数学实验之四数列与级数
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2019/10/25
3000 2500 2000 1500 1000
500
2019/10/25
20
40
60
80
100
该问题起源于20世纪50年代，被称为 Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题， Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想， 简称3x+1问题。
目前有人验证到
2000
4000
6000
8000
10000
由于
k n
1 k
Sn
(S2k n
k 1
S2k1 n )
下面研究 Hn S2n Sn 的极限.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从上图猜测, 极限
lim
n
Fn2 Fn1 Fn , n 1, F1 1, F2 1
确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55
1
2
4
3
5
2019/10/25
为研究Fibonacci数列的规律，我们在二维平面 上画出顺次连接点列 (n, Fn ), n 1,2,, N 的折 线图。
2019/10/25
2019/10/25
400 300 200 100
200
400
600
800
1000
gn 0.803901 0.481211 n
fn egn 0.447581 1.61803 n
猜测
Fn crn
将上式代入递推公式中得
r2 r 1 0
由此
r1,2 (1 5) / 2
一些保持高度航程记录： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.
2019/10/25
3）最大飞行高度与起点的关系。
50000 40000 30000 20000 10000
2019/10/25
1000 2000 3000 4000 5000
用t(n)表示航班n的最高飞行高度。上述图形 中有什么规律？t(n)与n的关系如何？例如， 是否有t(n)<K*n*n ?
2019/10/25
偶变换与奇变换的关系：
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
2019/10/25
1000
2000
3000
4000
5000
O(N)/E(N)的上界是什么？当N趋于无穷时， O(N)/E(N)的极限是什么？
简单分析：
2E(N ) 3O(N ) N R( N )
2019/10/25
给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无 穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时 的极限状态又如何？
2019/10/25
2、Fibonacci数列
Fibonacci数列由递推关系
Hn
c
0.693存在.
实际上,易知
2019/10/25
1/ 2 Hn Hn1 1
故知极限存在. 进而
K
S2K n Sn (S2k n S ) 2k1n Kc
k 1
由此猜测
Sn a lg(n) b
用数据拟合发现, a 1, b 0.693 b 称为Euler常数.
Fn c((1 5) / 2)n
然而,上式并不满足 F1 F2 1
进一步猜测
2019/10/25
Fn c1r1n c2r2n
由此得
Fn ((1 5) / 2)n ((1 5) / 2)n ) / 5
可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此， Fibonacci数列趋于无穷的阶为
其中 r1,, rk 是上述方程的根。
2019/10/25
3、调和级数
调和级数 研究数列
1
n1 n
Sn
1
1 2
1 3
1 n
的极限阶.
2019/10/25
首先研究 Sn 的折线图.
9 8 7
2000
4000
6000
8000
10000
2019/10/25
12 11 10
9 8 7
取对数得
E(N )log 2 O(N )log 3 log N log R(N )
故
O(N ) / E(N ) log 2 / log 3
2019/10/25
且
O(N ) / E(N ) log 2 / log 3 (log N log R(N )) / log 3E(N )
其中 R(N)称为留数，它是所有形如 1 1/(3 ai ) 的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，
2019/10/25
对于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15)
25 32 3 (1 1/ 9)(1 1/15)
数学实验之四 数列与级数
2019/10/25
陈发来 中国科学技术大学数学系
1、数列与级数
数列
a1, a2,, an ,
(1)
级数
bn b1 b2 bn (2)
数列与级数的关系 给定数列（1），令 b1 a1, bn an an1 ，则数列 （1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 an b1 b2 bn , 则级数（2）等价于数列 （1）。
4000
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2000
1000
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5
10
15
20
易知
3 / 2Fn1 Fn2 Fn1 Fn 2Fn1
2 故有 Fn 的阶在 (3/ 2)n 与 n 之间。
为进一步研究 Fn 的特性，在平面坐标系中画连接
(n,log(Fn )), n 1,2,, N 的折线图。然后用直线去拟 合之.
Fn ((1 5) / 2)n / 5
2019/10/25
一般地, 给定数列的递推关系
假设
ank a k1 nk1 0an
an crn
则 r 满足
rk
rk1 k 1
0
0
2019/10/25
因此 an 的通项为
an c1r1n ckrkn
航程记录航班：航程大于所有它前面的航班 的航程。如第7航班，它的航程为16。
保持高度航程记录航班：保持高度航程大于 所有前面航班的保持高度航程。
2019/10/25
最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于 所有它前面的航班的最大飞行高度。
对于一个固定航班N, 考虑它着陆前的表示奇 变换。其中除2的变换称为偶变换，乘3加1 的变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数， O(N)表示奇变换数。
2019/10/25
对n=27得
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
2019/10/25
2）保持高度航程与起点关系。
17.5 15
12.5 10
7.5 5
2.5
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200
400
600
800
1000
上述图形中能看出什么规律？用G(N)表示保 持高度航程。G(N)的上界是否与不超过 c*log(N)?
对 N=2^p-1, a_2=3*2^p-2, a_4=3^2*2^p-1, a_2p=3^p-1. 于是，G(2^p-1)>2p.
2019/10/25
用Mathematica编程验证： 1、是否对任意n，从n开始产生的数列最后都
落于421的循环中？ 2、数列在落于421循环之前，有什么规
律？
Chaos n_Integer : Module m n, t n , While m 1, m If Mod m, 2 0, m 2, 3 m 1 ; AppendTo t, m ; ; ListPlot t, PlotJoined True ; t
5 16 8 4 2 1 4 2 1
上述数列可递归地定义为
an1
an / 2
3an
1
如果n为偶 如果n为奇
2019/10/25
我们来研究上述数列的规律。先从简单的示 例开始。
1 4 2 1 2 1 4 2 1 3 10 5 16 8 4 2 1 4 2 1 5 16 8 4 2 1
对 n=4k+1, 有
4k 112k 4 6k 2 3k 1
对 n=16k+3, 有
16k 3 48k 10 24k 5 72k 16 36k 8 18k 4 9k 2
2019/10/25
如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一 1、数列落于有别于421的循环中； 2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越
2019/10/25
一些探索： 1）航程与起点的关系。
175 150 125 100
75 50 25
2019/10/25
500
1000
1500
2000
上述图形中有没有规律？ 用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界与n存在
什么样的函数关系？例如，当n适当大后，是 否有f(n)<n？ 一些航程记录：
n 137 250 154248287237439488
猜想仍然成立。
2019/10/25
一些观察：
如果 n 2k ，则
2k 2k1 2 1
对 n 2k l ，l 为奇数，则
2k l 2k1l 2l l
2019/10/25
如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想 成立。
大。
2019/10/25
引入一些概念： 航班：从n开始迭代产生的数列（直至1为
止）。如第5次航班为5168421 航程：航班的长度。如航班
5168421的长度为5 最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如
第5航班的最大飞行高度为16
2019/10/25
保持高度航程：从起点起连续不小于起点的 数字的个数。如3105168421 的保持高度航程为5。如果所有航班的保持高 度航程有限，则3n+1问题成立。
2019/10/25
一些记录： 保持高度航程：N=118303688851791519,
G(N)=1471 留数：N=993, R(N)=1.253142 航程：N=1269884180266527, F(N)=2039
2019/10/25
显然3N+1问题与下列问题等价： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）对所有N, E(N)有限； 4）对所有N, O(N)有限。
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也可以直接从数列 Gn S2n 出发.
10 8 6 4 2
2.5
5
7.5
10
12.5
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猜测 Sn a lg(n) b
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4、3N+1问题
问题：任给自然数n，如果n是偶数，则将n 除2；如果n是奇数，则将n乘3加1。重复上 述过程得到一个无穷数列。例如，
3000 2500 2000 1500 1000
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该问题起源于20世纪50年代，被称为 Syracuse猜想，角谷猜想，Collatz问题， Hasse算法问题，Ulam问题，Thwaites猜想， 简称3x+1问题。
目前有人验证到
2000
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由于
k n
1 k
Sn
(S2k n
k 1
S2k1 n )
下面研究 Hn S2n Sn 的极限.
1
0.8
0.6
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500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从上图猜测, 极限
lim
n
Fn2 Fn1 Fn , n 1, F1 1, F2 1
确定。其前十项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55
1
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为研究Fibonacci数列的规律，我们在二维平面 上画出顺次连接点列 (n, Fn ), n 1,2,, N 的折 线图。
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400 300 200 100
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gn 0.803901 0.481211 n
fn egn 0.447581 1.61803 n
猜测
Fn crn
将上式代入递推公式中得
r2 r 1 0
由此
r1,2 (1 5) / 2
一些保持高度航程记录： G(3)=6, G(7)=11, G(27)=96, G(703)=132.
2019/10/25
3）最大飞行高度与起点的关系。
50000 40000 30000 20000 10000
2019/10/25
1000 2000 3000 4000 5000
用t(n)表示航班n的最高飞行高度。上述图形 中有什么规律？t(n)与n的关系如何？例如， 是否有t(n)<K*n*n ?
2019/10/25
偶变换与奇变换的关系：
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
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O(N)/E(N)的上界是什么？当N趋于无穷时， O(N)/E(N)的极限是什么？
简单分析：
2E(N ) 3O(N ) N R( N )
2019/10/25
给定数列（1），回答以下问题： 1、数列有什么规律与性质？ 2、数列的极限是否存在有限？ 3、如果数列的极限趋于无穷，那么它趋于无 穷的阶是多大？ 4、如果数列的极限不存在，那它在无穷大时 的极限状态又如何？
2019/10/25
2、Fibonacci数列
Fibonacci数列由递推关系
Hn
c
0.693存在.
实际上,易知
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1/ 2 Hn Hn1 1
故知极限存在. 进而
K
S2K n Sn (S2k n S ) 2k1n Kc
k 1
由此猜测
Sn a lg(n) b
用数据拟合发现, a 1, b 0.693 b 称为Euler常数.
Fn c((1 5) / 2)n
然而,上式并不满足 F1 F2 1
进一步猜测
2019/10/25
Fn c1r1n c2r2n
由此得
Fn ((1 5) / 2)n ((1 5) / 2)n ) / 5
可以验证上式是Fibonacci数列的通项. 由此， Fibonacci数列趋于无穷的阶为
其中 r1,, rk 是上述方程的根。
2019/10/25
3、调和级数
调和级数 研究数列
1
n1 n
Sn
1
1 2
1 3
1 n
的极限阶.
2019/10/25
首先研究 Sn 的折线图.
9 8 7
2000
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6000
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10000
2019/10/25
12 11 10
9 8 7
取对数得
E(N )log 2 O(N )log 3 log N log R(N )
故
O(N ) / E(N ) log 2 / log 3
2019/10/25
且
O(N ) / E(N ) log 2 / log 3 (log N log R(N )) / log 3E(N )
其中 R(N)称为留数，它是所有形如 1 1/(3 ai ) 的项的积，这里 a_i是航程中的奇数。例如，
2019/10/25
对于航班3105168421, E(3)=5, O(3)=2, R(3)=(1+1/9)(1+1/15)
25 32 3 (1 1/ 9)(1 1/15)
数学实验之四 数列与级数
2019/10/25
陈发来 中国科学技术大学数学系
1、数列与级数
数列
a1, a2,, an ,
(1)
级数
bn b1 b2 bn (2)
数列与级数的关系 给定数列（1），令 b1 a1, bn an an1 ，则数列 （1）等价于级数（2）。反之，给定级数（2） 令 an b1 b2 bn , 则级数（2）等价于数列 （1）。
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易知
3 / 2Fn1 Fn2 Fn1 Fn 2Fn1
2 故有 Fn 的阶在 (3/ 2)n 与 n 之间。
为进一步研究 Fn 的特性，在平面坐标系中画连接
(n,log(Fn )), n 1,2,, N 的折线图。然后用直线去拟 合之.
Fn ((1 5) / 2)n / 5
2019/10/25
一般地, 给定数列的递推关系
假设
ank a k1 nk1 0an
an crn
则 r 满足
rk
rk1 k 1
0
0
2019/10/25
因此 an 的通项为
an c1r1n ckrkn
航程记录航班：航程大于所有它前面的航班 的航程。如第7航班，它的航程为16。
保持高度航程记录航班：保持高度航程大于 所有前面航班的保持高度航程。
2019/10/25
最大飞行高度记录航班：最大飞行高度大于 所有它前面的航班的最大飞行高度。
对于一个固定航班N, 考虑它着陆前的表示奇 变换。其中除2的变换称为偶变换，乘3加1 的变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数， O(N)表示奇变换数。
2019/10/25
对n=27得
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
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2）保持高度航程与起点关系。
17.5 15
12.5 10
7.5 5
2.5
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200
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上述图形中能看出什么规律？用G(N)表示保 持高度航程。G(N)的上界是否与不超过 c*log(N)?
对 N=2^p-1, a_2=3*2^p-2, a_4=3^2*2^p-1, a_2p=3^p-1. 于是，G(2^p-1)>2p.
2019/10/25
用Mathematica编程验证： 1、是否对任意n，从n开始产生的数列最后都
落于421的循环中？ 2、数列在落于421循环之前，有什么规
律？
Chaos n_Integer : Module m n, t n , While m 1, m If Mod m, 2 0, m 2, 3 m 1 ; AppendTo t, m ; ; ListPlot t, PlotJoined True ; t
5 16 8 4 2 1 4 2 1
上述数列可递归地定义为
an1
an / 2
3an
1
如果n为偶 如果n为奇
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我们来研究上述数列的规律。先从简单的示 例开始。
1 4 2 1 2 1 4 2 1 3 10 5 16 8 4 2 1 4 2 1 5 16 8 4 2 1
对 n=4k+1, 有
4k 112k 4 6k 2 3k 1
对 n=16k+3, 有
16k 3 48k 10 24k 5 72k 16 36k 8 18k 4 9k 2
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如果猜想不成立，则只有下列两种情况之一 1、数列落于有别于421的循环中； 2、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越
2019/10/25
一些探索： 1）航程与起点的关系。
175 150 125 100
75 50 25
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500
1000
1500
2000
上述图形中有没有规律？ 用f(n)表示航班n的航程。f(n)的上界与n存在
什么样的函数关系？例如，当n适当大后，是 否有f(n)<n？ 一些航程记录：
n 137 250 154248287237439488
猜想仍然成立。
2019/10/25
一些观察：
如果 n 2k ，则
2k 2k1 2 1
对 n 2k l ，l 为奇数，则
2k l 2k1l 2l l
2019/10/25
如果对每个n, 数列中有某一项小于n, 则猜想 成立。
大。
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引入一些概念： 航班：从n开始迭代产生的数列（直至1为
止）。如第5次航班为5168421 航程：航班的长度。如航班
5168421的长度为5 最大飞行高度：一个航班中的最大数字。如
第5航班的最大飞行高度为16
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保持高度航程：从起点起连续不小于起点的 数字的个数。如3105168421 的保持高度航程为5。如果所有航班的保持高 度航程有限，则3n+1问题成立。
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一些记录： 保持高度航程：N=118303688851791519,
G(N)=1471 留数：N=993, R(N)=1.253142 航程：N=1269884180266527, F(N)=2039
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显然3N+1问题与下列问题等价： 1）所有航班的航程有限； 2）所有航班的保持高度航程有限； 3）对所有N, E(N)有限； 4）对所有N, O(N)有限。
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也可以直接从数列 Gn S2n 出发.
10 8 6 4 2
2.5
5
7.5
10
12.5
15
猜测 Sn a lg(n) b
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4、3N+1问题
问题：任给自然数n，如果n是偶数，则将n 除2；如果n是奇数，则将n乘3加1。重复上 述过程得到一个无穷数列。例如，