2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(八)含答案

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（八）17．（本小题满分12分） 已知的面积为，． （1）若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为2，且，求的面积； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，，即：，解得，， ，即：，是的内角，，又，设的三个内角的对边分别为， ，，，从而是直角三角形，由已知得，从而，．（2）由（1）知，， 设的外接圆半径为，则，解得， ABC △S AB AC S ⋅=3AC AB -=()()()2cos 0f x x B ωω=+>2y =116f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC△S cos S B C +ABC S =△()()()2cos 0f x x B ωω=+>2y =T 2T ∴=2π2ω=πω=()()2cos πf x x B =+1π2cos 166f B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1cos 62B⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ABC △π 6B ∴=2AB AC S ⋅=ABC △,,a b c 1cos sin 2A bc A = tan A =π3A =ABC △3AC AB -=3BC a ==b =12ABC S ab ==△π3A =3a =ABC △R 2sin a R A ===R =故的最大值为18．（本小题满分12分）如图：已知平面平面，平面平面，，，，为等边三角形，是线段上的动点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的最大值； （3）是否存在点，使得？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在． 【解析】（1）平面平面，在平面内作，则平面，同理，在平面内作，则平面，，即，重合，平面，取中点，连结， 以为原点，为轴正方向建立坐标系， ()1cos sin cos cos 2sin cos S B C bc A B C B CB C B C B C ∴+=+=+=+=-，cos S B C +ABCD ⊥BCE ABE ⊥BCE ABCD 4AB BC ==2CD =BEC △P CD ABE ⊥ADE AB APE P AP BD ⊥π4ABCDBCE BC =ABCD AM BC ⊥AM ⊥BCE ABE AN BE ⊥AN ⊥BCE AM AN ∴AM AN AB ⊥BCEBE AE 、O F 、 O C OF 、O OE OC OF 、、x y z ，，则，，，，， 可得平面的法向量为， 设面的一个法向量为，则，可得，从而，平面平面．（2）设，则，设面的一个法向量为，则，可得． 设直线与面所成角为， 则，所以， 从而直线与平面所成角的最大值为． （3）由（2）知，则，，，，故不存在点，使得． 19．（本小题满分12分）2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市50个一孩家庭，他们中有二孩计划的家庭频数分布如下表：()2,0,4A -()2,0,0B-()C ()D ()2,0,0EABE ()0,OC =ADE (),,m x y z=440220m AE x z m DE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩()1,0,1m =0m OC ⋅=ABE ⊥ADE CP d =()0,23,P d APE (),,n m n k=44020n AE m k n PE m dk ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩n ⎛⎫= ⎪⎝⎭AB APE θsin AB n AB nθ⋅==⋅()max sin θ=AB APE π4()Pd ()4AP d =-()2,2BD =40AP BD d ⋅=+=40d =-<P AP BD ⊥（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为，且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在8千~1万的3个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个，求的分布列及数学期望． 下面的临界值表供参考：【答案】（1）见解析；（2）；．【解析】（1）依题意得：，，，；，因此有95%的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关． （2）由题意知，，的可能取值为0，1，2，3； 12X X ()13322E X =⨯=12a =18b =14c =6d =()22501261814225 4.327 3.8413020262452K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭X，，， ，的分布列为：．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的方程；（2）直线是圆的任意一条切线，与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围．【答案】（1）；（2）圆的方程为，的取值范围是． 【解析】（1），， 设直线与椭圆交于，两点．不妨设点为直线和椭圆在第一象限的交点， 又，，，又， 解得，，椭圆方程为． （2）（i ）当切线的斜率不存在时，设（或），代入椭圆方程得：()311028P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2131131C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2231132C 228P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()13322E X =⨯=xOy ()2222:10x y C a b a b+=>>2y x =C833C l 222:O x y r +=l C A B AB O AB 22184x y +=O 2283x y +=AB ,3⎡⎢⎣2c e a ==222a b ∴=P Q P P ∴⎝⎭2288133a b ∴+=222a b =28a =24b =∴22184x y +=l x r =x r =-y =，， 以为直径的圆恒过原点，，，， 圆的方程为，此时．（同理当时，上述结论仍然成立） （ii ）当切线的斜率存在时，设方程为：，与圆相切，，即，将直线方程代入椭圆方程并整理得：设，，则，是方程①的两个解，由韦达定理得：，，，以为直径的圆恒过原点，，，， ，，又，， ，此时，代入②式后成立，圆的方程为，此时：A r ⎛∴ ⎝,B r ⎛ ⎝AB OA OB ∴⊥22802r r -∴-=283r ∴=∴O 2283x y +=3AB ==x r =-l l y kx m =+lO r =()2221m k r =+()22222124280840k x kmx m k m ⎧+++-=⋅⋅⋅⋅⎪⎨∆=+->⋅⋅⋅⋅⎪⎩①②()11,A x y ()22,B x y 1x 2x 122412km x x k +=-+21222812m x x k -=+()()()222212121212812m k y y kx m kx m k x x km x x m k-∴=++=+++=+AB OA OB ∴⊥12120x x y y ∴+=222228801212m m k k k--∴+=++223880m k ∴--=()22381m k ∴=+()2221m k r =+()()2223181k r k ∴+=+283r ∴=()22813m k =+∴O 2283x y +=i ）若，则， ii ）若，则 综上，圆的方程为，的取值范围是．21．（本小题满分12分）已知，且曲线在点处的切线斜率为1． （1）求实数的值； （2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，且，已知，若不等式恒成立，求的范围．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），由题意知，即：，解得． （2）因为等价于．由题意可知，分别是方程即的两个根， 即，，所以原式等价于， 因为，，所以原式等价于．22133AB k =====+==0k=3AB = 0k≠33AB ⎛= ⎝O 2283x y +=AB ⎣()ln f x x x mx =+()y f x =()()1,1f m ()()()22a g x f x x x a a =--+∈R 1x 2x 12x x <0λ>112e x x λλ+<⋅λ0m =1λ≥()1ln f x x m '=++()11f '=11m +=0m =112e x x λλ+<⋅121ln ln x x λλ+<+1x 2x ()0g x '=ln 0x ax -=11ln x ax =22ln x ax =()12121ax ax a x x λλλ+<+=+0λ>120x x <<121a x x λλ+>+又由，作差得，，即．所以原式等价于， 因为，原式恒成立，即恒成立． 令，，则不等式在上恒成立． 令，又， 当时，可见时，，所以在上单调增，又，在恒成立，符合题意．当时，可见时，，时， 所以在时单调增，在时单调减，又， 所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．11ln x ax =22ln x ax =()1122ln x a x x x =-1212lnx x a x x =-121212ln1x x x x x x λλ+>-+120x x <<()()1212121lnx x x x x x λλ+-<+12x t x =()0,1t ∈()()11ln t t t λλ+-<+()0,1t ∈()()()11ln t h t t t λλ+-=-+()()()()()()2222111t t h t t t t t λλλλ+--'=-=++21λ≥()0,1t ∈()0h t '>()h t ()0,1t ∈()10h =()0h t <()0,1t ∈21λ<()20,t λ∈()0h t '>()2,1t λ∈()0h t '<()h t ()20,t λ∈()2,1t λ∈()10h =()h t ()0,1t ∈112ex x λλ+<⋅21λ≥0λ>1λ≥。