求离心率四法
求离心率的经典方法归纳
求离心率的经典方法归纳
离心率是描述椭圆轨道形状的重要参数之一，有多种方法可以计算离心率。
以下是一些经典的方法：
1. 观测法：对于太阳系中的行星，可以根据其轨道在不同时间的观测数据来计算离心率。
2. Kepler第一定律：根据Kepler第一定律，行星在椭圆轨道上运行时，太阳位于轨道焦点处。
因此，可以通过测量轨道直径和焦距的比值来计算离心率。
3. 能量守恒法：通过能量守恒定律，可以得到行星在不同位置处的速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
4. 角动量守恒法：根据角动量守恒定律，可以得到行星在不同位置处的速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
5. 牛顿第二定律：通过牛顿第二定律，可以得到行星在不同位置处的加速度和距离之间的关系，从而计算出离心率。
总的来说，不同的方法适用于不同的情况，选择合适的方法可以更准确地计算离心率。
- 1 -。
求离心率的范围问题整理分类
求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式，建立不等关系。
二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率技巧公式
离心率技巧公式
离心率是描述一个圆的半径与中心到该点的距离之比，通常用符号e表示。
在几何学中，离心率是一个非常重要的概念，它可以用来描述和分析各种图形的性质。
在解决一些几何问题时，我们经常需要用到离心率公式。
下面，我们将介绍一些常用的离心率技巧公式。
1. 当一个圆的直径为d，半径为r时，其离心率为：
e = √(1 - (r^2/d^2))
2. 当一个椭圆的长半轴为a，短半轴为b时，其离心率为：
e = √(1 - (b^2/a^2))
3. 当一个双曲线的实半轴为a，虚半轴为b时，其离心率为：
e = √(1 + (b^2/a^2))
4. 当一个三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R时，其离心率为：
e = R/r
5. 当一个正多边形的边长为a，外接圆半径为R时，其离心率为：
e = R/a
6. 当一个扇形的半径为r，圆心角为θ时，其离心率为：
e = r * tan(θ/2)
7. 当一个圆柱体的底面半径为r，高为h时，其离心率为：
e = r/h
8. 当一个圆锥体的底面半径为r，高为h时，其离心率为：
e = r/h
9. 当一个球体的半径为r时，其离心率为：
e = 0（因为球体的所有点到中心的距离都相等）
10. 当一个正方形的边长为a时，其离心率为：
e = a/√(2)a（因为正方形可以看作是两个等腰直角三角形组成的，所以离心率为直角三角形的斜边与直角边的比值）
11. 当一个正六边形的边长为a时，其离心率为：
e = a/√(3)a（因为正六边形可以看作是六个等腰三角形组成的，所以离心率为等腰三角形的底边与高的比值）。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
离心率的常见求法
离心率的常见求法
离心率是一个有重要意义的机械物理概念，是描述物质或者物体在离心力作用下运动的特性。
常见的离心率求法有：
1、对角法：对角法测量离心率的原理是：根据观察介质的同心圆状态，用视线衡量介质的对角线，从而获得两个半径，离心率就是两个半径之比。
3、椭圆法：椭圆法测量离心率的原理是：由介质形成的椭圆形折线变化，衡量介质的长轴和短轴，利用椭圆长轴和短轴之比，进行求解离心率。
4、三角法：三角法测量离心率的原理是：根据三角形的相关公式，利用介质的试样在极坐标系下的不同的极坐标点的坐标，计算出夹角的正弦、余弦，再求出离心率。
离心率的测量方法有很多，上述的这五种比较常用，其中对角法和三角法最为简单方便，但测量精度较低，旋转法和椭圆法测量精度较高，但较复杂，重力法测量不受介质的影响，推荐使用。
离心率求法四则
离心率求法四则离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法．一、定义法因为ce a =，所以只需求得a 、c 或a 与c 之间的关系即可．1.方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ）的离心率Ａ，一椭圆和一双曲线 Ｂ．两抛物线 Ｃ．一椭圆和一抛物线Ｄ．两椭圆2.已知双曲线的渐近线为34y x =±，求双曲线的离心率． 3.设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 A ．)2,2( B. )5,2( C. )5,2( D. )5,2( 二、方程法寻求关于a ，c 的齐次关系式，化归为关于e 的方程，再通过解方程求出离心率e ．例2 过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左焦点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______．三、几何法求与焦点三角形有关的离心率，可根据三角形的特征设定一条边，再想办法求出22a c ，，从而可得离心率．1. 以椭圆的右焦点2F 为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为左焦点）是圆2F 的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是（ ） A31- B ．23-C ．22D ．322.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A ）22 （B ）212- （C ）22- D ，21- 3.已知F 1、F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．423+B ．31-C ．312+ D ，31+ 4已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点1F 和2F ，椭圆上有一点P使012.120F PF ∠= 求离心率的范围？四、数形结合法与渐近线及其夹角有关的问题，抓住双曲线中矩形的边角关系来处理问题就简单易求．例４ 若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两条渐近线的夹角为θ，则离心率为（ ） A ．sec 2θB ．csc2θC ．sec θD sec2θ或csc2θ1.已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点。
离心率秒杀36个公式
离心率秒杀36个公式常见的离心率公式：一、经典离心率公式：1. 离心率公式一：Vr=n*r*h2. 离心率公式二：R=n*h*ρ3. 离心率公式三：ω2=n2*g*ρ4. 离心率公式四：ω2=g*ρ二、球形离心率公式：1. 球形离心率公式一：ω2=4π2*R3*ρ2. 球形离心率公式二：ω2=4π2*n2*h3*ρ3. 球形离心率公式三：mω2=G(M+m)r4. 球形离心率公式四：vR=nR*ha三、重力离心率公式：1. 重力离心率公式一：Vr=Gmh2. 重力离心率公式二：Vr=Gmh/a3. 重力离心率公式三：Vr=mgsinθ4. 重力离心率公式四：Vr=φmv2/R四、其他离心率公式：1. 其他离心率公式一：r=∛M/ρ2. 其他离心率公式二：mω2=mgl3. 其他离心率公式三：v2=2gh4. 其他离心率公式四：vR=gRm/h离心率是极重要的物理参数，作为物理运动活动的基础，它影响着物体运动的速度和轨迹的形状。
这意味着，通过熟练掌握离心率的相关公式，我们就能解答许多有关物理运动问题的疑惑。
常见的离心率公式总结如上所示，分别是：经典离心率公式、球形离心率公式、重力离心率公式和其他离心率公式，每种分类共包括四个公式。
首先，经典离心率公式中，公式一Vr=n*r*h 是计算实验室中半径为r、角速度为n（弧度/秒）、水深为h的叶片转速下离心率的公式；公式二R=n*h*ρ 是计算圆柱体半径为R、角速度为n（弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率的公式；公式三ω2=n2*g*ρ 以及公式四ω2=g*ρ 都是计算圆柱容器半径为R、角速度为n （弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率时采用的公式，其中g是由重力提供的加速度。
其次，球形离心率公式中，公式一ω2=4π2*R3*ρ用于计算球形滞流转速ω、球形容器半径R以及滞流的平均密度ρ时的离心率；公式二ω2=4π2*n2*h3*ρ是计算球形滞流的角速度n、球形容器的半径R以及滞流的平均密度ρ的离心率的公式；公式三 mω2=G(M+m)r 能够用来计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率；而公式四 vR=nR*ha 则是用于计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率的公式。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a==双曲线，)c e a==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23分析：本题已知b a =34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A D 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2 B ．3 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10B. 5C.310 D. 25分析：这里的21,1a cb ==+2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。
二、变用公式221)c b e a a ==+双曲线，221-()c b e a a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45D.23分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x=+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6 解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b，即224b a =221145b e a∴=+=+=2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r因此 ，即224b a =，221145b e a ∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．13【解析】因为2(,)b Pc a-±，再由1260F PF∠=o有232,b a a=即2223ba =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
求解离心率的四种方法技巧
离心率四种考法及其方法技巧1.方程思想：齐次方程、不等式（1）若给定椭圆（双曲线）的方程，则根据椭圆方程确定2a ，2b ，进而求出a ，c 的值，从而利用公式ce a =直接求解；（2）若椭圆（双曲线）方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式（或不等式），化为关于a ，c 的齐次方程（或不等式），进而化为关于离心率e 的方程（或不等式）进行求解.椭圆经典例题铺垫：（1）设椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 与C相交于P 、Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.则C 的离心率e =________.（2）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，直线2a x c =-与直线2a x c =和轴的交点分别为M ，，若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是__________.例1（1）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是_________．（2）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_________．几何条件 例2（1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________.（2）椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右顶点为A ，经过原点的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若PQ a =，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.（3）如图，12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，A 和B 是以O （O 为坐标原点）为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则椭圆的离心率为_________．双曲线经典例题 例1（1）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等比数列，则该椭圆的离心率是_________． （2）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是_________． 例2（1）设12,F F 分别是双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b ．若1230MF F ∠=︒，则双曲线的离心率为_________．（2）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且1223PF PF =，则双曲线的离心率为________．（3）（文讲义例8（3））已知点12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF △是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_________．方法2：焦点三角形中的角知识点1：椭圆()222210x y a b a b+=>>中，设12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上任一点.若1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则cossin 2;sin sin cos 2e αβθαβαβ+==-+双曲线中的结论为：sinsin 2=.sin sin sin 2e αβθαβαβ+=--经典例题 椭圆例题 例12013-2014学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科 椭圆()222210x y a b a b +=>>，左右焦点分别是焦距为2c，若直线)y x c +与椭圆交于M 点，满足12212MF F MF F ∠=∠，则离心率是( )A.211275F =︒,2115PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）例3（讲义例7（3）） ABC △中，1tan 3A =，π4B =，若椭圆E 以AB 为焦距，且过点C ，则椭圆E 的离心率是________．例4（讲义例9（2））已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若12060PF F ︒<∠<︒，则该椭圆的离心率的取值范围是________．练习双曲线例题 例5双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )例62016-2017学年湖北省襄阳市枣阳一中高三（上）开学数学试卷（理科） 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，M 为双曲线上的点，若1221,60,MF MF MF F ⊥∠=︒则双曲线的离心率为( )1 1例7设A 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是________．结论2：椭圆最大顶角与离心率 最大顶角 椭圆：sin2e θ≥，2cos 12e θ≥-例12016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是12,F F ，如果在椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_________．例2已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），1F ，2F 为两焦点，若椭圆上存在P ，使得110PF PF ⋅<．则椭圆离心率的取值范围是________．拓展 长轴三角形最大顶角设12A PA θ∠=，12,A A 为左右顶点e ≥设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右端点分别是,A B ，如果在椭圆上存在一点P ，使120APB ∠=︒则椭圆离心率的取值范围是_________．方法3：焦半径知识点1.焦半径公式与范围（1）椭圆公式：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-； 焦半径范围：[],a c a c -+；12PF PF 的范围：222,a c a ⎡⎤-⎣⎦12PF PF ⋅的范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦（2）双曲线：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-;范围：短焦半径[),a c -+∞，长焦半径[),a c ++∞，其中一个成立，另一个自然成立12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤+∞⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题：铺垫 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2F ，直线2a x c =与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围____________.重点题型1：12PF PF λ=例1 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF ePF =，求椭圆离心率e 的范围.例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围是___________.例3 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，若212PF PF 的最小值是8a ，则双曲线离心率的取值范围为____________；例4 设点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为____________.例5 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若双曲线上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.经典题型2：已知12PF PF ⋅的范围椭圆12PF PF ⋅范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题例6（讲义例9（3））已知()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是________．（强化班讲义例9（1））例7 设点()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，P 为双曲线上的一点，且21223c PF PF ⋅=-，则其离心率的取值范围是________．知识点2：设点F 是离心率为e ，焦点x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的线AB 与x 轴的夹角为α，F 分AB 所成的比为λ，则1cos 1e λαλ-=+ 若焦点在y 轴上，1sin 1e λαλ-=+ 重点题型3：()0AF FB λλ=>或1cos 1AF BF e λλαλ-=⇒=+经典例题例1 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线和椭圆相交于A ，B两点，若112AF BF =，求椭圆的离心率．例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B C D例3 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为多少？例4已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>,）的右焦点为F ，过F 直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 （ ） A ．65B ．75C ．85D ．95例5 （2008全国卷）过抛物线24y x =的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，设FA FB >，则FA FB的值为_________.1cos 31FAe FBλαλλ-===++方法4：以b a求离心率e主要包括：（1）椭圆垂径定理（由点差法推导），（2）第三定义（类比圆）； （3）渐近线与双曲线关系（1）点差法与中点弦（椭圆中的垂径定理）AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的任意一条弦，O 为椭圆的中心，M 为AB 的中点，则.222 1.AB OMb k k e a⋅=-=-.AB 是双曲线22221x y a b -=的任意一条弦，O 为双曲线的中心，M 为AB 的中点，则222 1.AB OMb k k e a⋅==-（2）第三定义AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上过原点的弦，P 是椭圆上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅=-=-AB 是双曲线22221x y a b -=上过原点的弦，P 是双曲线上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅==-（3）双曲渐进线经典例题椭圆垂径定理 例12016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷（1）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，直线:240l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点，且AB中点M 坐标为()2,1，则椭圆的离心率为___________.（2）过点()1,1作斜率为12-的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 中点，求椭圆离心率.第三定义 例2（1）2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一个动点，且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为( )C.12（2）已知12,A A 分别椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，点P 为椭圆C 上一点(点P 与12,A A 不重合)，点M 为P 点关于x 轴对称点，若直线1PA 与2MA 的斜率乘积是34，则椭圆的离心率为( )A.14D.12例32016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷已知椭圆的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为_________．例42015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知A B ，为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )B.2离心率与渐近线 铺垫：已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B C D例5（1）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为________. （2）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线的离心率为____________. 例6（1）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（2）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支交于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（3）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的取值范围是_________. 例7设双曲线C 的中心为点，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.⎤⎥⎝⎦B.⎫⎪⎪⎣⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭。
求离心率的八种方法
求离心率的八种方法求解离心率是天文学和航天学等领域中经常涉及到的问题。
离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是轨道长半径与短半径之差的一半与轨道长半径之和的比值。
在本文中，我们将介绍八种不同的方法来求解离心率。
方法一：利用轨道能量和角动量轨道能量和角动量是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e 等于角动量L和轨道能量E的平方差除以质量m和引力常数G的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道能量和角动量来计算离心率。
方法二：利用轨道速度和距离轨道速度和距离也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e 等于轨道速度v和距离r的平方差除以引力常数G乘以质量m。
因此，我们可以通过求解轨道速度和距离来计算离心率。
方法三：利用轨道周期和半长轴轨道周期和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以半长轴a的立方和2π的商减去1。
因此，我们可以通过求解轨道周期和半长轴来计算离心率。
方法四：利用轨道偏心率和半长轴轨道偏心率和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道偏心率ε除以半长轴a加上1的和。
因此，我们可以通过求解轨道偏心率和半长轴来计算离心率。
方法五：利用轨道倾角和升交点距角轨道倾角和升交点距角也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于1减去升交点距角ω的正弦值除以轨道倾角i的正弦值。
因此，我们可以通过求解轨道倾角和升交点距角来计算离心率。
方法六：利用轨道速度和半长轴轨道速度和半长轴也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道速度v的平方除以引力常数G乘以质量m乘以半长轴a 减去1的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道速度和半长轴来计算离心率。
方法七：利用轨道周期和轨道偏心率轨道周期和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。
根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以轨道偏心率ε乘以4π的平方根。
因此，我们可以通过求解轨道周期和轨道偏心率来计算离心率。
方法八：利用轨道速度和轨道偏心率轨道速度和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。
四法归一 数形结合——求离心率四招
评 注 这 类题 一 般都 能 够 根据 已知 条
（ １ ， １ ＋伺 ．
评 注 双 曲线 上 的点 到 同侧 焦 点 的距
☆ 二、 从圆锥曲线定义出发
例２ 已知 点 Ｐ是 双曲 线ｃ： 一 一 １
离 的最小 值是 在 顶 点 处 取 到 的 ， 这 个结 论 看
似 简单 ， 实则 非 常 重要 ， 建 立不 等 关 系 后 ， 用 到 了二次 不 等式 的知 识 ， 本 文 的第 四部 分 会 重 点介 绍建 立齐 次方 程求解 离 心率 的方 法．
日 。 一２ ， 进而 ｎ 一√ ， ｃ 一１ ， 所 以 一 ．
一 。
即 有 Ｌ ≥ ｃ 一口， ２ 口 ≥（ ｃ —ｎ ） ， 整 理 得
Ｃ “
ｃ 一２ ｎ ｃ 一口 。 ≤０ ， 两边 同除 以 口 得 ｅ 一２ 一１
≤０ ． 解得 １ －４ ｇ ￣ｅ ＜ ≤１ ＋√ ２ ． 联 系 双 曲线 的性 质 知 离 心 率 的 范 围 为
Ｆ 相 交 于 点 Ｔ， 线 段 ０Ｔ 与 椭 圆 的 交 这类 问题 要 画 出 图形 并 研 究 图形 的 几 直 线 Ｂ
何特 征． 要将 图形 的几 何 特 征 分 析 清 楚 以便 找出 ｎ ， ｂ ， ｃ的关 系． 如果 几何 特 征不 能 看 清 ，
点 Ｍ 恰 为 线 段 ０丁 的 中点 ， 则 该 椭 圆 的 离心
三角 形 ， 故
ｃ
一
１ ； 直线 Ｂ Ｆ 的方程 为 ： 三 ＋
＝ ＝ ＝ １ ．
，
解得 ｅ ＝口
ｃ
＿
￣
２ － ／
２
．
二 者 联 立 解 得 ： Ｔ （ ， ｂ （ ａ ｑ － ｃ ） ） ．
求离心率的9种方法【解析版】
求离心率的9种方法【解析版】专题：椭圆和双曲线的离心率第一节：常用求离心率的公式及推导过程汇总注：AFBFBF AF ==λλ或者而不是ABBFAB AF 或 ABBFAB AF 或 第二节：离心率求值一、椭圆离心率的求值1、定义法求离心率2、运用通径求离心率3、运用e=11k 12+-+λλ求离心率4、运用βαβαsin sin )sin(++==a c e 求离心率5、运用结论a k22b k AB OM-=•求离心率—— （A,B 为椭圆上的任意两点，M 为直线AB 的中点）6、运用正弦定理余弦定理求离心率7、运用相似比求离心率8、求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 9、运用几何关系求离心率1、定义法求离心率【2018•新课标Ⅰ文】已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A.31 B.21 C.22 D.322 【答案】C【解析】 14222=+y a x ，∵ ，则 。
【2016 新课标Ⅰ（文）5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】B【解析】由直角三角形的面积关系得bc=22124b b c ⨯+12c e a ==，故选B 【2010•广东7】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25D. 15【答案】B【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=35e e ⇒=或=-1（舍）. 【2012江西文理】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ． 【答案】55【解析】因为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，所以（a ﹣c ）（a+c ）=4c 2，即a 2=5c 2，所以e=55． 2、运用通径求离心率【2014•江西文】设椭圆C 2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】33【解析】解法一：不妨假设椭圆中的a=1，则F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），当x=c 时，由2222x y a b +=1得y=ab 2=b 2，即A （c ，b 2），B （c ，﹣b 2），设D （0，m ），∵F 1，D ，B 三点共线， ∴，解得m=﹣2b 2，即D （0，﹣2b 2），∴若AD ⊥F 1B ，在，即=﹣1，即3b 4=4c 2，则3b 2=2c=3（1﹣c 2）=2c ，即3c 2+2c ﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=a c =33，解法二：由题意得F 1（﹣c ，0），由通径长可得A （c,a 2b ）,B （c,-a 2b ），又因DO ∥BF 2，,O 为F 1F 2中点所以D 为F 1B 的中点，则D （0，a 2b 2），若AD ⊥F 1B ，则，即1-cc 0-b -0c 2b -b 222=+•-a a a ，解得e=a c =33。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ４ ） ｚ ∈Ｒ， ｚ∈Ｑ
７ ．“ ｚ ∈Ｒ， 有ｚ 。 一 一ｍ＜Ｏ ” 是假命 题 ， 则“ Ｖ ∈Ｒ， 有ｚ 一眦 一ｍ ≥Ｏ ” 是 真命题 ， 即 △一 ＋４ 优 ≤Ｏ ， 解得 ｍ 的范 围为 ［ 一４ ， Ｏ ］ ．
．
５ ．已知 Ｆ是椭 圆 Ｃ 的一个 焦 点 ， Ｂ 是 短 轴 的一 个 端 点 ， 线段 Ｂ Ｆ 的延 长 线 交 Ｃ 于 点
．
— —
一
２
． ２
６ ．在 平 面直 角坐标 系 ０ 中 ， 椭 圆 Ｃ 的标 准方 程 为 ＋ ＝ ＝ ： ｌ（ Ⅱ ＞０ ， ６ ＞ｏ ） ， 右 焦 点
， 则 一 一 （ 一 ）
一
＋（ 卜 ） ， 令 ｍ— ， ” 一１ 一 ， 则 一ｍ ＋ 综上 ： “ Ａ， Ｂ， Ｐ三点共线” 的充要 条件是“ ｍ＋ 一１ ” ．
， 且 ｍ＋ 一１ ．
专 项突破
２ ．存在 ａ ∈Ｒ， 使ｓ ｉ ｎ ｚ 口 ＋Ｃ Ｏ Ｓ 。 ａ ≠１ ． ３ ．对任 意的 四边形 ， 它们 的对角线不相等．
Ｂ， Ｃ三点共线 ； （ ２ ）当实数 ｚ， Ｙ ， ｚ中有两个 为 ０ ， 不妨设 — —Ｏ （ ≠Ｏ ） ， 则 ｚ Ｏ Ｃ＝￣ Ｏ 即为 Ｃ点 ， 满足；
反之也成立．
５ ．设集合 Ａ一｛ ｌ ｌ ｚ 一２ ｌ ＜ｍ｝ 一｛ ｌ ２ －ｍ＜ｘ ＜２ － ４ － ・ ， Ｂ一｛ ｚ ｌ ｌ 一４ ｌ ＜１ ） ＝｛ Ｌ ｚ ｌ 一√ ５ ＜ｚ ＜ 一√ ３ 或
８ ．（ １ ）由 ∈Ｒ， ， （ ） ＜ ６・ ｇ （ ｚ ） ， 得ｊ ｚ ∈Ｒ， ｚ 一 妇 ＋６ ＜Ｏ ， 所以Ｚ Ｘ ＝（ －ｂ ） 一４ ６ ＞Ｏ ， 解得 ｂ ＜ ０或
ｂ ＞４ ， 即实数 ｂ的取值 范围是（ 一。 。 ， Ｏ ） Ｕ（ ４ ， ＋。 。 ） ．
（ ２ ）由 Ｖ ∈Ｒ， ， （ ） ≥ ６・ ｇ （ ｚ ） ， 得Ｖ ∈Ｒ， ｚ 。 一如 ＋ ６ ≥Ｏ ， 所以 △ 一（ －ｂ ） 。 －４ ｂ ＜０ ￣ ， 解得 Ｏ ≤６ ≤４ ， 即
＜ ｚ＜＾ ｝ ．
由 Ｐ是 ｑ的必要不充分条件 ， 知 Ａ Ｂ ． 因为 ｍ＞０ ， 所以 ２ －ｍ＞ Ａ／ ５， ２ ＋仇≤ 且 等 号不 同时成
立， 解得实数 ｍ 的取值 范围为（ Ｏ ， √ ５ —２ ］ ．
６ ．证 明 ： （ 充 分性 ） 若 ｍ＋７ ２ —１ ， ￣ Ｕ ｏ Ｐ＝ ｍ ０ ． ４＋ ＯＢ—ｍ Ｏ Ａ＋ （ １ 一ｍ） Ｏ Ｂ＝ｍ（ Ｏ Ａ－ －Ｏ Ｂ） ＋Ｏ Ｂ， 即
实数 ｂ的取值 范围是［ Ｏ ， ４ ］ ．
专项 突破
理 解 定义
清 除 障碍
１ ． 以 Ａ ， Ｃ 为 焦 点 的 椭 圆 ． ２ ． 双 曲 线 的 一 支 ． ３ ． （ １ ， １ ） ．４ ． ５ ．
５ ． ＋ 一ｎ 。 （ 提示 ： ＱＦ ２ ＝Ｑ Ｆ， 由定义知 Ｆ Ｆ 一２ ａ ） ．
一
．
２
． ． ２
４ ． 若圆 ＋ ＝ ｒ ｅ 过双曲线 一 一ｌ 的右焦点Ｆ ， 且圆与双曲 线的渐近线在第一、 四
象 限的交点分别 为 Ａ， Ｂ， 当 四边形 Ｃ ＡＦ ｌ Ｂ 为菱形 时 ， 双 曲线 的离 心率为
Ｄ， 且Ｂ Ｆ一２ Ｆ Ｄ， 则椭 圆 Ｃ的离 心率 为
专项 突 破
做题前 ， 请参考本期文章 《 四 法归一 般彤 结合
— —
求离心车四招》
求 离 心 率 四 法
１ ．在给定椭圆中， 过焦点且垂直于长轴 的弦长为√ ２ ， 焦点到相应准线的距离为 １ ， 则该
椭 圆的离 心率 为 ．
２ ．已知 Ｆ ， Ｆ ２ 是椭圆的两个焦点 ， 过Ｆ 且与椭 圆长轴垂直 的直线交椭 圆于 Ａ， Ｂ两
点， 若△ＡＢＦ 。 是正 三角 形 ， 则椭 圆离 心率 为
２ ． ． ２
“ 【 ，
．
３ ．已知 双 曲线 ． ７ Ｃ一 一１的左 、 右焦 点 分别 为 Ｆ１ ， ， 以Ｆ ｌ Ｆ ２ 为直 径 的圆 与双 曲线 在 第 一象 限 的交点 为 Ｐ， 若 Ｐ Ｆ Ｆ ｚ 一３ ０ 。 ， 则该 双 曲线 的离 心率 为
Ｉ Ａ， Ｌ ，
为 Ｆ， 右准线为 ｚ ， 短轴 的一 个 端 点 为 Ｂ， 设 原 点 到 直线 Ｂ Ｆ 的 距离 为 ｄ ， Ｆ 到 ｚ的距 离 为 ｄ ， 若ｄ ＝， ／ － ｇ ｄ ， 则椭 圆 Ｃ的离 心率 为 ．
（ 命题 人 ： 李连 兴 ）
・
２ ２ ・
专 项突 破
圆锥 曲线 中的易错 点
１ ． （ 一 ３ ， － １ ） ｕ （ 一 １ ， ２ ） ．２ ． １ ６ ． ５ ．３ ． Ｅ ４ ， ５ ） ．４ ． ｙ ￣ ＝ １ ２ ｘ （ ｘ ＞ ０ ）ｙ ＝ ０ （ ｘ ＞ ０ 且 ≠ ３ ） ．
５ ． ２ ． ６ ． ３ ． ７ ． ＋ 等 ＝ １ （ 一 ２ ＜ ｚ ＜ 。 ） ． ８ ． （ 一 ， 一 ） ｕ （ ， ） ．
— —
＋
———
—— —’．
——＋
——＋
—— —
— —＋
——＋
Ｏ Ｐ－ －Ｏ Ｂ＝ｍ（ Ｏ Ａ—ＯＢ ） ＢＰ—ｍＢ Ａ， 所 以 向量Ｂ Ｐ， Ｂ Ａ共线 ， 又因 为有共 同端 点 Ｂ， 所 以 Ａ， Ｂ， Ｐ三点
共线． （ 必要性） 若 Ａ， Ｂ， Ｐ 三点 共 线 ， 则 存 在 实数 ， 使 得一 Ｂ Ｐ—Ａ
“ 不都 ” 与“ 都不 ”
１ ．存 在 ｍＥＲ， 使方 程 ｚ ＋ ＋ｍ＝０无实数根．
４ ．存 在这样的正方形 ， 它的对角线不互相垂直或不互相平 分． ５ ．存 在两个全等三角形 ， 它们的面积不相等．
６ ．（ １ ） Ｖｘ ＥＱ， ∈Ｑ； （ ２ ） Ｖｘ ＜０ ， ｌ ｚｉ ＞０ ；