椭圆的概念及其性质

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椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。

其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。

这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。

通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。

椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)

椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。

2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。

椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。

3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。

半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。

焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。

离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。

焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。

0)，焦点F2的坐标表示为(ae。

0)。

4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。

圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。

4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。

扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。

4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。

扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。

4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。

椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。

5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。

工程学：设计轮廓和曲线。

密码学：用作加密算法的基础。

6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。

我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。

椭圆高中知识点总结

椭圆高中知识点总结【原创版】目录一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其参数三、椭圆的性质定理四、椭圆的应用正文一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是在平面内到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。

椭圆有两个焦点 F1、F2 和两个顶点 A、B，其中 AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2a，其中 a 为椭圆的长半轴。

椭圆的中心点 O 位于原点，且 OA = OB = a。

椭圆的几何性质包括：1.椭圆是对称的，即关于 x 轴、y 轴和原点对称。

2.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a，c 为焦距。

3.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。

二、椭圆的标准方程及其参数椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1，其中 a > b > 0。

2.当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (b^2) + (y^2) / (a^2) = 1，其中 a > b > 0。

椭圆的参数有：长半轴 a、短半轴 b、焦距 c 和离心率 e。

三、椭圆的性质定理1.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a。

2.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。

3.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 2a。

4.椭圆的两个顶点到椭圆上任意一点的距离之差相等。

四、椭圆的应用椭圆在实际生活和数学中有广泛的应用，例如：1.椭圆在物理学中，描述行星运动的轨迹。

2.椭圆在工程学中，用于设计望远镜的反射镜和卫星天线的轨道。

3.椭圆在数学中，与其他曲线（如双曲线、抛物线）共同构成了解析几何的基本研究对象。

总结：椭圆是一种重要的数学曲线，它具有丰富的几何性质和应用。

椭圆与双曲线的基本概念与性质

椭圆与双曲线的基本概念与性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们具有不同的特点和性质。

在本文中，我们将介绍椭圆和双曲线的基本概念以及它们的性质。

一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a 的点的集合。

这两个定点称为焦点，而常数 2a 称为椭圆的长轴长度。

椭圆的性质如下：1. 椭圆的离心率是一个小于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的中心在原点(0,0) 处，长轴与x 轴平行，短轴与y 轴平行。

3. 椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，且关于原点对称。

4. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数 2a。

5. 椭圆的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 - e^2) 计算。

二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的点的集合。

这两个定点也称为焦点，常数 2a 称为双曲线的距离。

双曲线的性质如下：1. 双曲线的离心率是大于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c 是焦点之间的距离。

2. 双曲线的中心在原点 (0,0) 处，与椭圆不同，双曲线的两个分支分布在 x 轴的两侧。

3. 双曲线关于原点对称。

4. 双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数 2a。

5. 双曲线的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 + e^2) 计算。

三、椭圆与双曲线在实际中的应用椭圆和双曲线在实际中具有广泛的应用。

下面是两个常见的例子：1. 卫星轨道：卫星在地球上空的轨道通常是椭圆或双曲线，这是因为椭圆和双曲线都能够提供稳定的轨道。

2. 反射面：抛物线是由椭圆和双曲线扩展而来的，抛物面具有反射的特性，因此经常被用于望远镜、碟形天线等设备的设计中。

总结：椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，通过定义、性质以及实际应用来理解它们。

椭圆和双曲线具有不同的形态特点，对应不同的数学模型以及实际应用场景。

椭圆的性质与方程

椭圆的性质与方程椭圆是一种几何图形，它有着独特的性质和方程。

本文将探讨椭圆的定义、性质以及其对应的方程。

一、椭圆的定义和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，而常数称为椭圆的半短轴，用字母b表示。

与焦点和半短轴相关的数学性质包括：1. 椭圆的长轴为两个焦点之间的距离，用字母2a表示。

则椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦距。

2. 椭圆的离心率e小于1，且大于0。

这意味着椭圆是一个有限的闭合曲线，焦点不在其内部。

3. 椭圆的两个焦点和两个顶点在同一直线上，且椭圆具有对称性，即关于长轴和短轴均具有对称性。

4. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b的比值所决定，这个比值称为椭圆的离心率。

离心率越接近于零，椭圆的形状越接近于圆。

二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过几种不同的形式来表示，其中最常见的是标准方程和一般方程。

1. 标准方程标准方程是指椭圆的焦点在坐标系的原点上的方程。

标准方程的一般形式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。

2. 一般方程一般方程是指椭圆的焦点不在原点上的方程。

一般方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

其中(h,k)为焦点的坐标。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有着广泛的应用。

以下列举了一些椭圆的应用场景：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道可以用椭圆来描述。

2. 镜面反射：椭圆形镜面可以将光线聚焦到一个焦点上，因此椭圆在望远镜、抛物线反射镜等光学设备中得到应用。

3. 运动轨迹：许多物体的运动轨迹都可以近似看作是椭圆形，例如行走的人、运动的车辆等。

4. 地理测量：人工建造的运动场地、奥运会场馆等往往使用椭圆形，在地理测量中定位和测量也会用到椭圆。

结论椭圆具有独特的性质和方程，通过焦点和半轴的定义可以描述椭圆的形状和大小。

椭圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，我们可以根据实际情况选择适合的形式。

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。

在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。

具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这个常数被称为椭圆的长轴长度。

另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。

椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。

3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。

4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。

椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。

5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。

6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。

椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。

7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。

四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。

五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。

下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。

一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。

2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。

3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。

二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。

2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。

离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。

4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。

5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。

6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。

三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。

2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。

3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。

4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。

5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。

6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。

总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结椭圆是数学中的一个重要的几何概念，研究椭圆的性质和应用对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。

下面是对于椭圆的知识点进行总结的1000字。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过定义方式来描述：平面上点集到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1| + |PF2| = 2a，其中P是椭圆上任意一点，a是一个正实数，常数2a称为椭圆的长半轴。

同时，椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离称为椭圆的焦距，记为2c，满足a > c。

椭圆的基本性质如下：1. 椭圆的离心率e的定义为焦距与长半轴的比值，即e = c / a，且0 < e < 1。

离心率的大小和形状相关，当e接近0时，椭圆几乎成为一个圆，当e接近1时，椭圆变得更加扁平。

2. 椭圆的中心为椭圆上两个焦点的中点，记为O。

3. 椭圆的两条主轴分别为椭圆的短轴和长轴，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

4. 椭圆的焦点到直径的距离之和等于直径的长度。

5. 椭圆上每一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。

二、椭圆的方程和参数方程椭圆的方程一般形式为：(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆长半轴和短半轴的长度。

椭圆的参数方程为：x = h + a·cosθ，y = k + b·sinθ，其中θ为参数，范围在0到2π之间。

三、椭圆的焦点和直线1. 椭圆的焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长半轴的长度2a。

2. 通过椭圆的两个焦点可以画出两条称为准线的直线，这两条直线与椭圆的切线垂直，并通过椭圆的两个焦点。

3. 椭圆的离心率e小于1，所以椭圆上任意两点之间的距离总是小于椭圆的周长，且椭圆不是一个严格闭合的曲线。

四、椭圆的面积和周长椭圆的面积和周长可以通过椭圆的长半轴和短半轴来计算：1. 椭圆的面积为πab，其中a为长半轴的长度，b为短半轴的长度。

椭圆基础知识点

椭圆基础知识点椭圆是几何学中的一个重要概念，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。

椭圆具有一些独特的性质和特点，让我们一步步来了解椭圆的基础知识点。

1.椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状类似于拉长的圆。

椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离之比为常数的点P（到焦点的距离之和等于常数）构成。

这个常数称为离心率，通常用字母e表示。

当离心率小于1时，椭圆是个封闭的曲线；当离心率等于1时，椭圆变成一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成一条双曲线。

2.椭圆的主要特点椭圆具有一些独特的特点，让我们来逐个了解：•长半轴和短半轴：椭圆由两个相互垂直的轴构成，其中较长的轴称为长半轴（通常用字母a表示），较短的轴称为短半轴（通常用字母b表示）。

•焦点和准线：椭圆的两个焦点和一条过焦点的垂线称为准线。

准线是椭圆上所有点的几何平均线，即任意一点到两个焦点的距离之和等于准线的长度。

•主轴和次轴：椭圆的长半轴是主轴，短半轴是次轴。

主轴的长度是椭圆的最长直径，次轴的长度是椭圆的最短直径。

主轴和次轴互相垂直，且交于椭圆的中心点。

•离心率：椭圆的离心率e是一个常数，它表示焦点到准线的距离与准线长度的比值。

离心率越接近0，椭圆越接近圆形；离心率越大，椭圆越扁平。

•离心角：椭圆上任意一点P的离心角是焦点到P的线段与准线的夹角。

离心角的大小与离心率和点P的位置有关。

3.椭圆的方程椭圆的方程是用来描述椭圆的数学表达式。

一般来说，椭圆的标准方程有两种形式：•椭圆的中心在坐标原点的情况下，其方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a 和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。

•椭圆的中心不在坐标原点的情况下，其方程为[(x-h)^2]/a^2 + [(y-k)^2]/b^2 = 1，其中(h,k)表示椭圆的中心坐标。

4.椭圆的应用椭圆在数学和实际应用中都有广泛的应用。

以下是一些椭圆的应用领域：•天文学：行星和卫星的轨道通常是椭圆形的，椭圆的研究对于天体运动的理解和预测非常重要。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是数学上的一个重要概念，它在几何学、天文学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍椭圆的基本概念与性质，包括定义、方程、焦点、短轴、长轴等内容，以便读者对椭圆有更深入的了解。

1. 定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

2. 方程椭圆的标准方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。

当a=b时，椭圆退化为一个圆。

3. 焦点与离心率椭圆的焦点是椭圆上到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

椭圆的离心率是焦点与椭圆的长轴之比，通常用e表示。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状是扁平的；当e=1时，椭圆的形状是长条状。

4. 短轴与长轴椭圆的长轴是通过椭圆中心且垂直于短轴的直线段，长度为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，长度为2b。

长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

5. 面积与周长椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中π是圆周率。

椭圆的周长没有一个简单的数学公式，但可以用近似公式2π√((a²+b²)/2)来估算。

6. 焦点与直线关系对于一条过椭圆的焦点的直线，该直线与椭圆的两个交点到焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

这个性质在椭圆的构造和证明中有着重要的应用。

7. 椭圆的投影当一个椭圆被一个平面所截，就会产生一个椭圆的投影。

椭圆的投影可以是一个椭圆、一个圆、一个椭圆的一部分或一个直线段，具体取决于投影平面与椭圆的相对位置。

8. 椭圆与锥面椭圆是一个椭圆锥的截面。

椭圆锥可以由一个两个焦点之间距离不变的点沿着一条直线轨迹旋转而生成，椭圆就是锥面与一个平面的交线。

总结：椭圆是一个重要的数学概念，具有许多独特的性质和应用。

通过了解椭圆的定义、方程、焦点、离心率，以及与直线、投影、锥面的关系，我们对椭圆的基本概念和性质有了更深入的了解。

椭圆的定义与性质探究

椭圆的定义与性质探究椭圆是数学中一种重要的几何图形，具有独特的定义和性质。

本文将对椭圆进行深入的探究，包括椭圆的定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化成一个点，当离心率为1时，椭圆退化成一条线段。

二、椭圆的性质1. 离心径：椭圆的两个焦点到任意一点的距离之和等于常数，这个常数称为离心径。

椭圆的离心径长度等于长轴的长度。

2. 长轴和短轴：椭圆的两个焦点的连线称为椭圆的长轴，长轴的中点称为椭圆的中心。

长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，长轴和短轴的两倍称为椭圆的主轴。

3. 焦半径和引线：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离分别称为焦半径，而椭圆上的任意一条直线与焦点的连线相交，且平分焦半径，称为引线。

4. 离心角：椭圆上任意一点的离心角等于该点的切线与长轴之间的夹角。

5. 第一焦点定理：椭圆上任意一点的焦半径之和等于该点到两个焦点的距离。

6. 第二焦点定理：椭圆上的任意一条切线与连结焦点的两条引线之和相等。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中的几个例子：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道往往呈椭圆形状，椭圆的性质帮助科学家研究天体的运动规律。

2. 抛物线天线：抛物线天线是一种应用了椭圆的特性的天线，其形状使得抛物面成为抛物线，从而实现更强的信号聚集效果。

3. 建筑设计：在建筑设计中，椭圆形状常用于设计建筑物的地面、门廊和窗户，赋予建筑物一种独特的美感。

4. 运动轨迹：体育项目中，例如足球、篮球的运动轨迹在空中表现出的是一个抛物线，而当球员的移动是椭圆的路径时，也能够帮助球员更好地调整位置。

四、总结椭圆是一种具有独特性质的几何图形，其定义、性质及应用都具有广泛的意义和价值。

通过深入了解和探究椭圆，我们可以更好地理解并运用它在各个领域中的特性。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。

本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。

一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。

具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。

二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。

长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。

2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。

离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。

当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。

当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。

当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。

3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。

这一性质也可以用来定义椭圆。

4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。

与圆相比，椭圆的形状更加扁平。

椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。

5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。

如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。

这个点就是椭圆的焦点平面上的点。

6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。

一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。

通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。

结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。

1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。

2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。

可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。

3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。

可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。

椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。

对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。

4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。

离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。

5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。

在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。

椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。

6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。

例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。

此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。

总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。

通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。

对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。

椭圆的经典知识总结

椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。

一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。

2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。

(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。

长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。

(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。

(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。

(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。

3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。

(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。

(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。

4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。

二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。

(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。

2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。

(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。

3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。

(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。

4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。

5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。

(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念以及一些相关的性质。

一、椭圆的定义与特点椭圆可以由一个固定点F（焦点）和到该点距离的总和等于常数2a （长轴）的点P的轨迹组成。

根据定义，椭圆上的任意点到焦点F和焦点到点到点P的距离之和等于常数2a。

椭圆还有一个参数b，称为短轴。

这两个参数构成了椭圆的两个辅助直径。

椭圆的中心是离焦点F和点P等距离的点O。

长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中2a>2b。

两个焦点F与F'关于中心O对称。

椭圆有一些特殊的性质：1. 椭圆上的任意点P到焦点的距离之和等于2a。

2. 椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的数，定义为焦点到椭圆的中心的距离与长轴的一半的比值。

离心率决定了椭圆形状的“瘦胖程度”。

当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一个线段。

3. 椭圆的面积等于πab，其中π是圆周率。

二、椭圆的方程与坐标表示椭圆的方程可以通过焦点和离心率进行表示。

一般形式的椭圆方程为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1其中，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

椭圆的中心位于原点(0,0)处。

椭圆还可以通过参数方程进行表示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π。

三、椭圆的性质1. 焦点定理：椭圆上的任意点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a。

2. 切线性质：椭圆上的任意点P处的切线斜率等于y/x的导数值，即m = (dy/dx) = -b^2 / a^2 * (x / y)。

3. 点到椭圆的距离：点(x1, y1)到椭圆(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1的距离为d = sqrt[(x1^2/a^2) + (y1^2/b^2) - 1]。

4. 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。

5. 垂直角性质：椭圆上的任意点P处，直线PF1和PF2的夹角相等于直线PL1和PL2的夹角。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质1.椭圆的定义(1）第一定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.(２）第二定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(０<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点Ｆ叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点F相应的准线,根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程ｘ2a2+y2b2=1(a>b>0)＼f（ｙ2,a2)＋＼f(x2，b2）=1(a>b>0）图形性质范围－ａ≤x≤a -ｂ≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 顶点A１(－a,0），Ａ2(a，0) A1(０,-a)，A2（０,a)B1(0,－ｂ),B２(0,ｂ）B1(－b,0)，B2（b,0) 焦点F1(-ｃ，0) Ｆ２(c,０) Ｆ1（0，-ｃ) F２(0,c）准线ｌ１:x=－错误!ｌ２：x=错误!ｌ1：y=-错误!ｌ2：y＝错误!轴长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为２b焦距F１Ｆ2=2c离心率ｅ=错误!,且ｅ∈（０,1)a,b,c的关系c2=a２-b2对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点１．(夯基释疑）判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)动点P到两定点A（－2，0),B(2,０）的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为２ａ+２c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距）.( )（3)椭圆的离心率ｅ越大，椭圆就越圆．( )(４)已知点F 为平面内的一个定点,直线l 为平面内的一条定直线．设ｄ为平面内一动点Ｐ到定直线l 的距离，若d =错误!｜ＰF |,则点P 的轨迹为椭圆．( )[解析] (１)错误,|P A |+|ＰB |=|A Ｂ|＝4，点P 的轨迹为线段AB ；（2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1+PF２=２a ，F 1F 2=２c ,故△PF 1Ｆ2的周长为2a ＋2c ；(３)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确,根据椭圆的第二定义.［答案］ (1)× （2）√ (3)× (4)√2．(教材习题改编）焦点在x 轴上的椭圆＼f(x 2,5）+错误!=1的离心率为错误!，则m ＝_＿______．[解析] 由题设知a 2=5,ｂ2=m ,c ２=５-ｍ，ｅ2＝错误!＝错误!=（错误!)2＝错误!,∴５-ｍ＝2，∴ｍ=３.[答案] 3３．椭圆的焦点坐标为(０，－6),(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为２0，则椭圆的标准方程为__＿__.[解析] 椭圆的焦点在ｙ轴上，且c ＝６,２a =２0，∴ａ=10,b 2=ａ２－c ２=６４,故椭圆方程为x 264＋y 210０＝1. [答案] 错误!+错误!＝1 4.(２０14·无锡质检)椭圆ｘ24＋＼f(y ２，3)＝１的左焦点为F ,直线x ＝ｍ与椭圆相交于点Ａ,Ｂ,当△F ＡB 的周长最大时,△F ＡB 的面积是______＿_.[解析] 直线ｘ＝m 过右焦点（1,0）时，△F AB 的周长最大,由椭圆定义知，其周长为４a ＝8, 此时，|AB ｜＝2×b 2a＝错误!＝3，∴S △F AB =错误!×2×3＝3.[答案] 3５.(201４·江西高考)过点M （１,1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C ：错误!+错误!=1(a >ｂ>０）相交于A ,B 两点，若Ｍ是线段AB 的中点，则椭圆Ｃ的离心率等于＿_＿_____．[解析] 设A (x １，y 1),B (x 2，y 2),则错误!∴错误!＋错误!＝０,∴y 1-y 2ｘ１－x 2＝-ｂ2a2·＼f(x 1＋x 2,ｙ１+y 2). ∵y 1-y 2x 1-ｘ2=－＼f （1,2),x 1+x 2＝2，ｙ1＋y 2＝2，∴-b ２ａ2＝-错误!， ∴a 2＝2b 2.又∵b ２＝a 2－ｃ2，∴a ２=2(a 2-c 2），∴a ２=2c 2，∴＼f （c ，a )=错误!.[答案] 错误!考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1)(201４·全国大纲卷改编)已知椭圆C：错误!+错误!＝1（a>b＞０）的左、右焦点为Ｆ１、F２，离心率为＼ｆ(3,３),过F2的直线ｌ交C于A、B两点．若△AF１Ｂ的周长为４＼r(3),则C的方程为___＿____.(2)(20１4·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4,则该椭圆的方程为＿___＿___.[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝4错误!，∴a＝错误!.∵e＝错误!＝错误!,c２＋b2＝a2,∴c=1，b=错误!．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１.(2)∵椭圆的一条准线为ｘ=-4，∴焦点在x轴上且错误!=4，又2c=4,∴c=2，∴a２=8,b2＝4，∴该椭圆方程为错误!+错误!=１.[答案] (1）错误!＋错误!＝1 (２)错误!+错误!＝１,【规律方法】(1）一般地,解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决.（2）求椭圆的标准方程有两种方法①定义法:根据椭圆的定义，确定ａ２，b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax２＋Bｙ2=1(A>0，B＞0，A≠B).【变式训练1】(1)（20１３·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(１,0)，离心率等于＼ｆ(1,2),则C的方程是___＿___＿.(２）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!＋错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ2,且｜Ｆ1F2|＝８，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点Ｆ1,则△ＡBＦ２的周长为___＿____．[解析] (1)右焦点F(１,０),则椭圆的焦点在ｘ轴上；c=１.又离心率为ca=＼f(1，2)，故a=2,b２＝a2-c2＝4－1＝３，故椭圆的方程为ｘ24+＼f(y２，3)=1.(2）∵a＞5,∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F１F２|＝8,∴c=4,∴a2＝２５＋ｃ2＝41，则a＝＼r(41). 由椭圆定义,|AF1|+|ＡF2|＝|ＢF2|＋|BＦ1|＝2a,∴△ABF2的周长为4a=441.[答案] (１)错误!+错误!＝１(２）4错误!考向2椭圆的几何性质【典例２】(1）（2013·江苏高考)在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆Ｃ的标准方程为x2ａ２+ｙ2b2＝1(ａ>b＞０),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，Ｆ到ｌ的距离为d2,若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为_____＿__．（2)(2014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点,点Ｐ在椭圆上,且满足|PＦ１|＝2|ＰF2|，∠PF１Ｆ2＝30°，则椭圆的离心率为___＿＿___．［解析］(１）依题意，d2=错误!-c=错误!.又ＢＦ=错误!=ａ,所以ｄ1=错误!．由已知可得错误!＝＼r(6)·＼f(bc,ａ）,所以＼ｒ（6)c２＝ab，即6ｃ4=a2（a2－ｃ２），整理可得a2=3c２,所以离心率ｅ=＼f(ｃ，ａ)＝＼f(3,3）.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF２F1=1，即∠PF２F１=错误!，设｜PF2|＝1,则|ＰF1|=２，|F2F１|＝3,∴离心率ｅ=错误!=错误!. [答案］(1）错误!(2)错误!,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF１|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：（１)求出a，ｃ,代入公式e=错误!；(2)只需要根据一个条件得到关于ａ,b，c的齐次式,结合ｂ2＝a2-c2转化为a，c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以ａ或a２转化为关于ｅ的方程(不等式),解方程（不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】（1)(２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：错误!+错误!＝1(a>ｂ>0)的左、右焦点分别为F1,Ｆ２,P是C上的点，PF２⊥F1Ｆ2，∠PF1Ｆ２＝30°，则C的离心率为____＿___．(2)（２014·徐州一中抽测)已知F１、Ｆ２是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点,∠F１PF2=６0°.则椭圆离心率的范围为________.［解析］（1)如图,在Rｔ△PＦ1Ｆ2中,∠ＰF1F2＝3０°,∴｜ＰF1|=2|ＰF2|,且|ＰF２|＝错误!｜F1F2|，又|ＰF1|＋|PF2｜＝2a，∴｜PF２｜=＼f（2,3）a，于是|F1Ｆ２｜＝错误!a,因此离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）法一:设椭圆方程为错误!+错误!＝1(a＞b>0)，｜PＦ1|＝m,｜PＦ2|=n,则ｍ＋n＝2ａ.在△PF1F２中,由余弦定理可知，4ｃ２=ｍ2＋n2－2ｍn cos 60°＝（ｍ＋ｎ）2－3mn=4a2－3mn≥4a2－3·错误!２＝4a２－3a2=ａ2(当且仅当ｍ=n时取等号)．∴错误!≥错误!，即e≥错误!.又０<e<1，∴e的取值范围是错误!.法二：如图所示,设Ｏ是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F １ＰＦ2＝60°，则只需满足60°≤∠Ｆ1AF 2即可,又△F 1AF 2是等腰三角形，且｜ＡＦ1|＝|AF 2|，所以0°<∠F １Ｆ2A ≤６０°,所以１２≤cos ∠F 1Ｆ2A ＜1，又ｅ＝c ｏs ∠F 1Ｆ2A ,所以e 的取值范围是错误!．［答案] （1)错误! （2)错误! 课堂达标练习一、填空题1．在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F １，F 2在x 轴上，离心率为错误!.过Ｆ1的直线l 交Ｃ于A ，B 两点，且△AB Ｆ2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__＿___＿＿.［解析］设椭圆方程为x 2a ２+＼f （ｙ2,b ２）=1（a >b >0)，由ｅ=错误!知错误!=错误!,故错误!=错误!.由于△AB Ｆ2的周长为|AB |+|ＢF 2|＋｜AF 2｜＝(|AF 1｜＋｜AF 2|)+(|BF １|+｜BF ２|)=4a =1６，故a =4.∴b 2＝８. ∴椭圆Ｃ的方程为错误!＋错误!=１．[答案］错误!＋错误!＝12.(2013·四川高考改编)从椭圆错误!＋错误!=1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，Ａ是椭圆与x 轴正半轴的交点，Ｂ是椭圆与y 轴正半轴的交点,且A Ｂ∥O Ｐ(O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是__＿＿＿＿__.[解析] 设P (-ｃ，ｙ0)代入椭圆方程求得ｙ０,从而求得k ＯP ,由ｋOP ＝k A Ｂ及ｅ＝＼f(c ，ａ)可得离心率e ．由题意设Ｐ(－c ,y ０)，将P (-c ,ｙ０)代入＼ｆ（x 2,ａ2)＋错误!=1,得错误!＋错误!=１，则ｙ错误!=b 2错误!＝b 2·错误!=错误!.∴y 0=错误!或y 0=-错误!(舍去),∴P 错误!，∴k OP ＝－错误!．∵Ａ(a,0），B (0，ｂ),∴k AB ＝b －00-ａ＝－错误!. 又∵AB ∥ＯP ，∴ｋAB =k OP ，∴-错误!＝-错误!,∴ｂ=ｃ.∴e ＝＼f(c,a )=＼f （c,b 2＋ｃ２）=错误!＝错误!. [答案] 错误!3.(20１4·辽宁高考）已知椭圆C :错误!＋错误!=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|ＡN |＋｜ＢN |＝＿__＿＿___.［解析] 椭圆错误!＋错误!=1中，a =3. 如图,设MN 的中点为D ,则|ＤF 1|+|D Ｆ２|=２a =６．∵D ，Ｆ１,F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN ｜＝2|ＤF 2|，｜ＡN ｜=2｜D Ｆ1|, ∴|ＡN |+|BN ｜=2(|DF 1|+｜D Ｆ2|)＝12．［答案] 124．（２01４·南京调研)如图,已知过椭圆错误!＋错误!＝1(a >b ＞0）的左顶点A (－a ，0)作直线ｌ交y 轴于点Ｐ,交椭圆于点Q ，若△AO Ｐ是等腰三角形,且错误!＝2错误!，则椭圆的离心率为______＿_．[解析] ∵△AO Ｐ为等腰三角形,∴O Ａ=O Ｐ，故A (-a,0)，Ｐ(0,a ),又错误!=2错误!,∴Q 错误!,由Ｑ在椭圆上得错误!＋错误!=１，解得错误!=错误!. ∴e =错误!=错误!＝错误!. [答案] 错误!5.(2０14·南京质检)已知焦点在ｘ轴上的椭圆的离心率为错误!,且它的长轴长等于圆Ｃ:x ２+y 2-2x -1５=0的半径，则椭圆的标准方程是__＿___＿_.[解析] 由x 2＋y 2-2x －15＝0，知r ＝４=2a ⇒a =2．又e =＼ｆ(c,a )=＼ｆ(１，2)，c =1，则ｂ2=a ２－c 2=３.因此椭圆的标准方程为＼f （x 2,4）＋错误!=1. [答案］错误!＋错误!=1６．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C :x 2a ２+y 2ｂ2＝１(a >b >０)的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于Ａ，B 两点,连接AF ,B Ｆ.若|AB ｜＝1０，|B Ｆ|=8，cos ∠AB Ｆ＝＼f(４,5），则椭圆Ｃ的离心率为__＿___＿___.[解析] 在△ABF 中,由余弦定理得，|AF |2=|ＡB |2+｜BF |2－２|A Ｂ|·|BF |c ｏs ∠ABF ，∴|ＡＦ|2＝100+64－128=3６，∴|AF |＝６，从而｜AB |2＝|AF |２＋|BF |2，则AF ⊥ＢF . ∴c =|ＯF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性,设F ′为右焦点，则|BF ′|=|ＡF ｜=６, ∴2ａ＝｜B Ｆ|＋|BF ′｜=14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝错误!=错误!．［答案] 错误! 7.已知F 1，F 2是椭圆C :ｘ2a 2＋＼ｆ(y 2，b ２)＝1（a ＞b >0）的两个焦点,P 为椭圆Ｃ上的一点，且＼ｏ(ＰF １，→）⊥错误!.若△PF 1F 2的面积为９，则b ＝__＿_＿＿_＿．[解析］由定义，｜PF 1|+｜ＰF 2｜＝２ａ，且错误!⊥错误!, ∴|P Ｆ1｜2＋|ＰF 2|2＝|F 1F ２|２＝４c 2，∴(|ＰF 1|＋|P Ｆ2｜)２-２｜PF 1|｜PF ２｜=4c ２，∴2|ＰF １|｜PF 2|＝4a 2-4c 2＝４b ２,∴|PF 1｜|PF ２|＝2b 2. ∴Ｓ△PF 1F 2＝＼f （1,2)｜PF 1｜|PF 2|=1２×2b 2＝9，因此b =3. [答案] ３8．(２0１3·大纲全国卷改编）已知F １(-1,０)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于A ，B 两点,且|AB ｜＝３,则C 的方程为___＿＿_＿_.［解析］依题意,设椭圆Ｃ：错误!＋错误!=1(a ＞ｂ>0)．过点F ２(1,０）且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长｜AB |＝3, ∴点Ａ错误!必在椭圆上, ∴错误!＋错误!=1.① 又由c =1,得１+b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2=4.故所求椭圆C 的方程为ｘ２4＋＼f （y 2,3)=1． [答案］＼f(x 2,4)+错误!＝1二、解答题９．(2014·镇江质检)已知椭圆C １：错误!+y 2＝1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程;（２）设Ｏ为坐标原点，点Ａ，B 分别在椭圆Ｃ1和C 2上,错误!=2错误!,求直线ＡB 的方程．[解] （1）设椭圆C 2的方程为错误!＋错误!=１(a >2), 其离心率为错误!, 故错误!＝错误!，解得a ＝4.故椭圆Ｃ2的方程为＼f(y ２,１6）＋错误!=1.(2)法一:A ，B 两点的坐标分别记为(x A ,ｙA )，(x Ｂ,ｙB )，由错误!＝2错误!及(1)知，O 、Ａ、B 三点共线且点A 、B 不在y 轴上，因此可设直线A Ｂ的方程为y =kx . 将ｙ=ｋx 代入错误!＋y 2＝1中，得（１+4ｋ2）ｘ2=4，所以ｘ错误!＝错误!. 将y =kx 代入＼ｆ（y 2,1６)＋错误!＝1中,得（４＋k 2)x 2＝16，所以x 错误!=错误!. 又由错误!＝2错误!,得x 错误!＝4x 错误!，即错误!=错误!, 解得k =±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－ｘ. 法二:A ,Ｂ两点的坐标分别记为（ｘＡ，y A ),(x B ,ｙB )，由错误!=2错误!及(1)知,O 、Ａ、Ｂ三点共线且点A 、B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y ＝kx . 将y ＝kx 代入＼f(ｘ2,４）＋y 2=1中，得（1+4k 2)x 2=４,所以ｘ２，A =４１＋4ｋ2. 由错误!＝2错误!，得x错误!＝错误!，y 错误!=错误!.将x2B,y错误!代入错误!＋错误!=1中,得错误!=１，即４＋k2＝１+4ｋ２，解得k＝±1.故直线AB的方程为y=x或ｙ＝-x.1０.(2０14·安徽高考）设F1,Ｆ2分别是椭圆E：＼ｆ(ｘ2,a2)+错误!=1(ａ>b＞0)的左、右焦点，过点Ｆ1的直线交椭圆E于A,B两点，|AF１｜=3|F１B|．(1）若|AB|=4，△AＢＦ2的周长为１6,求|AF2|;(2）若ｃos∠AF２B＝错误!，求椭圆Ｅ的离心率.[解]（1）由｜ＡF１|=3｜F1Ｂ|,｜ＡB|=4，得|ＡF1|＝3,|F１Ｂ|=1.因为△ＡBＦ2的周长为16，所以由椭圆定义可得４a=1６，|AF１|＋|ＡF2|=2ａ=8.故|AＦ2|＝２a－|AF1|=8－3＝5．(2)设|F1B|＝k,则k>0且｜ＡF1|=3k,|ＡＢ｜=4ｋ．由椭圆定义可得|AF2|＝２a-3k,|ＢＦ2｜=2a-k.在△ABＦ２中,由余弦定理可得|AＢ｜２=|AF2｜２+｜BF2｜２－2｜ＡＦ2|·|BF２|ｃos∠ＡＦ2Ｂ，即(４ｋ)2＝(2a-3k)2+(２a-ｋ）2－＼f(6,5）(２ａ－３k)·（2a-k)，化简可得(a+k)(a-３ｋ)＝0.而a+k>0，故ａ＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|=５k．因此|BF2｜2=|F２Ａ|2＋|AＢ｜２，可得F１A⊥F２A，故△AF1Ｆ2为等腰直角三角形．从而ｃ=＼f（＼r(2),2)a,所以椭圆E的离心率e=错误!=错误!.椭圆的定义与性质1．椭圆的定义(1）第一定义：平面内与两个定点Ｆ1,F２的距离之和等于（大于|F1F２|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个叫做椭圆的焦点,两个的距离叫做焦距.(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数( <e<)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点,定直线l叫做焦点Ｆ相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!=1（a＞ｂ>0)错误!+错误!=1(ａ>b>0)图形性质范围≤x≤≤ｙ≤≤x≤≤y≤顶点A1( ）, A2( ) A1(), A2（）B1( )，Ｂ2( ) B１（),B2（）焦点F1() F2() F1（)F2()准线l1:x＝-a2c l2:x＝＼f(a2,c) l1：y＝－错误!l２:ｙ=错误!轴长轴Ａ1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1Ａ2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F２=离心率e＝＼f(c,a），且e∈a,b,c的关系c２=对称性对称轴：对称中心:1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)动点Ｐ到两定点Ａ(-2，0)，B(2,0)的距离之和为４,则点P的轨迹是椭圆．（)(2)椭圆上一点Ｐ与两焦点Ｆ1，F2构成△ＰＦ1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)．()(３)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．（)(4)已知点F为平面内的一个定点，直线ｌ为平面内的一条定直线.设d为平面内一动点P到定直线l的距离,若d＝错误!|PＦ｜，则点P的轨迹为椭圆．（)2.(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆错误!+错误!＝1的离心率为错误!,则m＝_＿______.3.椭圆的焦点坐标为(0,-6),（０，６)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20,则椭圆的标准方程为_____. 4．（201４·无锡质检)椭圆错误!+错误!=1的左焦点为F，直线ｘ=m与椭圆相交于点A，Ｂ，当△F AB的周长最大时，△F AB的面积是_＿___＿_＿．5.(2０１4·江西高考）过点M(1,１)作斜率为－１２的直线与椭圆C：错误!+错误!＝1(a>b>0)相交于A,Ｂ两点,若Ｍ是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于____＿___.考向1 椭圆的定义与标准方程【典例１】(1）(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：＼f(ｘ2，a２)＋错误!＝1(a>ｂ>0）的左、右焦点为F1、F２,离心率为错误!，过F2的直线l交C于Ａ、B两点．若△ＡF１Ｂ的周长为4错误!,则Ｃ的方程为______＿_.(２)（2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为４,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为_＿__＿__＿.【规律方法】（1）一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义,确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出ａ，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２+Ｂｙ2＝1(Ａ>0，B>０,A≠Ｂ)．【变式训练1】(1)（２013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0),离心率等于＼f(1,2)，则Ｃ的方程是＿_______.（2）(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是错误!+错误!=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,Ｆ２，且｜F１Ｆ2|＝8，弦AＢ（椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△AＢF2的周长为＿_＿____＿.考向２椭圆的几何性质【典例２】（１）(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xＯｙ中，椭圆Ｃ的标准方程为错误!＋错误!＝１(a>b>0),右焦点为F，右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线ＢF的距离为ｄ1，F到l的距离为d2，若ｄ2=６d1,则椭圆Ｃ的离心率为＿___＿_＿_．（2)(２014·扬州质检)已知Ｆ1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足｜PF１|＝2|PＦ2|，∠PF1F２＝３0°,则椭圆的离心率为________.【规律方法】1.椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|ＰF1|＋|PF2|=2a，得到a,c的关系．2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围），常见有两种方法:(1)求出a，c,代入公式e＝错误!;(2)只需要根据一个条件得到关于a,b，c的齐次式，结合b２＝a２-ｃ2转化为ａ,ｃ的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或ａ２转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围).【变式训练2】（1）（２０13·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋错误!=1(ａ＞b>0)的左、右焦点分别为Ｆ1,F2，P是Ｃ上的点,PF2⊥F1Ｆ２，∠ＰＦ1Ｆ２=30°,则C的离心率为＿__＿__＿＿．（2)(2０14·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，Ｐ为椭圆上一点，∠F１ＰF2=60°.则椭圆离心率的范围为＿_______．课堂达标练习一、填空题１.在平面直角坐标系x Ｏy 中，椭圆Ｃ的中心为原点,焦点Ｆ1，F 2在ｘ轴上，离心率为＼f(＼ｒ(2)，２).过F 1的直线ｌ交C 于A ，B 两点，且△ＡBF 2的周长为1６，那么椭圆Ｃ的方程为_＿_＿____．2.（２0１3·四川高考改编）从椭圆错误!＋错误!＝1(ａ>b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点Ｆ1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且ＡB ∥OP (Ｏ是坐标原点),则该椭圆的离心率是______＿＿．３．(2014·辽宁高考)已知椭圆C ：x 29＋错误!=１,点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在Ｃ上,则|ＡN |＋|B Ｎ｜=_____＿__.4.(2014·南京调研）如图,已知过椭圆错误!+错误!＝1(a >ｂ>0)的左顶点A （-a,０)作直线ｌ交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△ＡOP 是等腰三角形，且错误!＝2错误!,则椭圆的离心率为___＿____.5.(2014·南京质检)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为＼f(1，2），且它的长轴长等于圆C ：x 2+y 2－2x -15=0的半径，则椭圆的标准方程是＿__＿____.６．（2013·辽宁高考改编)已知椭圆Ｃ:错误!+错误!＝１(a >ｂ＞0）的左焦点为Ｆ,椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接ＡF ,ＢF .若|ＡB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF ＝错误!,则椭圆C 的离心率为__＿_______．７.已知F １,Ｆ2是椭圆C ：错误!+错误!＝１(a >b >0）的两个焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上的一点,且错误!⊥错误!.若△P Ｆ1Ｆ2的面积为9，则b =_＿______.8.（2013·大纲全国卷改编)已知F 1(-1,0)，F 2(１,0)是椭圆C 的两个焦点,过F ２且垂直于ｘ轴的直线交C 于Ａ，B 两点,且｜A Ｂ|=3，则C 的方程为___＿＿_＿_.二、解答题9.（2０14·镇江质检)已知椭圆C １:x 24＋y 2=1，椭圆Ｃ２以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率．（１）求椭圆C ２的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,Ｂ分别在椭圆C １和C 2上，错误!=2错误!,求直线AB 的方程．1０.(２014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E:错误!＋错误!＝１(ａ>b>0)的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆Ｅ于A,B两点，|AＦ1|=3|F1Ｂ|．(1)若|ＡB|=4，△ABＦ2的周长为16，求|ＡF2|;(２）若cos∠AＦ2B=错误!，求椭圆E的离心率.。

椭圆基础知识点

椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。

本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。

这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。

二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。

2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。

3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。

4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。

三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。

焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。

2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。

五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。

2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。

3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。

4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。

六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。

本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。

椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。

希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。

椭圆高中知识点总结

椭圆高中知识点总结【实用版】目录一、椭圆的概念与性质1.椭圆的定义2.椭圆的焦点与焦距3.椭圆的离心率4.椭圆的标准方程二、椭圆的计算方法1.待定系数法求标准方程2.椭圆的性质与应用三、椭圆的考点分析1.椭圆的定义与性质2.椭圆的标准方程及其应用3.椭圆与双曲线、抛物线的区别与联系正文一、椭圆的概念与性质1.椭圆的定义：在平面内到两定点 f1、f2 的距离的和等于常数（大于 f1f2）的点的轨迹叫做椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2.椭圆的焦点与焦距：椭圆的焦点有两个，分别记作 F1、F2，它们到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 2a（a 为椭圆的长半轴长）。

焦距为 2c（c 为椭圆的焦距），有 a>c。

3.椭圆的离心率：椭圆的离心率是指焦点到椭圆中心的距离与长半轴长的比值，记作 e。

离心率的范围为 0<e<1，当 e=0 时，椭圆退化为圆，当 e=1 时，椭圆退化为抛物线。

4.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程有两种形式，分别为(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1 和 (x^2)/(b^2)+(y^2)/(a^2)=1。

其中 a、b 分别为椭圆的长半轴和短半轴，且 a>b>0。

二、椭圆的计算方法1.待定系数法求标准方程：先设定椭圆的长半轴 a、短半轴 b 和焦距 c，然后根据椭圆的性质，建立关于 x 和 y 的方程，解方程可得椭圆的标准方程。

2.椭圆的性质与应用：椭圆具有许多重要的性质，如焦点、顶点、准线、离心率等，这些性质在解决实际问题中起着关键作用。

三、椭圆的考点分析1.椭圆的定义与性质：掌握椭圆的定义及性质，如焦点、焦距、离心率、标准方程等，能够帮助我们更好地理解和解决椭圆相关的问题。

2.椭圆的标准方程及其应用：熟练掌握椭圆的标准方程，能够帮助我们快速解决椭圆的计算问题。

同时，了解椭圆与其他曲线（如双曲线、抛物线）的区别与联系，有助于提高我们的解题能力。

椭圆的定义及性质

椭圆
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距（2c）.
1.动画演示
2.椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
注意：
1.当2a>2c时,轨迹是椭圆
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
(2)焦点在y轴
看分母大小
1
2
y
o
F
F
P
x
1
o
F
y
x
2
F
P
三.椭圆的几何性质
让我们一起研究标准方程为:标准方程为: 的椭圆的性质
所以P到另一个焦点的距离为6-2=4.
D
B
D
条件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
标准方程
图形
范围
对称性
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
焦点
焦距
离心率
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
(-c,0)和(c,பைடு நூலகம்)
顶点
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
范围
焦点
焦距
离心率
椭圆的标准方程及其简单几何性质
(-c,0)和(c,0)
(0,-c)和(0,c)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称