高中数学 导数及其应用 311 变化率问题 312 导数的概念高效测评 新人教A版选修11
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修1
学习资料第三章导数及其应用3．1变化率与导数3。
1。
1变化率问题3．1.2导数的概念内容标准学科素养1。
了解导数概念的实际背景．2。
会求函数在某一点附近的平均变化率．3。
会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
利用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第49页[基础认识］知识点一函数的平均变化率错误!丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题,那么，变化率和导数是怎样定义呢？(1）气球膨胀率气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V(r)＝错误!πr3⇒r(V）＝错误!.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r（1)－r(0）≈0。
62（dm)，气球的平均膨胀率为错误!≈0.62（dm/L）．类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2）－r（1）≈0。
16 （dm）, 气球的平均膨胀率为错误!≈0.16 （dm/L）．当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？提示：错误! （2）高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h （单位:m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在函数关系h (t )＝－4。
9 t 2＋6.5 t ＋10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度错误!描述其运动状态，那么:求0≤t ≤0。
5和1≤t ≤2这段时间内的错误!。
提示：在0≤t ≤0。
5这段时间里, 错误!＝错误!＝4。
05 （m/s ）； 在1≤t ≤2这段时间里， 错误!＝错误!＝－8。
2 （m/s ）． 知识梳理 函数的平均变化率对于函数y ＝f （x ),给定自变量的两个值x 1和x 2,当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f （x 1）变为f (x 2)，我们把式子错误!称为函数y ＝f (x ）从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1,可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量"，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1）．于是,平均变化率可表示为Δy Δx。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
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3.导数的概念 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ ������x →0 ������y Δ������ →0 ������x
=
������������������
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ������t)-s(1) lim Δ������ →0 ������t 2(1 + Δ������)2 + 1 + Δ������-1-2 = ������������������ = lim (2Δ������ + 5) = 5. Δ������ →0 ������t →0 Δ������ 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
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1.平均变化率
我们把式子
������(������2 )-������(������1 ) 称为函数������(������)从������1 ������2 -������1
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【做一做1-1】 已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ������ =
������ ������
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ������
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题导数的概念讲义含解析新人教A版选修
3．1.1&3.1.2 变化率问题 导数的概念预习课本P72～76，思考并完成以下问题1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3．如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0ΔxΔx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.3．导数的概念 li m Δx →0 Δy Δx＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx0(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f (x )在点x 0处可导；若ΔyΔx 的极限不存在，则f (x )在点x 0处不可导或无导数．(2)在点x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0－Δx或f ′(x 0)＝li m x →x 0f x －f x 0x －x 0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)答案：D3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．fx 1－x 0x 1－0.的值可正，可负，但Δx 已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 2－1＝12. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 5－3＝1415.由于12＜1415， 所以函数f (x )＝x ＋1x在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．[典例] 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －Δt2Δt＝3－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s ＝12gt 2(g ＝10 m/s 2，位移单位：m ，时间单位：s)，求物体在t ＝2 s 时的瞬时速度．解：因为Δs ＝12g (2＋Δt )2－12g ×22＝2g Δt ＋12g (Δt )2，所以ΔsΔt ＝2g Δt ＋12g Δt2Δt＝2g ＋12g Δt ，当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于2g ，所以物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为20 m/s.[典例] (1)函数f (x )＝12＋3x在x ＝1处的导数为________． (2)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则 li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.[解析] (1)因为Δy Δx＝f＋Δx －fΔx＝12＋＋Δx －12＋3×1Δx ＝－3Δx ＋3ΔxΔx＝－3＋3Δx，所以f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0 －3＋3Δx ＝－325.(2)li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f xΔx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2 ＝2li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 02Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8.[答案] (1)－325(2)8简称：一差、二比、三极限． ．瞬时变化率的变形形式 x 0＋－f x 0Δxf x 0－Δx －f x 0－Δxx 0＋x －f x 0Δxx 0＋－f x 0－Δx2Δx[活学活用]1．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx－()1－1 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx→2，所以函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.2．已知f ′(1)＝－2，求li m Δx →0 f－2Δx －fΔx.解：li mΔx →0 f－2Δx －fΔx＝(－2)×li mΔx →0 f－2Δx －f－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝1－2x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为k 1，从x ＝－2到x ＝－1的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＝k 2C ．k 1＜k 2D ．不确定解析：选B 由平均变化率的几何意义知k 1＝k 2.故选B.2．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6解析：选B 由已知，得s－s 3－2＝26，即(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.3．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析：选B ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴Δs Δt＝18＋3Δt .∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (18＋3Δt )＝18，故应选B.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝li m △x －0 f x 0＋Δx －f xΔx＝li m △x －0(a ＋b ·Δx )＝a . 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0 解析：选C f ′(0)＝li m Δx →0 ＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝li mΔx →0 Δx2－3ΔxΔx＝li mΔx →0 (Δx －3)＝－3.故选C. 6.如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝12.(2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为f－f 4－2＝5－12＝2. 答案：(1)12(2)27．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 a＋Δx ＋4－a ＋Δx＝a ，∴a ＝2.答案：28．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．求函数y ＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函数的平均变化率．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f x 0＋Δx －fx 0Δx＝x 0＋Δx2＋3]－x 20＋Δx＝4x 0Δx ＋Δx2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 10．求函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数． 解：根据导数的定义： Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )＋1－3 ＝(Δx )2＋3Δx ，则Δy Δx ＝Δx 2＋3Δx Δx ＝Δx ＋3， 所以f ′(1)＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (Δx ＋3)＝3， 即函数f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数为3.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4＋2Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 是单位是m)，则它在4 s 末的瞬时速度为( )A.12316m/s B.12516 m/sC ．8 m/sD.674m/s解析：选B 由已知，得物体在4s 末的瞬时速度为 li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 ＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝li mΔt →0 Δt2＋8Δt ＋－3Δt ＋ΔtΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎪⎫Δt ＋8－316＋4Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 4．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：ΔsΔt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1146．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m ＝________.解析： f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 答案：±27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x >0，＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋.∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 124＋Δx 4＋Δx ＋＝12×44＋＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，ΔyΔx ＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx ＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ；(2)li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0＋5Δx Δx .解：(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx ＝－mf ′(x 0)．(2)原式＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f xΔx＝4li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.11.1.2 变化率问题、导数的概念课时作业 新人教版选修22
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9⎝⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11
=(2+Δt)2+3(2+Δt)-(22+3×2)
=(Δt)2+7Δt
所以 s (t)2 7t t 7.
t
t
所以当Δt趋近于0时, 趋s 近于7.故该物体在2s时的
t
瞬时速度是7m/s.
4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是
.
【解析】 y f 3 f 1 1 3 1.
x
数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个 固定值.
特别提醒:“Δx无限趋近于0”的含义: Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给 定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
类型一 求函数的平均变化率
【典例】1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]
这段时间内的平均速度是 ( )
x 3 1 3 1
答案:-1
5.函数y=f(x)= 1 在x=1处的瞬时变化率为
.
x
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1 1 x ，
1 x 1 1 x
所以 y 所1 以，当Δx趋近于0时, 趋近于y -1.
x 1 x
x
故函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为-1.
答案:-1
【知识探究】 探究点1 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的改变量Δx 是否可以为任意实数,Δy呢? 提示:在平均变化率的定义中,改变量Δx可正、可负, 但不能等于0;而Δy可以为任意实数.
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
【自主预习】
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念a11a高二11数学
归纳升华
求瞬时速度的四个步骤
第一步， 求位移增量：Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 第二步，求平均速度：v_＝ΔΔst；
第三步，取极限：
ΔΔst；
第四步，若极限值存在，则 t0 时刻的瞬时速度为 v＝
Δs Δt.
[变式训练] 一质点按规律 s(t)＝at2＋2t＋1 做直线 运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在 t＝1 s 时 的瞬时速度为 4 m/s，求常数 a 的值．
2．函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时， Δy＝( )
A．f(x0＋Δx) B．f (x 0)＋Δx C．f (x 0)·Δx D．f (x 0＋Δx)－f (x 0)
解析：函数值的改变量为 f (x 0＋Δx)－f (x 0)， 所以Δy＝f (x0＋Δx)－f (x 0)．
限，即 率
①瞬时速度： 物体在某一时 刻的速度； ②切线斜率
2.函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率称为函数 y＝f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝
温馨提示 Δx 称为自变量 x 的增量，Δx 可取正值，也可取负 值，但不可以为 0.
解析：(1)函数在某一点的导数与Δx 的正负无关，正 确；(2)y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值是Δx→0 而不是Δx＝ 0，则不正确；(3)Δx 不可能为 0，但Δy 可以为零，则不
正确．(4)平均变化率是刻画其函数值在区间[x1，x2]上变 化快慢的物理量．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1-3.1.2导数的概念优化练习新人教A版选修
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3.1.1-3.1.2 导数的概念[课时作业][A组基础巩固]1．一物体的运动方程是s＝t＋错误!，则在t＝2时刻的瞬时速度是( ) A.错误! B.错误! C．1 D．2解析：Δs＝2＋Δt＋12＋Δt－2－错误!＝Δt－错误!错误!＝1－错误!t＝2时的瞬时速度为错误!错误!＝错误!错误!＝错误!。
答案：B2．若函数y＝f（x）在x＝1处的导数为1，则错误!错误!＝（）A．2 B．1 C。
错误! D.错误!解析：错误!错误!＝f′（1)＝1.答案：B3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0）＝0，则点P的坐标为（) A．（1，10) B．(－1，－2）C．（1，－2）D．(－1,10）解析：错误!＝错误!＝错误!＝3Δx＋6x0＋6，∴f′(x0）＝错误!错误!＝错误!（3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1。
把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2。
∴P点坐标为（－1，－2）．答案:B4．物体自由落体的运动方程为：s（t）＝错误!gt2,g＝9.8 m/s2，若v＝错误!错误!＝9。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1、3.1.2 变化率问题 导数的概念
第三章 3.1 3.1.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．若函数f (x )＝2x ，当自变量的改变量Δx ＝3时f (x )的平均变化率为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由f (x ＋Δx )－f (x )＝2(x ＋Δx )－2x ＝2Δx ， ∴f (x )的平均变化率为2Δx Δx ＝2×33＝2.2．(2020·滁州民办高中检测)设f (x )是可导函数，且lim Δx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝2，则f ′(x 0)＝( B )A ．12B ．－1C ．0D ．－2[解析] 因为lim Δx →0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝－2lim Δx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝2所以f ′(x 0)＝－1，故选B ．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为( A ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[解析] B 中lim Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]表示函数值的变化量的极限；C 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)表示函数值的变化量；D 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示函数的平均变化率．4．(2020·杭州高二检测)设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[解析] ∵函数f (x )＝x 2－1的自变量x 由1变成1.1，所以Δx ＝1.1－1＝0.1，Δy ＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，∴Δy Δx ＝0.210.1＝2.1.故选A ． 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( C ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 Δx 2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3.故选C ． 6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( C )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b Δx )＝a . ∴f ′(x 0)＝a . 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝__(Δx )2＋6Δx ＋12__.[解析] ∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴ΔyΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．(2020·阿拉善左旗校级期末)若函数y ＝x 2－1的图象上的点A (1,0)，则当Δx ＝0.1时的平均变化率是__2.1__.[解析] Δy ＝(1＋Δx )2－1＋1＝2Δx ＋Δx 2， ∴ΔyΔx＝2＋Δx ， 当Δx ＝0.1时，平均变化率为2.1. 三、解答题9．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2， ∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1. ∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.B 级 素养提升一、选择题1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( C ) A ．6＋Δt B ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt＝12＋2Δt .2．做直线运动的物体，其位移s 和时间t 的关系是：s ＝3t －t 2，则它的初速度是( B ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t[解析] 初速度即为t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt 2. 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于3，故它的初速度为3.3．设f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝( C ) A ．－1 B ．12C ．1D ．13[解析] ∵f ′(－1)＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx －1)3＋a Δx ＝3a ，∴3a ＝3，解得a ＝1.故选C ．4．(多选题)直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么对于lim Δt →0Δs Δt的下列说法错误的是( ABC )A ．从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度B ．从时刻t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率C ．当时刻为Δt 时该物体的速度D ．该物体在t 时刻的瞬时速度[解析] 根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，时间的变化量为Δt ，而物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0ΔsΔt为该物体在t 时刻的瞬时速度；故选ABC ． 5．(多选题)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若lim Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，则对于数据9.8 m/s ，下列说法错误的是( ABD )A ．是从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．是t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．是t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 [解析] 根据题意，lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt＝9.8 m/s ，则物体在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度为9.8 m/s ，故选ABD ．二、填空题6．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为__0_m/s__.[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2＋16(2＋Δt )＋4×22－16×2＝－4Δt 2， ∴ΔS Δt ＝－4Δt 2Δt＝－4Δt ，∴v ＝lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0 (－4Δt )＝0. ∴物体在t ＝2s 时的瞬时速度为0 m/s.7．已知自由落体的运动方程为s (t )＝5t 2，则落体在t ＝2时的瞬时速度为__20__. [解析] 由题物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 这一段时间内的平均速度为v ＝5(2＋Δt )2－5×22Δt ＝20＋5Δt ，则当Δt →0时v →20，即t ＝2时的瞬时速度为20.三、解答题8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3(x ≤1)x (x >1)分别求x ＝0和x ＝6时的导数．[解析] f ′(1)lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 Δx 2－3＋3Δx ＝lim Δx →0Δx ＝0， f ′(6)＝lim Δx →0 f (6＋Δx )－f (6)Δx ＝lim Δx →0 6＋Δx －6Δx＝lim Δx →0 ΔxΔx ·(6＋Δx ＋6)＝lim Δx →016＋Δx ＋6＝612.。
高中数学第三章导数及其应用3_1变化率与导数3_1_2导数的概念教案新人教A版选修1_1
从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在 时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当 ， 趋近于0时，平均速度 趋近于定值 ”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
板书设计
§3.1.2导数的概念
1．瞬时速度
2导数的概念
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
例2．（课本例1）
练习
1．质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在 时的导数．
3．例2中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
教学反思
用平均速度和瞬时速度、平均膨胀率和瞬时膨胀率的关系，说明瞬时变化率的概念，以帮助学生理解瞬时变化率的意义，并由此给出导数的概念。
二、讲授新课：
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？考察 附近的情况：
思考：当 趋近于0时，平均速度 有什么样的变化趋势？
结论：当 趋近于0时，即无论 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值 ．
3.1.2导数的概念
项目
内容
课题
（共1课时）
修改与创新
教学
目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件2 新人教A版选修11
问题情境3
现有宿迁市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
T (℃) 30
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
C (34, 33.4) 温差15.1℃ 温差14.8℃
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
问题情境4 交流与讨论
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。
那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人 着迷。
交流与讨论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容易看出点B,C之间的曲线较点
A,B之间的曲线更加“陡峭”.
如何量化陡峭程度呢？
●C
k yC yB xC xB
y
该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度.
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或
者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别 计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及 g(x) 的平均变化率.
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平 均变化率有什么特点？
数学应用
例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列 区间上的平均变化率： y
（1）[1，3]； 4 （2）[1，2]； 3 （3）[1，1.1]； 2.1 （4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9 （6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
高中数学导数及其应用311变化率问题312导数的概念高效测评新人教A版选修11
2016-2017 学年高中数学第三章导数及其应用变化率问题导数的看法高效测评新人教A版选修1-1一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1．已知函数 f ( x)＝2x2的图象上一点 (1,2) 及周边一点 (1 ＋x, 2＋ y)，则y 等于x()A． 4B． 4xC． 4＋2 x D． 4＋ 2( x) 2分析：y＝ f (1＋x)－ f (1)＝2(1 ＋x)2－2＝ 2(x)2＋4x.∴y＝ 2x＋4. x答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋ t 2，则在一小段时间[2,2.1] 内相应的均匀速度为 () A． 0.41B． 3C． 4D． 4.1分析：v ＝s＝＋2.12－＋ 220.41＝ 4.1.0.1＝t0.1答案：D3．设函数f ( x) ＝ax＋ 3，若f′(1)＝ 3，则a等于 ()A． 2B．－ 2C． 3D．－ 3分析：∵f′( ) ＝ lim f x＋x － f xxx→0a x＋x ＋3－ax＋＝ a，＝ lim xx →0∴f ′(1)＝ a＝3.答案：C4．当自变量从x0变到 x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数() A．在区间 [ x0，x1] 上的均匀变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间 [ x0，x1] 上的导数分析：依据均匀变化率的定义可知，当自变量从x0变到 x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[ x0，x1] 上的均匀变化率．答案：A二、填空题 ( 每题 5分，共 10 分)5．若函数y＝ 2x2－1的图象上一点 (1,1)及其周边一点 (1 ＋x, 1＋y)，则y 等于x________．分析：y＝＋x 2－1－1x.x＝4＋ 2x答案：4＋ 2x6．设f ( x) 在点x＝x0处可导，且f′(x0) ＝－ 2，则f x0－ f x0－xlim x等于 ________．x→0分析：f x0－ f x0－ x lim xx→0＝ limf [ x0＋－ x－ f x0－x ＝ f ′(x0)x →0＝－ 2.答案：－ 2三、解答题 ( 每题10 分，共 20 分)217．求函数y＝x在x＝1,2,3周边的均匀变化率，取x 都为3，哪一点周边均匀变化率最大？分析：在 x＝1周边的均匀变化率为f＋ x－f＝＋ x2－ 1k ＝1x x＝ 2＋x；在 x＝2周边的均匀变化率为f＋x－fk2＝x＋x 2－22＝＝4＋x；x在 x＝3周边的均匀变化率为f＋x－fk3＝x＋x 2－32＝x＝6＋x.若 x ＝ 1，则 k 1＝2＋ 1＝ 7，3 3 31131 19k 2＝ 4＋3＝ 3 ， k 3＝ 6＋ 3＝ 3 .因为 k 1<k 2 <k 3，∴在 x ＝ 3 周边的均匀变化率最大．8．利用导数的定义，求出函数y ＝ x ＋1在 x ＝ x 0 处的导数，并据此求函数在x ＝ 1 处的x导数．x 0＋x ＋1 － x 0＋ 1x 0 ＋ x x 0分析： y ′＝ limy＝ limx →0xx →0x－ x x ＋x 0 x 0＋ x＝ limxx →0＝ lim1－1x 0x 0＋xx →01＝ 1－ 2.x 01从而 y ′|x ＝ 1＝1－ 12＝ 0.9．(10 分 ) 一质点按规律 s ( t ) ＝ at 2＋ 1 做直线运动 ( 位移单位： m ，时间单位： s) ，若该质点在 t ＝2 s 时的刹时速度为8 m/s ，求常数 a 的值．分析：2 2s ＝ s (2 ＋ t ) － s (2) ＝ a (2 ＋ t ) ＋1 － a ·2－ 12s＝ 4a t ＋ a ( t ) ，因此t ＝ 4a ＋ at .由题意知，在 t ＝ 2 s 时，刹时速度为 s ′(2) ＝ lims＝ 4a ，t →0t故 4a ＝ 8，因此 a ＝ 2.。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1_1
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283πfx 0＋－f x 0Δx.的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s＋Δt －sΔt＝lim Δx →0＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s －s 3－1＝2×32＋3－2＋2＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f －f→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.简称：一差、二比、三极限．取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－＋Δt2－－2×12Δt＝－4Δt －Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f＋Δx－fΔx＝limΔt→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念高效测评 新人教A版选
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1。
2 导数的概念高效测评新人教A版选修2-2一、选择题（每小题5分，共20分)1．函数f（x）＝2x2－1在区间[1，1＋Δx］上的平均变化率错误!等于( ）A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2（Δx)2D．4x解析：因为Δy＝［2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1）＝4Δx＋2(Δx)2，所以错误!＝4＋2Δx，故选B。
答案：B2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2。
1］这段时间内的平均速度是（）A．0。
41 B．2C．0。
3 D．0.2解析：错误!＝错误!＝2。
答案: B3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝（）A．－3 B．2C．3 D．－2解析：根据平均变化率的定义,可知错误!＝错误!＝a＝3。
答案：C4．若f（x)在x＝x0处存在导数，则错误!错误!( )A．与x0,h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．以上答案都不对解析:由导数的定义知,函数在x＝x0处的导数只与x0有关．答案: B二、填空题(每小题5分,共10分)5．已知函数y＝2x2－1的图象上一点（1，1）及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy），则错误!等于________．解析：错误!＝错误!＝4＋2Δx.答案：4＋2Δx6．已知f（x)＝－x2＋10，则f（x）在x＝错误!处的瞬时变化率是__________ 。
2021学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念综合提升案新人教A版选
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；总分值80分]一、选择题(每题5分，共30分)1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，那么在时间(3，3＋Δt )中，相应的平均速度等于A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12解析 Δs Δt ＝[2〔3＋Δt 〕2＋5]－〔2×32＋5〕Δt＝12＋2Δt . 答案 C2．f (x )在x ＝x 0处可导，那么f 〔x 0＋h 〕－f 〔x 0〕h A ．与x 0、h 有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关解析 f 〔x 0＋h 〕－f 〔x 0〕h＝f ′(x 0)，因此仅与x 0有关． 答案 B3．质点M 按规律s ＝2t 2＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度是A ．2 m/sB ．6 m/sC ．4 m/sD ．8 m/s解析 v ＝ 2〔2＋Δt 〕2＋3－〔2×22＋3〕Δt＝ 8Δt ＋2Δt 2Δt＝ (8＋2Δt )＝8(m/s)． 答案 D4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，那么k 1与k 2的大小关系为A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析 k 1＝f 〔x 0＋Δx 〕－f 〔x 0〕Δx ＝〔x 0＋Δx 〕2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f 〔x 0〕－f 〔x 0－Δx 〕Δx ＝x 20－〔x 0－Δx 〕2Δx ＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案 D5．设函数在x ＝1处存在导数，那么f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕3Δx ＝ A ．f ′(1) B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析 f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕3Δx ＝13 f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕Δx ＝13f ′(1)． 答案 C6．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，那么Δy Δx为 A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝Δx ＋2.答案 C二、填空题(每题5分，共15分)7．设函数f (x )＝ax ＋3，假设f ′(1)＝3，那么a 等于________．解析 ∵f ′(x )＝＝f 〔x ＋Δx 〕－f 〔x 〕Δx ＝ a 〔x ＋Δx 〕＋3－〔ax ＋3〕Δx＝a ， ∴f ′(1)＝a ＝3.答案 38．将半径为R 的球加热，假设半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，那么m 的值为________． 解析 ∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)， ∴ΔV ΔR ＝4π3〔m 3－1〕m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)．答案 29．如图是函数y ＝f (x )的图像，那么函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为________．解析 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为f 〔2〕－f 〔0〕2－0＝3－322＝34. 答案 34三、解答题(共35分)10．(10分)在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1，4)及附近一点(1＋Δx ，4＋Δy )．求：(1)Δy Δx；(2)f ′(1)． 解析 (1)Δy Δx ＝f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕Δx＝〔1＋Δx 〕2＋3－〔12＋3〕Δx＝2＋Δx . (2)f ′(1)＝ f 〔1＋Δx 〕－f 〔1〕Δx＝ (2＋Δx )＝2. 11．(10分)假设函数f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝x 0处的导数是8，求x 0的值．解析 根据导数的定义：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝[2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )]－(2×x 20＋4x 0)＝2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4Δx ，∴f ′(x 0)＝lim Δy Δx＝lim 2〔Δx 〕2＋4x 0Δx ＋4Δx Δx＝lim (2Δx ＋4x 0＋4)＝4x 0＋4.∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝8，解得x 0＝1.12．(15分)设质点做直线运动，路程s 是时间t 的函数： s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt Δt ＝0.01时的平均速度；(2)求当t ＝2时的瞬时速度．解析 (1)从t ＝2到t ＝2＋Δt 内的平均速度为：Δs Δt ＝s 〔2＋Δt 〕－s 〔2〕Δt＝3〔2＋Δt 〕2＋2〔2＋Δt 〕＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt ＋3〔Δt 〕2Δt＝14＋3Δt . 当Δt ＝1时，平均速度为14＋3×1＝17.当Δt ，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.当Δt ，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.(2)t ＝2时的瞬时速度为：v ＝ Δs Δt ＝ (14＋3Δt )＝14.。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念高效测评新人教A版选修1-1
2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用 3.1。
1 变化率问题3。
1.2 导数的概念高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分）1．已知函数f(x）＝2x2的图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy）,则错误!等于（)A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2（Δx）2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f（1）＝2（1＋Δx)2－2＝2（Δx）2＋4Δx.∴错误!＝2Δx＋4.答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1］内相应的平均速度为( ) A．0。
41 B．3C．4 D．4。
1解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4。
1.答案：D3．设函数f(x）＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于（)A．2 B．－2C．3 D．－3解析：∵f′(x)＝错误!错误!＝错误!错误!＝a，∴f′(1）＝a＝3.答案：C4．当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ）A．在区间[x0,x1］上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1］上的导数解析：根据平均变化率的定义可知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．答案: A二、填空题（每小题5分，共10分）5．若函数y＝2x2－1的图象上一点（1，1）及其邻近一点(1＋Δx，1＋Δy），则错误!等于________．解析：错误!＝错误!＝4＋2Δx.答案：4＋2Δx6．设f（x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则错误!错误!等于________．解析：错误!错误!＝错误!错误!＝f′（x0)＝－2.答案：－2三、解答题(每小题10分,共20分)7．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为错误!，哪一点附近平均变化率最大？解析：在x＝1附近的平均变化率为k＝错误!＝错误!1＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k＝错误!2＝错误!＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k＝错误!3＝错误!＝6＋Δx.若Δx＝错误!，则k1＝2＋错误!＝错误!，k2＝4＋错误!＝错误!，k3＝6＋错误!＝错误!。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2 变化率与导数导学案 新人教A版选修1-1(
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变化率与导数1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．重点:函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念的理解．方法：合作探究一新知导学一）变化率问题1。
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？当空气容量从V1增加到V2时,气球的半径从r(V1）增加到r（V2),气球的平均膨胀率是_____________。
2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s）的函数关系为h＝h（t),h是否随t的变化均匀变化?高台跳水运动员当高度从h（t1）变化到h(t2）时,他的平均速度为________________。
已知函数y＝f（x),令Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2）－f(x1），则当Δx≠0时，比值__________________，为函数f(x）从x1到x2的平均变化率，即函数f（x)图象上两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）)连线的__________．课堂随笔:二）函数在某点处的导数物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态?4．函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率是错误!错误!＝错误!错误!。
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2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用 3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念高效测评新人教A版选修1-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f(x)＝2x2的图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy
Δx
等于
( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2
＝2(Δx)2＋4Δx.
∴Δy
Δx
＝2Δx＋4.
答案： C
2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 B．3
C．4 D．4.1
解析：v＝Δs
Δt
＝
＋2.12－＋22
0.1
＝
0.41
0.1
＝4.1.
答案： D
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( ) A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(x)＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx
＝lim
Δx→0a x＋Δx＋3－ax＋
Δx
＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案： C
4．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数
D．在区间[x0，x1]上的导数
解析：根据平均变化率的定义可知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应
自变量的增量之比就是函数在区间[x 0，x 1]上的平均变化率．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y ＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于
________．
解析： Δy
Δx ＝
＋Δx 2
－1－1
Δx
＝4＋2Δx .
答案： 4＋2Δx
6．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＝－2，则 lim Δx →0
f x 0－f x 0－Δx
Δx
等于________．
解析： lim Δx →0
f x 0－f x 0－Δx
Δx
＝lim Δx →0
f [x 0＋－Δx
－f x 0
－Δx
＝f ′(x 0)
＝－2. 答案： －2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y ＝x 2
在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化
率最大？
解析： 在x ＝1附近的平均变化率为
k 1＝
f
＋Δx －f
Δx
＝
＋Δx 2
－1Δx
＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝
f ＋Δx －f
Δx
＝
＋Δx 2
－2
2
Δx
＝4＋Δx ；
在x ＝3附近的平均变化率为
k 3＝
f ＋Δx －f
Δx
＝
＋Δx 2
－3
2
Δx
＝6＋Δx .
若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝7
3
，
k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193
.
由于k 1<k 2<k 3，
∴在x ＝3附近的平均变化率最大．
8．利用导数的定义，求出函数y ＝x ＋1
x
在x ＝x 0处的导数，并据此求函数在x ＝1处的
导数．
解析： y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0 x 0＋Δx ＋1
x 0＋Δx －⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x 0＋1x 0Δx
＝lim Δx →0
Δx ＋－Δx x 0
x 0＋Δx Δx
＝lim Δx →0
⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－
1x 0
x 0＋Δx ＝1－1
x 20
.
从而y ′|x ＝1＝1－1
1
2＝0.
9．(10分)一质点按规律s (t )＝at 2
＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．
解析： Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2
＋1－a ·22
－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2
，所以Δs Δt
＝4a ＋a Δt .
由题意知，在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0
Δs
Δt
＝4a ， 故4a ＝8，所以a ＝2.。