第七章提纲

第七章谓词演算概要
7.1 一阶语言
用于谓词演算的形式语言。

符号表：
x
1
,x2,…变元
a
1
,a2,…个体常元
A 11,A
2
1,…；A
1
2,A
2
2,…；A
1
3,A
2
3,…；…谓词字母
f 11,f
2
1,…；f
1
2,f
2
2,…；f
1
3,f
2
3,…；…函词字母
（，），，标记符号
¬，→联结词
∀量词
一阶语言L：
符号表 (i = 1,2,…；n =1,2,…)：
变元：x i
个体常元：a i
谓词字母：A i n
函词字母：f i n
标记符号：（，），，
联结词：¬，→
量词：∀
形成规则：
L中的项：
（i）变元和个体常元是项；
（ii）若f i n是L中的函词字母，且t i，…，t n是L中的项，则
f i n（t
1
，…，t n）是L中的项；
（iii）所有项由（i）和（ii）生成。

L中的原子公式：
若A j k是L中的谓词字母，且t i ,…,t k是L中的项，则
A j k（t
1
，¡­，t k）是L中的原子公式。

L中的合式公式：
（i）L的每一原子公式是L的合式公式；
（ii）若A和B是L的的合式公式，则（¬A）,（A→B）和（∀x i）A 也是合式公式，这里x i是任一变元；
（iii）L的所有合式公式由（i）和（ii）生成。

其他符号的定义（A，B 为任意合式公式）：
（∃x i）A 定义为(¬((∀x i)((¬A ))) ，
（A∧B）定义为(¬(A→(¬B )))，
（A∨B）定义为((¬A)→B )
7.2 一阶语言的解释和赋值
一阶语言L的一个解释I：
一个非空集合D I（I的论域），
＿＿
D
I
中的一组特定元素（a1,a2，…），
＿
D
I
上的一组函数（f i n，i＞0，n＞0），
＿
D
I
上的一组关系（A i n，i＞0，n＞0）。

例：一阶语言L的一个解释N（形式算术）：
D
N
：{ 0,1,2，… }
＿＿
a
1
：0, a2：1
＿＿＿
f 11：后继（+1) ,f
1
2：＋ , f
2
2：＊
＿＿＿
A 11：＞0, A
1
2：＝, A
2
2：＞
一阶语言L的解释I中的一个赋值v：
对L中的每个变元指定D I的一个元素。

7.3 满足，真，逻辑有效
L的合式公式A在L的解释I中的一个赋值v下成真，称为v满足A。

否则称为v不满足A。

L的合式公式A在L的解释I中，每个赋值都满足A，称为A在I中真。

L的合式公式A在L的解释I中，每个赋值都不满足A，称为A在I中假。

L的合式公式A在L的每一解释中都真，称为A逻辑有效。

L的合式公式A在L的每一解释中都假，称为A矛盾。

7.4 一阶谓词演算的公理系统
一阶谓词演算的公理系统K L
公理模式：（A，B，C是L的任意合式公式,x i是任意变元）
K1 (A→(B→A))
K2 ((A→(B→C))→((A→B)→(A→C)))
K3 (((¬A)→(¬B))→(B→A))
K4 ((∀x
i )A→A)，若x
i
不在A中自由出现
K5 ((∀x
i )A(x
i
)→ A(t))，若A(x
i
)是L的合式公式，而t是L中的项，它
对于A(x i) 中的x i是自由的
K6 (∀x
i )（A→B) →(A→(∀x
i
)B)，若A不包含变元x
i
的自由出现
推演规则：
（1）分离规则：从A和(A→B )，得出B （2）概括规则：从A得出(∀x i)A。