线性代数习题课3

例3: 当a取何值时, 下述齐次线性方程组有非零解, 并且求出它的通解. x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 x3 2 x4 0 x x ax x 0 . 1 2 3 4 3 x1 2 x2 3 x3 ax4 0 解法一: 系数矩阵A的行列式为 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 0 1 | A| 1 1 1 a 1 0 2 a 1 2 3 2 3 a 0 5 0 a3 1 1 1 1 0 1 (a 1)( a 2) 0 1 0 0 a 1 0 0 0 0 a2
九、线性方程组有解判别定理及解法
定理1: n元线性方程组Amnx=b (1) 无解的充分必要条件是R(A)<R(B); (2) 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)<n.
齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形 矩阵, 便可写出其通解. 非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯 形矩阵, 便可判断其是否有解. 若有解, 化成行最简形 矩阵, 便可写出其通解.
性质1: 0 R(Amn) min{m, n}; 性质2: R(AT) = R(A); 性质3: 若A B, 则R(A) = R(B); 性质4: 若P, Q可逆, 则R(PAQ) = R(A); 性质5: max{R(A), R(B)} R(A ¦ B) R(A) + R(B), 特别当B = b时, R(A) R(A ¦ b) R(A) + 1; 性质6: R(A + B) R(A) + R(B); 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}; 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n.
习
题 课
一、初等变换
三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类 型的初等变换.
初 等 变 换
换法变换 r i r j (c i c j ) 倍法变换 消法变换
逆
变
换
r i k (c i k )
r i r j (c i c j ) 1 1 r i (c i ) k k
八、矩阵的秩
若在矩阵A中有一个r 阶子式D非零, 且所有的r+1 阶子式(如果存在的话)都为零, 则称D为矩阵A的一个 最高阶非零子式, 称数 r 为矩阵A的秩, 记作R(A). 矩阵秩的定理及性质 如果A中有一个r 阶子式非零, 则 R(A) r . 如果A的所有的r+1阶子式都为零, 则 R(A) r . 定理: 若A B, 则 R(A) = R(B). 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) A的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n; (3) A的标准形为单位矩阵E; (4) AE.
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 7 / 5 0 2 / 5 r2+5r1 0 5 7 0 2 r25 0 3 3 1 1 r -3r 0 0 6 / 5 1 1 / 5 3 2 r3+2r1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r1(-1) 0 0 0 0 0 由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组(1)中未知量的 个数是n=4, 故有一个自由未知量. 在此选x3. 令x3=5k (为任意常数). 得方程组(1)的通解为: x1 0 5 x 1 2 7 2 x k . 5 x3 5 0 6 1 x4
1 3 0 5 10
1 1 0 1 2
1 r5–2r4 0 r4 6 0 r4 r3 0 0 1 r1–2r2 0 0 0 0
3 1 1 r –5r 5 3 1 r2–3r3 1 5 / 6 1 / 6 1 3 0 0 0 0 0 0 0 5 / 6 1/ 6 0 7 / 6 1/ 6 1 5 / 6 1/ 6 0 0 0 0 0 0
典 型
例
题
例1: 求下列矩阵的秩 2 0 0 1 1 0 6 2 4 10 A . 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34 解: 对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵, 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 3 1 2 5 0 6 2 4 10 A~ ~ B , 9 3 6 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 7 14 35 因此, R(A)=R(B)=2. 注意: 在求矩阵的秩时, 初等行, 列变换可以同时 兼用, 但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形.
五、行阶梯形矩阵
经过初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 其 特点是: 可画出一条阶梯线, 线的下方全为0; 每个台阶 只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线 (每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元, 也就是非零行的第一个非零元.
六、行最简形矩阵
经过初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以进一步化 为行最简形矩阵, 其特点是: 非零行的非零首元为1, 且 这些非零元所在列的其它元素都为0.Fra bibliotek、矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换, 可得到矩阵 的标准形, 其特点是: 左上角是一个单位矩阵, 其余元 素都为0. 任一个矩阵Amn总可经过初等变换化为标准形 Er O F O O m n 标准形由m, n, r三个数唯一确定, 其中r 就是行阶 梯形矩阵中非零行的行数. 所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合, 称为一 个等价类, 标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.
r2–2r4 1 0 r3(-1) 0 r2 r3
2 3 1 5 0 0 0 2 4 0 5 13 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 3 0 1 5
1 r +2r 1 2 3 1 4 2 0 1 5 r5+5r2 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 12 3 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0
当a=-1或者a=2时, |A|=0, 方程组有非零解. 当a=-1时, 把系数矩阵A化成最简形: 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 ~ 0 0 0 0 3 2 3 1 0 0 0 1 从而得到方程组的通解: x1 1 x 0 2 x k , k为任意常数. 1 x 3 0 x4 当a=2时, 把系数矩阵A化成最简形: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 ~ 0 0 3 0 ~ 0 0 1 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0
例2: 求非齐次线性方程组的通解. x1 2 x2 3 x3 x4 1 3 x1 2 x2 x3 x4 1 2 x1 3 x2 x3 x4 1 2 x1 2 x2 2 x3 x4 1 2 5 x1 5 x2 2 x3 解: 对方程组的增广矩阵B行初等行变换, 使其成 为行最简单形. 3 1 1 1 2 3 1 1 r2–3r1 1 2 3 2 1 1 1 r –2r 0 4 8 2 2 B 2 3 1 1 1 3 1 0 1 5 3 1 2 2 2 1 1 r4 –2r1 0 2 4 1 1 5 5 2 0 2 r5–5r1 0 5 13 5 3
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵, 对A施行一次初等行(列)变换, 相当于A左(右)乘相应的m(n)阶初等矩阵. 定理: 设A为可逆方阵, 则存在有限个初等方阵P1, P2,· · · , Pl , 使A=P1, P2, · · · , Pl . 推论: mn矩阵AB的充分必要条件是存在m阶可 逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B . 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | 0时, 则由A=P1, P2, · · · , Pl , 得 1 P 1 A E , 及 P 1 P 1 P 1 E A1 . Pl1 Pl l l 1 1 1 1 1 P 1 A | E E | A 1 所以 Pl1 Pl 1 1 即对n2n矩阵(A|E), 施行初等行变换, 当把A变成E时, 原来的E就变成了A-1.
r i k r j (c i k c j ) r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
二、矩阵的等价
如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则 称矩阵A与矩阵B等价. 记作AB.
三、初等矩阵
定义: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 对调两行或两列 对调E中第i, j两行, 即rirj, 得初等方阵: 用m阶初等矩阵Em(i, j)左乘A=(aij)mn, 相当于对 矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j 行对 调(rirj). 用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)mn, 相当于对矩 阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i 列与第j 列对调 (cicj).
以非零数k乘某行或某列 以数k0乘单位矩阵的第i 行得初等矩阵E(i (k)). 以Em(i(k))左乘矩阵A=(aij)mn, 相当于以数k乘A的 第i 行(rik). 以En(i (k))右乘矩阵A=(aij)mn, 相当于以数k乘A的 第i 列(cik). 以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去 以k乘E的第j 行加到第i 行上(ri+krj), 或以k乘E的第i 列加到第j 列上(cj+kci). 以Em(ij(k))左乘矩阵A=(aij)mn,相当于把A的第j 行 乘数k加到A的第i 行上(ri+krj). 以En(ij(k))右乘矩阵A=(aij)mn, 相当于把A的第i 列 乘数k加到A的第j 列上(cj+kci).
0 9 / 6 3 / 6 0 7 / 6 1/ 6 1 5 / 6 1/ 6 0 0 0 0 0 0
由此可知, R(A)=R(B)=3, 而方程组(1)中未知量的 个数是n=4, 故有一个自由未知量. 在此选x4. 令x4=6k (为任意常数). 得方程组(1)的通解为: x1 1 5 x 1 7 1 2 x k . 1 5 x3 6 0 6 x4 另解: 1 2 3 1 1 r +r 3 5 4 0 2 1 3 3 2 1 1 1 5 5 2 0 2 B 2 3 1 1 1 r2+r3 2 3 1 1 1 2 2 2 1 1 r4+r3 4 5 3 0 2 5 5 2 0 2 r –r 0 0 0 0 0 5 2 2 0 2 0 0 1 0 1 0 0 5 5 2 0 2 5 5 2 0 2 r1–r2 2 3 1 1 1 r1–2r4 2 3 1 1 1 r4–r2 1 0 1 0 0 r4r1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0