北京市丰台区2016届高三下学期综合练习(一)数学(理)试卷

丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一） 2016.3高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B 等于（ ）（A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是（A ）||2x y = （B ）21y x =（C ）|lg |y x = （D ）cos y x = 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率 （A ） 75，0.25 （B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.35 4. 若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n+=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a +++ 等于 （A ）2n（B ）21n- （C ）12n - （D ）121n --5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ） 72 （B ）54 （C ） 48 （D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（A）,2,2 （B ）4,2,（C）,，2 （D）,2,8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P 1低于均衡价格P 0时，需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格P 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P 0.能正确表示上述供求关系的图形是（A ） （B ）（C ） （D ） 第二部分 （非选择题 共110分） 一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．俯视图侧视图主视图zyy xABPC9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，那么双曲线的离心率为_________.10. 如图，BC 为⊙O 的直径，且BC =6，延长CB 与⊙O 在点D 处的切线交于点A ，若AD =4，则AB =________.11. 在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos cos b A c A a C =+，则sin A =________．12. 在梯形ABCD 中，//AB CD ,2AB CD =，E 为BC 中点，若AE x AB y AD=+,则x +y =_______.13. 已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k =________.14.已知函数1(1),()1).x x f x x +≤⎧⎪=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.CB ADO16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.OCDABEF19.（本小题共14已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)n nn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n -=max{,}m n为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2 10. 2 11.12. 13. 14. (0,1] 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +1cos2(22xf x x ）++1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈,由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1()4P A =恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分 ②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=1234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------------11分(Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF 面BCEF EF = 所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD所以FO AO⊥，FO OB ⊥又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD . 又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(2B C D F E --向量1(2DE =，向量(1,0)BC =-，向量(0,BF =-设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z=000,0n BC n BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到00000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n=-设DF 与0n所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||n DE n DE⋅⋅直线EF 与平面BCEF分 18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k()ln 1f x x '=+ (1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------------4分 （Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增；当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.--------------------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax -++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意②当0a <时，令'()0h x =，则1x a =-或2x a=（舍）.所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a -上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a -+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++当1ln()30a-+≥时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分19. 解：1.所以2221,b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩分（Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B -所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =- 所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. --------------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=， 易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩ 因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)yx圆心距d ==000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x -?时，C 内切；当002x <?时，C 外切；存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =. (注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-----------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m += ①当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=③当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m+=，61k a += 由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >= ，因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠= （.①若212n n a a ->，则21n n b a -=. 因为212+12=n n n a a a -，所以212+1n n a a ->. 若21221n n a a ->，则212+22122n n n n a a a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>.②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+12-1=n n n a a a ，所以22+1n n a a >； 因为22+22+1=n n n a a a ，所以22+2n n a a >； 所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>.综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------------------------13分。