湖北省黄冈中学11-12学年高二上学期期中考试(数学理

湖北黄冈中学2011—2012学年度上学期期中考试高二理科数学试题（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1 下列叙述错误的是（ ） A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 [答案] D2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，则质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）A ．0.02B ．0.38C ．0.62D ．0.68 [答案] A3．从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( ) A ．10 B ．25 C ．20 D ．15[答案] B [解析] 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25(种)．4．四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相，要求两名老人必须站在一起，则不同的排列方法为( )种A ．2242A AB ．5252A A C ．55A D.6622A A[答案] B[解析]两位老人站在一起的方法有22A 种，将两位老人与其他四名志愿者排在一起共有55A 种方法，∴符合题意的排列方法有5252A A 种．5．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手 得分的平均数分别为a1，a2，则有( ) A ．a1>a2 B ．a2＝a1C ．a2> a1D ．a1、a2的大小不确定 [答案] C [解析] ∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，故只须看个位数的和，甲的个位数总和20，乙的个位数字和为25，∴a2>a1.6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为8，12，10，11，9．若这组数据的平均数为x ，方差为y ，则|x －y|的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．8 [答案] D [解析] x=10,y=2，∴|x －y|＝8.7．已知α，β，γ是不重合平面，a ，b 是不重合的直线，下列说法正确的是( ) A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件 B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a ∩b ＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D [解析] a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；a ∥b ，a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题． 8．如右图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13 [答案] D [解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0;n ＝1，12113S =⨯-111=-；n ＝2，12213S =⨯-19=-，… ∴111111111111011975335791113S =------++++++>， 此时输出n 的值13.9．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可 得这个几何体的体积是( )A ．313cmB ．323cmC ．343cmD ．383cm[答案] C10．已知正项等比数列{n a }满足：7652a a a ＝＋，若存在两项m a 、n a ，14a =，则14m n + 的最小值为( )A ．32 B ．53 C ．256 D ．不存在[答案] A [解析] ∵{an}为等比数列，an>0，a7＝a6＋2a5，∴a1q6＝a1q5＋2a1q4， ∴q2－q －2＝0，∴q ＝－1或2，∵an>0，∴q ＝214a =，∴a1qm-1·a1qn-1＝16a21，∴qm+n-2＝16，即2m+n-2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)14m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1645n m m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥32，等号在n m ＝4mn ，即m ＝2，n ＝4时成立.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．点P （2，－3，－5）关于y 轴对称的点的坐标为 . [答案]（－2，－3，5）12．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 .[答案]37 [解析]由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6 组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.13．若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 .n[答案] 57 [解析] 因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有35C 种，概率为：3537C C ＝27，所以，均不少于1名的概率为：1－27＝57.14．用秦九韶算法计算多项式f (x)＝8x4＋5x3＋3x2＋2x ＋1在x ＝2时的值时，v2＝ . [答案] 45 [解析] v0＝8；v1＝8×2＋5＝21；v2＝21×2＋3＝45.15．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，则不同的分配方案有 种.[答案]54 [解析] 依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有122342C C A ⋅⋅＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有1234C C ⋅＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种).三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如右图是某种算法的程序，回答下面的问题：（1）写出输出值y 关于输入值x 的函数关系式f (x)；（2）当输出的y 值小于23时，求输入的x 的取值范围．[解析]（1）由题知，13,0(),0xx f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩ （2）∵f(x)＞2，∴①当x≤0时，1－3x<23，即3x ＞13，∴x ＞－1，此时－1<x≤0，②当x ＞0时，<23，x<49，此时0<x<49，故x17．（本小题满分12分）某校高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________； (2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率． [解析] (1)依次填1，0.025，0.1，1； (2)频率分布直方图如图；(3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋ 120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.18．（本小题满分12分）已知f (x)＝(1＋x)m ＋(1＋2x)n(m ，n ∈N*)的展开式中x 的系数为11. (1)求x2的系数的最小值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f (x)展开式中x 的奇次幂项的系数之和． [解析] (1)由已知1C m＋21C n＝11，∴m ＋2n ＝11，x2的系数为2C m＋222C n ＝(1)2m m -＋2n(n －1)＝22m m-＋(11－m)(112m -－1)＝(m －214)2＋35116.∵m ∈N*，∴m ＝5时，x2的系数取最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f (x)的展开式为f (x)＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a5x5， 令x ＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33， 令x ＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 19．（本小题满分12分）已知1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，求： ⑴直线1AC 与平面11AA B B所成角的正切值；⑵二面角1B AC D--的大小；⑶求点A 到平面1BDC 的距离。

[解析] ⑴连结1AB ，∵1111ABCD A B C D -是正方体∴1111B C ABB A ⊥平面，1AB 是1AC 在平面11AA B B 上的射影 ∴11C AB ∠就是1AC 与平面11AA B B 所成的角在11C AB ∆中，11tan C AB ∠==∴直线1AC 与平面11AA B B所成的角的正切值为 ⑵过B 作1BE AC ⊥，垂足为E ，连结EDBA1D D1B 1C C1A BA1D D1C 1B C1A E∵11ABC ADC ∆≅∆， ∴11BAC DAC ∠=∠∵11,,AB AD BAC DAC AE AE =∠=∠=∴ABE ADE ∆≅∆， ∴2AEB AED π∠=∠=∴BED ∠是二面角1B AC D--的平面角在BED ∆中，BE ED ==，BD =，∴1cos 2BED ∠=-，即120BED ∠=∴二面角1B AC D --的大小为120⑶设点A 到平面1BDC 的距离为h∵11113ABDC C ABD ABD V V S CC -∆==⋅111(11)1326=⨯⨯⨯⨯=11113ABDC A C BD C BD V V S h -∆==⋅21]3h =⨯⨯=∴h =，即A 到平面1BDC的距离为20．（本小题满分13分）已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为，D 是AB 的中点．(1)求动点D 的轨迹C 的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ， ①当|PQ|＝3时，求直线l 的方程；②设点E(m,0)是x 轴上一点，求当PE ·QE恒为定值时E 点的坐标及定值．[解析] (1)设D(x ，y)，A(a ，a)，B(b ，－b),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2a b+，y ＝2a b -， ∵ |AB|＝，∴(a －b)2＋(a ＋b)2＝12，∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D 的轨迹C 的方程为x2＋y2＝3. (2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P(1，Q(1，BA1D D1C 1B C1A此时|PQ|＝当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，由于|PQ|＝3，所以圆心C 到直线l 的距离为，＝，解得k ＝.故直线l 的方程为y ＝(x －1).②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k(x －1)， 由消去y 得(k2＋1)x2－2k2x ＋k2－3＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝2221k k +，x1x2＝2231k k -+， 则PE＝(m －x1，－y1)，QE ＝(m －x2，－y2)，∴PE ·QE＝(m －x1)(m －x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2 ＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－2221mk k +＋2231k k -+＋k2 (2231k k -+－2221k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+ 要使上式为定值须22213m m m ---＝1，解得m ＝1， ∴PE ·QE 为定值－2，当直线l 的斜率不存在时P(1，Q(1，由E(1，0)可得PE＝(0，QE ＝(0，∴PE ·QE ＝－2， 综上所述当E(1，0)时，PE ·QE为定值－2.21．（本小题满分14分）已知f (x)＝mx(m 为常数，m>0且m≠1)．设f (a1)，f (a2)，…，f (an)，…(n ∈N)是首项为m2，公比为m 的等比数列． (1)求证：数列{an}是等差数列；(2)若bn ＝an f (an)，且数列{bn}的前n 项和为Sn ，当m ＝3时，求Sn ； (3)若cn ＝ f(an) lg f (an)，问是否存在m ，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [解析] (1)由题意f (an)＝m2·mn-1，即man ＝mn+1. ∴an ＝n ＋1，∴an ＋1－an ＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意bn＝an f (an)＝(n＋1)·mn+1，当m＝3时，bn＝(n＋1)·3n+1，∴Sn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋(n＋1)·3n+1①①式两端同乘以3得，3Sn＝2·33＋3·34＋4·35＋…＋n·3n+1＋(n＋1)·3n+2②②－①并整理得，2Sn＝－2·32－33－34－35－…－3n+1＋(n＋1)·3n+2＝－32－(32＋33＋34＋…＋3n+1)＋(n＋1)·3n+2＝－32－23(13)13n--＋(n＋1)·3n+2＝－9＋92(1－3n)＋(n＋1)·3n+2＝(n＋12)3n+2－92.∴Sn＝14(2n＋1)3n+2－94.(3)由题意cn＝f (an)·lg f (an)＝mn+1·lgmn+1＝(n＋1)·mn+1·lgm，要使cn≥cn＋1对一切n∈N*成立，即(n＋1)·mn+1·lgm≥(n＋2)·mn+2·lgm，对一切n∈N*成立，当m>1时，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤12nn++对一切n∈N*成立，因为12nn++＝1－12n+的最小值为23，所以m≤23，与m>1不符合，即此种情况不存在.②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥12nn++对一切n∈N*成立，所以23≤m<1.综上，当23≤m<1时，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项．。