第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图

第一节空间几何体的结构、三视图和直观图
[考情展望] 1.以三视图为命题背景，考查空间几何体的结构特征.2.利用空间几何体的展开，考查空间想象能力.3.以选择题、填空题的形式考查．
一、多面体的结构特征
1．棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．
2．棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
3．棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形．侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反之，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
1．三视图的名称
几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．
2．三视图的画法
①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．
四、空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是
1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝
2 4S
原图形，S原图形＝22S直观图．
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
【解析】根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
【答案】 B
2．如图7－1－1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()
图7－1－1
A．①②B．②③
C．②④D．③④
【解析】由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同．
【答案】 C
图7－1－2
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－2所示的一个正方形，则原来的图形是()
【解析】根据斜二测画法的规则知，选A.
【答案】 A
4．若某几何体的三视图如图7－1－3所示，则这个几何体的直观图可以是()
图7－1－3
【解析】根据正视图与俯视图可排除A、C，根据侧视图可排除D.故选B.
【答案】 B
5．(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图7－1－4所示，则该几何体的直观图可以是()
图7－1－4
【解析】由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.
【答案】 D
6．(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()
A.
3
2B．1 C.
2＋1
2 D. 2
【解析】由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为 2.
【答案】D第七章立体几何初步
考向一[108]空间几何体的结构特征
下列结论中正确的是()
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
【思路点拨】根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断．
【尝试解答】当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．
【答案】D
规律方法1 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
考向二[109]几何体的三视图
高考总复习•新课标数学(文)[山东专用]某四面体的三视图如图7－1－5所示，该四面体四个面的面积中最大的是()
图7－1－5
A．8B．6 2
C．10 D．8 2
【思路点拨】根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．【尝试解答】将三视图还原成几何体的直观图，如图所示．
由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,8,10,62，所以面积最大的是10.
【答案】C
规律方法2 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.
2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.
对点训练如图7－1－6是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()
图7－1－6
A B C D
【解析】由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上，故B正确．
【答案】 B
考向三[110]空间几何体的直观图
图7－1－7
如图7－1－7所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A ′B ′C ′D ′是一直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′，且B ′C ′与y ′轴平行，若A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2，求这个平面图形的实际面积．
【思路点拨】 逆用斜二测画法得到实际图形，求出相应的边长，进而求出面积．
【尝试解答】 根据斜二测直观图画法规则可知
该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变．
由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2.
所以CB ＝4 2.
故平面图形的实际面积为12
×(6＋4)×42＝20 2. 规律方法3 由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
对点训练 (1)已知正△ABC 的边长为a ，则△ABC 水平放置的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．
图7－1－8
(2)如图7－1－8所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A ．6
B ．8
C ．2＋3 2
D ．2＋2 3
【解析】 (1)如图．
由题意得A ′B ′＝AB ＝a ，
O ′C ′＝12OC ＝34
a . 过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，
则C ′D ′＝22O ′C ′＝68
a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝616
a 2.
(2)对应的原图形如图显然原图形OABC 是平行四边形，
且OA ＝O ′A ′＝1，
OB ＝2O ′B ′＝212＋12＝22，
故由勾股定理，得
AB＝12＋(22)2＝3.
故原图形的周长是2×(3＋1)＝8.
【答案】(1)
6
16a
2(2)B
易错易误之十一画三视图忽视边界线及其实虚
————[1个示范例]————[1个防错练]————
(2012·陕西高考)将正方体(如图7－1－9(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7－1－9(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为()
图7－1－9
【解析】还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影
线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的.,(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚.
一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图7－1－10所示，则其俯视图为()
正(主)视图侧(左)视图
图7－1－10
A B C D
【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.
【答案】C。