第6章(已修改)

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6.2.1
二叉树的定义
定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两 棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。 逻辑结构： 一对二（1:2） 基本特征: ① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）； ② 左子树和右子树次序不能颠倒。 基本形态：
问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？有5种
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6.2.3 二叉树的存储结构
一、顺序存储结构 按二叉树的结点‚自上而 B 下、从左至右‛编号，用 一组连续的存储单元存储。 D E
H I A
T[0]一 般不用
C F G
问：顺序存储后能否复原成唯一对应的二叉树形状？ 答：若是完全/满二叉树则可以做到唯一复原。 而且有规律：下标值为i的双亲，其左孩子的下标值必为 2i，其右孩子的下标值必为2i＋1（即性质5） 例如，对应[2]的两个孩子必为[4]和[5],即B的左孩子必 是D,右孩子必为E。
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二、链式存储结构 用二叉链表即可方便表 示。 一般从根结点开始存储。
（相应地，访问树中结点时 也只能从根开始）
left_child
data
right_child
data
注：如果需要倒查某结点的 双亲，可以再增加一个双亲 right_child left_child 域（直接前趋）指针，将二 叉链表变成三叉链表。 二叉树结点数据类型定义： typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node{ int data; tree_pointer left_child, right_child; } node;
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满二叉树：一棵深度为k 且有2k -1个结点的二叉树。A （特点：每层都‚充满‛了结点）
B C E J K F G
完全二叉树：深度为k 的、有n个结点 的二叉树，当且仅当其每一个结点都与 深度为k 的满二叉树中编号从1至n的结 点一一对应。 满二叉树和完全二叉树有什么区别？
D H I
L M N O
解决思路： 先研究最简单、最有规律的树，然 后设法把一般的树转化为简单树。
最简单的树———二叉树
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若假设树结点的链式存储结构为：
data
link 1 link 2 ...
...
link n
困惑：构造树的结点时到底 应当开多少个链域?
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6.1.5
树的运算
要明确： 1. 普通树（即多叉树）若不转化为二叉树，则运算很难 实现。 2. 二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、排序 等，但这些操作必须建立在对树结点能够‚遍历‛的 基础上！ 遍历——指每个结点都被访问且仅访问一次，不遗漏不重复
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A B C F G H D I J
结点 ——即树的数据元素 结点的度——结点挂接的子树数
（有几个直接后继就是几度，亦称‚次数‛）K
E L
F
结点的层次 ——从根到该结点的层数（根结点算第一层） 终端结点 ——即度为0的结点，即叶子 分支结点 ——即度不为0的结点（也称为内部结点）
树的度 ——所有结点度中的最大值（Max{各结点的度}） 树的深度——指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次}） (或高度) 问：右上图中的结点数＝13 ；树的度＝ 3 ；树的深度＝ 4
+ * * / A C D E +**/AB C DE —前缀表示法 中序遍历结果 A/B*C*D +E —中缀表示法 后序遍历结果 AB/C *D *E+ —后缀表示法 层次遍历结果 +*E*D/CAB
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遍历规则———

二叉树由根、左子树、右子树构成，定义为D、 L、R
D、 L、R的组合定义了六种可能的遍历方案：
LDR, LRD, DLR, DRL, RDL, RLD 若限定先左后右，则有三种实现方案： DLR 先序遍历 LDR 中序遍历 LRD 后序遍历
注：‚先、中、后‛的意思是指访问的结点D是先于子树出 现还是后于子树出现。 以根结点为参照系
深度为4的满二叉树
答：满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然前k1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若干个结点。满
A
二叉树是完全二叉树的一个特例。 为何要研究 这两种特殊 形式？
D
B E J F
C G
因为它们在顺序存储 方式下可以复原！
H
I
17/85 完全二叉树
不大于log2n的 最大整数 对于两种特殊形式的二叉树（满二叉树和完全二叉树），还
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二叉树链式存储举例：
A B C D E
A ^ B^ C^ D^ ^ E ^
优点：①不浪费空间；②插入、删除方便
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极端情形: 只有右单支的二叉树
0 2
6
14
30
0 2 6 14 30
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二叉树的二叉链表表示
leftChild data rightChild
data
leftChild
。
Ｄ) 度
2.深度为Ｋ的二叉树的结点总数，最多为 C 个。
Ａ)２k-1 Ｂ) log2k Ｃ) ２k－１ Ｄ)２k
3. 深度为9的二叉树中至少有 C 个结点。
Ａ)２9 Ｂ)２8 Ｃ)９ Ｄ)２9－1
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讨论3：二叉树的叶子数和度为2的结点数之间有关系吗？
性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个， 则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
物理意义：叶子数＝2度结点数＋1 证明： ∵ 二叉树中全部结点数n＝n0+n1+n2(叶子数＋1度结点数＋2度结点数) 又∵二叉树中全部结点数n＝B+1 ( 总分支数＋根结点 )
（除根结点外，每个结点必有一个直接前趋，即一个分支）
而 总分支数B= n1+2n2 (1度结点必有1个直接后继，2度结点必有2个) 三式联立可得： n0+n1+n2= n1+2n2 +1, 即n0=n2+1
rightChild
二叉链表
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二叉树的双亲链表表示
leftChild data parent rightChild parent
data
leftChild rightChild
三叉链表
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root
root
root
A
B C D
C
A
B D
C
A
BLeabharlann D F E
F
E F
[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
A B C D E F G H I
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讨论：不是完全二叉树怎么办？ 答：一律转为完全二叉树！
方法很简单，将各层空缺处统统补上‚虚结点‛，其内容为空。 [1] A A [2] B [3] ^ B [4] C C [5] ^ [6] ^ D [7] ^ E [8] D [9] ^ . … 缺点：①浪费空间；②插入、删除不便 [16] E
重大缺陷： 复原困难
不能唯一复原就没有实用价值！
讨论3：树的链式存储方案应该怎样制定？ 可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。
细节问题： 树中结点的结构类型样式该如何设计？ 即应该设计成‚等长‛还是‚不等长‛？ 缺点： 等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）； 不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号 为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号为2i＋1；其 双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）。
证明见教材P125。
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总结二叉树的性质
(3+2)
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0）。 性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>0）。 性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子
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例1：
A B D E C
先序遍历的结果是：
中序遍历的结果是： 后序遍历的结果是： 口诀：
AB D E C
D BE A C D EB C A
DLR—先序遍历，即先根再左再右
LDR—中序遍历，即先左再根再右
LRD—后序遍历，即先左再右再根
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例2：用二叉树表示算术表达 先序遍历结果 式
本章重点： 二叉树的表示和实现
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6.2 二叉树
为何要重点研究每结点最多只有两个 ‚叉‛ 的树？ 二叉树的结构最简单，规律性最强； 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树， 不失一般性。
6.2.1 二叉树的定义 6.2.2 二叉树的性质
6.2.3 二叉树的存储结构
注：二叉树最重要的运算是：遍历！
数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1）
对于两种特殊形式的二叉树（满二叉树和完全二叉树）， 还特别具备以下2个性质：
性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为log2n＋1 性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则
编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号为2i ＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）。
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6.2 二叉树 (Binary Tree)
二叉树的定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合， 该集合或者为空，或者是由一个根结点加 上两棵分别称为左子树和右子树的、互不 相交的二叉树组成。
L
R
L
R
二叉树的五种不同形态
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课堂练习：
1. 树Ｔ中各结点的度的最大值称为树Ｔ的 D