze z+ (3)1111---z z ee (4)ztge1解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时分子分母均为零，)1)(1(12426+-+=+z z z z ，))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，可见z =∞是)(z f 的一阶极点.（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>211lim lim 0()x x x x f x e→∞→∞+==, ()()2110,lim lim x x x x z x x f x e-→∞→∞+=->==∞-,因此极限1lim()z f z →∞不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)(1z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.注：若lim ()z f z →∞不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞存在且有限，或lim ()z f z →∞=∞，矛盾.（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则()11lim lim 1yy x y ef x e ++→→==+∞-11lim ()lim 0,(),1pp x p ef x p y e -+--→→===--所以1lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立奇点.（4）由下列注知：函数ζe 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令ztg1=ζ，则)(z f 仅为函数ζe 又由z 1cos =0知，当k z =π)12(2+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义,01=∞则z =∞是)(z f 可去奇点.综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity。
解析函数的孤立奇点与留数
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f
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(z),
]
Res[ f
(
z
)
z2
,0]
14
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
1
Res[ f (z), z0 ] 2 i L f (z)dz C 1
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12
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的 简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为
zz0
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3
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),
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23
例6. 计算
2
I
dx
,其中a > 0且a 1.
0 1 2a cos x a 2
3.5单值函数的孤立奇点
(C− m ≠ 0) [ϕ ( z ) ∈ H ( z − b < R), ϕ (b) ≠ 0]
⇔ f (z ) =
1 ⇔ g (z ) = 以 z = b 为m 阶零点。 f (z )
1 , e.g . f (z ) = 2 z ( z − 1)
以z = 0为二阶极点, z = 0为单极点。
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e.g. f (z ) =
1 1 sin z
二、孤立奇点的分类
二、孤立奇点的分类
若 z = b 为 f ( z )的孤立奇点，则
f (z ) =
k = −∞
∑ C (z − b)
k
∞
k
, 0 < z −b < R
1、可去奇点
若 f ( z ) = ∑ Ck (z − b) ,0 < z − b < R（展开无负幂），
k =0 ∞
则z = ∞ 为f(z)的本性奇点。
1 k e.g. e = ∑ z ,z < ∞ k = 0 k!
z ∞
以 z = ∞为本性奇点。
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小结
一、函数的奇点
(1)可去奇点 lim f (z ) = 有限 z →b 1、孤立奇点(2)极点 lim f (z ) = ∞
k
∞
⇔ iii > f ( z )在 b 充分小邻域内有界。
(2)可去奇点常不作奇点看。
k =0
z →b
f (z )
z≠b
z=b
e.g. F(z)=
lim f ( z )
z→b
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解析函数的孤立奇点
例
有理分式函数
f (z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0是二级极点, z 2 是一级极点.
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16
由定义判别： f (z)的Laurent展开式中含有 z z0
的负幂项为有限项.
由定义的等价形式判别：在点 z0的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中 (在z) 的z邻0 域内解析, 且
k
因为 lim 1 0，
k k
(k 1, 2,)
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
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3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的(z)孤立奇点，则在点
某去z 0
心邻域
0 内z 可z设0 的Laurenf t(级z) 数展开式
当z iy 0, 有f (z) cos 1 i sin 1 无极限。
y
y
于是当z 0, f(z)无极限，也不以 为极限。
1
ez
1 zn
n0 n!
定理 若z = a为f(z)的本性奇点，且在点的充分小去心
邻域内不为零，则
z=a
亦必为φ（z）=
1 的本质奇点。 f(z)
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26 26
1
1 1 z 1(z),
z 2! 3!
z
(z)解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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单值函数的奇点解读
c. f ( z ) 在 a 点的某去心邻域内有界．
4
2、 f ( z ) 以孤立奇点 a 为 m 阶极点的充要条件为以下 三条中的任一条: a. f ( z ) 在 a 点的主部为 Ck z a k , C m 0.
k m 1
b. f ( z ) 在 a 点的某去心邻域内能表示成
7
例 4.19 确定下列函数的孤立奇点及其类型。
1 1 e . 3 . 4 ze . 1 2 2 . 2 z sin z cos z 1 e z z 4
z 1 z
z 1
tan z 1 . 5 z 1
8
无穷远点的性质
前边讨论的都是奇点为有限远点的情况,现在我们讨 论 z 的情况。
10
设 (t ) 在 t 0 的去心邻域 0 t 内的 Laurent 展开 为 (t ) C ' k t k C 'k t k , 0 t ． 则函数 f ( z )
k 1 k 0
在无穷远点的 Laurent 展开为：
主要部分
0
是函数
1 f ( z ) sin z
1
的一个非孤立奇点.
1
设 z b 是单值函数 f ( z ) 的一个孤立奇点,则一定存 在环域 0 z b R , f ( z ) 在该环域内可以展开 Laurent 级数 f ( z )
k
C z b
z a
1 例 z 0 是函数 f ( z ) 2 的二阶极点. z
3、孤立奇点 a 为函数 f(z)的本性奇点的条件是函数在 a 点的极限不存在。
例 z 0 是函数 f ( z ) e 的本性奇点.
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R< z <∞
→
0< t <δ
⎧ z > R 的T展 → ⎧ t < δ 的T展 ⎪ ⎪ f (z ) 在 ⎨ ϕ (t )在 ⎨ ⎪ R < z < ∞的L展 → ⎪0 < t < δ 的L展 ⎩ ⎩
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三、无穷远点的性质
3、无穷远点为孤立奇点的分类 （1）可去奇点:
k =0 ∞
则z = ∞ 为f(z)的本性奇点。
1 k e.g. e = ∑ z ,z < ∞ k = 0 k!
z ∞
以 z = ∞为本性奇点。
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小结
一、函数的奇点
(1)可去奇点 lim f (z ) = 有限 z →b 1、孤立奇点(2)极点 lim f (z ) = ∞
即在 R < z < ∞中解析,则 z = ∞ → f(z )的孤立奇点 。
sinz e.g. f(z) = z
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以z = ∞ 为孤立奇点
三、无穷远点的性质
3、无穷远点为孤立奇点的分类 1 则z=∞ → t =0 令z= t ⎛1⎞ f (z ) f ⎜ ⎟ = ϕ (t ) → ⎝t ⎠ 1 z >R → t < =δ R
(C− m ≠ 0) [ϕ ( z ) ∈ H ( z − b < R), ϕ (b) ≠ 0]
⇔ f (z ) =
1 ⇔ g (z ) = 以 z = b 为m 阶零点。 f (z )
1 , e.g . f (z ) = 2 z ( z − 1)
以z = 0为二阶极点, z = 0为单极点。
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k
∞
⇔ iii > f ( z )在 b 充分小邻域内有界。
(2)可去奇点常不作奇点看。
k =0
z →b
f (z )
z≠b
z=b
e.g. F(z)=
lim f ( z )
z→b
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二、孤立奇点的分类
2、极点
若 f (z ) =
∞ k k =− m k
f (z ) =
k = −∞
(展开有无限项负幂）， 则称 z = b 为 f (z )的本性奇点。
1 1 e.g. f ( z ) = e = 1 + + 2 + ...;0 < z < ∞ z = 0 → 本性奇点 z 2! z 注意: b为本性极点的充要条件为 lim f (z ) = 不定
⎧ ⎧ x → 0+ ⎪∞, ⎨ 1 ⎪ ⎩y = 0 z lim e = ⎨ z →0 ⎧ x → 0− ⎪ ⎪0, ⎨ y = 0 ⎩ ⎩
∑ C (z − b)
k
∞
k
, 0 < z −b < R
∑ C (z − b) , 0 < z − b < R（展开有有限项负幂）
f (z ) 的极点。当 C−m
则称 z = b 为
≠ 0时，称 z = b 为
f (z ) 的 m 阶极点。1阶极点又称为单极点
。
1 e.g. f ( z ) = 2 z (z − 1)
注： （1）b 为极点的充要条件:
z e.g. f (z ) = 2 sin z
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1
lim f (z ) = ∞
z →b
二、孤立奇点的分类
2、极点 （2）b为m阶极点的充要条件为
f (z ) =
k =− m
∑ Ck ( z − b )
(z − b )
ϕ (z )
m
∞
k
§3.5单值函数的孤立奇点
一、函数的奇点
1、孤立奇点
若在 z − b < ε 内除b 外f (z )别无其他奇点 , 则 z = b 是 f ( z )的孤立奇点。 e.g. f (z ) =
2、非孤立奇点
1 z (z − 1)
若在 z − b <ε内，f(z)除z = b外还有其它的奇点， 则称b为f(z)的非 孤立奇点。
二、孤立奇点的分类
2、极点
(3) 若z = b为f ( z )的奇点，且 lim[( z − b) n f ( z )] = 非零的有限值，
z →b
则b为f ( z )的n阶极点。 z , e.g. f ( z ) = 2 sin z
以 z = 0 为单极点， z = nπ (n = ±1,±2,...)为二阶极点。
若f(z) =
k = −∞
ckzk + c 0 ,R < z < ∞(展开无正幂） ∑
−1
（2）极点
m k =1
则z = ∞ 为f(z)的可去奇点。 1 e.g. f(z) = z ⋅ sin 以 z = ∞可去奇点。 z
若 f(z)= ∑ ckzk + c0 + c −1 + c −2 + L ,R < z < ∞(展开有m项正幂）
本次作业
习题3.5:4(4),(8),(12); 5(2),(4), 7(2),(4)
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z 问 : lim ( z − nπ ) ⋅ 3 有否可能为非零的有限值 ? z → nπ sin z
3
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二、孤立奇点的分类
3、本性奇点
若 f (z ) =
−1 k k = −∞
f (z ) =
k = −∞ห้องสมุดไป่ตู้
∑ C (z − b)
k
∞
k
, 0 < z −b < R
Ck ( z − b) + C0 + C1 ( z − b) 2 + L，< z − b < R 0 ∑
则z = ∞ 为f(z)m阶极点。
e.g.Pn (z) = anzn + an−1zn−1 + L a0
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以 z = ∞为n阶极点。
三、无穷远点的性质
3、无穷远点为孤立奇点的分类 （3）本性奇点
若 f(z) = ∑ ckzk + c −1 + c −2 + L , R < z < ∞(有无限项正幂 )
k ∞ k =0
则 z = b → f (z )的可去奇点 .
sin z e.g. f (z ) = , z = 0 → 奇点 z
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二、孤立奇点的分类
1、可去奇点 注：（1）b为可去奇点的充要条件为
i > f (z ) = ∑ Ck (z − b) ⇔ ii > lim f (z ) = 有限
z →b
1 z
e.g .
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三、无穷远点的性质 1、无穷点为解析点
1 e.g . f ( z ) = 2 z ( z − 1)
若∀ − R > 0, z > R时 f(z )处处可导,则f(z )在z = ∞解析。 当
在z = ∞处解析
2、无穷点为孤立奇点
若∀ − R > 0, z > R时 f(z )除 z = ∞ 别无奇点 当
f (z ) =
k =− m
∑ Ck ( z − b )
(z − b )
ϕ (z )
m
∞
z →b
k
(C− m ≠ 0) [ϕ ( z ) ∈ H ( z − b < R), ϕ (b) ≠ 0]
⇔ f (z ) =
（3)本性奇点lim f ( z ) = 不定 z →b 2、非孤立奇点
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e.g. f (z ) =
1 1 sin z
二、孤立奇点的分类
二、孤立奇点的分类
若 z = b 为 f ( z )的孤立奇点，则
f (z ) =
k = −∞
∑ C (z − b)
k
∞
k
, 0 < z −b < R
1、可去奇点
若 f ( z ) = ∑ Ck (z − b) ,0 < z − b < R（展开无负幂），
1 ⇔ g (z ) = 以 z = b 为m 阶零点。 f (z )
小结
二、孤立奇点的分类
奇点 展开 式 类型 可去奇点 m阶极点 本性奇点
∞
b
∞
k = −∞
∞
k = −∞
ck ( z − b) k ,0 < z − b < R ∑ ck z k , R < z < ∞ ∑
无负幂 有m项负幂 有无限项负幂 无正幂 有m项正幂 有无限项正幂