第九周(贪心1)

• 2.最优子结构性质：算法中每一次都取得了最 优解(即局部最优解)，要保证最后的结果最优， 则必须满足全局最优解包含局部最优解。
• 并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪 心策略求解。因为贪心往往是盲目的，需要使 用更理性的方法——动态规划（例如“0-1背 包问题”与“部分背包问题”）
贪心法的特点
马和齐王最快的马比，输一场 • 5.当田忌最快的马和齐王最快的马相等时，拿最慢
的马来和齐王最快的马比
田忌赛马贪心的正确性证明
• 1.当田忌最慢的马比齐王最慢的马快，赢一场先。因为始终要 赢齐王最慢的马，不如用最没用的马来赢它。
• 2.当田忌最慢的马比齐王最慢的马慢，和齐王最快的马比，输 一场。因为田忌最慢的马始终要输的，不如用它来消耗齐王最 有用的马。
• 1.建立数学模型来描述问题。 • 2.把求解的问题分成若干个子问题。 • 3.对每个子问题求解，得到每个子问题的局
部最优解。 • 4.把每个子问题的局部最优解合成为原来问
题的一个解。
贪心算法伪代码
• Greedy(A,n) •{ • solution=[]; • for(i=1;i<n;i++){ • x=select(A);//根据目标函数选择一个当前最优解 • if(feasible(solution, x)) • solution=union(solution,x); •} • return solution; •}
Huffman编码
• 错误的变长码方案如下表。 • 问题在于，这样的码会有歧义。例如，收到001，
到底是aab还是cb还是ad？歧义产生的原因是其 中一个字符的编码是另一个码的前缀(prefix)。 • 满足任一个字母编码都不是另一个的前缀性质 的编码称为前缀码。
字符 a
b
c
d
e
F
频率 45 13 12 01 10 11
Huffman编码
• 前缀编码与二叉树
– 任何一个前缀编码都可以表示成所有非叶结点都恰好 有两个儿子的二叉树。每个非叶结点到左儿子的边上 写0，到右儿子的边上写1。每个叶子对应一个字符， 编码为从根到该叶子的路径上的01序列。
Huffman编码
• 最优编码问题
• 给出n个字符的频率ci，给每个字符赋予一个01 编码串，使得人一个字符的编码都不是另一个 字符编码的前缀，而且编码后的总长度（每个 字符的频率与编码长度乘积的总和）尽量小。
图论中的相关经典算法
• 求最小生成树Kruskal和Prim算法
田忌赛马
• 解题思路：算法可以用DP，或者给每匹马连线赋权 变为二分图最佳匹配，还有就是贪心了。
• 1.当田忌最慢的马比齐王最慢的马快，赢一场先 • 2.当田忌最慢的马比齐王最慢的马慢，和齐王最快
的马比，输一场 • 3.当田忌最快的马比齐王最快的马快时，赢一场先 • 4.当田忌最快的马比齐王最快的马慢时，拿最慢的
• 证明：假设深度最大的结点为a，则a一定有一 个兄弟b。不妨设f(x)<=f(y)，f(a)<=f(b)，则 f(x)<=f(a)，f(y)<=f(b)。如果x不是a，把x和a交换； 如果y不是b，把y和b交换。这样得到的新编码 树不会比原来的差。
Huffman编码
• 结论二 设T是加权字符集C的最优编码树，x和y 是树T中两个叶子且为兄弟，z是它们的父亲。 若把z看成具有频率f(z)=f(x)+f(y)的字符，则树 T’=T-{x,y}是字符集C’=C-{x,y}U{z}的一棵最优编码 树。换句话说：原问题的最优解包含子问题的 最优解。
– 情况二 排除情况一，一定有a1<=a2<=a3<=…。如果区 间2和区间1完全不相交，那么一定要选区间1；否则 区间1和区间2最多只能选一个，显然选区间1更合算， 因为区间2的终点大于区间1。依次类推，不能因为选 如何区间而放弃区间1，因此选区间1是明智的。
区间上的问题
• 【不相交区间的选择问题】分析
• 1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中 推进的每一步不是依据某一固定的递推式， 而是当前看似最佳的贪心决策，不断的将 问题归纳为更加小的相似的子问题。所以 归纳、分析、选择正确合适的贪心策略， 是正确解决贪心问题的关键。
• 2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是， 贪心是鼠目寸光；动态规划是统揽全局。
• 大概思路：X为贪心策略的解，Y为最优解， 假设Y不等于X，总有方法在满足重量等于M 的前提下把Y逐步变成X，而包内物品的价 值在变化过程之中不会减少（不变或变 大），从而X为最优解。
田忌赛马
• 题目描述：你一定听过田忌赛马的故事吧？如果3匹马 变成1000匹，齐王仍然让他的马按从优到劣的顺序出赛， 田忌可以按任意顺序选择他的赛马出赛。赢一局，田忌 可以得到200两银子，输一局，田忌就要输掉200两银子， 平局的话不输不赢。请问田忌最多能赢多少银子?
– 选择区间1以后，需要把所有和区间1相交的区间排除 在外，需要记录上一个被选择的区间编号。这样，在 排序后只需要扫描一次即可完成贪心过程，得到正确 结果。
Huffman编码
• 假设有一个文件只有六种字符：a,b,c,d,e,f。我 们可以用三个位来表示，如下表。
• 编码长度（45+13+12+16+9+5）×3=300
贪心法的特点
• 贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策 略一旦经过证明成立后，它就是一种高效 的算法。
• 比如，求最小生成树的Prim算法和Kruskal算 法都是漂亮的贪心算法。
贪心算法（部分）背包问题
• 可以证明优先选择价值重量比最大的物体 装入背包这种策略是可以正确得到最优解 的（详见算法设计与分析（郑宗汉，郑晓 明）P119-P120）
种策略的反例差不多。 • W=30 物品：A B C 重量：28 12 12 价值：30 10 10 • 根据策略，首选B和C，目的在于多装东西，但东西
不一定越多价值越大。
对于第3种策略
• （3）贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。 其对于部分背包问题成立，但是对于0-1背包问题不 成立，反例：
– 按照bi从小到大的顺序给区间排序。贪心策略是：一 定要选第一个区间。为什么？
区间上的问题
• 【不相交区间的选择问题】分析
– 现在区间已经按照bi排序了，考虑a1和a2的大小关系。 – 情况一 a1>a2，即区间2包含区间1。一定不选择区间2。
同理，所有区间i中只要a1>ai，则i不要选。在以下讨 论中，不再考虑这些区间。
0-1背包问题
• 有一个背包，背包容量是M=150。有7个物 品，物品不能被切割成任意大小。要求尽 可能让装入背包中的物品总价值最大，但 不能超过总容量。
• 物品 A B C D E F G • 重量 35 30 60 50 40 10 25 • 价值 10 40 30 50 35 40 30
背包问题
字符 a
b
c
d
e
F
频率 45 13 12 16 9
5
编码 000 001 010 011 100 101
Huffman编码
• 另有变长码方案如下表。
• 编码长度 1×45+3×13+3×12+3×16+4×9+4×5=224
字符 a 频率 45 编码 0
b
c
d
e
F
13 12 16 9
5
101 100 111 1101 1100
找零钱问题
• 假设有面值为3元、1元、8角、5角、1角的 货币若干枚，需要找给顾客4元6角现金， 为使付出的货币的数量最少，需要3张货币： 1个3元和2个8角。而按贪心法找给顾客的 是1个3元、1个1元、1个5角和1个1角共4张 货币。
找零钱问题
• 而按贪心法找给顾客的是1个3元、1个1元、 1个5角和1个1角共4张货币。
为解本题的策略?（性价比最大）
背包问题
• 对于本例题中的前2种贪心策略，都无法成立，解 释如下：
• （1）贪心策略：选取价值最大者。反例： • W=30 物品：A B C 重量：28 12 12 价值：30 20 20 • 根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取
了，可是，选取B、C则更好。 • （2）贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一
• 关于输入：输入包含多组测试数据。每组测试数据的第 一行是一个整数n(1<=n<=1000),表示田忌和齐王都拥有n 匹马。接下来一行是n个整数，表示田忌的马的速度， 下一行也是n个整数，表示齐王的马的速度。输入的最 后以一个0表示结束。
• 关于输出：对每组数据，输出一个整数，表示田忌至多 可以赢多少银子，如果田忌赢不了，就输出一个负数， 表示田忌最少要输多少银子。
• 证明：设T’的编码长度为L，其中字符z={x,y}的 深度为h，则把字符{x,y}拆成两个后长度变为 L-[f(x)+f(y)]×h+f(x)×(h+1)+f(x)×(h+1) =L+f(x)+f(y)。因此T’必须是C’的最优编码树，T 才是C的最优编码树。
Huffman编码
• 程序实现
– 按照频率把所有字符排序成表P，另外设置队列Q。 每次合并两个结点后放到队列Q中。由于合并的频率 和一定比先合并的频率和大，因此Q内的元素是有序 的。类似有序表的合并过程，每次只需要检查P和Q 的首元素即可找出频率最小的元素，时间复杂度为 O(n)。加上频率排序的过程，总时间复杂度O(nlogn)。
Huffman编码
• Huffman算法
• 把每个字符看作一个单结点子树，每棵子树的 权值等于相应字符的频率。每次取权值最小的 两棵棵树合并成一颗新树，并重新放到树集合 中。新树的权值等于子树权值之和。