第38课时 向量的数量积
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
向量的数量积(沪教版高二上)课件
02
向量数量积的运算
向量数量积的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
分配律
01
向量数量积表示两个向量在正交 投影上的长度乘积。
02
当θ为锐角时，a·b>0；当θ为钝 角时，a·b<0；当θ为直角时， a·b=0。
向量数量积的运算性质
01
交换律
a·b=b·a。
02
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c。
03
结合律
(a·b)·c=a·(b·c)。
04
负数性质
当θ为钝角或直角时，a·b=|a||b|。
04
向量数量积的拓展
向量数量积与向量模的关系
总结词
向量数量积与向量模之间存在密切关系，可以通过向量的数量积计算向量模的平 方。
详细描述
向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。当两个向量 的夹角为0度时，它们的数量积等于两个向量模的乘积，即|a||b|cos0=|a||b|。因 此，可以通过向量的数量积计算向量模的平方。
向量数量积在数学中的应用
向量模的计算
向量的模可以通过向量的数量积 来计算，这是向量数量积的一个
重要应用。
向量夹角的计算
通过向量的数量积可以计算两个向 量的夹角，进而分析向量之间的关 系。
向量投影的计算
向量的投影也可以通过向量的数量 积来计算，这在解决与向量相关的 数学问题时非常有用。
向量的数量积课后习题答案
向量的数量积课后习题答案向量的数量积课后习题答案在学习数学的过程中，向量的数量积是一个重要的概念。
通过掌握向量的数量积，我们可以更好地理解向量的性质和应用。
下面是一些向量的数量积的课后习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a和向量b的数量积。
解：向量a和向量b的数量积可以通过向量的坐标进行计算。
根据数量积的定义，我们有：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5所以，向量a和向量b的数量积为5。
2. 已知向量a = (3, -2, 1)和向量b = (1, 4, -3)，求向量a和向量b的数量积。
解：同样地，我们可以通过向量的坐标进行计算。
根据数量积的定义，我们有：a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 3 * 1 + (-2) * 4 + 1 * (-3) = 3 - 8 - 3 = -8所以，向量a和向量b的数量积为-8。
3. 已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a和向量b之间的夹角。
解：夹角可以通过向量的数量积来计算。
根据数量积的定义，我们有：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。
向量的模可以通过向量的坐标进行计算。
对于向量a和向量b，我们有：|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) =√(16 + 25 + 36) = √77代入向量a和向量b的数量积和模，我们有：cosθ = (-8) / (√14 * √77)通过计算，我们可以得到cosθ的值。
《向量数量积》课件
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
向量的数量积课件
详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向 相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反 ；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数 量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一，是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分，对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。
向量的数量积PPT(课件)
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
向量的数量积完整版课件
2.已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c＝3a ＋5b ，d ＝
ma －3b ，求当m为何值时，c与d 垂直？ 解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b) ＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝2194，即m＝2194时，c与d 垂直．
[跟踪训练]
1．已知a，b均为单位向量，(2a
＋b)·(a
－2b )＝－
3 2
3
，则a与b
的夹角为
()
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b
＝－323，∴a·b＝ 23.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|·|bb|＝
[随堂检测]
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 C．2
B．3 D．0
解析：a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b .
∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B. 答案：B
2．已知|a |＝6，|b |＝4，a ·b ＝12，向量b 方向上的单位向量为
知识点一 向量的夹角
[新知初探]
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作
―→ OA
＝a，
―→ OB
＝b
，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量
a 与b 的夹角(如图所示)．其中：
向量的数量积
向量的数量积什么是向量的数量积在线性代数中，向量的数量积（也称为点积、内积、标量积）是指两个向量之间的一种运算。
它是将两个向量乘积的每个分量相乘，并将结果相加的运算。
数量积产生的结果是一个标量值，而不是向量。
它可以用数学符号表示为：A ·B = |A| |B| cosθ其中，A和B表示两个向量，|A|和|B|表示这两个向量的模（长度），θ表示这两个向量之间的夹角。
数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1.交换律：A · B = B · A2.分配律：(A + B) · C = A · C + B · C3.数量积与向量的数量乘积的结合律：k(A · B) = (kA) · B = A · (kB)4.数量积与向量的模（长度）的关系：A · A = |A|^25.数量积与两个向量夹角的关系：A · B = |A| |B| cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积的应用1. 计算向量的模（长度）根据数量积与向量的模（长度）的关系，我们可以利用数量积来计算一个向量的模。
例如，对于一个二维向量A=(x, y)，根据数量积的定义，可以得到A · A = |A|^2 = x^2 + y^2因此，向量A的模可以通过计算|A| = sqrt(A · A)来得到。
2. 计算两个向量之间的夹角通过数量积的定义，我们可以得到两个向量之间夹角的计算公式：cosθ = (A · B) / (|A| |B|)利用这个公式，我们可以计算两个向量之间的夹角的余弦值，然后通过反三角函数计算得到夹角的值。
3. 判断两个向量之间的关系利用向量的数量积，我们可以判断两个向量之间的关系。
如果两个向量的数量积为零（A · B = 0），则表示它们是垂直的。
如果两个向量的数量积大于零（A · B > 0），则表示它们夹角小于90度，即锐角。
向量的数量积向量积
向量数量积满足结合律，即(a · b) · c = a · (b · c)。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示 两个向量在垂直于它们夹角平 面的方向上的投影长度之积。
当两个向量的夹角为锐角时， 向量数量积大于0；当夹角为 直角时，向量数量积等于0； 当夹角为钝角时，向量数量
积小于0。
向量数量积可以用于描述两个 向量的相似程度，如果两个向 量的数量积较大，则表示它们
分配律
总结词
分配律是指向量的数量积满足分配律， 即数量积满足线性性质。
详细描述
设$mathbf{A}, mathbf{B}, mathbf{C}$是任意向量，则有 $mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$。
当两向量的夹角为$0^{circ}$时，它们的数量积为正无穷大 ；当夹角为$180^{circ}$时，数量积为负无穷大。
向量积为零的情况分析
01
当两个非零向量的夹角为 $90^{circ}$时，它们的向量积 为零向量。
02
向量积为零可能是由于两个向 量的模长为零，或者两个非零 向量的夹角为$90^{circ}$。
CHAPTER
向量数量积与向量积的注意 事项
零向量的特殊处理
01 零向量与任意向量进行数量积或向量积运算，结 果都为零向量。
02 零向量与零向量进行数量积运算，结果为零。 03 在进行向量积运算时，如果两个向量为零向量，
则结果未定义。
向量夹角的取值范围
向量夹角的取值范围是$0^{circ}$到$180^{circ}$，包括 $0^{circ}$和$180^{circ}$。
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课)一、向量的基本概念大家好，今天我们来聊一聊平面向量的数量积。
我们要明白什么是向量。
在数学里，向量是一个有大小和方向的量，它可以用两个数表示，一个是横坐标，一个是纵坐标。
比如，我们可以用(3, 4)这个数来表示一个向量，它的横坐标是3,纵坐标是4。
那么，向量的数量积是什么呢？二、向量的数量积向量的数量积是一个很重要的概念，它表示的是两个向量的点积。
点积的计算方法很简单，就是把两个向量的对应元素相乘，然后把乘积相加。
具体来说，就是横坐标乘以纵坐标，然后把所有的乘积加起来。
比如，(3, 4)和(1, 2)这两个向量的数量积就是(3 *1) + (4 * 2) = 7。
三、向量的数量积的性质向量的数量积有很多性质，比如：1. 数量积的取值范围是[-∞， +infty];2. 如果两个向量互相垂直，那么它们的数量积等于0;3. 如果一个向量用另一个向量表示，那么它们的数量积等于第一个向量的模乘以第二个向量的模与它们的夹角的余弦值的积。
4. 如果两个向量平行，那么它们的数量积为0或无穷大。
四、应用举例现在我们来看一个例子：假设有两个向量A=(3, 4)和B=(1, 2),那么它们的数量积就是A·B=(3*1)+(4*2)=7。
如果我们知道A和B互相垂直，那么它们的数量积就是0。
如果我们知道A用B表示，那么它们的数量积就是|A||B|cosθ=|A|*|B|*(A·B)/[(|A|^2+|B|^2)^(1/2)]=(5*sqrt(5))*(7/((5^2+(\sqrt{5})^2)^(1/2)))= 7/(10^(1/2))。
如果我们知道A和B平行，那么它们的数量积就是0或无穷大。
五、总结好了，今天我们就讲到这里了。
希望大家能够理解向量的数量积的概念和性质，并且能够在实际问题中灵活运用。
谢谢大家！。
向量的数量积PPT课件
线的向量，而一般a与c不第4共页/线共1。1页
3.两个向量的数量积的性质：
a b | a || b | cos
(1)当a与b同向时,ab | a | | b |
(2)当a与b反向时,ab | a | | b |
一.问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和 数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那
么该力对此物体所做的功为多少？
W | F || s | cos
F
┓
s
其中力 F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
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例2 已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6， 当①a∥ｂ，②a⊥ｂ， ③a与ｂ的夹角是135°时，分别求a·ｂ.
第7页/共11页
例3. |a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：
(1)a b 解 : a b | a | | b | cos600
25 1 5 2
(3) (a+b)2
(2) (a+2b) ·(a-3b)
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与ｂ，作 OA＝a，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ叫a 与ｂ的夹角. ∠ＡＯＢ=θ（0≤θ≤π）
说明：
（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；
（3）当θ＝π/2时，a与ｂ垂直，
b
a
O
ba
O
记a⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点 的.范围0≤≤180
向量数量积的运算
计算向量的长度
已知一个向量的数量积和另一 个向量的模长，可以计算出该 向量的长度。公式为：|a| = (a·b) / |b|。
判断向量是否共线
计算向量的投影
如果两个向量共线，则它们的 夹角为0度或180度，此时它们 的数量积分别为正无穷大和负 无穷大。因此，通过计算两向 量的数量积，可以判断它们是 否共线。
表示两个向量的夹角或方向关 系
$vec{a} cdot frac{vec{b}}{|vec{b}|}$ 表示向 量 $vec{a}$ 在向量 $vec{b}$ 上的投影长度
$cos < vec{a}, vec{b} > = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$，表 示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的夹角的余弦值
分配律表明向量数量积满足线性性质， 可以将向量的加法与数量积分开进行。
结合律
结合律是指向量数量积满足结合律， 即对于任意三个向量$vec{a}$、 $vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$。
该性质表明，向量的加法与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
数乘结合律
向量数量积满足数乘结合律，即对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$(kvec{a}) cdot vec{b} = k(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (kvec{b})$。
该性质表明，数乘与数量积运算的结合顺序可以任意交换。
计算步骤
首先确定两个向量的坐标，然后直接使用代数法进行计算。
向量模长与夹角法
高一数学必修四课件时向量的数量积
计算两向量的夹角
01
与平面几何类似，可以通过向量数量积计算两个空间向量的夹
积为零，则两向量垂直。
计算向量的投影
03
向量在另一个向量上的投影长度同样可以通过向量数量积求得
。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
已知向量a和b的坐标，求a和 b的夹角。
例题2
判断向量a和b是否垂直。
动量定理
动量定理描述了物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即$vec{I}=Delta vec{p}$ 。其中，冲量是力对时间的积累，可以表示为力向量与时间向量的数量积。
向量数量积在电磁学中应用
01 02 03
电场强度与电势差的关系
电场强度$vec{E}$与电势差$V$之间的关系可以通过向量 数量积表示为$V=-int_{a}^{b} vec{E} cdot d vec{l}$，其 中$d vec{l}$是位移向量。该公式描述了电场中两点间电 势差与电场强度的关系。
洛伦兹力与安培力的计算
洛伦兹力$vec{F}=qvec{v} times vec{B}$和安培力 $vec{F}=Ivec{l} times vec{B}$的计算中涉及到向量外积 ，但外积的结果仍然是一个向量，其大小可以通过向量数 量积来计算。
电磁感应中的感应电动势
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，即$e=frac{d Phi}{dt}$。其中，磁通量是磁感应强度$vec{B}$与 面积向量$vec{S}$的数量积，即$Phi=vec{B} cdot vec{S}$。
示。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与向量$vec{b}$共 线的充要条件是存在唯一实数 $lambda$，使得$vec{a} = lambdavec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积【知识概要】1. 向量的夹角对于两个非零向量,a b ，如果以O 为起点，作,0OA a B b ==，则射线OA 、0B 的夹角θ称为向量,a b 的夹角.注：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a b ⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒.2. 向量的数量积定义：如果两个非零向量a ，b 的夹角为θ(0)θπ≤≤，那么我们把cos a b θ⋅叫做向量a 与向量b 的数量积（或内积），记作a b ⋅即a b ⋅=cos a b θ⋅.注：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定； （2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.（4）b a ⋅的几何意义：b a ⋅等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.（5）数量积的运算性质（1）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a = （2）a b b a ⋅=⋅（3）()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ （4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅注：① 结合律不成立：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅；② 消去律不成立c a b a ⋅=⋅不能得到b c =；③ b a ⋅=0不能得到a =0或b =0；④ 22a a =在向量的运算中有广泛的应用，予以重视.（6） 向量的数量积的坐标表示方法设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⋅2121y y x x +=，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，a 与b 夹角为θ，则121222221122cos .x x y y a b a bx y x y θ+⋅==⋅+⋅+（7）向量垂直的充要条件设11(,)0a x y =≠，22(,)0b x y =≠，则0a b a b ⊥⇔⋅=，或02121=+y y x x .例1 已知,,a b c 是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题？（1）//;a b a b a b ⋅=⋅⇔ （2）,;a b a b a b ⇔⋅=-反向 （3）;a b a b a b ⊥⇔+=- （4）.a b a c b c =⇔⋅=⋅ 解：（1）（2）（3）例2 下列各式中正确的是（ C ）(A) 00;a ⋅= (B) 00;a ⋅= (C) 00;a ⋅= (D) 00a ⋅=. 例3 已知向量a 与b 夹角为120θ=，且4,2a b ==，求：1）(2)();a b a b -⋅+ 2）34.a b - 解：1) 12 2) 419例4 已知(2,1),(3,4),1,9,a b a c b c =-=-⋅=-⋅=求c . 解：(1,3)c =--.例5 已知3,2,a b ==a 与b 的夹角为3π，35c a b =+，3d ma b =-.当m 为何值时，c 与d 相互垂直？解：29.14m =例6 在边长为1的等边三角形ABC 中，若,,,BC a CA b AB c ===求.a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 解：注意夹角，结果为32-. 例7 已知向量3a b +与433a b -垂直，且向量23a b +与3a b -垂直，0,0a b ≠≠，求a 与b 的夹角θ.解：6arccos 6θ=.1. 已知a =1, b =2,且a b -与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( )A. 60°B. 30°C. 135°D. 45°答案：D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21.2. 已知a =2, b =1, a 与b 之间的夹角为3π,则向量4m a b =-的模为 ( ) A. 2 B. 23 C. 6 D. 12答案：B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a3. a 与b 是两个非零向量, 222()a b a b +=+是a b ⊥的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件答案：C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0. 4. 若a =(-4,3), b =(5,6),则234a a b -⋅等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案：D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5. 已知a =(λ,2), b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( )A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310 答案：A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310. 6. 已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 答案：D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x .7. 已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( )A.55 B.55- C.565 D.1313答案：C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8. 已知向量a 与b 的夹角为3π,2,1,a b ==则a b a b +⋅-= .答案：由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a9. 已知a b ⊥，c 与a 、b 的夹角均为60°,且1,2,3,a b c === 则2(2)a b c +-= .答案：由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.10. 已知a =(1,2), b =(1,1), c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = . 答案：∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52.11. 已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 .答案：a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1)·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°.12. 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.解： ①当∠A =90°时,因为AB ·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±.13. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=c ，或)4,2(--=c（2） ),2()2(b a b a -⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即222320,a a b b +⋅-=222||32||0a a b b ∴+⋅-= ∴ 0452352=⨯-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a∴ ,1||||c o s -=⋅⋅=b a ba θ ∵ ],0[πθ∈ ， ∴ πθ=.14. 平面内给定三个向量：)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a 。
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西安昆仑中学高三文科一轮复习数学讲义
1
课题：平面向量的数量积
教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的
充要条件和向量数量积的简单运用．
教学重点：平面向量数量积及其应用． 教学过程：
（一）主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
2．平面向量数量积的性质：22||a a = 、cos ,||||
a b
a b a b ⋅<>=
；
3．向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥⇔⋅=
． （二）主要方法：
1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用；
3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决． （三）基础训练：
1.下列命题中是正确的有
①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-= ，则||||a b = ； ②||||||a b a b ⋅=⋅
；
③a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ； ④若()a b c ⊥-
，则a b a c ⋅=⋅
2．已知,,a b c 为非零的平面向量. 甲：,:,a b a c b c ⋅=⋅=
乙则 （ ）
()A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 ()B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 ()C 甲是乙的充要条件
()D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-
，如果向量a xb + 与b 垂直，则x 的值为 （ ）
()
A 323
()
B 23
3
()C 2 ()D 2
5-
4．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=
，且5a b ⋅= ，则向量b = ___ __ ____.
5．已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600
，则a +b 在a
上的投影为 。
6．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-= ，则|3|a b +=。
7．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b == ，则|2|a b -=
___ ____。
8．已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a
，5||=b ，则a b a ⋅-)2(= 。
（四）例题分析：
例1．已知平面上三个向量a 、b 、c
的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>++c b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.
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例2．已知：a 、b 、c
是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）
（1）若|c |52=，且//c a ，求c 的坐标； （2）若|b
|=
,2
5且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b
的夹角θ.
例3．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t
+与
向量21e t e
+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
例4．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ BC
与
的夹角θ取何值时BP C Q ⋅
的值最大？并求出这个最大值.
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3
（五）课后作业：
1．已知向量(cos ,sin )a θθ= ,
向量1)b =- 则|2|a b -
的最大值，最小值分别是（ ）
()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，0
2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，
若点C 满足O C O A O B αβ=+
，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为： （ ）
()A 01123=--y x ()B 5)2()1(2
2
=-+-y x ()C 02=-y x ()D 052=-+y x
3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos
=b ，那么||b a -的值是 （ ） ()
A 2
1 ()
B 2
2 ()
C 2
3 ()D 1
4．在A B C ∆中，0AB AC ⋅< ，A B C ∆的面积是4
15
，若||3AB = ，||5A C = ，则B A C ∠=( )
()
A 6
π
()B 32π ()C 43π ()D 65π 5．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段A B 上，
且有AP t AB =
)10(≤≤t ，则OA OP ⋅ 的最大值为 （ ）
()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2
a
6．设12,F F 是双曲线
14
2
2
=-y
x
的两个焦点，
点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=
，则12||||PF PF ⋅ 的值等于 （ ）
()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8
7.设,,a b c
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①()()0a b c c a b ⋅-⋅= ； ② ||||||a b a b -<-
③()()b c a c a b ⋅-⋅ 不与c 垂直 ④2
2(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-
中，是真命题的有 ( ) （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④
8．设,,,O A B C 为平面上四个点，O A a = ，O B b = ，OC c = ，且0a b c ++=
，c b b a ⋅=⋅=a c ⋅1-=，则||||||c b a
++＝___________________。
9．若对n 个向量12,,n a a a 存在n 个不全为零的实数n k k k ,,,21 ，使得11220n n k a k a k a +++=
成
立，则称向量12,,n a a a
为“线性相关”．依此规定， 能说明1(1,0)a = ，2(1,1)a =- ，3(2,2)a = “线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
10．向量,a b 都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b +⊥--⊥-
，求向量a 与b 的夹角.
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11．已知向量33(cos ,sin )22a x x = ， (cos ,sin )22x x
b =- 。
（1）当]2
,0[π
∈x ，求,||a b a b ⋅+ ；
（2）若||2)(b a m b a x f
+-⋅=≥2
3-对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围。
12．设(1cos ,sin )a αα=+
,()b 1cos ,sin ββ=- ,),0(πα∈ ,)2,(ππβ∈，a 与x 轴正半轴的
夹角为1θ,b 与x 轴正半轴的夹角为2θ，且3
21πθθ=+,求||b a
-．。