椭圆边值问题的边界元分析(祝家麟著)思维导图
高中数学最全的思维导图
高中数学最全的思维导图小数老师2015-11-23 11:08很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点，那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！夷示方法元表、隼合之闾的关系集台「1f映射i I 函数三要妄性质表示定义定义域值域单调性周期性性质対称性基本初等函数分段国数运算：交、弃、补确定性、互异性、无序性解析达列表法使解析式有意义丿对应关采［」换元法求解析式JA连意应用函数的单调在求值域圏象法u函薮破个区圈MlWt减I与曲谒国直是秃亍区减占鱼乂耒冒：2,征阴尊讶*勒査『斷人导披追；儿麗舍弼戴的鱼调性亘塑」是乂填黄于旗点时歌氐L©社有盘文的奇證戳弋r如即）r的奇圈埶詡⑵二呻书⑹=£）最值—C环酩变拱）—f皑拦变彗）—｛棒编变箕）亘合函数二次函巍、基本不等式、打崗（耐克）函〕数、三角函数有界性、数形结台、异数.L —次、二次函数、反比例函數一幕函数指数函数对数函数三甬函埶亘台III埶的单调性：同潸异减I哦值法、典型的函数1抽象函数函数与方程函埶的应用图象V性质和应用二分注、图象迭、二次展三次方程根的分布）空间几何体liii台区梭怪梭台L囲台Sfe-正枝｛王，长方体、正方体EW.四面体、正四面体一l点在Mh±点与线纬与面一面勻面点在面內点在面外竝面岂強-直线在平窗内厂平行—相乂—f平行关系的］A 转化J i ■■-平厅J垂直曲罕的］线线1相互轉化J垂嵐L相父L平行L三视團•r直观團长对正-喜平齐卞伯隼」一刚面积.表面理体段口高—个公共点没有缺旦漫有有公扛耳------------------ 厂W T 厂直线在平面外-^―---------------- L相交亠线面- "平行「面直垂畳线面甜r-J_ -面面■乎行價耕角的畫化与糾率的变化）位臭关养相立I—C且必：-今血芒：）狂童：战距可正A可员，也可为0. J注at：栽距可正可员，也可訂oj直迭万程茹形式直迭万程茹形式两亶线的交点两亶线的交点圧意若种开式的辕化和运用范圈圧意若种开式的辕化*□运用范围不等式群三即T通项会式等比数列一1（样。
边界元法课件
模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
基本解方法求解椭圆方程边值问题
复旦大学硕士毕业论文摘要基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ）是近些年发展起来的相对较新的一种求解某些椭圆方程边值问题的边界方法，它在求解椭圆方程的边值问题方面有着优越于其他数值方法的显著特征，特别是在满足某种条件的情况下，基本解方法给出了指数性递减误差，这在求边值问题数值解方面是非常难得的．本文主要对用基本解方法确定二维区域中的Ｌａｐｌａｃｅ方程的边值问题的边界进行研究。
把基本解方法求解椭圆方程边值问题公式化，首先应用于求解二维圆形区域的边值问题，文献【８］［１１］．［１２］已经给出圆形区域中基本解方法求解边值问题的收敛性证明，本文把圆形区域中不同取点方式得到的不同数值结果进行了比较，然后，利用复变函数中共形映射的相关知识把圆形区域这一特殊情况加以推广，对一般二维Ｊｏｒｄａｎ区域中的椭圆方程边值问题的求解进行讨论，并运用ＳＣ公式进行数值求解，在此基础上，提出把基本解方法应用于求解确定边界的反问题的算法，可以看出基本解方法对于求解反问题也是非常有效的。
关键词：基本解方法；椭圆方程的边值问题；非线性最小二乘法；共形映照；配置点控制点；反问题墓呈盔堂璺主里些鲨塞２ＡｂｓｔｒａｃｆＩｔｉｓｗｅｌｌｋｎｏｗＩｌｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ＭＦＳ）ｉｓａｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｎｅｗｔｅｃｈｎｉｑｕｅｆｏｒｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｃｌａｓｓｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｆａｉｌｓｉｎｔｈｅｃｌａｓｓｏｆｍｅｔｈｏｄｓｇｅｎｅｒａｌｌｙｃａｌｌｅｄｂｏｕｎｄａｒｙｍｅｔｈｏｄｓ．ＢｙｔｈｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆＭＦＳｗｅｗｉｌｌｆｉｎｄｔｈａｔＭＦＳｈａｓｓｏｒｔｉｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｖｅｒｏｔｈｅｒｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｉｎｓｏｌｖｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｔｇｉｖｅｓａｎｕｓｕａｌｍｅｔｈｏｄｓｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒａｔｅｕｎｄｅｒｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．ＴｈｉｓｉｓｒａｔｈｅｒａｔｔｒａｃｔｉｖｅｓｉｎｃｅｃａｎｏｎｌｙｏｆｆｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｉｔｈｅｒｒｏｒｏｆＮ一，ｗｈｅｒｅｓｉｓａｎｏｎｅｇａｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｆｏｒｔｈｅＬａｐａｌｃｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｏｍａｉｎＦｉｒｓｔｌｙｗｅｆｏｒｍｕｌａｔｅＭＦＳｔｏｓｏｌｖｅｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓＳｅｃ－ｄｏｍａｉｎａｎｄａｐｐｌｙＭＦＳｔｏｏｎｄｌｙ，Ｗｅｕｓｅｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｅｃｉｒｃｌｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｇｅｎｅｒａｌｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＪｏｒｄａｎｄｏｍａｉｎ．Ｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ＭＦＳｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｏｌｖｅＦｒｅｅＢｏｕｎｄａｒｙＰｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｗｅｃａｎｆｉｎｄＭＦＳｉｓａｌｓｏａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｉｎｓｏｌｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｅｌｌｅｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙ－ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓ；ｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｓ；ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓ；ｃｈａｒｇｅｐｏｉｎｔｓ；ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍ第一章引言本文讨论的基本解方法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｏｌｕｔｉｏｎ以下简记为ＭＦＳ）魁一种求解菜些糖爨方程逮骧阅题数僵疑豹逸赛方法。
人教版高中数学知识框架思维导图(04)-按章节整理(含目录高清版)
几何意义
归纳
合情推理
猜想
类比
推理
演绎推理
推理与证明
三段论
大前提、小前提、结论
综合法
由因导果
分析法
执果索因
直接证明
证明
间接证明
1.验证 = 0 （初始值）命题成立；
2.若 = ( ≥ 0 )时命题成立，证明 = + 1时命题也成立.
数学归纳法
两个原理
反设、归谬、结论
反证法
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为 =
对称性
2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
2
+
2
, )
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
最值
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
基本初等函数
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
分段函数
利用对称性求函数
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
函数图象
及其变换
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
②减法：( + i)－( + i)＝(－c)＋(b－d)i；
③乘法：( + i)·( + i)＝(c－bd)＋(d＋bc)i；
运算
④除法：
+i
+i
=
(+i)(−i)
(+i)(−i)
椭圆知识点总结框架
椭圆知识点总结框架一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义2. 椭圆的代数定义3. 参数方程和极坐标方程二、椭圆的性质1. 椭圆的焦点和直径2. 椭圆的离心率3. 椭圆的直角坐标方程4. 椭圆的极坐标方程5. 椭圆的对称性6. 椭圆的形状7. 椭圆的周长和面积三、椭圆的方程1. 椭圆标准方程2. 椭圆的变换方程3. 椭圆的参数方程4. 椭圆的极坐标方程四、椭圆的图形1. 椭圆的图像特征2. 椭圆的几何分析3. 椭圆的轴和焦点4. 椭圆的绘制方法五、椭圆的应用1. 椭圆在天文学中的应用2. 椭圆在机械工程中的应用3. 椭圆在工程测量中的应用4. 椭圆在地理学中的应用5. 椭圆在其他领域中的应用六、椭圆与其他几何图形的关系1. 椭圆与圆的关系2. 椭圆与抛物线的关系3. 椭圆与双曲线的关系4. 椭圆与直线的关系七、椭圆的数学推导1. 椭圆的性质证明2. 椭圆的相关公式推导3. 椭圆的参数化方程推导4. 椭圆的极坐标方程推导八、椭圆的计算题1. 椭圆的周长计算2. 椭圆的面积计算3. 椭圆的焦点坐标计算4. 椭圆的离心率计算以上是关于椭圆的知识点总结框架，接下来我们将对每个知识点进行详细讲解。
一、椭圆的定义1. 椭圆的几何定义椭圆是平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点P的集合，这个常数2a称为椭圆的长轴，两个定点F1,F2称为椭圆的焦点。
椭圆的几何定义可以简单理解为平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的代数定义设椭圆的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0), 两个焦点到椭圆上任意点P(x,y)的距离之和等于椭圆的长轴长2a，则有|PF1|+|PF2|=2a。
根据勾股定理可以得到椭圆的代数方程：(x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2=4a^2。
3. 参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程是x=a*cos(t),y=b*sin(t), 其中a,b分别为椭圆的长短半轴。
「代数思维系列」椭圆性质汇总
「代数思维系列」椭圆性质汇总圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点，运算量之大，相信所有经历过的学生都有感触，而正因为代数运算之繁琐，更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上，有了极大的发挥空间。
最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年），阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。
当然，那个时候还没有平面直角坐标系，更没有解析几何的概念，但其著作中已经有了坐标制的思想，直到1800多年后的17世纪，笛卡尔建立坐标系，创立解析几何后，对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。
阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年）高中阶段对圆锥曲线的学习，还处于非常基础的阶段，圆锥曲线的性质可以列出数百条，本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。
（双曲线及抛物线的性质另文详述，欢迎大家持续关注）注：以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。
椭圆定义1.第一定义平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|。
此为课本上的标准定义，不再详述。
2.第二定义平面内到定点F（±c，0）的距离和到定直线l：x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a（0<><1）的点的轨迹是椭圆。
其中定点f（±c，0）为椭圆的左右焦点，定直线l：x=±a²>对第二定义给出证明：以右焦点和右准线为例：上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。
椭圆方程1.椭圆标准方程不再详述。
2.椭圆参数方程其中θ为参数，θ的几何意义如下图：以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆，针对椭圆上任一点M，分别向大圆与小圆做垂线，垂足分别为A，B，则ABO三点共线，∠AOx 即为参数θ。
切线1.椭圆切线定理椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。
如图，F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆切线，P为切点，则∠APF1=∠BPF2。
高二椭圆知识点思维导图
高二椭圆知识点思维导图椭圆是高二数学中的一个重要知识点，它在几何形状、实践问题以及数学应用中具有广泛的应用。
本文将通过思维导图的形式，对高二椭圆的关键知识点进行概括、总结和归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
椭圆的定义（Ellipse Definition）- 椭圆是平面上到两个定点（焦点）F₁和F₂的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆的性质（Properties of Ellipse）1. 离心率（Eccentricity）- 离心率定义为离心距c与轴长2a之比，即e = c/a。
- 离心率e描述了椭圆的扁平程度，e<1时表示椭圆，e=1时表示半径为a的圆，e>1时表示双曲线。
2. 焦点与准线- 焦点是与椭圆定义中的两个定点F₁和F₂相关联的点。
- 准线是椭圆定义中与焦点F₁、F₂的连线垂直且通过椭圆中心的直线。
3. 主轴与短轴- 主轴是通过椭圆中心且与准线垂直的线段，长度为2a。
- 短轴是通过椭圆中心且与主轴垂直的线段，长度为2b。
4. 焦半径与定位点- 焦半径是从焦点到椭圆上任意一点P的距离。
- 定位点是椭圆上离焦点F₁和F₂等距离的两点，分别记作A₁和A₂。
椭圆的方程（Equation of Ellipse）- 椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。
- 椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数。
椭圆的求解（Solving Ellipse）1. 椭圆的离心率与长轴、短轴的关系- 离心率e与长轴2a和短轴2b的关系为e² = 1 - (b²/a²)。
2. 椭圆的焦点坐标- 焦点的坐标为F₁(-c, 0)和F₂(c, 0)，其中c² = a² - b²。
第02章_边界值分析法
数组元素的第一个和最后一个
循环的第 0 次、第 1 次和倒数第 2 次、最后一次
在多数情况下，边界值条件是基于应用程序的 功能设计而需要考虑的因素，可以从软件的需
求规格或常识中得到，也是最终用户可以很容
易发现问题的。
还有没有从软件规格说明中看不到的边界值呢？
小结 1
预期输出
等腰三角形 等腰三角形! 等边三角形 非三角形 等腰三角形 等腰三角形 等腰三角形
8
9 10 11 12 13
100
100 1 2 199 200
199
200 100 100 100 100
100
100 100 100 100 100
等腰三角形
非三角形 等腰三角形 等腰三角形 等腰三角形 非三角形
情况进行处理。 程序员把 ≤ 误写成了 < ，计数器发生少计数一次。
学习目标
边界值与边界值分析法 边界值分析选取测试数据 ★ 常见的边界值类型 边界条件设计测试用例的步骤 边界条件测试用例设计法 ★
边界值分析法
边界值分析法： 是对输入或输出的边界值进行测试的一种黑 盒测试方法。
2.健壮性边界条件测试用例设计法
用例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 b 100 100 100 100 100 100 100 0 1 2 199 c 0 1 2 100 199 200 201 100 100 100 100 预期输出 c超过取值范围 等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 非三角形 等腰三角形 c超过取值范围 b超过取值范围 等腰三角形 等腰三角形 等腰三角形
一隅三反选修第1册
3.1.2 椭圆考点一 点与椭圆的位置关系【例1】已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 【解析】 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.【一隅三反】1.已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【答案】 9【解析】 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m ≥5＋24m n ·nm＝9，当且仅当n ＝2m 时等号成立，故m ＋n 的最小值为9. 考点二 直线与椭圆的位置关系【例2-1】（2020·上海高二课时练习）k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 【答案】见解析【解析】由222{236y kx x y =++=，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-当272480k ∆=->，即33k k ><-或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k ∆=-=，即k k ==或时，直线和曲线有一个公共点； 当272480k ∆=-<，即k <<时，直线和曲线没有公共点． 【例2-2】（2020·吉林长春.高二月考）直线1y kx k ＝－＋与椭圆22=194x y +的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定【答案】B【解析】由题意，直线1(1)1y kx k k x =-+=-+，可得直线恒过点(1,1)P ，又由2211194+<，所以点(1,1)P 在椭圆22194x y +=的内部，所以直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=相交于不同的两点，故选B ．【一隅三反】1．（2019·全国高二课时练习）直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为( )A ．1+，B ．[)1,+∞ C ．()()1,55,+∞D ．)()[1,55,⋃+∞【答案】C【解析】已知直线y ＝kx ＋1与椭圆2215x y m +=联立方程组可化为（m+5k 2）x 2+10kx+5-5m=0，要使得直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则△=100k 2-4（m+5k 2）（5-5m ）=20[m 2-（1-5k 2）m]＞0，m ＞0，m≠5．∴m ＞1-5k 2，m ＞0，m≠5，又k ∈R ，∴m ＞1，且m≠5． ∴m 的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）故选C2．（2020·全国高三课时练习（理））(2018·兰州一模)已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．(3，＋∞) D ．(－∞，3)【答案】A【解析】∵直线方程为1y kx k =--∴直线恒过定点(1,1)- ∵曲线C 的方程为222(0)x y m m +=>∴曲线C 表示椭圆 ∵直线1y kx k =--与曲线C ：222(0)x y m m +=>恒有公共点 ∴点(1,1)-在椭圆内或椭圆上，即2212(1)m +⨯-≤.∴3m ≥ 故选A.3.直线y ＝x ＋m 与椭圆2214x y +=有两个不同的交点，则m 的范围是( )A ．－5＜m ＜5B ．mmC ．mDm【答案】D【解析】由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得5x 2+8mx+4m 2﹣4=0， 结合题意△=64m 2﹣20（4m 2﹣4）＞0，mD ．考点三 弦长【例3】（2020·云南省泸西县第一中学高二期中（文））已知椭圆x 24+y 29=1及直线l ：y =32x +m（1）当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）当m =3时，求直线l 被椭圆截得的弦长【答案】（1）[−3√2,3√2]；（2）√13.【解析】（1）由{y =32x +mx 24+y 29=1消去y ，并整理得9x 2+6mx +2m 2−18=0……① Δ=36m 2−36(2m 2−18)=−36(m 2−18)∵直线l 与椭圆有公共点∴Δ≥0，可解得：−3√2≤m ≤3√2 故所求实数m 的取值范围为[−3√2,3√2]（2）设直线l 与椭圆的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 由①得： x 1+x 2=−2m 3，x 1x 2=2m 2−189∴|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(32)2⋅√(−6m 9)2−4×2m 2−189=√133⋅√−m 2+18当m =3时，直线l 被椭圆截得的弦长为√13 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）2AB =. 【解析】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y -1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=2．（2020·全国高二课时练习）斜率为1的直线与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为__________.【解析】斜率是1的直线L :y =x +b 代入2212x y +=,化简得2234420x bx b ++-=，设()()1122,,A x y B x y ,则21212442,33b b x x x x -+=-=，且()221612420b b =-->，解得234b <.AB ===∴b =0时,|AB|，故答案为:. 考点四 点差法【例4】（1）（2020·上海高二课时练习）直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．（2）（2020·全国高二课时练习）已知椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为__________.（3）直线y ＝x ＋1与椭圆mx 2＋ny 2＝1(m>n>0)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于13-，则椭圆的离心率等于_________.【答案】（1）10x y -+=.（2）221189x y +=（3）2【解析】（1）设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．（2）已知3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，已知AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.（3）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，x 0＝－13，代入y ＝x ＋1得y 0＝23. 所以m x 12＋n y 12＝1，（1）m x 22＋n y 22＝1，（2）由（1）-（2）得：()()()()121212120m x x x x n y y y y +-++-=，131223ABm m k n n -=-⋅==，∴2212b n a m ==，∴e 2222111122c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，∴e＝2.故答案为：2. 【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是________【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+.2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为22x +y 2=1,则过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被P 平分的弦所在直线的方程为________. 【答案】2430x y +-=【解析】设这条弦与椭圆2212x y +=交于点()()1122A x y B x y ，由中点坐标公式知12121,1x x y y +=+=,把()()1122A x y B x y 代入2212x y +=,作差整理得()()12121212120,2AB y y x x y y k x x --+-=∴==--，∴这条弦所在的直线方程为111222y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即2430x y +-=，故答案为2430x y +-=.3．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2(O 为原点)，则k 1·k 2的值为________. 【答案】－12【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x =+，由122(2)21y k x x y =+⎧⎨+=⎩，整理得 ：2222111(12)8810k x k x k +++-=，所以211221812k x x k -+=+，2112218112k x x k -=+， 所以1121112112214(2)(2)(4)12k y y k x k x k x x k +=+++=++=+，所以211221142(,)1212k k P k k -++，12122112121214212k k k k k k -+==--+，所以1212k k =- 4．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．. 【解析】设直线l 与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y 因为弦恰被点(1,1)M 平分，所以12122,2x x y y +=+=由2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+= 化简可得：212212y y b x x a -=--，因为直线l 的斜率为13-，所以21221213y y b x x a -=-=-- 即2213b a =所以离心率3e ==5．（2018·河南高二月考（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=【答案】A【解析】∵1211c =-，∴32c =，令()11,A x y ，()22,B x y ，则22221x y a b +=，∴()()()()12121212220x x x x y y y y a b +⋅-+⋅-+=，22210a b -+=，∴292a =，294b =.故选A.。
初中数学《圆》单元评价思维导图以及评价量规
（15分）
能够独立地通过网络搜集圆与圆位置关系的知识、图片及生活实物，搜集的信息数目超过5个（不含）；能够独立地运用一些网络软件演示动态的位置关系图。
能够独立地通过网络搜集圆与圆的位置关系的知识和实物，搜集的信息数目超过3个，不超过5个；仅能演示现有软件材料。
需别人的大力帮助才能搜集到知识，且不主动或独立搜集的信息数目仅为3个；没有动态展示。
圆的主题学习评价
作者姓名
学科
数学
年级
九年级
主题单元名称
圆
单元评价方案的思维导图（说明：将单元评价方案的思维导图导出为jpeg文件粘贴在下面框内；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。）
评价量规（说明：将设计的针对主题单元中某一评价要素的评价量规粘贴在下面）
动手操作能力
（20分）
能够通过观察分析、操作、交流、研讨等活动完成5种全部的位置关系图，能画出或用图片拼摆出来。
能够完成3种图形，能画出或用图片拼摆出来
只能完成2种图形的
语言表达能力
（15）
能够用语言准确的描述各种位置关系，能够用数学语言表达各种位置关系
能够用语言准确的描述各种位置关系，
不能够准确的表述
3.解决问题时，除完成各自分工后，同学间还能相互帮助，最后达成解决问题方案。
1.小组有计划，有分工，但不明确。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容较具体，研Байду номын сангаас方法科学，有一定的学习价值。
3.小组内有个别同学没有积极参与探讨。
1.小组无计划，无分工。
2.小组汇报的探讨结果是主要是由一两位同学完成的。汇报内容不具体，学习价值一般。
边界值法分析法PPT课件
– BVA不是选择等价类的任何元素，而是选择 等价类边界的测试用例
– BVA不仅注重于输入条件，而且也从输出域
导出测试用例。
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2.2 边界值分析法
使用边界值分析方法设计测试用例
• 首先应确定边界情况 – 通常输入和输出等价类的边界，就是应着重 测试的边界情况。
• 应当选取正好等于，刚刚大于或刚刚小于边界 的值作为测试数据，而不是选取等价类中的典 型值或任意值作为测试数据。
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2.黑盒测试技术
本
2.2 边界值分析法
节
内
容
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如果在悬崖峭壁旁边可以自 信而安全地行走而不掉下去， 那么在正常情况就应该不会有 什么问题。
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2.2 边界值分析法
(Boundary Value Analysis，BVA)
• 长期的测试工作经验告诉 我们，大量的错误是发生 在输入或输出范围的边界 上，而不是发生在输入输 出范围的内部。因此针对 各种边界情况设计测试用 例，可以查出更多的错误。
枪，且经销商每月最多可售出枪栓70支，枪
托80支，枪管90支。每月月底，经销商向制造
商报告当月销售情况，制造商根据销售量计
算经销商应得的佣金。销售额不超过1000美元
的部分，佣金为10%，大于1000且不超过1800
美元的部分为15%，超过1800美元的部分为
20%。
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练习1：
保险费率的计算
• 保险费率计算中，投保人年龄范围为[1，99]
年龄
20 ~ 39岁
《圆》章节思维导图(全)
《圆》章节思维导图(全)一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面内到定点距离相等的点的集合。
2. 圆的表示：圆心坐标为 (a, b)，半径为 r 的圆表示为(xa)² + (yb)² = r²。
3. 圆的性质：圆心、半径、直径、周长、面积等。
二、圆的方程1. 标准方程：(xa)² + (yb)² = r²。
2. 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 圆的切线方程：y = mx ± √(r²(1+m²))。
三、圆与直线的关系1. 相交：圆与直线有两个交点。
2. 相切：圆与直线有一个交点。
3. 相离：圆与直线没有交点。
四、圆与圆的关系1. 内含：一个圆完全在另一个圆内部。
2. 外切：两个圆外切于一点。
3. 内切：一个圆内切于另一个圆。
4. 相交：两个圆有两个交点。
5. 相离：两个圆没有交点。
五、圆的几何性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角。
2. 弧长：圆周上的一段弧。
3. 扇形：由圆心角和对应的弧组成的图形。
4. 椭圆：平面内到两个定点距离之和为常数的点的集合。
六、圆的应用1. 数学：圆在几何、代数、三角等领域有广泛应用。
2. 物理：圆在运动学、力学等领域有广泛应用。
3. 工程：圆在机械、建筑等领域有广泛应用。
4. 日常生活：圆在装饰、设计等领域有广泛应用。
《圆》章节思维导图(全)七、圆的定理与公式1. 勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两腰平方和。
2. 圆的周长公式：C = 2πr。
3. 圆的面积公式：A = πr²。
4. 圆的弧长公式：L = rθ，其中θ为圆心角（弧度制）。
八、圆的几何变换1. 平移：将圆沿着某一方向移动一定距离。
2. 旋转：将圆绕某一点旋转一定角度。
3. 放缩：将圆按一定比例放大或缩小。
4. 对称：将圆关于某一直线或点进行对称。
九、圆与坐标系的关联1. 圆在直角坐标系中的表示：通过圆心和半径确定。
边界元法 chapter 01—概述
1.1 边界元方法的发展 边界元方法的发展
可分为两个阶段：
第一阶段: 19世纪各种积分方程的出现
Helmholtz (1859), Rayleigh(1889), Kirchhoff(1882)提出各种边界积分方程. 第二阶段: 20世纪边界元方法的出现
对于复杂的问题, 很难得到边界积分方程的解析解. 随着计算机技术的发展, 并借
边界元法
武汉大学水利水电学院 王桥
教学内容
边界元法基本理论
参考教材 1、 姚振汉等. 边界元法.高等教育出版社，2010 2、 高效伟等. 高等边界元法-理论与程序. 科学出版社 ，2015
第一章 概述
本章主要内容：
1.1 边界元法的发展 1.2 边界元法的特点
1.3 边界元法的应用
1.1 边界元方法的发展 工程的数值方法
Engineering Analysis with Boundary Element International Journal of Solids and Structures Journal of Applied Mechanics, ASME.
Mechanics of Materials
International Journal of Fracture 国内刊物有: 力学学报, 固体力学学报, 计算力学学报
鉴有限元方法, 边界元方法发展成熟. 边界元方法就是边界积分方程的离散形式.
1.1 边界元方法的发展 边界元方法的发展
弹性力学边界元方法具有里程碑 意义的两篇文章: 1969年, Rizzo FJ.发表了第一篇边界元文章(Quarterly Applied Mathematics 25(1):83-95), 形成有效的分元数值计算方法.研究对象为2D弹性力学问题. 1976年, Lachat JC 和 Waston JO 提出了有效的3D弹性力学的边界元数值 方法(Int. J. Numer. Meth. Engng 1976; 10:991-1005).
椭圆单侧问题的边界元计算方法
椭圆单侧问题的边界元计算方法
张凯;祝家麟;张洁
【期刊名称】《重庆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(26)10
【摘要】单侧问题是一类重要的数学物理问题,它可以转化为互补问题进行求解。
由于单侧问题的互补条件位于边界之上,特别适用于边界元法。
基于Aitchison提出的关于Laplace算子的开关算法,笔者将之拓广到一般的椭圆型算子,并基于边界元方法应用开关算法,对这一问题给出了简单高效的计算方法,并进行了算法的收敛性分析,最后给出了相应的数值算例。
此种算法的优点在于只须在原有的边界元程序中,做少量的改进,并且迭代效率极高,产生的计算误差很小。
结果表明,算法简明高效。
【总页数】4页(P27-30)
【关键词】边界元;椭圆算子;开关算法;单侧问题
【作者】张凯;祝家麟;张洁
【作者单位】重庆大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O343
【相关文献】
1.弹性波与单侧界面裂纹相互作用问题的边界元法 [J], 盖秉政;陈清才
2.边界元素法中有关积分的计算方法(Ⅱ)柱状边界条件下对曲面积分及椭圆积分的
计算 [J], 刘福平;李善军;张庚骥
3.单侧接触埋置结构与瞬态SH波的动力相互作用——时域边界元分析 [J], 李楠;冯仰德;章梓茂
4.单侧摩擦接触约束夹杂物与平面波的动力相互作用——时域边界元分析 [J], 冯仰德;汪越胜;章梓茂
5.单侧摩擦约束夹杂物的瞬态弹性波散射的时域边界元分析——反平面情况 [J], 冯仰德;汪越胜;章梓茂
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有限元法与边界元法ppt
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
=
⎪⎪3 f ⎪⎨3 f ⎪⎩
+ 6g + 6g
U
+ 6U ⎪⎪
+
6U
⎬ ⎪
⎪⎭
解得 u2 = u3 = U + g + f/2 与解析解及例5.3计算结果完全相同
问题：区域边界形状复杂时，寻找满足需要的插值基函数十分困难。
思路：将求解区域划分为形状规则的小区域，进行分片插值 →有限单元法的思想。
2
，则 u2 = u(1) = U + g + f/2
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∑ 如何使近似解
u~ =
n
j=1 α j φ j 满足第一类边界条件 u Γ1
=u
？
如果区域边界形状规则，可在区域上选择n个结点，以结 点函数值构成插值函数作为近似解：
∑ u~ = n u jφ j （uj代替了αj） j =1
例5.3 用伽辽金法求解一维泊松方程
13
∫ ∫ 1 0
⎜⎜⎝⎛
−
d 2u dx 2
−
f
⎟⎟⎠⎞ δudx = −δu
du dx
1 0
+
1 ⎜⎛ du dδu − fδu ⎟⎞dx = 0
0 ⎝ dx dx
⎠
∫ ∫ ∫ 1 ⎜⎛ du dδu ⎟⎞dx =
1 fδudx + δu du 1 =
1
fδudx + δu(1)g
0 ⎝ dx dx ⎠
Ω
∇
•
(δu∇u )dΩ
=
∫
Γ
δu
∂u dS ∂n
所以
( ) ∫ ∫ ∫ δu − ∇ 2u dΩ = ∇u • ∇δudΩ − δu ∂u dS