Poisson过程的模拟和检验
泊松过程实验报告
泊松过程实验报告摘要本实验旨在通过模拟泊松过程的发生情况，研究和分析泊松过程的特征和性质。
首先，我们描述了泊松过程的定义和基本性质。
然后，我们对泊松过程进行了模拟实验，并通过数据分析和统计方法对实验结果进行了分析。
实验结果表明，泊松过程的到达时间间隔服从指数分布，到达数量在单位时间内服从泊松分布。
最后，我们对实验结果进行了讨论，并对泊松过程的应用领域进行了探讨。
引言泊松过程是一种重要的概率过程，广泛应用于计算机网络、通信系统、金融市场等领域。
泊松过程描述了一个连续时间下事件的随机发生过程。
它有两个重要的特征：到达间隔时间服从指数分布和到达数量服从泊松分布。
通过对泊松过程的研究，可以得到许多重要的结论和模型。
本实验通过模拟泊松过程的发生情况，验证了泊松过程的定义和性质。
我们使用了Python编程语言进行实验，并通过数据分析和统计方法对实验结果进行了分析。
实验方法我们首先确定了实验的时间区间，并选择了一个合适的时间间隔，用于模拟泊松过程的到达时间间隔。
我们使用了随机数生成函数，生成了服从指数分布的随机数序列作为到达时间间隔。
接下来，我们生成了到达数量序列。
根据泊松分布的特性，我们使用了泊松分布的随机数生成函数，生成了服从泊松分布的随机数序列作为到达数量。
最后，我们根据生成的到达时间间隔和到达数量序列，模拟了泊松过程的发生情况，并记录了实验结果。
实验结果与分析我们进行了多次实验，并记录了每次实验的到达时间间隔和到达数量序列。
通过对实验数据的分析，我们得到了以下结论：1. 到达时间间隔服从指数分布：通过对到达时间间隔进行统计分析，我们发现到达时间间隔的概率分布符合指数分布的特征。
这也验证了泊松过程的第一个基本性质。
2. 到达数量服从泊松分布：通过对到达数量进行统计分析，我们发现到达数量的概率分布符合泊松分布的特征。
这也验证了泊松过程的第二个基本性质。
实验结果的分析表明，我们成功地模拟了泊松过程的发生情况，并验证了泊松过程的定义和性质。
泊松回归的假设检验方法
泊松回归的假设检验方法
泊松回归（Poisson regression）通常用于建模计数数据的回归分析，其中因变量是计数型变量。
在泊松回归中，假设检验用于确定自变量对因变量的影响是否显著。
以下是常见的泊松回归中的假设检验方法：
假设检验类型：
1.回归系数的显著性检验：对每个自变量的回归系数进行检验，判断它们对因变量的影响是否显著。
通常使用t 检验或Wald 统计量来评估回归系数的显著性。
2.全局模型的拟合优度检验：评估整个模型的拟合情况和自变量的整体影响。
通常采用拟合优度检验，如对数似然比检验（Likelihood Ratio Test）或Wald 测试来比较拟合了自变量的模型和未拟合自变量的模型。
进行假设检验的步骤：
1.确定假设：在进行检验之前，首先明确要检验的假设。
典型情况下，假设为“自变量对因变量没有显著影响”。
2.计算相关统计量：对每个回归系数进行检验，计算相应的统计量，如t 值、Wald 统计量或对数似然比统计量。
3.设定显著性水平：确定显著性水平，通常为0.05 或0.01，用于判断检验结果是否显著。
4.假设检验：使用所选的统计量和显著性水平，进行假设检验。
如果计算得到的统计量的p 值小于显著性水平，就可以拒绝原假设，即认为自变量对因变量有显著影响。
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
泊松模式误码检测
泊松模式误码检测1.泊松模式误码检测原理泊松模式误码检测基于泊松分布（Poisson Distribution）的原理。
泊松分布是一种描述事物发生的随机性的概率分布，适用于稀有事件发生的情况。
在数据传输过程中，误码通常被认为是随机出现的稀有事件，因此可以使用泊松模式进行误码检测。
泊松模式的形式如下：P(x)=(e^-λ*λ^x)/x!其中，P(x)表示在单位时间内发生x个事件的概率，e为自然对数的底数，λ为平均每个时间单位发生事件的频率，x为具体发生的事件数。
利用泊松模式进行误码检测的思路是，假设数据传输过程中误码的发生符合泊松分布，然后通过统计实际的误码情况，计算误差率是否符合泊松分布的概率。
2.泊松模式误码检测应用2.1误码探测与诊断通过泊松模式误码检测，可以对数据传输过程中的误码情况进行探测和诊断。
通过分析误码发生的频率和情况，可以找出导致误码的具体原因，比如线路故障、设备损坏或者信号干扰等。
这对于网络管理和故障排除非常重要。
2.2误码率预测2.3误码对比分析3.泊松模式误码检测优缺点3.1优点-理论基础牢固：泊松模式误码检测的原理基于泊松分布，理论基础非常牢固，适用于真实世界中的稀有事件发生。
-适用范围广：泊松模式误码检测可以应用于不同的通信网络和数据传输方案中，涵盖了各种不同的误码情景。
-高效快速：泊松模式误码检测算法简单高效，可以快速计算误码率和概率。
3.2缺点-基于假设：泊松模式误码检测假设误码发生符合泊松分布，但实际情况可能会受到其他复杂因素的影响，例如信噪比、信道质量等。
-只适用于稀有事件：泊松模式误码检测只适用于误码是稀有事件的情况，对于误码频繁发生的情况，其有效性会受到影响。
-精确性有限：泊松模式误码检测基于统计概率，结果只能提供误码发生的概率，对于具体的误码情况和原因可能无法给出详细分析。
4.结论。
随机实验报告1Poisson过程模拟
数学与计算科学学院实验报告实验项目名称随机数及Poisson过程的模拟所属课程名称随机过程实验类型综合实验日期班级学号姓名成绩一、实验概述： 【实验目的】通过模拟产生随机数，进一步编程实现对possion 过程样本轨道的模拟。
掌握生成随机变量的方法，深入了解poisson 过程的性质。
【实验原理】1、随机变量的生成（逆函数法）：利用均匀分布并结合分布函数的逆变换，生成分布函数为F （x ）的变换：若U 是[0,1]区间上的均匀分布，F （x ）为任一给定的分布函数，定义1()inf{:()}F x t F t x -=>，则随机变量1()Y F U -=的分布函数为F （x ）;2、Poisson 过程的模拟：（1）利用事件发生的间隔时间是独立同分布的随机变量序列，（2）给定事件发生次数的条件下，事件发生的时刻与该区间上对应的均匀分布的顺序统计量相同【实验环境】 硬件环境Windows 7 Microsoft Corporation Inter(R)Core(TM) i5-3210 软件环境 Matlab 7.0 二、实验内容： 【实验方案】1、利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；2、（a ）利用独立同分布的指数分布序列模拟强度为1的Poisson 过程； （b ）利用均匀分布的顺序统计量模拟强度为1的Poisson 过程 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1.利用求逆函数的方法生成指数分布随机变量；步骤一：我们知道一个指数分布的概率密度函数是：其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter ）。
即每单位时间发生该事件的次数。
指数分布的区间是[0,∞)。
如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ Exponential （λ）。
累积分布函数:累积分布函数可以写成：所以在 0≥x 时该分布函数的逆变换为：步骤二：生成均匀分布在[0,1]上的随机数Matlab 里生成[0，1]上的均匀随机数的语句是：rand(1,1); rand(n,m)。
通过编程实现poisson过程的模拟
《应用随机过程》实验报告实验序号：1-4 日期：2013年5月30 日 姓名梁光佐 学号 201005050110 实验题目 应用随机过程综合实验实验所用软件及版本 MATLAB 20081、 实验目的（1）通过编程实现poisson 过程的模拟，运用matlab 画图这样更直观的了解poisson 过程，（2）运用计算机通过编程来辅助解题，这样解决了解题的繁琐， 使解题的效力提高了，也节约了时间。
2、实验内容实验一实验问题1.编制程序产生并输出100个二项分布的随机数，6.0,10==p n .2.进行三次Poisson 过程的模拟，3=λ,200,100,50===n n n 作图：(在同一直角坐标系下，作出‘)(,n n t N t ’的关系图实验二一、泊松过程的模拟1．基本原理根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t }是一个计数过程，{，n 是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。
2．具休实现过程实现步骤如下：(1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。
(2).根据服务系统模型，=+。
(3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到泊松过程的模拟。
3．过程模拟验证(1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。
(2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。
二、泊松过程的检验1．检验方法Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。
检验步骤及过程：(1)条件设定：H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。
H0:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。
(2)检验准备：对于H1，已经假定所产生模拟泊松过程数据()X n服从泊松分布，而强度λ未知，利用函数poissfit(x,alpha)估算出模拟泊松过程的强度λ，再利用函数poisscdf(x,lamda)得到泊松分布的累积分布函数P。
5.1.1Poisson过程,Weiner过程,正态过程模拟
end
4.模拟结果 [0,16]分钟到达顾客的两次模拟结果
二 Weiner过程的模拟
3.Matlab模拟程序sj2.m
%Weiner过程模拟 n=1000; x=zeros(1,n); %横坐标 w=zeros(1,n); %纵坐标 z=randn(1,n); %标准正态随机数 sig=1.5; %正态分布的标准差 dt=0.3; %时间间隔dt秒 for i=2:n-1
x(i+1)=i*dt; %横坐标表示时刻 w(i+1)=w(i)+z(i)*sig*sqrt(dt); %坐标表示当前时刻的位置。 end plot(x,w); %作图
4.模拟结果 [0,300]秒内Weiner过程的两次模拟结果
三、正态过程模拟
1.随机过程样本函数的模拟程序 %正态随机过程X(t)=A*cos(wt)+B*sin(w*t) t=0:0.05:3; %产生时间序列 sig=4; %标准差 w=2*pi*2; %角频率 A=sig*randn(1,1); %产生一个正态分布随机变量A B=sig*randn(1,1); %产生一个正态分布随机变量B x=A*cos(w*t)+B*sin(w*t); plot(t,x);
end nx=cumsum(x); %累加求和
plot(1:n,nx);
随机游动示例 (p=0.5,q=0.45,r=0.05) 的两个样本函数
谢 谢！
for i=2:n t(i)=t(i-1)+dt(i); %第i个顾客的到达时刻 num(i)=i-1; %存储人的序号(从0开始),每次增加一个顾客 end
xx=zeros(1,2); yy=zeros(1,2); hold on
Poisson过程的模拟和检验
Poisson过程的模拟和检验试验目的：理解驾驭Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术，学习并驾驭在实际中如何检验给定的随机过程是否为Poisson过程。
试验内容：利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson 过程等相关结论，模拟Poisson过程〔还可选：非齐次Poisson过程等〕；查找资料、学习关于Poisson过程假设检验的相关学问，检验上述模拟实现的到达过程是否满意Poisson过程的定义〔编程或利用统计软件，如SPSS、SAS等作为协助工具〕。
作业要求：提交试验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；提交程序源代码。
一、泊松过程的模拟1．根本原理依据效劳系统承受效劳顾客数听从泊松分布这一模型可知，{X(n),t≥0}是一个计数过程，{Tn，n≥1}是对应的时间间隔序列，假设Tn(n)〔n=1,2,...〕是独立同分布的均值为1λ⁄的指数分布，那么{X(n),t≥0}是具有参数为λ的泊松。
2．具休实现过程思路：本试验从用MATLAB编程软件，从构造听从指数分布的时间间隔Tn入手，计算每个事务的发生时刻nW，最终得到X(t)，也就模拟了泊松过程。
实现步骤如下：(1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造听从指数分布的Tn序列。
(2).依据效劳系统模型，Wn+1=Wn+Tn+1。
(3).对随意t∈〔Wn ，Wn+1〕，X(t)=n,由此得到泊松过程的模拟。
3．过程模拟验证(1)设定t=0时刻，计数为0，满意X(0)=0这一条件。
是由random(‘exponential’,lamda)(2) Tn间相互独立。
生成，Tn(3)由试验结果图可以很清晰地看出，在充分小的时间间隔内，最多有一个事情发生，而不行能有两个或两个以上事务同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件(2)可知，X(t)是独立平稳增量过程。
图1：模拟泊松过程图由此可知，依据效劳系统模型，由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程可行。
泊松过程资料
05
泊松过程的未来研究方向
泊松过程在新兴领域的应用前 景
• 新兴领域的泊松过程应用 • 如人工智能、大数据等领域，泊松过程可以用于分析和优化事 件驱动的随机过程 • 如物联网、车联网等领域，泊松过程可以用于分析和优化信息 传输和信号干扰等随机过程
泊松过程的理论研究进展
• 泊松过程的理论研究进展 • 如高维泊松过程、非齐次泊松过程等，拓展泊松过程的理论研 究范围 • 如泊松过程的极限理论、泊松过程的稳定性理论等，深入研究 泊松过程的性质和规律
泊松过程的性能评估
泊松过程的性能评估
• 对泊松过程的控制和优化效果进行评估，如服务效率、等待时间等 • 可以用来指导泊松过程的控制和优化，如改进控制策略、优化资源分配等
泊松过程性能评估的实例
• 服务效率评估：通过比较控制前后的服务效率，评估控制策略的效果 • 等待时间评估：通过比较控制前后的等待时间，评估控制策略的效果
泊松过程：概念与应用
DOCS SMART CREATE
CREATE TOGETHER
DOCS
01
泊松过程的定义
• 是一个随机过程，表示在固定时间间隔内发生随机事件的次数 • 事件是相互独立的，且在每个时间间隔内发生的概率相同
泊松过程的性质
• 事件发生的概率分布服从泊松分布 • 在小时间间隔内，事件发生的概率与时间间隔成正比 • 泊松过程的均值和方差与时间间隔的长度成正比
泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数
• 表示在固定时间间隔内发生k次事件的概率 • 形式为：P(X=k) = (e^(-λt) * λ^k) / k!，其中X表示事件发生的次数，λ表示事件 发生的平均速率，t表示时间间隔的长度
泊松分布的性质
关于Poisson分布的检验讲解
目录承诺保证书 (I)1 引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究方法及目的 (1)2 Poisson分布检验的步骤和基本理论 (2)2.1 检验步骤 (2)2.2 检验的基本原理 (3)3 关于Poisson分布检验的三个案例及实际研究 (7)3.1 案例分析 (7)3.2 对单位时间到来顾客数的实际研究 (13)参考文献 (18)英文摘要 (19)关于Poisson分布的检验肖秋光摘要：Poisson分布是概率论中的一种重要离散分布，在许多实际问题中都有着广泛应用.本文概括了检验样本数据是否服从泊松分布的一般方法，主要是对随机数据进行图像模拟估计和利用假设检验原理对给定的临界值进行估计.其中2χ检验是众所周知的拟合优度检验，它能适用于任意的备择假设.另外，通过三个例子进行说明，最后用该方法对实测数据进行了分析和检验，并得出了结论.χ统计量关键词：Poisson分布假设检验独立变量21 引言1.1 研究背景改革开放三十年来随着社会的发展、经济的增长，科学技术日新月异、人民拥有的物质日益丰富、感受到的文化也更加多元、社会的各种法规制度日臻成熟，无论是住房、保险、交通、旅游、高质量产品还是教育、饮食等.其结果是构成了大量的随机数据，而这些数据有没有什么规律可循呢？就需要我们对它进行研究.在现实生活中的许多数据经过人们大量的研究是服从泊松分布的.若通过观察记录得到了一组数据，它是否服从泊松分布，则需要我们对其进行检验.泊松分布是1837年由法国数学家泊松（Poisson S.D.1781--1840）首次提出的.它是概率论中的一种重要的离散型随机变量的概率分布，在理论上和实践中都有广泛的应用.如110报警台24小时接到的报警次数、一定时间内发生的意外事件次数或灾害次数、布匹上的疵点数目、放射性物质放射出的粒子数目等.1.2 研究方法及目的由于向110报警台的报警是一次次到来的；自然灾害是一次次发生的；放射性粒子是一个个射出的；进入商场的人是一个个到来的……它们都可以看成是一种于随机时刻到来的“质点流”.要对其进行研究，首先，必须收集到有效的数据.其次，由于得到的样本数据通常是实验或统计而来，因此它不能完全的反映事物的本质.我们主要对部分数据进行抽取分析，根据部分数据对全体数据做出推断及判断.因此，研究单位时间内产生的诸多随机变量有助于当事者们对各种新措施、新技术作出更为科学合理的决策.例如，商场每个时段到达的人数不一，通过调查可以确定哪个时段是人流的高峰期，可以在这个时段做一些宣传或促销产生的效益就会比其他时段高，并有效控制成本，使其用最小的投入换来最大的收益.2 Poisson 分布检验的步骤及基本理论 2.1 检验步骤 2.1.1 数据整理进行Poisson 分布的检验时，首先要对收集到的数据进行整理.假设收集到单位时间的量为n x x x x 321,,，然后把这些量按从小到大顺序排列起来，并查出其频数稍加整理制成表格如下： 表 1其中满足：i i n p x p p x x x ⨯++⨯+⨯=+++ 102110 2.1.2 用图像对样本数据进行模拟由于图形比较直观，而且样本数据在一定程度上能有效反映总体的分布规律，故可以用样本数据的图像模拟通过对比，对该分布进行初步判断.泊松分布的图形一般为左偏，但随λ数值的增大，图形趋于对称.图12.1.3 检验得出结论2.2检验的基本理论2.2.1 假设检验假设检验是对总体的分布函数形式或分布的某些参数作出某些可能的假设，然后根据所得的样本数据，对假设的正确性作出判断.假设检验的步骤：①根据问题建立原假设和备择假设原假设是设总体参数等于某一数值，而备则假设是根据研究的目的来确定：可采用双侧检验，也可采用单侧检验.确定单、双侧检验的同时，也就确定了接受域和拒绝域的位置.H为真时的抽样分布②选择适当的样本统计量，并确定以这一步是假设检验的关键，需要根据已知条件找到一个包含待检验总体参数和样本数据的已知分布，并计算出统计量的数值.③选定显著性水平α，确定临界值α应在抽样之前就确定下来，根据单、双侧检验的情况，将α放置一侧或双侧.然后根据第二步骤中所选择统计量服从的分布，查相应分布表，确定临界值.④进行判别，得出结论将第二步计算的数值与第三步得到的临界值进行比较，根据判别原则，作出结论.2.2.2最大似然估计及拟合优度2χ检验2.2.3 P 值检验所谓P 值，是指在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出拒绝原假设选择的最小显著性水平，如果p 值小于显著性水平α，则相应的检验统计量的值落入拒绝域中.其检验规则为：若p ≥α值，则拒绝原假设0H ;若p <α值，则接受原假设0H . 2.2.4 Poisson 分布检验设总体X 服从具有参数为0>λ的泊松分布，n X X X X ,,,,321 为其样本.考虑检验问题：0H λ:010:;λλλ≠=H ,现有∏∑∏∏∏==-=--==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑===ni in i i n ni ix n ni i x n i i x x ex eex x p ni ii11111)!(1ln )(ex p )!(1!);(1λλλλλλλ其中()λλln )(,,,,121==∑=b x x x x T ni i nλλn ni in e c x x x x h -===∏)(,)!(1),,,(121因此⎪⎩⎪⎨⎧<<==><=212121,02,1,,&,1),,,(cT c j c T b c c T x x x j i n ϕ则[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==),,,(),(),,,(21001211000n ni i n n i i x x x E M x x x x E X E ϕλαϕαλλλ 当0H 为真时，统计量∑==ni i X T 1服从参数为0λn 的泊松分布，0)(λn T E =，则02010201)(!)(!!)(!)(02201110100λλλλλλλλαn c n c n c j j n c j j e n c b e n c b e j n e j n ---∞+=--=+++=∑∑02010201)(!)(!!)(!)(02220111101000λλλλλλλλαλn c n c n c j j n c j j e n c cb e nc c b e j n j e j n j n ---∞+=--=+++=∑∑在一般情况下上述方程不易求解，但当0λ不接近于零而n 又不很小时，统计量1λλn n XU ni i∑=-=的渐进分布为正态分布)1,0(N ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-∑∑==n i i n i i u n X P u n X P 101000λλλλ 对一切实数u 都渐近地成立（这是因为正态分布具有对称性）.因此，2121,,,c c b b 由下式确定：02020101)(!)()(!!)(202210011100λλλλλλλλαn c n c j j n c n c j j e n c b e j n e n c b e j n --∞+=---=+=+=∑∑ 3关于Poisson 分布检验的三个案例及实际研究3.1 案例分析3.1.1 论反腐败与泊松分布腐败现象作为当今社会的一种非常态，它的发生、出现引起了广大群众的关注.调查显示最近几年科级腐败正在加剧，小官受贿成隐患.据悉，某检察院工作人员对某经济较落后省的320个底层官员在一年时间内的受贿金额调查纪录如下表所示.根据这些数据（金额0表示未受贿，金额1表示受贿金额大于0小于等于1，其余类同）检验受贿金额是否服从泊送分布.表 2 1年内320个官员受贿金额（万元）统计表来源于参考文献[6]用折线图像模拟数据如下：图2从图形走势看，为左偏凸值分布，与泊松分布较为相似，可初步判定为泊松分布.在理论上，这里我们需要检验的是在一年的时间段内受贿官员的受贿金额是否服从泊送分布，所以可以假设0H ：一年的时间内受贿官员的受贿金额服从泊送分布； 1H : 一年的时间内受贿官员的受贿金额不服从泊送分布； 我们知道泊送分布的概率密度函数为 !)(x e x X f x λλ-∙==，式中：λ是未知参数.如果假设为真时，可以根据本数据估计λ.由上表的数据可以的到在320个底层官员中，平均每一官员受贿的金额（万元），即0.33201019471150ˆ=⨯+⨯++⨯+⨯= λ因此，可以用λˆ作为λ的估计值，即得到为真时的概率密度函数 !3)(3x e x X f x -∙==根据该密度函数，就可以计算出在每一个官员的受贿金额为各个类别出现的概率，这些概率值可通过泊送分布表查得.例如，在一年内受贿金额为0万元的官员人数的概率是498.0)0(==X f ，受贿金额为1万元的概率是1494.0)1(==X f 等.然后用查出的概率分别乘以样本容量)320(=n n ，就可以得到各类别期望的频数.例如，在320个官员中受贿金额为0万元的期望频数是936.153200498.0=⨯.下表列出了2χ统计量的计算过程.表 3 2χ统计量的计算过程我们注意到表中，受贿金额为8，9和10万元次及以上金额的期望频数都小于5，所以将这三类归于受贿金额为7万元的合并为一类，所以合并之后的类别数8=k .这时2χ统计量为0068.5)(8122=-=∑=i ii i e e n χ需要注意的是：根据Pearson 定理，上式的2χ统计量服从自由度为1--r k 的2χ分布，其中k 时类别的个数，r 是估计的总体参数的个数.在这里1,8==r k （只估计了一个参数λ），所以自由度为61181=--=--r k .于是，当05.0=α时，查表可得592.12)6(205.0=χ.对于样本的2χ值，因为)6(205.02χχ<落在接受域中.所以接受0H ，拒绝1H ,即在一年的时间中该地区官员的受贿金额是服从泊松分布的.大家熟知当n 很大，p 很小时的二项分布趋于泊松分布.按照泊松分布的规律，一项非正常态现象的出现除了在总体中的概率很小外，其最明显的特征则是常常集中分布.通过上面检验和大量案例表明,腐败现象作为社会现象中的一种非正常态，其发生和发展呈泊松分布规律，特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”、“串案”、“窝案”等形式.因此治理腐败：一是要尽早发现，尽快惩前毖后；二是不能搞扩大化；三是要综合治理.其次表明，泊松分布密集出现的概率跟社会体制有关，尤其是在经济转型、社会发生变革的时期容易出现。
泊松过程详细分析与公式
泊松过程详细分析与公式泊松过程（Poisson process）是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它由法国数学家西蒙·邦努力·泊松（Siméon Denis Poisson）创立，被广泛应用于各个领域，例如物理学、生物学、通信工程、金融学等。
泊松过程的定义如下：在一个时间段内，事件以一定频率随机发生，且事件之间是独立的。
泊松过程具有以下几个特点：1.事件的发生次数是离散的，且在一个固定时间段内可以是0个、1个、2个......无限多个。
2.事件之间的时间间隔是随机的，并且满足指数分布。
3.事件的发生频率是恒定的。
在泊松过程中，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松分布的概率质量函数表示了事件在一个特定时间段内发生k次的概率，公式为：P(k)=(λ^k*e^(-λ))/k!其中，λ是事件的发生强度，也称为时间单位内事件发生的平均次数。
k是事件发生的次数。
泊松过程的强度参数λ可以理解为单位时间内事件发生的平均次数。
因此，单位时间内事件发生的概率为λ，单位时间内不发生事件的概率为1-λ。
泊松过程的平均时间间隔为1/λ，也即泊松过程中连续两次事件的时间间隔不超过1/λ的概率为1-e^(-λt)，其中t表示时间间隔。
根据泊松过程的定义，事件之间的时间间隔是独立的，因此事件的发生时间是随机的。
泊松过程在实际应用中具有很大的灵活性。
例如，在通信工程中，泊松过程可以用来模拟数据包到达路由器的时间间隔；在金融学中，泊松过程可以用来模拟股票价格的变动情况；在生物学中，泊松过程可以用来研究神经元放电的规律。
通过对泊松过程的建模分析，可以更好地了解事件的发生规律，从而做出相应的决策。
总结起来，泊松过程是一种描述时间间隔发生事件的随机过程。
它具有离散和独立的特点，事件之间的时间间隔满足指数分布，事件的发生次数服从泊松分布。
泊松过程广泛应用于各个领域，通过对泊松过程的建模和分析，可以更好地理解事件的发生规律并做出相应的决策。
关于Poisson分布的检验
目录承诺保证书 (I)1 引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究方法及目的 (1)2 Poisson分布检验的步骤和基本理论 (2)2.1 检验步骤 (2)2.2 检验的基本原理 (3)3 关于Poisson分布检验的三个案例及实际研究 (7)3.1 案例分析 (7)3.2 对单位时间到来顾客数的实际研究 (13)参考文献 (18)英文摘要 (19)关于Poisson分布的检验肖秋光摘要：Poisson分布是概率论中的一种重要离散分布，在许多实际问题中都有着广泛应用.本文概括了检验样本数据是否服从泊松分布的一般方法，主要是对随机数据进行图像模拟估计和利用假设检验原理对给定的临界值进行估计.其中2χ检验是众所周知的拟合优度检验，它能适用于任意的备择假设.另外，通过三个例子进行说明，最后用该方法对实测数据进行了分析和检验，并得出了结论.χ统计量关键词：Poisson分布假设检验独立变量21 引言1.1 研究背景改革开放三十年来随着社会的发展、经济的增长，科学技术日新月异、人民拥有的物质日益丰富、感受到的文化也更加多元、社会的各种法规制度日臻成熟，无论是住房、保险、交通、旅游、高质量产品还是教育、饮食等.其结果是构成了大量的随机数据，而这些数据有没有什么规律可循呢？就需要我们对它进行研究.在现实生活中的许多数据经过人们大量的研究是服从泊松分布的.若通过观察记录得到了一组数据，它是否服从泊松分布，则需要我们对其进行检验.泊松分布是1837年由法国数学家泊松（Poisson S.D.1781--1840）首次提出的.它是概率论中的一种重要的离散型随机变量的概率分布，在理论上和实践中都有广泛的应用.如110报警台24小时接到的报警次数、一定时间内发生的意外事件次数或灾害次数、布匹上的疵点数目、放射性物质放射出的粒子数目等.1.2 研究方法及目的由于向110报警台的报警是一次次到来的；自然灾害是一次次发生的；放射性粒子是一个个射出的；进入商场的人是一个个到来的……它们都可以看成是一种于随机时刻到来的“质点流”.要对其进行研究，首先，必须收集到有效的数据.其次，由于得到的样本数据通常是实验或统计而来，因此它不能完全的反映事物的本质.我们主要对部分数据进行抽取分析，根据部分数据对全体数据做出推断及判断.因此，研究单位时间内产生的诸多随机变量有助于当事者们对各种新措施、新技术作出更为科学合理的决策.例如，商场每个时段到达的人数不一，通过调查可以确定哪个时段是人流的高峰期，可以在这个时段做一些宣传或促销产生的效益就会比其他时段高，并有效控制成本，使其用最小的投入换来最大的收益.2 Poisson 分布检验的步骤及基本理论 2.1 检验步骤 2.1.1 数据整理进行Poisson 分布的检验时，首先要对收集到的数据进行整理.假设收集到单位时间的量为n x x x x 321,,，然后把这些量按从小到大顺序排列起来，并查出其频数稍加整理制成表格如下： 表 1其中满足：i i n p x p p x x x ⨯++⨯+⨯=+++ 102110 2.1.2 用图像对样本数据进行模拟由于图形比较直观，而且样本数据在一定程度上能有效反映总体的分布规律，故可以用样本数据的图像模拟通过对比，对该分布进行初步判断.泊松分布的图形一般为左偏，但随λ数值的增大，图形趋于对称.图12.1.3 检验得出结论2.2检验的基本理论2.2.1 假设检验假设检验是对总体的分布函数形式或分布的某些参数作出某些可能的假设，然后根据所得的样本数据，对假设的正确性作出判断.假设检验的步骤：①根据问题建立原假设和备择假设原假设是设总体参数等于某一数值，而备则假设是根据研究的目的来确定：可采用双侧检验，也可采用单侧检验.确定单、双侧检验的同时，也就确定了接受域和拒绝域的位置.H为真时的抽样分布②选择适当的样本统计量，并确定以这一步是假设检验的关键，需要根据已知条件找到一个包含待检验总体参数和样本数据的已知分布，并计算出统计量的数值.③选定显著性水平α，确定临界值α应在抽样之前就确定下来，根据单、双侧检验的情况，将α放置一侧或双侧.然后根据第二步骤中所选择统计量服从的分布，查相应分布表，确定临界值.④进行判别，得出结论将第二步计算的数值与第三步得到的临界值进行比较，根据判别原则，作出结论.2.2.2最大似然估计及拟合优度2χ检验最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立2.2.3 P 值检验所谓P 值，是指在一个假设检验问题中，利用观测值能够做出拒绝原假设选择的最小显著性水平，如果p 值小于显著性水平α，则相应的检验统计量的值落入拒绝域中.其检验规则为：若p ≥α值，则拒绝原假设0H ;若p <α值，则接受原假设0H . 2.2.4 Poisson 分布检验设总体X 服从具有参数为0>λ的泊松分布，n X X X X ,,,,321 为其样本.考虑检验问题：0H λ:010:;λλλ≠=H ,现有∏∑∏∏∏==-=--==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑===ni in i i n ni ix n ni i x n i i x x ex eex x p ni ii11111)!(1ln )(ex p )!(1!);(1λλλλλλλ其中()λλln )(,,,,121==∑=b x x x x T ni i nλλn ni in e c x x x x h -===∏)(,)!(1),,,(121因此⎪⎩⎪⎨⎧<<==><=212121,02,1,,&,1),,,(cT c j c T b c c T x x x j i n ϕ则[]⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==),,,(),(),,,(21001211000n ni i n n i i x x x E M x x x x E X E ϕλαϕαλλλ 当0H 为真时，统计量∑==ni i X T 1服从参数为0λn 的泊松分布，0)(λn T E =，则02010201)(!)(!!)(!)(02201110100λλλλλλλλαn c n c n c j j n c j j e n c b e n c b e j n e j n ---∞+=--=+++=∑∑02010201)(!)(!!)(!)(02220111101000λλλλλλλλαλn c n c n c j j n c j j e n c cb e nc c b e j n j e j n j n ---∞+=--=+++=∑∑在一般情况下上述方程不易求解，但当0λ不接近于零而n 又不很小时，统计量1λλn n XU ni i∑=-=的渐进分布为正态分布)1,0(N ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-∑∑==n i i n i i u n X P u n X P 101000λλλλ 对一切实数u 都渐近地成立（这是因为正态分布具有对称性）.因此，2121,,,c c b b 由下式确定：02020101)(!)()(!!)(202210011100λλλλλλλλαn c n c j j n c n c j j e n c b e j n e n c b e j n --∞+=---=+=+=∑∑ 3关于Poisson 分布检验的三个案例及实际研究3.1 案例分析3.1.1 论反腐败与泊松分布腐败现象作为当今社会的一种非常态，它的发生、出现引起了广大群众的关注.调查显示最近几年科级腐败正在加剧，小官受贿成隐患.据悉，某检察院工作人员对某经济较落后省的320个底层官员在一年时间内的受贿金额调查纪录如下表所示.根据这些数据（金额0表示未受贿，金额1表示受贿金额大于0小于等于1，其余类同）检验受贿金额是否服从泊送分布.表 2 1年内320个官员受贿金额（万元）统计表来源于参考文献[6]用折线图像模拟数据如下：图2从图形走势看，为左偏凸值分布，与泊松分布较为相似，可初步判定为泊松分布.在理论上，这里我们需要检验的是在一年的时间段内受贿官员的受贿金额是否服从泊送分布，所以可以假设0H ：一年的时间内受贿官员的受贿金额服从泊送分布； 1H : 一年的时间内受贿官员的受贿金额不服从泊送分布； 我们知道泊送分布的概率密度函数为 !)(x e x X f x λλ-•==，式中：λ是未知参数.如果假设为真时，可以根据本数据估计λ.由上表的数据可以的到在320个底层官员中，平均每一官员受贿的金额（万元），即0.33201019471150ˆ=⨯+⨯++⨯+⨯= λ因此，可以用λˆ作为λ的估计值，即得到为真时的概率密度函数 !3)(3x e x X f x -•==根据该密度函数，就可以计算出在每一个官员的受贿金额为各个类别出现的概率，这些概率值可通过泊送分布表查得.例如，在一年内受贿金额为0万元的官员人数的概率是498.0)0(==X f ，受贿金额为1万元的概率是1494.0)1(==X f 等.然后用查出的概率分别乘以样本容量)320(=n n ，就可以得到各类别期望的频数.例如，在320个官员中受贿金额为0万元的期望频数是936.153200498.0=⨯.下表列出了2χ统计量的计算过程.表 3 2χ统计量的计算过程我们注意到表中，受贿金额为8，9和10万元次及以上金额的期望频数都小于5，所以将这三类归于受贿金额为7万元的合并为一类，所以合并之后的类别数8=k .这时2χ统计量为0068.5)(8122=-=∑=i ii i e e n χ需要注意的是：根据Pearson 定理，上式的2χ统计量服从自由度为1--r k 的2χ分布，其中k 时类别的个数，r 是估计的总体参数的个数.在这里1,8==r k （只估计了一个参数λ），所以自由度为61181=--=--r k .于是，当05.0=α时，查表可得592.12)6(205.0=χ.对于样本的2χ值，因为)6(205.02χχ<落在接受域中.所以接受0H ，拒绝1H ,即在一年的时间中该地区官员的受贿金额是服从泊松分布的.大家熟知当n 很大，p 很小时的二项分布趋于泊松分布.按照泊松分布的规律，一项非正常态现象的出现除了在总体中的概率很小外，其最明显的特征则是常常集中分布.通过上面检验和大量案例表明,腐败现象作为社会现象中的一种非正常态，其发生和发展呈泊松分布规律，特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”、“串案”、“窝案”等形式.因此治理腐败：一是要尽早发现，尽快惩前毖后；二是不能搞扩大化；三是要综合治理.其次表明，泊松分布密集出现的概率跟社会体制有关，尤其是在经济转型、社会发生变革的时期容易出现。
第4章Poisson过程
第4章Poisson过程Poisson过程是一种常见的随机过程，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。
本章将介绍Poisson过程的定义、特性和应用，并详细解释其背后的数学原理。
1. Poisson过程的定义与特性Poisson过程是一个连续时间随机过程，其特点是在一定时间内事件发生的数量满足泊松分布。
具体来说，Poisson过程满足以下几个条件：1)事件发生的间隔是独立的，即事件之间的时间间隔是随机的且相互独立。
2)事件发生的概率是相等的，即在单位时间内事件发生的概率是恒定的。
3)事件发生的次数满足泊松分布，即在给定时间内事件发生的次数服从参数为λ的泊松分布，其中λ是单位时间内事件发生的平均次数。
Poisson过程的重要特性包括：1)非负增量性质：即在给定时间内，事件发生的次数是非负的。
2)无记忆性质：即给定过去的事件信息，事件发生的概率与未来的事件无关。
3)稀疏性质：即在大部分时间段内，事件都不会发生。
2. Poisson过程的应用Poisson过程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用例子：2) 网络流量建模：在网络流量分析中，可以使用Poisson过程来描述网络中的数据包到达情况，进而进行网络拥塞控制和负载均衡。
3) 突发事件模拟：在灾难响应和紧急情况下的资源调度中，可以使用Poisson过程来模拟事件的发生情况，进而进行调度和分配。
4) 电子设备故障：在电子设备可靠性分析中，可以使用Poisson过程来建模设备故障的发生情况，进而进行设备寿命评估和维修策略制定。
3. Poisson过程的数学原理Poisson过程的数学原理基于泊松分布和指数分布的性质。
泊松过程的定义要求事件发生的间隔是独立的，而指数分布的性质恰好满足了这一要求。
具体来说，如果事件之间的时间间隔满足参数为λ的指数分布，那么事件发生的次数就会满足参数为λ的泊松分布。
Poisson过程的数学表示可以使用随机变量N(t)来表示在时间段[0,t]内事件发生的次数。
R语言泊松过程的模拟和检验
R语言泊松过程的模拟和检验泊松过程的模拟和检验对于保险公司而言，资产和负债是影响保险公司稳定运营的最重要因素。
资产和负债之间的差额称为盈余，简称：其中a(t)a(t)表示时刻tt的资产，l(t)l(t)表示时刻tt的负债，t=0t=0时刻的盈余被称为初始盈余，简记为uu，即u(0)=uu(0)=u。
对这个初步的理论模型进行简化并根据实际情况设置一些假定情况，会得出很多不同的盈余过程模型，最经典的有sparreandersen的古典盈余过程模型：这是一个以UU为初值，时间TT为指标集的随机过程。
在…之间称为总理赔过程，满足：N（T）N（T）表示[0，T][0，T]中的权利要求数量，Xixi表示[0，T][0，T]中第二项权利要求的金额。
根据这个古典盈余过程模型可以引出破产模型，在这个盈余过程模型中，一方面有连续不断的保费收入并以速度c进行积累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，因此这是一个不断跳跃变化的过程。
从保险人的角度来看，当然希望ct?s(t)ct?s(t)恒大于0，否则就有可能出现u(t)<0u(t)<0的情况，这种情况可以定义为理论意义上的破产，以示与实际中的破产相区分，本文中后面出现的“破产”在没有特殊说明的情况下都是指这种理论情况。
从研究保险人破产角度出发，可以把这个盈余过程模型看做是一个特殊的破产模型。
一、泊松过程的模拟理论基础：泊松过程构造定理具体步骤：1、2、3、4、满足泊松过程生成一定数量的满足指数分布的随机数，用()表示()表示第n次事件到达的时间，表示在时间t内发生的事件次数，本文用R语言实现了仿真。
设置指数分布的参数=2（用R语言用rate表示），生成的服从指数分布的随机序列如下图所示：然后再计算()，结果如下图所示：最后，实验结果如下图所示：最后将结果进行可视化处理，可以直观的看到是一个平稳的增量过程，如下图所示：。
泊松分布检验
泊松分布检验
泊松分布检验是一种统计方法，用于分析具有固定平均数的成功次数（即成功次数/试验次数）。
该方法主要用于判断在给定时间间隔内，一个事件发生的次数是否符合泊松分布。
泊松分布检验的步骤如下：
1.收集数据：收集在特定时间间隔内发生的事件数据，包括每个事件发生的时间和事件类型。
2.确定时间间隔：根据研究目标，确定要分析的时间间隔。
例如，可以分析每分钟、每天或每周发生的事件数。
3.计算平均数：计算在选定时间间隔内每个时间单位内预期的成功次数（即平均成功次数）。
这可以通过将总时间间隔内的所有成功次数相加，然后除以时间间隔数得出。
4.计算泊松分布的概率：使用泊松分布的概率公式，将平均成功次数作为参数进行计算。
这将给出在给定时间间隔内预期的泊松分布概率。
5.进行假设检验：根据泊松分布的概率值，确定是否拒绝原假设。
如果泊松分布的概率值大于显著性水平（例如0.05），则不能拒绝原假设，这意味着事件的发生次数符合泊松分布。
否则，如果泊松分布的概率值小于显著性水平，则拒绝原假设，这意味着事件的发生次数不符合泊松分布。
需要注意的是，泊松分布检验的前提假设是每个时间单位内的成功次数是独立的且具有相同的概率。
如果这些假设不成立，可能需要
使用其他统计方法进行分析。
关于Poisson分布的检验
目录承诺保证书 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,I 1引言 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11.1研究背景,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11.2研究方法及目的,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12 Poisson分布检验的步骤和基本理论,,,,,,,,,,,,22.1检验步骤,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22.2检验的基本原理,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3 3关于Poisson分布检验的三个案例及实际研究,,,,,,,,73.1案例分析,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,73.2对单位时间到来顾客数的实际研究,,,,,,,,,,,,,,,13参考文献 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,18英文摘要 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19关于 Poisson 分布的检验肖秋光摘要： Poisson 分布是概率论中的一种重要离散分布，在许多实际问题中都有着广泛应用.本文概括了检验样本数据是否服从泊松分布的一般方法，主要是对随机数据进行图像模拟估计和利用假设检验原理对给定的临界值进行估计. 其中2检验是众所周知的拟合优度检验，它能适用于任意的备择假设. 另外，通过三个例子进行说明，最后用该方法对实测数据进行了分析和检验，并得出了结论 .关键词： Poisson 分布假设检验独立变量 2 统计量1引言1.1研究背景改革开放三十年来随着社会的发展、经济的增长，科学技术日新月异、人民拥有的物质日益丰富、感受到的文化也更加多元、社会的各种法规制度日臻成熟，无论是住房、保险、交通、旅游、高质量产品还是教育、饮食等 . 其结果是构成了大量的随机数据，而这些数据有没有什么规律可循呢？就需要我们对它进行研究 . 在现实生活中的许多数据经过人们大量的研究是服从泊松分布的. 若通过观察记录得到了一组数据，它是否服从泊松分布，则需要我们对其进行检验.泊松分布是 1837 年由法国数学家泊松（ Poisson S.D.1781--1840 ）首次提出的 . 它是概率论中的一种重要的离散型随机变量的概率分布，在理论上和实践中都有广泛的应用 . 如 110 报警台 24 小时接到的报警次数、一定时间内发生的意外事件次数或灾害次数、布匹上的疵点数目、放射性物质放射出的粒子数目等.1.2研究方法及目的由于向 110 报警台的报警是一次次到来的；自然灾害是一次次发生的；放射性粒子是一个个射出的；进入商场的人是一个个到来的,,它们都可以看成是一种于随机时刻到来的“质点流”. 要对其进行研究，首先，必须收集到有效的数据 . 其次，由于得到的样本数据通常是实验或统计而来，因此它不能完全的反映事物的本质 . 我们主要对部分数据进行抽取分析，根据部分数据对全体数据做出推断及判断 .因此，研究单位时间内产生的诸多随机变量有助于当事者们对各种新措施、新技术作出更为科学合理的决策 . 例如，商场每个时段到达的人数不一，通过调查可以确定哪个时段是人流的高峰期，可以在这个时段做一些宣传或促销产生的效益就会比其他时段高，并有效控制成本，使其用最小的投入换来最大的收益.2Poisson 分布检验的步骤及基本理论2.1检验步骤2.1.1数据整理进行 Poisson 分布的检验时，首先要对收集到的数据进行整理. 假设收集到单位时间的量为x1 , x2 , x3x n，然后把这些量按从小到大顺序排列起来，并查出其频数稍加整理制成表格如下：表 1单位时间的量x i012,,x i频数 p i p0p1p2,,p i其中满足： x1x2x n0 p0 1 p1x i p i2.1.2用图像对样本数据进行模拟由于图形比较直观，而且样本数据在一定程度上能有效反映总体的分布规律，故可以用样本数据的图像模拟通过对比，对该分布进行初步判断.泊松分布的图形一般为左偏，但随数值的增大，图形趋于对称.图 12.1.3检验得出结论2.2检验的基本理论2.2.1假设检验假设检验是对总体的分布函数形式或分布的某些参数作出某些可能的假设，然后根据所得的样本数据，对假设的正确性作出判断 .假设检验的步骤：①根据问题建立原假设和备择假设原假设是设总体参数等于某一数值，而备则假设是根据研究的目的来确定：可采用双侧检验，也可采用单侧检验 . 确定单、双侧检验的同时，也就确定了接受域和拒绝域的位置 .②选择适当的样本统计量，并确定以H 0为真时的抽样分布这一步是假设检验的关键，需要根据已知条件找到一个包含待检验总体参数和样本数据的已知分布，并计算出统计量的数值 .③选定显著性水平，确定临界值应在抽样之前就确定下来，根据单、双侧检验的情况，将放置一侧或双侧 . 然后根据第二步骤中所选择统计量服从的分布，查相应分布表，确定临界值.④进行判别，得出结论将第二步计算的数值与第三步得到的临界值进行比较，根据判别原则，作出结论 .2.2.2最大似然估计及拟合优度 2 检验最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的 . 下面我们具体描述一下最大似然估计：首先，假设 x 1, x 2 , , x n 为独立同分布的样本， θ 为模型参数 ,f 为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设 . 参数为 θ 的模型 f 产生上述样本可表示为f (x 1, x 2 , , x n | ) f ( x 1 | ) f (x 2 | ) f (x n | )在上面的假定模型且参数是未知的基础上，这时，我们已知的有x 1 , x 2 , , x n ，未知的有 θ，所以似然函数定义为 :nL ( ) f ( x 1, x 2 , , x n | )f ( x i | )，i1L ( ) 称为样本的似然函数 . 倘若存在一个值 ?，使得在?时有L ( x 1 , x 2 , , x n | ?) max L( x 1 , x 2 , , x n |)则称 ?是 的一个极大似然估计值，简记为 MLE.在实际应用中通常采用的是两边取对数，得到公式如下：nln L ( )ln f (x i | ) ，i 1由于 ln( x) 是 x 的单调增函数，因此，使对数似然函数 ln L( ) 达到最大与 L( )达到最大是等价的 .令 dln L() 0 ，即可解出 的极大似然估计值?.d若总体 X 是具有参数0 的泊松分布， X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的一个样本，则似然函数为：x innn1 x iL( )x i ! e () i 1 eni 1i 1x i !nnnx iln L ( )ln x i ! n(x i ) ln ，d ln L( )ni 1i 1i 1dn令 d ln L ( )x i1 n0 ，得如下方程：ni 10 ，从中解得：?x i ， dn i 1又 d 2ln L( ) |?n20 ，于是参数的最大似然估计为： ? x .d 2nx ii 12拟合优度的检验，是通过 2统计量来检验变量的实际分布是否与理论分布相同 . 所谓拟合优度，是指实际观察的频数与期望（理论）频数相似的程度 . 2检验可以对各种假设的分布进行检验 . 在对各种分布进行检验时，应将各变量值做适当分类，使每一类别的期望频数大于等于 5. 在选定类别时，如果变量值是有限个，则可以将其每一个取值作为一个类别； 如果变量值可以取无限个，则通过适当合并，将其变为有限个区间，把每一个区间视为一类.2.2.3 P 值检验所谓 P 值，是指在一个假设检验问题中， 利用观测值能够做出拒绝原假设选择的最小显著性水平， 如果 p 值小于显著性水平 ，则相应的检验统计量的值落入拒绝域中 . 其检验规则为：若p 值，则拒绝原假设 H 0 ;若p 值，则接受原假设 H 0 .2.2.4 Poisson 分布检验设总体 X 服从具有参数为0 的泊松分布， X 1,X 2,X 3, , X n 为其样本 .考虑检验问题： H 0:0;H 1:0,现有nnx inx i1 n1 p( x i ; )ee ni 1ne nexp ( x i ) lnni 1i 1x i !( x i !)i 1( x i !)i 1i 1n其中 T x 1 , x 2 , , x nx i ,b( ) lni 11nh(x1 , x2 , , x n )n,c( )ei 11,T c1 & c2因此 ( x1 , x2 ,, x n )b i ,T c j , j 1,20,c1 T c2n n则E 0X i E 0(x1, x2 , , x n )x ii 1i1M( 0, 0) E0( x1, x2 , , x n )n当 H 0为真时，统计量 T X i服从参数为 n 0的泊松分布， E (T )n 0，则i 1c11 (n0 ) j e n(n 0 ) j e n0b1 (n0)c1enb2 (n0)c2enj 0j!j c2 1j!c1!c2!n 0c11 j (n 0 ) j e n0j ( n 0 ) j e n0b1c1(n0)c1e n0b2c2( n0)c2e n0j 0j!j c2 1j !c1 !c2 !在一般情况下上述方程不易求解，但当0不接近于零而 n 又不很小时，统计量nX i n0U i 1的渐进分布为正态分布N (0,1) ，则n 0n nP 0X i n 0u P 0X i n 0ui1i1对一切实数 u 都渐近地成立（这是因为正态分布具有对称性）. 因此，b1,b2,c1, c2由下式确定：2c11 ( n0 )j en0b1 (n0) c1e n 0(n 0 )j e n0b2 (n0) c2e n 0 j 0j!c1!j c2 1j!c23关于 Poisson 分布检验的三个案例及实际研究3.1案例分析3.1.1论反腐败与泊松分布腐败现象作为当今社会的一种非常态，它的发生、出现引起了广大群众的关注 . 调查显示最近几年科级腐败正在加剧，小官受贿成隐患 . 据悉，某检察院工作人员对某经济较落后省的 320 个底层官员在一年时间内的受贿金额调查纪录如下表所示 . 根据这些数据（金额 0 表示未受贿，金额 1 表示受贿金额大于 0 小于等于 1，其余类同）检验受贿金额是否服从泊送分布 .表 2 1年内320个官员受贿金额（万元）统计表金012345678910合额计人154770815225169410320数来源于参考文献 [6]用折线图像模拟数据如下：官员受贿频数图1008060人数系列 1 40201 2 3 4 5 6 7 8 9 1011受贿金额图2从图形走势看，为左偏凸值分布，与泊松分布较为相似，可初步判定为泊松分布 .在理论上，这里我们需要检验的是在一年的时间段内受贿官员的受贿金额是否服从泊送分布，所以可以假设H 0：一年的时间内受贿官员的受贿金额服从泊送分布；H 1:一年的时间内受贿官员的受贿金额不服从泊送分布；ex，式中：是未知参数 .我们知道泊送分布的概率密度函数为f ( X x)x!如果假设为真时，可以根据本数据估计. 由上表的数据可以的到在320 个底层官员中，平均每一官员受贿的金额（万元），即?01514791100320 3.0因此，可以用?作为的估计值，即得到为真时的概率密度函数3x e 3f ( X x)x!根据该密度函数，就可以计算出在每一个官员的受贿金额为各个类别出现的概率，这些概率值可通过泊送分布表查得. 例如，在一年内受贿金额为0 万元的官员人数的概率是 f ( X0)0.498 ，受贿金额为1万元的概率是 f ( X 1)0.1494等 . 然后用查出的概率分别乘以样本容量n(n320) ，就可以得到各类别期望的频数 . 例如，在 320 个官员中受贿金额为0 万元的期望频数是0.049832015.936 .下表列出了2统计量的计算过程 .表 3 2 统计量的计算过程受贿金额为真时的实际频数期望频数(n i e i )2 x i f ( X x i )n i e i n f ( X x i )e i00.04981515.9360.055010.14944747.8080.013720.22407071.680.039430.22408171.68 1.211840.16805253.760.057650.10082532.256 1.632260.05041616.128 1.015970.02169 6.91280.00814 2.5920.981290.002710.86410 万元以上0.001200.384合计 1.0000320320 5.0068我们注意到表中，受贿金额为 8，9 和 10 万元次及以上金额的期望频数都小于 5，所以将这三类归于受贿金额为7 万元的合并为一类，所以合并之后的类别数 k 8 .这时 2 统计量为28(n i e i ) 25.0068i1e i需要注意的是：根据 Pearson 定理，上式的2统计量服从自由度为 k r1的2分布，其中 k 时类别的个数， r 是估计的总体参数的个数 . 在这里k8, r 1 （只估计了一个参数），所以自由度为 k r 18 1 1 6.于是，当0.05时，查表可得2(6) 12.592 .对于样本的2值，因为220.050.05(6) 落在接受域中.所以接受 H 0，拒绝 H 1,即在一年的时间中该地区官员的受贿金额是服从泊松分布的.大家熟知当 n 很大， p 很小时的二项分布趋于泊松分布 . 按照泊松分布的规律，一项非正常态现象的出现除了在总体中的概率很小外，其最明显的特征则是常常集中分布 . 通过上面检验和大量案例表明 , 腐败现象作为社会现象中的一种非正常态，其发生和发展呈泊松分布规律，特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”、“串案”、“窝案”等形式 . 因此治理腐败：一是要尽早发现，尽快惩前毖后；二是不能搞扩大化；三是要综合治理 .其次表明，泊松分布密集出现的概率跟社会体制有关，尤其是在经济转型、社会发生变革的时期容易出现。
2019年数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)-精选文档
可以证明泊松过程的增量 2 , 0
由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布
是参数为 λ(t-t0) 的泊松分布,且只与时间t-t0有关,
所以强度为 λ 的泊松过程是一齐次的独立增量
过程.
泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数
对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下, 它的有限维分布函数可以由增量 X(t) – X(s) (0≤s<t) 的分布所确定.
特别,若对任意的实数h和0 ≤s+h<t+h,X(t+h) X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有
平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖 于时间差t-s(0≤s<t),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上, 令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立 增量过程是齐次的或时齐的. 在X(0)=0和方差函数VX(t)为已知的条件下, 独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为: (P341)
计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到 某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性 物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛 的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种
随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一 时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.
计数过程的一个典型的样本函数如图
2.泊松过程 : 计数过程{N(t) ,t≥0} 称为强度为 λ 的 泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2) N(0)=0; (3) 对于充分小的 t ,
P ( t , t t ) P { N ( t , t t ) 1 } t o ( t ) 1
数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)
模型改进
针对现有模型的不足之处，提出新的模型或假设，以更好地解释和预测实际数据。例如， 针对Poisson过程模型的局限性，提出更复杂的模型如广义Poisson过程等。
03
概括Poisson过程在现实世界中的实际应用案例。
培训目标
掌握Poisson过程的基本原理和数学表 达。
学习如何运用Poisson过程解决实际问题。
提高数学建模能力和解决复杂问题 的技巧。
02 Poisson过程基础
定义与性质
定义
Poisson过程是一种随机过程，其中事件在每个小的时间 间隔内以恒定的概率发生。
参数估计与模型验证
参数估计
根据实际数据和模型假设，估计模型中的未 知参数。例如，在Poisson过程中，可以通 过最大似然估计法或最小二乘法等统计方法 估计参数。
模型验证
通过比较实际数据和模型预测结果，评估模 型的拟合度和预测能力。常用的方法包括残
差分析、接受者操作特性曲线等。
模型优化与改进
模型优化
交通流量的预测
总结词
交通流量的预测是Poisson过程在交通运输领域的应 用，有助于优化交通管理和提高道路通行效率。
详细描述
交通流量的变化具有一定的随机性和规律性， Poisson过程能够描述这种特性。通过收集历史交通 数据并建立数学模型，可以预测未来的交通流量，从 而为交通规划和管理提供依据。这有助于减少交通拥 堵和提高道路网络的运行效率。
性质
独立性、稀有性、平稳性、普通性。
数学表达式
$P(N(t)=n)=frac{e^{-lambda t}(lambda t)^n}{n!}$， 其中$N(t)$表示在时间$t$内发生的事件数，$lambda$是 事件发生率。
泊松过程仿真
泊松过程仿真一、仿真内容及目的1.1 仿真内容首先查阅相关资料，学习如何在仿真环境下对随机过程进行仿真。
然后在C 语言、MATLAB 等环境下，结合泊松过程的相关理论知识，设计算法及程序对泊松过程进行仿真实验。
最后对得到的实验结果进行分析。
1.2 仿真目的利用仿真实验，将泊松过程这一抽象的概念图形化、数字化、具体化，生成样本进行描述分析。
加深对泊松过程这一抽象概念的认识和理解，其次掌握如何运用仿真工具对所学的理论知识进行仿真模拟，增强自己的动手能力和自学能力。
二、实验原理计数过程定义：设N(t)表示到时刻t 为止已发生的“事件A ”的总数，若N(t)满足下列条件：（1）N(t)≥0； （2）N(t)取正整数值； （3）若t <s ,则N(s)≤N(t)；（4）当t <s 时，N(s)-N(t)表示区间（s,t]中发生的“事件A ”的次数。
则称随机过程0}t {N(t),≥为计数过程。
泊松过程定义：一个计数过程0}{N(t),≥,具有参数0>λ，若它满足下列条件： （1）N(t)=0；（2）N(t)是独立增量过程；（3）在任一长度为t 的区间内，事件发生的次数服从参数0>λ的泊松分布，即对任意事件S ，0t ≥，有,....1,0,!)(en}N(s)-s)P{N(t t-===+n n t nλλ 则称0}t {N(t),≥为泊松过程。
根据以上定义，令随机变量)1(T n ≥n 表示从第（n -1）次事件发生到第n 次事件发生的时间间隔，则可以证明，n T 服从互相独立但参数为λ的相同指数分布。
因为只要按照参数λ产生指数分布的随机时间间隔序列，并计数系统随时间运行的过程中，按这个时间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统就对应了参数为λ的泊松过程。
三、仿真环境及算法3.1 仿真环境 C 语言、MATLAB 2.2仿真算法时间区间为[0,T]，泊松过程的速率为λ。
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Poisson过程的模拟和检验
实验目的：理解掌握Poisson过程的理论，了解随机过程的模拟实现技术，学习并掌握在
实际中如何检验给定的随机过程是否为
Poisson过程。
实验内容：利用C语言、MATLAB等工具，结合Poisson过程等相关结论，模拟Poisson
过程（还可选：非齐次Poisson过程等）；
查找资料、学习关于Poisson过程假设
检验的相关知识，检验上述模拟实现的
到达过程是否满足Poisson过程的定义
（编程或利用统计软件，如SPSS、SAS
等作为辅助工具）。
作业要求：提交实验报告电子版，说明模拟实现的过程，检验原理、步骤等以及实现过程；
提交程序源代码。
一、泊松过程的模拟
1．基本原理
根据服务系统接受服务顾客数服从泊松分布这一模型可知，{X(n),t}是一个计数过程，{，n是对应的时间间隔序列，若(n)（n=1,2,...）是独立同分布的均值为的指数分布，则{X(n),t}是具有参数为λ的泊松。
2．具休实现过程
思路：本实验从用MATLAB编程软件，从构造服从指数分布的时间间隔入手，计算每个事
件的发生时刻
W，最后得到X(t)，也就模拟了泊
n
松过程。
实现步骤如下：
(1).由函数random(‘exponential’,lamda)构造服从指数分布的序列。
(2).根据服务系统模型，=+。
(3).对任意t（，），X(t)=n,由此得到
泊松过程的模拟。
3．过程模拟验证
(1)设定t=0时刻，计数为0，满足X(0)=0这一条件。
(2) 是由random(‘exponential’,lamda)生成，间相互独立。
(3)由实验结果图可以很清楚地看出，在充分小的时间间隔内，最多有一个事情发生，而不可能有两个或两个以上事件同时发生，同时可以看出X(t)是一个平稳增量过程，结合条件(2)可知，X(t)是独立平稳增量过程。
图1：模拟泊松过程图
由此可知，根据服务系统模型，由具有指数分布的时间间隔序列模拟泊松过程可行。
二、泊松过程的检验
1．检验方法
Kolmogorov-Smirnov检验（柯尔莫哥洛夫-斯摩洛夫），亦称拟合优度检验法，用来检用来检验模拟所得的数据的分布是不是符合一个理论的已知分布。
检验步骤及过程：
(1)条件设定：
H1:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布服从泊松分布。
H0:实验产生模拟泊松分布数据的总体分布不服从泊松分布。
(2)检验准备：
对于H1，已经假定所产生模拟泊松过程数据X n服从泊松分布，而强度 未知，利用函数()
poissfit(x,alpha)估算出模拟泊松过程的强度λ，再利用函数poisscdf(x,lamda)得到泊松分布的累积分布函数P。
(3)Kolmogorov-Smirnov检验
直接调用Kolmogorov-Smirnov检验函数kstest(x,[x,p],alpha)，其中，x为输入模拟泊松序列，P为累积分布函数，1- alpha为置信区间，当结果11
H=时，则输入数据位泊松分布，否则，不是泊松分布。
三、程序代码
clear
lamda=2;Tmax=50;
delta_t=0.1;%时间精度
i=1;a=random('exponential',lamda);
T(1)=round(a*10)/10;
w(1)=T(1);%初始化%%%%%%%%%%%%%%泊松过程模拟%%%%%%%%%%%%%%%
while(w(i)<Tmax)
T(i)=random('exponential',lamda);%构造服从指数分布的时间间隔序列Tn
T(i)=round(T(i)*10)/10;
w(i+1)=w(i)+T(i);%计算等待时间
i=i+1;
end
w=w';
x=zeros(w(1)/delta_t,1);
for k=1:size(w,1)-1
length=w(k+1)/delta_t-w(k)/delta_t;
x=[x;ones(length,1)*k];%得到泊松分布X(t)序列
end
%%%%%%%%%%%泊松过程检验%%%%%%%%%%%%%%%%%
alpha=0.05;
lamda1=poissfit(x,alpha);%用MLE算法计算
出泊松分布的强度lamda，置信区间为1-lamda p=poisscdf(x,lamda1);%计算累计分布[H,s]=kstest(x,[x,p],alpha)%利用Kolmogorov-Smirnov检验，置信区间为1-lamda
if H==1;
disp('该数据源服从泊松分布。
')
else
disp('该数据源不服从泊松分布。
')
end。