平面向量的数量积教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）

教材分析：

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响；然后由投影的概念得出了数量积的几何意义；并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质；最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

（一）知识与技能

1．掌握数量积的定义、重要性质及运算律；

2．能应用数量积的重要性质及运算律解决问题；

3．了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

（二）过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

（三）情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

1．平面向量的数量积的定义；

2．用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

（一）提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢？如果能，运算结果又是什么呢？

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F 与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢？

我们知道：W＝｜F｜｜s｜cosθ，

功是一个标量（数量），而力它等于力F和位移s都是矢量（向量），功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

（二）讲授新课

今天我们就来学习：（板书课题）

2.4 平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

1．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），

记作a •b ，即a •b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ ， 其中 θ是a 与b 的夹角。

2．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0•a ＝0

注意：

（1）符号“•”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

（2）θ是a 与b 的夹角，范围是0≤θ≤π，（再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必

须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角）。

（3）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

（4）两非零向量a 与b 的数量积a •b 的符号由夹角θ决定：

20π

θ〈≤⇔cos θ⇔a •b 0〉

θ=2

π⇔cos θ⇔a •b = 0 ⇔≤〈πθπ2

cos θ⇔a •b 0〈

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢？

二、数量积的几何意义

1．“投影”的概念：已知两个非零向量a 与b ，θ是a 与b 的夹角，|b |cos θ 叫做向量b 在a 方

向上的投影

思考：投影是向量，还是数量？

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|θ为锐角 θ为钝角 θ为直角

|b |cos θ0〉 |b |cos θ0〈 |b |cos θ=0

当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影

为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |

思考：a 在b 方向上的投影是什么，并作图表示

2．数量积的几何意义：数量积a •b 等于a 的长度｜a ｜与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积，

也等于b 的长度|b |与a 在b 方向上的投影｜a ｜cos θ的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

设a 与b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角

（1）a ⊥b ⇔ a •b = 0

（2）当a 与b 同向时，a •b = |a ||b |；

当a 与b 反向时，a •b = -|a ||b |；

特别地，a •a = |a |2，||a a a =⋅

（3）cos θ =||||

a b a b ⋅ （4）|a •b | ≤ |a ||b |

运算律与运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看看它满足怎样的运算律

四、向量数量积的运算律

已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

（1）a •b ＝b •a (交换律)

（2）(λa )•b ＝λ (a •b )＝a • (λb ) (数乘结合律)

（3）(a ＋b )•c ＝a •c ＋b •c (分配律)

思考：(a •b )c ＝a (b •c ) 是否成立？并说明理由