椭圆的定义与性质

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椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。

椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。

椭圆有许多有趣的性质。

首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。

其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。

长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。

椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。

椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。

椭圆的形状也可以由离心率来描述。

离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。

离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。

除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。

例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。

椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。

椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。

总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。

椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。

此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。

通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。

其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。

这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。

通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。

高二选修一椭圆的知识点

高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。

本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。

一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。

2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。

3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。

4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。

二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。

椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。

四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。

椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。

五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。

椭圆的切线与椭圆的法线垂直。

六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。

七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。

例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。

椭圆定义及性质整合

4
2
X2
—y21.【解析】解法一:
4
222
P(X,y), MM』)，则N(%,yj,因为今11,则y2b2(1得),a ba
y12b2(1
2
X1
ki
k2
y y〔yy1
x x1x x1
22
yy1
22
xx1
b2(1 S) b2(1
2
X1
2
椭圆方程为—
4
1.
解法二：由第三定义知
1一，，一、…
1,且2a 4 ,则则椭圆方程为
[2, 1]所以k1[—,—].
8 4
二、椭圆的性质
焦点三角形
椭圆焦点三角形的边角关系：F1F22c, PF1
PF22a,周长为
2a
2c.设
F1PF2
(1)
当点P处于短轴的顶点处时，顶角最大;
(3)
(4)
PF1PF2
SPF1F2
PF1F2
推导过程:
2b2
1cos
.2.
b tan —；
2
SB1F1F2
4c2
22
4a24c2
PF1PF2
1cos
1 cos
2 a2
222
2a 2e0x0
1,
最大;
PF1
2b2
1cosmax
PF1
PF24 c2
2 b2
2 n,(当点P为短轴
1 2cos23 1
2
顶点时取得最大值0,此时cos—
2
代入化简得PF1PF2
2b22
a
1cos
S 1 2b2
⑶由(2)得SPF1F22 r^cos

椭圆及其性质

§8.5椭圆及其性质学习目标1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0<e<1) a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大，12F PF S △最大．(2) 12F PF S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|.(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c . (4)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2.(5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 教材改编题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 D解析依椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.2．若椭圆C ：x 24＋y 23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )A ．3B ．2＋ 3C ．2 D.3＋1答案 A解析由题意知a ＝2，b ＝3，所以c ＝1，距离的最大值为a ＋c ＝3.3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则C 的方程可以为________．答案 x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.题型一椭圆的定义及其应用例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析由题意知，c ＝a 2－4. 又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ， |F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P ||PF 2|－ 2|F 1P |·|PF 2|cos 60°＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴12PF F S △＝12|F 1P |·|PF 2|sin 60°＝12×163×32 ＝433. 延伸探究若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积．解 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4) ＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12PF F S △＝4.教师备选1．△ABC 的两个顶点为A (－3,0)，B (3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 216＝1(y ≠0) B.y 225＋x 216＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析由题知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故C 的轨迹为以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.所以方程为x 225＋y 216＝1. 又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．2．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋8－4|AF 1|，解得|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积 S ＝12×22×72×22＝72. 思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切．所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r . |MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)(2022·武汉调研)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF 周长的最大值为( ) A ．4＋ 5 B ．6 C ．25＋2 D ．8 答案 D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时， |AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8. 题型二椭圆的标准方程命题点1 定义法例2 已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a . ∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a . 又|AF 2|＝2|F 2B |， ∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a . 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1,0)，AF 2—→＝2F 2B —→， ∴B ⎝⎛⎭⎫32，－b 2. 将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.命题点2 待定系数法例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．答案 x 29＋y 23＝1解析设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．因为椭圆经过P 1，P 2两点，所以点P 1，P 2的坐标满足椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.所以所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.教师备选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 答案 A 解析如图，由椭圆的定义可知，△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝8，a ＝2，又离心率为12，所以c ＝1，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点为(2,0)，离心率为22，则此椭圆的方程为________．答案 x 28＋y 24＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)，所以m 2－n 2＝4，e ＝22＝2m，所以m ＝22，代入m 2－n 2＝4，得n 2＝4，所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可．跟踪训练2 (1)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 答案 C解析设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32.①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22.② 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1 离心率例4 (1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )A.55B.12C.33D.22答案 A解析过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34x －b ，即34x －y －b ＝0，F (c ，0)，由点到直线距离公式，得c ＝⎪⎪⎪⎪34c －b ⎝⎛⎭⎫342＋1，即c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2，解得c a ＝55.(2)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎝⎛⎦⎤0，32 D.⎣⎡⎭⎫32，1答案 B解析若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则以原点为圆心，F 1F 2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c ≥b ，即c 2≥b 2，所以2c 2≥a 2，即e 2≥12，又e <1，所以e ∈⎣⎡⎭⎫22，1.思维升华求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e . 命题点2 与椭圆有关的范围(最值)例5 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 D解析设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以12×2cb ＝1，故bc ＝1，故2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 设P 点的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.教师备选1．(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有( )A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3 988公里C ．两焦点坐标约为(±150,0)D ．离心率约为75994答案 AD解析设该椭圆的长半轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为12×3 476＝1 738， a －c ＝100＋1 738＝1 838，a ＋c ＝400＋1 738＝2 138，所以2a ＝1 838＋2 138＝3 976，a ＝1 988，c ＝2 138－1 988＝150,2c ＝300，椭圆的离心率约为e ＝c a ＝1501 988＝75994，可得结论A ，D 正确，B 错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 错误．2．(2022·太原模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)．设P (x ，y )(－2≤x ≤2)．则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；(2)利用函数，尤其是二次函数；(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3 (1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1答案 A解析不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a＝2－1.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (c ，0)，上顶点为A (0，b )，直线x ＝a 2c上存在一点P 满足(FP →＋F A →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，1 D.⎝⎛⎦⎤0，22答案 C解析取AP 的中点Q ，则FQ →＝12(FP →＋F A →)，所以(FP →＋F A →)·AP →＝2FQ →·AP →＝0，所以FQ ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形，即|F A |＝|FP |，且|F A |＝b 2＋c 2＝a .因为点P 在直线x ＝a 2c 上，所以|FP |≥a 2c －c ，即a ≥a 2c －c ，所以a c ≥a 2c 2－1，所以e 2＋e －1≥0，解得e ≥5－12或e ≤－5－12.又0＜e ＜1，故5－12≤e ＜1.课时精练1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为() A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 25＝1C.y 29＋x 2＝1 D.x 29＋y 25＝1答案 D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析依题意可知，c ＝b ，又a ＝b 2＋c 2＝2c ，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 3．椭圆x 22＋y 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 是椭圆上任意一点，则PF 1—→·PF 2—→的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,2]答案 C解析设F 1为左焦点，则由椭圆方程得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，∴PF 1—→＝(－1－x ，－y )，PF 2—→＝(1－x ，－y )，则PF 1—→·PF 2—→＝x 2＋y 2－1＝x 22∈[0,1]． 4．设e 是椭圆x 24＋y 2k＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2) 答案 C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k<1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k 4<1，解得0<k <3. 5．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3答案 ACD解析由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，如图．∴|PQ |＝2b 2a ＝23＝233， △PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.6．(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．若PF 1—→＝F 1Q —→，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案 ACD解析由题意可知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以b ＞1,2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12，所以C 正确；由PF 1—→＝F 1Q —→可得，F 1为PQ 的中点，而P (1,1)，F 1(－1,0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝(－3＋1)2＋(－1－0)2＋(－3－1)2＋(－1－0)2＝5＋17＝2a ，所以D 正确． 7．如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案 12解析由图可得，椭圆的短轴长2b ＝22⇒b ＝11，2a ＝22sin 60°＝2232⇒a ＝223，∴e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－34＝12. 8．(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．答案 8解析根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以12F PF S △＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的方程．解 (1)由题意得，A (－a ，0)，EF 2：x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝c a ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍)，所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，① 因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，则12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，所以|PF 1||PF 2|＝4，又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(2c )2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.11．(多选)(2022·大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是( )A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案 CD解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则1PA k ＝y ′x ′＋4， 2PA k ＝y ′x ′－4，有12·PA PA k k ＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有12·PA PA k k ＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确． 12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是( )A ．飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案 ABD解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B 正确；a －c a ＋c ＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．13．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1 答案 D解析设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，m ，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ，得m 2＝4c 2－⎝⎛⎭⎫a 2c －c 2＝－a 4c 2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1. 14．(2021·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．若过F 1的直线和圆⎝⎛⎭⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．答案 255 55解析设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝⎛⎭⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ，所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255.因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e(0<e <1)，得e ＝55.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案 [1,4]解析由已知得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32， ∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2| ＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2| ＝2a |PF 1|(2a －|PF 1|) ＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4]． 16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23. 又因为|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12. 又因为0<e <1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60° ＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

椭圆定义及性质整合

椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅）推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值．例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+，当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大；（2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒，所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=，求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈，则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。

有关椭圆的所有知识点

有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。

椭圆的性质及知识点总结

椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。

1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。

长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。

（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。

（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。

二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。

离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。

2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。

2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。

2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。

根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。

2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。

焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。

2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。

椭圆的三个定义

椭圆的三个定义
目录
• 椭圆的基本定义与性质 • 椭圆的标准方程与图形特征 • 椭圆的焦点性质与应用 • 椭圆切线性质及判定方法 • 椭圆在几何学和物理学中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
椭圆的基本定义与
01
性质
定义一：基于两点距离之和
椭圆是由在平面内满足“从两个定点 F1和F2出发的线段长度之和等于常数（且大于两定点之间的距离）的所有点”组成的集合。
在物理学中的应用举例
01
在物理学中，椭圆的应用也非常广泛。例如，在经典力学中，椭圆轨道是天体运动的基本形式之一。根据开普勒定律，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这一发现为牛顿万有引力定律的提出奠定了基础。
02
在波动理论中，椭圆的形状可以用来描述波的振动形态。例如，在电磁波中，电场和磁场的振动形态可以用椭圆偏振来描述。此外，在声波、水波等波动现象中，也可以观察到类似椭圆的振动形态。
双曲线和椭圆都是二次曲线的一种，它们之间有着密切的联系。在某些特定的条件下，双曲线可以转化为椭圆。例如，当双曲线的离心率等于1时，双曲线就变成了抛物线；当离心率小于1时，双曲线就变成了椭圆。因此，双曲线和椭圆在某些方面具有相似的性质。
椭圆与抛物线的关系
抛物线和椭圆都是平面上的光滑曲线，它们之间也有着一定的联系。在某些特定的条件下，抛物线可以转化为椭圆。例如，当抛物线的焦点到准线的距离等于抛物线的半长轴时，抛物线就变成了椭圆。因此，抛物线和椭圆在某些方面也具有相似的性质。
总结回顾与拓展延
06
伸
关键知识点总结回顾
椭圆的第一定义
平面内与两定点$F_1, F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a > |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的定义与性质探究

椭圆的定义与性质探究椭圆是数学中一种重要的几何图形，具有独特的定义和性质。

本文将对椭圆进行深入的探究，包括椭圆的定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个点，当离心率为1时，椭圆退化成一条线段。

二、椭圆的性质1. 离心径：椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于常数，这个常数称为离心径。

椭圆的离心径长度等于长轴的长度。

2. 长轴和短轴：椭圆的两个焦点的连线称为椭圆的长轴，长轴的中点称为椭圆的中心。

长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，长轴和短轴的两倍称为椭圆的主轴。

3. 焦半径和引线：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离分别称为焦半径，而椭圆上的任意一条直线与焦点的连线相交，且平分焦半径，称为引线。

4. 离心角：椭圆上任意一点的离心角等于该点的切线与长轴之间的夹角。

5. 第一焦点定理：椭圆上任意一点的焦半径之和等于该点到两个焦点的距离。

6. 第二焦点定理：椭圆上的任意一条切线与连结焦点的两条引线之和相等。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道往往呈椭圆形状，椭圆的性质帮助科学家研究天体的运动规律。

2. 抛物线天线：抛物线天线是一种应用了椭圆的特性的天线，其形状使得抛物面成为抛物线，从而实现更强的信号聚集效果。

3. 建筑设计：在建筑设计中，椭圆形状常用于设计建筑物的地面、门廊和窗户，赋予建筑物一种独特的美感。

4. 运动轨迹：体育项目中，例如足球、篮球的运动轨迹在空中表现出的是一个抛物线，而当球员的移动是椭圆的路径时，也能够帮助球员更好地调整位置。

四、总结椭圆是一种具有独特性质的几何图形，其定义、性质及应用都具有广泛的意义和价值。

通过深入了解和探究椭圆，我们可以更好地理解并运用它在各个领域中的特性。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。

本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。

一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。

具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。

二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。

长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。

2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。

离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。

当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。

当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。

当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。

3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。

这一性质也可以用来定义椭圆。

4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。

与圆相比，椭圆的形状更加扁平。

椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。

5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。

如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。

这个点就是椭圆的焦点平面上的点。

6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。

一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。

通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。

结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。

椭圆的定义及性质

椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2

y2 b2
c

a

3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,

a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性顶点
范围
焦点焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2

y2 b2
BB11
1中令y=0，可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。

根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个参数b，称为短轴。

这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。

长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。

两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。

离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。

当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。

一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。

4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。

5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程ｘ2a2+y2b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a -ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0) A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0) 焦点F1(-ｃ，0) Ｆ２(c,０) Ｆ1（0，-ｃ) F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.( )（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．( )(４)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l 的距离，若d =错误!｜ＰF |,则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (１)错误,|P A |+|ＰB |=|A Ｂ|＝4，点P 的轨迹为线段AB ；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1+PF２=２a ，F 1F 2=２c ,故△PF 1Ｆ2的周长为2a ＋2c ；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆的第二定义.［答案］ (1)× （2）√ (3)× (4)√2．(教材习题改编）焦点在x 轴上的椭圆＼f(x 2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m ＝_＿______．[解析] 由题设知a 2=5,ｂ2=m ,c ２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案] 3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析] 椭圆的焦点在ｙ轴上，且c ＝６,２a =２0，∴ａ=10,b 2=ａ２－c ２=６４,故椭圆方程为x 264＋y 210０＝1. [答案] 错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y ２，3)＝１的左焦点为F ,直线x ＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△F ＡB 的周长最大时,△F ＡB 的面积是______＿_.[解析] 直线ｘ＝m 过右焦点（1,0）时，△F AB 的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a ＝8, 此时，|AB ｜＝2×b 2a＝错误!＝3，∴S △F AB =错误!×2×3＝3.[答案] 3５.(201４·江西高考)过点M （１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>０）相交于A ,B 两点，若Ｍ是线段AB 的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析] 设A (x １，y 1),B (x 2，y 2),则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y 1-y 2ｘ１－x 2＝-ｂ2a2·＼f(x 1＋x 2,ｙ１+y 2). ∵y 1-y 2x 1-ｘ2=－＼f （1,2),x 1+x 2＝2，ｙ1＋y 2＝2，∴-b ２ａ2＝-错误!， ∴a 2＝2b 2.又∵b ２＝a 2－ｃ2，∴a ２=2(a 2-c 2），∴a ２=2c 2，∴＼f （c ，a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___＿____.(2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.(2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案] (1）错误!＋错误!＝1 (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.（2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ2,且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1,则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析] (1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2,若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1,则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!. [答案］(1）错误!(2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：（１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!；(2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．(2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图,在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|,且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n,则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍn cos 60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF 2|，所以0°<∠F １Ｆ2A ≤６０°,所以１２≤cos ∠F 1Ｆ2A ＜1，又ｅ＝c ｏs ∠F 1Ｆ2A ,所以e 的取值范围是错误!．［答案] （1)错误! （2)错误! 课堂达标练习一、填空题1．在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F １，F 2在x 轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l 交Ｃ于A ，B 两点，且△AB Ｆ2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__＿___＿＿.［解析］设椭圆方程为x 2a ２+＼f （ｙ2,b ２）=1（a >b >0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB Ｆ2的周长为|AB |+|ＢF 2|＋｜AF 2｜＝(|AF 1｜＋｜AF 2|)+(|BF １|+｜BF ２|)=4a =1６，故a =4.∴b 2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，Ａ是椭圆与x 轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A Ｂ∥O Ｐ(O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析] 设P (-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k A Ｂ及ｅ＝＼f(c ，ａ)可得离心率e ．由题意设Ｐ(－c ,y ０)，将P (-c ,ｙ０)代入＼ｆ（x 2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b 2错误!＝b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!，∴k OP ＝－错误!．∵Ａ(a,0），B (0，ｂ),∴k AB ＝b －00-ａ＝－错误!. 又∵AB ∥ＯP ，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e ＝＼f(c,a )=＼f （c,b 2＋ｃ２）=错误!＝错误!. [答案] 错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C :错误!＋错误!=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|ＡN |＋｜ＢN |＝＿__＿＿___.［解析] 椭圆错误!＋错误!=1中，a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|ＤF 1|+|D Ｆ２|=２a =６．∵D ，Ｆ１,F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN ｜＝2|ＤF 2|，｜ＡN ｜=2｜D Ｆ1|, ∴|ＡN |+|BN ｜=2(|DF 1|+｜D Ｆ2|)＝12．［答案] 124．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a >b ＞0）的左顶点A (－a ，0)作直线ｌ交y 轴于点Ｐ,交椭圆于点Q ，若△AO Ｐ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析] ∵△AO Ｐ为等腰三角形,∴O Ａ=O Ｐ，故A (-a,0)，Ｐ(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!＝错误!. [答案] 错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x ２+y 2-2x -1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析] 由x 2＋y 2-2x －15＝0，知r ＝４=2a ⇒a =2．又e =＼ｆ(c,a )=＼ｆ(１，2)，c =1，则ｂ2=a ２－c 2=３.因此椭圆的标准方程为＼f （x 2,4）＋错误!=1. [答案］错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a ２+y 2ｂ2＝１(a >b >０)的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于Ａ，B 两点,连接AF ,B Ｆ.若|AB ｜＝1０，|B Ｆ|=8，cos ∠AB Ｆ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得，|AF |2=|ＡB |2+｜BF |2－２|A Ｂ|·|BF |c ｏs ∠ABF ，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF |＝６，从而｜AB |2＝|AF |２＋|BF |2，则AF ⊥ＢF . ∴c =|ＯF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点，则|BF ′|=|ＡF ｜=６, ∴2ａ＝｜B Ｆ|＋|BF ′｜=14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝错误!=错误!．［答案] 错误! 7.已知F 1，F 2是椭圆C :ｘ2a 2＋＼ｆ(y 2，b ２)＝1（a ＞b >0）的两个焦点,P 为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF １，→）⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为９，则b ＝__＿_＿＿_＿．[解析］由定义，｜PF 1|+｜ＰF 2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!, ∴|P Ｆ1｜2＋|ＰF 2|2＝|F 1F ２|２＝４c 2，∴(|ＰF 1|＋|P Ｆ2｜)２-２｜PF 1|｜PF ２｜=4c ２，∴2|ＰF １|｜PF 2|＝4a 2-4c 2＝４b ２,∴|PF 1｜|PF ２|＝2b 2. ∴Ｓ△PF 1F 2＝＼f （1,2)｜PF 1｜|PF 2|=1２×2b 2＝9，因此b =3. [答案] ３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F １(-1,０)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A ，B 两点,且|AB ｜＝３,则C 的方程为___＿＿_＿_.［解析］依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a ＞ｂ>0)．过点F ２(1,０）且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长｜AB |＝3, ∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.① 又由c =1,得１+b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2=4.故所求椭圆C 的方程为ｘ２4＋＼f （y 2,3)=1． [答案］＼f(x 2,4)+错误!＝1二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C １：错误!+y 2＝1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程;（２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B 分别在椭圆Ｃ1和C 2上,错误!=2错误!,求直线ＡB 的方程．[解] （1）设椭圆C 2的方程为错误!＋错误!=１(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!＝错误!，解得a ＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y ２,１6）＋错误!=1.(2)法一:A ，B 两点的坐标分别记为(x A ,ｙA )，(x Ｂ,ｙB )，由错误!＝2错误!及(1)知，O 、Ａ、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线A Ｂ的方程为y =kx . 将ｙ=ｋx 代入错误!＋y 2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4，所以ｘ错误!＝错误!. 将y =kx 代入＼ｆ（y 2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k 2)x 2＝16，所以x 错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x 错误!＝4x 错误!，即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－ｘ. 法二:A ,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，y A ),(x B ,ｙB )，由错误!=2错误!及(1)知,O 、Ａ、Ｂ三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入＼f(ｘ2,４）＋y 2=1中，得（1+4k 2)x 2=４,所以ｘ２，A =４１＋4ｋ2. 由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6,求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]（1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．(2)设|F1B|＝k,则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中,由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ1,F２的距离之和等于（大于|F1F２|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0)图形性质范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤顶点A1( ）, A2( ) A1(), A2（）B1( )，Ｂ2( ) B１（),B2（）焦点F1() F2() F1（)F2()准线l1:x＝-a2c l2:x＝＼f(a2,c) l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（)(2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()(３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（)(4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△F AB的周长最大时，△F AB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点,若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F1、F２,离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______＿_.(２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】（1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.（2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:(1)求出a，c,代入公式e＝错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习一、填空题１.在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ1，F 2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２).过F 1的直线ｌ交C 于A ，B 两点，且△ＡBF 2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ＡB ∥OP (Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋错误!=１,点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在Ｃ上,则|ＡN |＋|B Ｎ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a >ｂ>0)的左顶点A （-a,０)作直线ｌ交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△ＡOP 是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2－2x -15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a >ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接ＡF ,ＢF .若|ＡB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF ＝错误!,则椭圆C 的离心率为__＿_______．７.已知F １,Ｆ2是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b >0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!.若△P Ｆ1Ｆ2的面积为9，则b =_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0)，F 2(１,0)是椭圆C 的两个焦点,过F ２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B 两点,且｜A Ｂ|=3，则C 的方程为___＿＿_＿_.二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C １:x 24＋y 2=1，椭圆Ｃ２以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率．（１）求椭圆C ２的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,Ｂ分别在椭圆C １和C 2上，错误!=2错误!,求直线AB 的方程．1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．(1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.。

椭圆的概念与几何性质

椭圆的概念与几何性质一、知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质a b a b3、点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－⎝⎛⎭⎪⎫ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是________.解析因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案x225＋y216＝13.已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x＞0，所以x＝152，∴P点坐标为(152，1)或(152，－1). 答案(152，1)或(152，－1)4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( ) A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)解析根据椭圆方程可得焦点在y 轴上，且c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，故焦点坐标为(0，±3). 答案 B5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.223解析不妨设a >0.因为椭圆C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x 轴上，且c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. 答案 C6.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确. 答案 D考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24B.12C.8D.6解析 (1)连接QA .由已知得|QA |＝|QP |. 所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.(2)∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1，∴△GPF 1的面积为8. 答案 (1)A (2)C 规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________. 解析 (1)由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.(2)由椭圆的方程可知F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5. 答案 (1)C (2)－5考点二椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________. 解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－b 2＝82－42＝48＝43，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)法一当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0).∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0). ∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 法二设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n ).∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎨⎧4m ＝1，n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 答案 (1)D (2)x 24＋y 2＝1规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可.【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1(2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析 (1)椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13×2a ＝2，得c ＝1，因此，b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a 2，所以|AB |＝3＝2b 2a ，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 (1)B (2)C考点三椭圆的几何性质角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( ) A.8B.7C.6D.5解析因为椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎨⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8. 答案 A角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴于点E ，则∠PF 2E ＝60°，所以|F 2E |＝c ，|PE |＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上， ∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D 角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 ①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1.②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9，综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 A规律方法 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.2105解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号).即长轴长2a 的最小值为2 2.(2)不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55. 答案 (1)D (2)A[思维升华]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )三、课后练习1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32B.2－12C.3－12D.5－12解析由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴NM→＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b ).∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍).∴椭圆的离心率为5－12.答案 D2.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2 ＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝22c ·1－cos ∠PF 1F 2，所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c ＋2c ·1－cos ∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a <(3＋1)c ，则13＋1<c a <12，即3－12<e <12. 答案 B3.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP→＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案 54.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32m ，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2<16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.解析设点Q (x ，y )，则由点Q 与椭圆的右焦点F (1，0)关于直线y ＝bx 对称得⎩⎪⎨⎪⎧y x －1＝－1b ，y 2＝b ·x ＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－b 21＋b 2，y ＝2b 1＋b 2，代入椭圆C 的方程得（1－b 2）2a 2（1＋b 2）2＋4b 2b 2（1＋b 2）2＝1，结合a 2＝b 2＋1解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，S △FOQ ＝12 |OF |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b 1＋b 2＝12×1×21＋12＝12. 答案 22 12。

椭圆的定义与性质

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于例3 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程知识点二（知椭圆的简单几何性质）【知识梳理】由椭圆方程12222=+by a x () 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)一、范围: 从标准方程得出122≤a x ,122≤by ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．二、对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可0>>b a以看出它的范围，对称的截距三、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 四、离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：ace =⇒2)(1a b e -= 范围：10<<e考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，五、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率六、椭圆的准线方程：1、对于12222=+by a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=2、对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=3、准线的位置关系：c a a x 2<≤七、焦点到准线的距离 cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦准距）八、椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e是离心率推导方法：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （其中12 F F 、分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加【例题精讲】例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有特定的定义和性质。

本文将对椭圆的定义以及与其相关的性质进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆可以用两个焦点和到两个焦点距离之和等于定值的点的集合来定义。

更准确地说，椭圆是平面上满足到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴。

椭圆还具有两个确定其形状和大小的参数：离心率e和焦点间的距离2c。

二、椭圆的特点椭圆具有以下几个重要的性质：1. 对称性：椭圆具有两条互相垂直的对称轴，即长轴和短轴。

这两条对称轴的交点称为椭圆的中心。

2. 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

即PF1 + PF2 = 2a。

3. 定义性质：椭圆上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这是椭圆的定义。

4. 离心率性质：椭圆的离心率e满足0 < e < 1，离心率越小，椭圆越扁平。

5. 半焦参数性质：椭圆的半焦参数c满足c = a * e，其中c表示焦点到中心的距离。

6. 弦性质：椭圆上任意一条弦的长度等于半长轴的长度。

三、椭圆与其他几何图形的关系椭圆与圆、抛物线和双曲线都是常见的二次曲线。

与圆相比，椭圆的两个焦点在中心的两侧，而圆的焦点和中心重合；与抛物线相比，椭圆是有界曲线，而抛物线则是无界曲线；与双曲线相比，椭圆是闭合曲线，而双曲线则是非闭合曲线。

四、椭圆的应用椭圆由于其独特的几何性质，在现实生活中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 太阳系的行星轨道：行星围绕太阳运动的轨道是个近似椭圆形，其中太阳位于椭圆的一个焦点处。

2. 圆形的近似：在一些工程设计中，可以使用椭圆作为近似圆形来进行计算和设计，便于操作和运算。

3. 电子轨道运动：根据玻尔模型，电子在原子中的运动轨迹近似为椭圆形。

总结：椭圆是一种具有独特几何性质的几何图形，其定义和性质经过了仔细的研究与推导。

我们了解到，椭圆具有对称性、焦点性质和离心率性质等重要特征，并且与其他几何图形有所区别。

椭圆定义及几何性质

程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
图
象
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对称性
顶点坐标焦点坐标半轴长焦距（
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
椭圆方程【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半径，所以考虑使用焦半径公式建立关系式，同时结合图形，利用
平面几何知识在应用椭圆第二
定义时，必须注意相应的焦点和准线问题
四、课堂回顾：
1、椭圆的定义：第一定义是什么？第二定义又是什么？
2、椭圆几何性质：长轴、短轴、顶点、焦点、对称轴、对称中心、准线、离心率、焦半径。
= √1+(1/k)2 |y1-y2|
二、基础练习
1.椭圆x2/100+y2/64=1上一点P到左焦点F1的距离为 6，Q是 PF1的中点，O是坐标原点，则|OQ|= _____ 7 2.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于
5 短半轴长的2/3，则椭圆的离心率为_______ 3
x2 y2 1 表示焦点y轴上的椭圆，则m的 3.已知方程 m -1 2 - m
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系准线及离心率
a2=b2+c2
补充：
焦半径： |PF1|= a+ex |PF2|= a-ex
弦长公式：
P